Matemática - Estuda Que Passa

Matemática
Relações Trigonométricas
Professor Dudan
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Matemática
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Definição
A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a
proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos
valores de um dos seus ângulos agudos.
Entre estes ângulos, os de 30°, 45° e 60° são denominados ângulos notáveis. As proporções
entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente e
cotangente, dependendo dos lados considerados na proporção.
Principais Relações Trigonométricas
→ Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao grego Hiparco, que relacionou
os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e possivelmente construiu a primeira tabela
de valores trigonométricos, por isso muitos o consideram o pai da trigonometria. Os estudos
trigonométricos no triângulo são embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e
tangente.
•• O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus
ângulos internos igual a θ, define-se sen θ como sendo a razão entre o cateto oposto a θ e a
hipotenusa deste triângulo. Dessa mesma forma o cosseno, definido como cos θ, é a razão
entre o cateto adjacente a θ e a hipotenusa. Para completar temos a tangente, tg θ, que é a
razão entre os catetos oposto e adjacente.
•• Assim:
sen θ =
cos θ =
tg θ =
DICA:
cateto oposto
hipotenusa
cateto adjacente
hipotenusa
cateto oposto
cateto adjacente
SOH
CAH
TOA
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3
Visualização no ciclo
Vale lembrar que − 1 ≤ senx ≤ +1 , − 1 ≤ cosx ≤ +1 e − ∞ ≤ tgx ≤ + ∞.
NÃO ESQUECER : sen² x + cos² x = 1 , para todo x∊R.
Além disso é importante sabermos os valores dos ângulos notáveis.
IMPORTANTE: Use Sempre Tua Cabeça!!!!!
Exemplos:
1. Sendo sen x =
a)
b)
c)
d)
e)
−3
−2
−1
0
1
2m−1
e π < x < 2π o menor valor inteiro de m é:
6
2. Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30°
(suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1.000 metros, a
altura atingida pelo avião é.
a) 250 m
b) 250 3
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c) 500 m
d) 500 2
e) 500 3
3. Um foguete é lançado sob um ângulo de 45°. Num certo instante a altura dele é de 500 m, logo
a distância percorrida por ele, em linha reta, é de:
a) 1000 m
b) 600 m
c) 500 m
d) 500 2 m
e) 1000 2 m
4. Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20°. Após percorrer 2.000 metros em linha
reta, a altura atingida pelo avião, é de aproximadamente.
(Utilize: sen 20° = 0,342; cos 20° = 0,94 e tg 20° = 0,364)
a)
b)
c)
d)
e)
684 m
728 m
1280 m
1880 m
2000m
5. A Jerônimo Coelho e a rua Duque de Caxias, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo
de 30°. A sede da Casa do Concurseiro encontra-se na avenida Jerônimo Coelho à 900 m do
citado cruzamento. Portanto, em metros, a distância da sede da Casa do Concurseiro à Duque
de Caxias é de.
a)
b)
c)
d)
e)
300 m
450 m.
450 3 m
600 m
900 m
6. Quando o ângulo de elevação do sol é de 65°, a sombra de um edifício mede 18 m. A altura do
edifício é de:
(sen 65° = 0,9063, cos 65° = 0,4226 e tg 65° = 2,1445)
a)
b)
c)
d)
e)
7,60 m
16,31 m
24,45 m
38,60 m
45,96 m
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5
7. Sendo cos x =
a)
3
b)
− 3
3
− 3
ex∊
2
⎡π ⎤
⎢ ,π ⎥ ; o valor de tg x é:
⎣2 ⎦
c) − 3
d) 3 3
e) 1
42
8. Sendo x um número real, o menor e o maior valor possíveis da expressão
são,
5− 2.sen 10x
respectivamente,
( )
a) 6 e 14
42
5
14 42
c) −
e
25
5
b) − 21 e
d) − 42 e 42
e) − 14 e − 6
Outras Relações Trigonométricas
COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE
→ As razões trigonométricas vistas anteriormente possuem inversas que são nomeadas
cossecante, secante e cotangente. Assim:
1
hipotenusa
=
•• sec x =
cosx cateto adjacente
1
hipotenusa
=
senx cateto oposto
cateto adjacente
1
=
•• cotg x =
tg x
cateto oposto
•• cossec x =
Vale lembrar que secante, cossecante e cotangente herdam os sinais de cosseno, seno e
tangente respectivamente.
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→ Ainda devemos lembrar que:
sec² x = 1 + tg² x
cosec²x = 1 + cotg²x
1
π
9. Sabendo-se que cotg x = e 0 < x < , pode-se afirmar que o valor de sen x é:
2
2
1
a)
10
b)
2
5
c)
5
5
d)
2 5
5
e)
5
2
10. A expressão (1 + cotg2x).(1 − cos2x) é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
cos x
sen x
cotg x
Gabarito: 1. B 2. C 3. D 4. A 5. B 6. D 7. B 8. A 9. D 10. B
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