RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Í

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
ÍNDICE
Introdução............................................................................................................................. 01
Conceito................................................................................................................................ 02
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo.................................................................... 02
Resumindo............................................................................................................................ 03
Razões Trigonométricas Especiais.......................................................................................... 03
Exemplos............................................................................................................................... 05
Atividades Práticas................................................................................................................ 07
Referência Bibliográfica......................................................................................................... 08
INTRODUÇÃO:
Você já se perguntou como os astrônomos calcularam a medida do raio da Terra, ou à distância da
Terra à Lua, ou à distância da Terra ao Sol?
Aliás, foram os astrônomos que estabeleceram os fundamentos da Trigonometria, pois se sabe que
o famoso astrônomo grego Hiparco (190 a.C. – 125 a.C.), considerado o pai da Astronomia, empregava em
seus cálculos as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo.
Por curiosidade, temos também a História do papiro Rhind, escrito no Egito em 1650 a.C.
(aproximadamente), um dos mais antigos registros conhecidos sobre trigonometria, no qual traz 85
problemas matemáticos e apresenta no problema 56 a construção de pirâmides, e diz que era essencial
manter uma inclinação constante nas faces, e pode ter sido essa a preocupação que levou os construtores
a usar razões entre as medidas dos lados e triângulos retângulos que chamamos atualmente de razões
trigonométricas.
No século VIII, importantes trabalhos hindus foram traduzidos para o árabe, contribuindo para
descobertas dos matemáticos árabes sobre a Trigonometria.
No século XV, foi construída a primeira tábua trigonométrica por um matemático alemão chamado
Purback, porém o primeiro trabalho sistemático sobre Trigonometria foi o Tratado dos Triângulos, escrito
pelo discípulo de Purback, o alemão Johann Muller, conhecido como Regiomontanus.
Atualmente, a Trigonometria não se limita apenas a estudar os triângulos. Sua aplicação se estende
a outros campos da Matemática, como a Análise, e a outros campos da ciência como a Eletricidade, a
Mecânica, a Acústica, a Música, a Topografia, a Engenharia Civil etc.
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1
CONCEITO:
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron
(medir). Daí vem seu significado mais amplo: medida dos triângulos.
Dizemos então que a Trigonometria é a parte da Matemática cujo objetivo é o cálculo das medidas
dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
C
Hipotenusa
OBS: Um triângulo retângulo possui um ângulo interno que vale
Cateto
90º e é composto por três lados, o lado maior e oposto ao ângulo
A
de 90º é chamado de Hipotenusa e os outros dois lados são
90º
●
B
Cateto
chamados de Catetos.
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO:
Observando o triângulo retângulo ABC (Â = 90º), temos:
BC = hipotenusa BC = a
C
AC = cateto
AC = b
AB = cateto
AB = c
∧
C
∧
∧
B + C = 90 º (complementar)
a
∧
AC = cateto oposto ao ângulo B
b
∧
AB = cateto adjacente ao ângulo B
∧
∧
B
●
B
c
AC = cateto adjacente ao ângulo C
A
∧
AB = cateto oposto ao ângulo C
Considerando as informações acima, obtemos:
∧
AC
cateto oposto
sen B =
=
BC
hipotenusa
∧
a B
∧
⇒ sen B =
b
a
∧
AB
cateto adjacente
cos B =
=
BC
hipotenusa
∧
a B
∧
⇒ cos B =
c
a
∧
∧
AC
cateto oposto a B
b
tg B =
=
⇒
tg
B
=
∧
AB
c
cateto adjacente a B
∧
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2
Complementando, temos:
∧
AB
cateto oposto
sen C =
=
BC
hipotenusa
a C
∧
∧
⇒ sen C =
c
a
∧
AC
cateto adjacente
cos C =
=
BC
hipotenusa
∧
aC
∧
⇒ cos C =
b
a
∧
∧
AB
cateto oposto a C
c
tg C =
=
⇒
tg
C
=
∧
AC
b
cateto adjacente a C
∧
RESUMINDO:
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ESPECIAIS:
Dado o triângulo eqüilátero abaixo:
A
h=
•
triângulo eqüilátero é 60º.
l. 3
2
30º
l
B
A medida de cada ângulo interno de um
H
●
l
•
60º
A medida da altura de um triangulo eqüilátero
C
l
l
2
em função do lado l é h =
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l. 3
.
2
3
∧
∧
No triângulo retângulo AH C , com H = 90 º , temos:
l
1
sen 30 º = 2 ⇒ sen 30 º =
l
2
l. 3
3
sen 60 º = 2 ⇒ sen 60 º =
l
2
l 3
3
cos 30 º = 2 ⇒ cos 30 º =
l
2
l
1
cos 60 º = 2 ⇒ cos 60 º =
l
2
1
3
tg 30 º = 2 ⇒ tg 30 º =
3
3
2
tg 60 º =
3
2 ⇒ tg 60 º =
1
2
3
Dado o triângulo retângulo isósceles abaixo:
C
•
Os catetos têm a mesma medida l.
•
Cada ângulo mede 45º.
•
A hipotenusa mede l . 2 .
45º
l. 2
l
A
45º
●
l
sen 45 º =
l
l.
l
cos 45 º =
l.
tg 45 º =
2
B
⇒ sen 45 º =
1
.
2
2
⇒ sen 45 º =
2
2
2
⇒ cos 45 º =
1
.
2
2
⇒ cos 45 º =
2
2
2
2
l
⇒ tg 45 º = 1
l
ou
tg 45 º =
2
2 ⇒ tg 45 º =
2
2
2
2
.
⇒ tg 45 º = 1
2
2
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Pelos cálculos anteriores, temos a formação da seguinte TABELA de valores:
ÂNGULOS
0⁰
30⁰
45⁰
60⁰
90⁰
SENO
0
1
2
2
2
3
2
1
COSSENO
1
3
2
2
2
1
2
0
TANGENTE
0
3
3
1
RAZÃO
3
NÃO EXISTE
EXEMPLOS:
01) Calcule o valor de x na figura abaixo. (observe na tabela sen 30º)
02) Determine o valor de y na figura abaixo. (observe na tabela cos 60º)
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03) Observando a figura seguinte, determine:
a)
tg 30 º =
x
3
x
300 . 3
⇒
=
⇒ 3 x = 300 . 3 ⇒ x =
⇒ x = 100 . 3 m
300
3
300
3
b) tg 60 º =
c)
x
3 100 . 3
⇒
=
⇒
y
1
y
3 . y = 100 . 3 ⇒ y =
100 . 3
⇒
3
y = 100 m
AD = 300 − 100 ⇒ AD = 200 m
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6
ATIVIDADES PRÁTICAS:
01)
02)
03)
04)
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7
05)
06)
07)
08)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
Boyer, C.B., História da Matemática – Edgard Blucher, São Paulo, 1974.
Giovanni, J.R., Matemática Fundamental, Volume Único – FTD, São Paulo, 1994.
Iezzi, G.et al. Fundamentos da Matemática Elementar. – Globo, Porto Alegre, 1977.
Revista do Professor de Matemática, SBM, São Paulo, Publicação Quadrimestral.
http://orbita.starmedia.com/~achouhp/matematica/trigonometria.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/trigonometria-no-triangulo-retangulo.htm
http://tioheraclito.blogspot.com/2007/03/listas-de-trigonometria-no-tringulo.html
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