Lógica e Raciocínio - Universidade da Madeira

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Lógica e Raciocínio
Universidade da Madeira
http://dme.uma.pt/edu/LeR/
Lógica Proposicional
1
Proposição
Uma frase é uma proposição apenas quando
admite um dos dois valores lógicos: Falso
(F) ou Verdadeiro (V).
Proposição
Frases que não são proposições
Pare!
Quer uma chávena de café?
Feliz Natal!
Frases que são proposições
A Lua é o único satélite do planeta terra (V)
A cidade do Porto é a capital da região de Madeira (F)
O número 712 é ímpar (F)
A raiz quadrada de dois é um número irracional (V)
2
Algumas leis fundamentais
Lei do Meio Excluído: Uma proposição ou é falsa
(F) ou é verdadeira (V): não há meio termo.
Lei da Contradição: Uma proposição não pode
ser, simultaneamente, V e F.
Lei da Funcionalidade: O valor lógico (V ou F)
de uma proposição composta é unicamente
determinada pêlos valores lógicos de suas
proposições constituintes.
Composição de Proposições
É a construção de proposições a partir de proposições já
existentes.
Suponha que tenhamos duas proposições,
1. p = "Maria tem 23 anos"
2. q = "Maria é menor
Pela legislação corrente de Argentina, uma pessoa é considerada
menor idade caso tenha menos de 18 anos, o que faz com que
a proposição q seja F, na interpretação da proposição p ser V.
Vamos a alguns exemplos:
3
Composição de Proposições
"Maria não tem 23 anos" (não A)
"Maria não é menor” (não B)
"Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B)
"Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B)
"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não A e B)
"Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não B)
Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A então B)
Conectivos
Definimos os conectivos como aquelas
expressões lógicas que permitem ligar entre
si várias proposições simples, obtendo
proposições complexas cuja verdade ou
falsidade estarão dependentes da verdade ou
falsidade das proposições iniciais e da
natureza dos conectivos envolvidas.
4
Sintaxe
Alfabeto:
Variáveis proposicionais: p, q, r, ..., p’, q’,...
Constantes ⊤, ⊥
Conectivos lógicos: ~, ∧, ∨, →, ↔
símbolos auxiliais: ( , )
Sintaxe
Definição: Uma fórmula (proposicional)
atómica é:
1. Uma variável proposicional,
2. ⊤ ou
3. ⊥.
5
Sintaxe
Definição Indutiva:
1. Toda fórmula atómica é uma fbf.
2. Se F é uma fbf, então ~F é uma fbf.
3. Se F e G são fbf, então F ∧ G, F ∨ G, F
→ G, F ↔ G são fbf .
4. O conjunto de todas as fbf é gerado por as
regras 1 – 3.
Precedência de conectivos
1. ~
2. ∧ ∨
3. → ↔
Então
((p → (q ∨ r)) ∧ ((~ q) ↔ (1 ∨ p)))
pode ser escrita como
(p → q ∨ r) ∧ (~ q ↔ 1 ∨ p)
Mais
p∧q∨r
é ambígua.
6
Semântica:
Podemos definir o valores de verdade como o
conjunto Tr = {verdadeiro (v), falso (f)}
Uma interpretação consiste em atribuir um valor
de verdade a cada fórmula atómica.
Para obter o valor de verdade de uma fórmula
bem formada arbitraria é necessário dar
significado aos conectivos lógicos.
Tabelas de verdade
Desse modo, atribuindo valores de verdade
as variáveis proposicionais podemos obter o
valor de verdade duma fórmula.
Podemos utilizar tabelas de verdade para
olhar como podem ser interpretados os
símbolos da linguagem.
7
Tabelas de verdade
Sejam p e q proposições. Então temos a tabela:
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
Observe que o número de linhas da tabela depende do número
de proposições, e pode-se obter fazendo 2n ( onde n é a
quantidade de proposições)
Tabelas de verdade
Negação
p
v
f
~p
f
v
A negação é o único conectivo unário
8
Tabelas de verdade
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p∧q
v
f
f
f
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p∨q
v
v
v
f
Tabelas de verdade
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p→q
v
f
v
v
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p↔q
v
f
f
v
9
Tabelas de verdade
Dada qualquer fórmula F, podemos construir sua
tabela de verdade a partir do valor de verdade das
sub-fórmulas:
Exemplo: (p ∨ q) → (p ↔ q)
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p∨q
v
v
v
f
→
v
f
f
v
p↔q
v
f
f
v
Interpretação e Modelo
Cada fila de uma tabela de verdade
representa uma interpretação na qual
cada variável proposicional toma o
valor correspondente a ela na tabela
Uma interpretação I é um modelo para
uma fbf F se F e verdadeira em I .
Uma interpretação I é modelo de um
conjunto de fbf S, se I é modelo de
cada fbf de S.
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p→q
v
f
v
v
10
Fórmulas Equivalentes
Duas fórmulas F e G são logicamente
equivalentes se têm os mesmos modelos,
isto é se têm a mesma tabela de verdade
Notação: Se duas fórmulas F e G são
logicamente equivalentes, então notaremos
F≈G
Fórmulas Equivalentes
p
v
v
v
v
f
f
f
f
q
v
v
f
f
v
v
f
f
r
v
f
v
f
v
f
v
f
p ∧ (q ∨ r)
v
v
v
f
f
f
f
f
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
v
v
v
f
f
f
f
f
11
Algumas Equivalências (1)
p∨p
p∧p
p∨q
p∧q
p ∨ (q ∨ r)
p ∧(q ∧ r)
p ∧ (p ∨ q)
p ∨ (p ∧ q)
p ∧ (q ∨ r)
p ∨ (q ∧ r)
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
p
p
q∨p
q∧p
(p ∨ q) ∨ r
(p ∧ q) ∧ r
p
p
(p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
(p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)
idempotencia
idempotencia
simetria
simetria
associatividade
associatividade
absorção
absorção
distributividade
distributividade
Algumas Equivalências (2)
p∨~p
p∧~p
~~p
p∨⊤
p∨⊥
p∧⊤
p∧⊥
~ (p ∧ q)
~ (p ∨ q)
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
⊤
⊥
p
⊤
dupla negação
p
p
⊥
~p∨~q
~p∧~q
Lei de De Morgan
Lei de De Morgan
12
Algumas Equivalências (3)
p→q
p→q
p↔p
p↔q
≈
≈
≈
≈
~p∨ q
~q→~p
disjunção material
⊤
(p → q) ∧ (q → p)
Tautologias
Uma fórmula F é uma tautologia se é
verdadeira em toda interpretação.
13
Tautologias
F
v
...
v
Tautologia
Teorema: Duas fórmulas F e G são
equivalentes se e somente se F ↔ G é uma
tautologia.
14
Contradição
Uma fórmula F é uma contradição se é
falsa em toda interpretação.
Contradição
F
f
...
f
15
Contingente
Uma fórmula F é uma contradição se é
falsa em algumas interpretações e
verdadeira em outras.
Contradição
F
f
f
v
f
…
16
Regra de Substituição 1
Podemos substituir uniformemente fórmulas por
variáveis
Exemplo:
De
F(p,q) = p → (q →p)
obtemos
F (~p ∨ r, ~p) = (~p ∨ r ) → (~q → (~p ∨ r))
Regra de Substituição 1
Teorema: Se
F(p1, ...pn) ≈ G(p1, ...pn)
então
F(q1, ...qn) ≈ G(q1, ...qn)
17
Teorema da substituição 2
Exemplo:
Se substituímos a segunda aparição de p ∨ q na
fórmula F
(p ∨ q ) → (r ↔ (p ∨ q ) )
pela fórmula equivalente q ∨ p, obtemos a fórmula
F´
(p ∨ q ) → (r ↔ (p ∨ q ) )
F resulta equivalente a F´
Teorema da substituição 2
Sejam F(P), X, Y fórmulas
Teorema (parte 1):
Se v(X) = v(Y), então v(F(X)) =v( F(Y))
Teorema (parte 2):
Se X ≈ Y, então F(X) ≈ F(Y)
18
Relação dos conectivos.
Um conjunto de conectivos é adequado se para toda
fórmula proposicional existe uma fórmula
equivalente formada só por os conectivos do
conjunto dado.
Proposição:
{~, ∧} , {~, ∨,} {~, →} são conjuntos adequados de
conectivos.
Conjuntos adequados de conectivos.
Proposição:
{~, ↔} , não é um conjunto adequados de
conectivos.
Demonstração: Fica como exercício.
19
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