1 Variáveis Aleatórias

Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal
Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 5
Professor: Carlos Sérgio
UNIDADE 3 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (Notas de aula)
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Variáveis Aleatórias
Definição: Considere um experimento para o qual o espaço amostral é denotado por Ω.
Define-se variável aleatória como uma função que associa um valor real a cada elemento
do espaço amostral.
X : Ω −→ <
Representa-se as variáveis aleatórias por letras maiúsculas e suas ocorrências por
letras minúsculas.
Exemplo
Suponha o experimento "lançar três moedas". Seja X: número de ocorrências da face
cara . O espaço amostral do experimento é:
Ω = {(c, c, c), (c, c, r), (c, r, c), (c, r, r), (r, c, c), (r, c, r), (r, r, c), (r, r, r)}
Se X é o número de caras, X assume os valores 0, 1, 2 e 3.
Definição: Seja X uma variável aleatória (v.a.). Se o número de valores possíveis
de X (isto é, o seu contradomínio), for finito ou infinito enumerável, denominamos X de
variável aleatória discreta.
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Definição: Seja X uma variável aleatória discreta. Portanto, o contradomínio de X
será formado por um número finito ou enumerável de valores x1 , x2 , . . .. A cada possível
resultado xi , associaremos um número p(xi ) = P (X = xi ), i = 1, 2, 3, . . ., denominado
probabilidade de xi . Os números p(xi ) devem satisfazer às seguintes condições:
a) p(xi ) ≥ 0,
b)
P∞
i=1
p(xi ) = 1
A função p definida acima, é denominada função de probabilidade da variável aleatória
X . A coleção de pares [xi , p(xi )], i = 1, 2, . . ., é denominada distribuição de probabilidade.
Exemplo
Lançam-se dois dados. Seja a v.a. X: soma das faces. Determinar a distribuição de
probabilidade da variável aleatória X.
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Esperança de uma Variável Aleatória Discreta
Suponha que uma variável aleatória X possua uma distribuição discreta cuja função é
p(x). A esperança de X , denotada por E(X), é um número definido por:
µ = E(X) =
X
x · p(x)
x
Exemplo: Suponha que uma v.a. X possa assumir somente quatro valores: -2, 0, 1 e
4, e que P (X = −2) = 0, 1; P (X = 0) = 0, 4; P (X = 1) = 0, 3; P (X = 4) = 0, 2.
Então:
2
E(X) = −2 · (0, 1) + 0 · (0, 4) + 1 · (0, 3) + 4 · (0, 2) = 0, 9
Propriedades da Esperança
P1. Se a é uma constante qualquer
E(a) = a
P2. Se a é uma constante qualquer
E(aX) = a · E(X)
P3. Se X1 , X2 , . . . , Xn são n variáveis aleatórias tais que E(Xi ) existe (i = 1, 2, . . . , n),
então
E(X1 + X2 + . . . + Xn ) = E(X1 ) + E(X2 ) + . . . + E(Xn ).
P4. Se X1 , X2 , . . . , Xn são n variáveis aleatórias independentes tais que E(Xi ) existe
(i = 1, 2, . . . , n), então
E Πni=1 Xi = Πni=1 E(Xi )
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Variância de uma Variável Aleatória Discreta
Definição: Suponha que X é uma v.a. com média µ = E(X). A variância de x,
representada por V (X) é definida por
V (X) = E[(x − µ)2 ]
V (X) = E(X)2 − [E(X)]2
Variáveis Aleatórias Discretas
Suponha que uma v.a. X possua uma distribuição discreta, cuja função é p(x). Então
V (X) =
X
X
(x − µ)2 · p(x) =
x2 · p(x) − µ2
x
x
Exemplo: Suponha que uma v.a. X possa assumir somente quatro valores: -2, 0, 1 e
4, e que P (X = −2) = 0, 1; P (X = 0) = 0, 4; P (X = 1) = 0, 3;
P (X = 4) = 0, 2.
Como visto anteriormente, E(X) = 0, 9. Então
P
V (X) = x (x − µ)2 · p(x) = (−2 − 0, 9)2 · (0, 1) + (0 − 0, 9)2 · (0, 4) + (1 − 0, 9)2 · (0, 3) +
(4 − 0, 9) · (0, 2) = 3, 09
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Propriedades da Variância
P1. V (c) = 0 se e somente se c for uma constante.
P2. V (aX) = a2 V (X). sendo a constante
P3. V (aX + b) = a2 V (X). com a e b constantes
P4. V (X ± Y ) = V (X) + V (Y ) ± 2cov(X, Y ).
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Função de Distribuição Acumulada
Definição: A função de distribuição da variável aleatória X , representada por Fx ou
simplesmente F , é definida por:
FX (x) = P (X ≤ x) =xi ≤x P (xi )
Observações:
a) A função de distribuição de X é também frequentemente chamada de função de
distribuição acumulada de X .
b) A função FX (x) é não-decrescente quando x aumenta, isto é, se x1 < x2 , então
FX (x1 ) ≤ FX (x2 ).
c) 0 ≤ F (x) ≤ 1
d) P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
e) P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) + P (X = a)
f) P (a < X < b) = F (b) − F (a) − P (X = b)
g) Para qualquer valor de x
P (X > a) = 1 − F (a)
Teoremas
a) Se X for uma variável aleatória discreta,
FX (x) =
X
P (xj )
j
onde o somatório é estendido a todos os índices j que satisfaçam a condição xj ≤ x
Exemplo
Suponhamos que a v.a. X tome os três valores 0,1, e 2, com probabilidades 1/3, 1/6 e
1/2, respectivamente. Então:
O gráfico de F está apresentado na Figura abaixo
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Exercícios
1. Suponha que 0,4; 0,3; 0,2 e 0,1, respectivamente, sejam as probabilidades de que
nenhum, um dois ou três problemas com energia afetarão certa subdivisão durante
dado ano. Determine a média e a variância da variável aleatória X que representa o
número de problemas com energia que afeta essa subdivisão.
2. As probabilidades de que haja 0, 1, 2, 3 ou 4 partes defeituosas em uma máquina
quando três partes são amostradas da linha de produção são, respectivamente: 0,05;
0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Determinar:
a) o número médio de partes defeituosas;
b) a variância V (X) ;
c) F (X) e esboçar seu gráfico.
d) P (2 < X ≤ 4).
3. A função de probabilidades da variável aleatória X é: P (X) = 51 , para
X = 1, 2, 3, 4, 5.
a) Calcule E(X) e V (X)
b) Calcule P (X ≥ 2) e P (X < 4)
c) Determine F (X) e esboce seu gráfico.
4. Suponha que a duração X de uma ligação telefônica, em minutos, seja dada pela
seguinte distribuição de probabilidades:
5
X
1
P (X) 0,2
2
0,5
3
0,2
4
0,1
a) Determine P (X ≤ 3) e P (2 ≤ X ≤ 3).
b) Calcule E(X) e V (X).
c) Obtenha F (X) e esboçe seu gráfico.
5. Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja
X : número de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidades de X .
6. Fazer o exercício anterior considerando extração com reposição.
7. Um jogo consiste em se retirar, ao acaso, uma bola de uma caixa contendo 5 bolas
brancas, 3 pretas e 2 vermelhas. Se a bola selecionada for branca ganha-se R$
10,00 e se for preta ou vermelha perdem-se, respectivamente, R$ 5,00 e R$ 15,00.
Qual é o lucro médio do jogo?
8. Calcule a esperança e a variância de g(X) = 2X + 3, onde X é a variável aleatória
com distribuição de probabilidade
X
0
P (X) 1/4
1
1/8
6
2
1/2
3
1/8