n.43, dezembro de 2007 - Revista Matemática Universitária

Problemas
Editores responsáveis:
Carlos Gustavo Moreira (IMPA)
Nicolau Corção Saldanha (PUC-Rio)
1. Leia a introdução da entrevista de Ivan Shes1.
7. Determine todas as triplas a, m, n de inteiros
7.
takov, neste número da Matemática Universitária, e
positivos tais que am 1 a 1n .
prove que todo automorfismo afim de n é manso.
2.
2.
Leia a introdução da entrevista de Ivan ShesSeja f : 3 3 uma função tal que p ,e
q 1 implica f p f q 1, ondeémanso.
p denota a norma euclidiana de p. Prove que f é uma
isometria, isto é, que f p f q p q para
quaisquer p, q 3 .
3.
3. Seja an n
de-
é uma
a seqüência definida por a1 para
2e
an1 2an , n . Prove que existe N tal
que an1 an é múltiplo de 102008 para todo n N.
4.
4.
2e
Sejam f , g : dadas por f 0 g0 tal
0, f n 1 2 f n , gn 1 3gn , n .
N.
Prove que f n 1 gn f n 2, n 3.
5.
5. Mostre que existem a1 , a2 , . . . tais que.a
série
n
n 1 a n x
nindo f x converge para todo x e, defi-
n
n 1 a n x ,
temos:
tais que a
(a) f é uma bijeção de em que satisfaz f x e, defi0, x .
(b) f , onde : p x x , p 0 é o conjunto dos números algébricos reais.
6.
6. Determine o menor
positivo
tal que alé oreal
conjunto
dosc números
n
ai
i 1
2
c
n
a2i
i 1
1/2 n
i2 a2i
i 1
1/2
Resposta do leitor A. L. Pereira, SP, ao problema 4 da
MU 42: “Suponha que A n é um subconjunto limitado de n e f : A A é função sobrejetora tal que
f x f y x y, para quaisquer x, y em A.
Mostre que f é uma isometria.”
Solução.
Dado 0, arbitrário, seja C x1 , x2 , . . . , xk um subconjunto finito de A que é –
denso, isto é, para todo x A existe xi C tal que
x xi . Para cada n e i, j 1, 2, . . . , k
seja
Vi,jn f n xi f n x j .
Das hipóteses, segue que, para quaisquer i, j 1, 2, . . . , k, Vi,jn é monótona não crescente em n e, é
claro, não negativa. Em particular, é convergente.
Seja então m tal que Vi,jm Vi,jm1 para
i, j 1, 2, . . . , k. Escrevendo yi f m1 xi , obtemos f yi f y j yi y j , para i, j 1, 2, . . . , k. Das hipóteses, segue que o conjunto
f m1 C y1 , y2 , . . . , yk é também –denso em
A. Assim, dados u e v em A, existem yi e y j em
f m1 C tais que u yi e v y j .
Portanto, temos f u f v f u f yi f yi f y j f y j f v f yi f y j f u f yi f v f y j yi y j 3 yi u u v v y j 3 u v 5.
Segue que f u f v u v, pois é arbitrário.
para qualquer inteiro positivo n e quaisquer reais
positivos a1 , a2 , . . . , an .
Matemática Universitária
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