Sistemas Formais - Universidade da Madeira

Lógica e Raciocínio
Universidade da Madeira
http://dme.uma.pt/edu/LeR/
Introdução
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Lógica
“... é a ciência que estuda os
princípios e aproximações para
estabelecer a validez da inferência
e demonstração: é a ciência dos
princípios formais do raciocínio.”
Como surge a Lógica
Os retóricos e sofistas Gorgias, Hippias, Prodicus, e
Protagoras (Sec 5 B.C.). cultivaram a arte de defender ou
atacar uma tese pelo significado dos argumentos.
argumentos
Os sofistas foram os primeiros a demandar que a moral fosse
justificada pela razão.
As aprendizagens particulares de alguns sofistas e retóricos
são significativos para os princípios da lógica.
Per
P
exemplo,
l
Pitá
Pitágoras
f i o primeiro
foi
i i
a distinguir
di ti i
diferentes tipos de sentenças: Perguntas, Respostas,
Orações e Requisitos.
2
Como surge a Lógica
Sócrates, no Eutifrón diz que não é somente falar
das coisas q
que são p
piedosas e das q
que são ímpias
p mas
sobre a natureza única delas, isto é compreender:
As características distintivas da piedade faz com que toda a
coisa seja ou não piedosa.
A existência dum ideal de Piedade e Impiedade que sirva
de modelo para todas as coisas que sejam piedosas ou
ímpias.
Um pouco de História
Platão introduz a teoria das ideias ou
abstracções;
Aristóteles apresenta o raciocínio dedutivo e
sistematizado;
Euclides estabelece o método axiomático.
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Um pouco de História
Os tratados de lógica de Aristóteles (384(384
332 a.C.), conhecidos como Organón,
contêm o primeiro tratamento sistemático
das leis do pensamento relacionado com a
aquisição de conhecimento.
Um pouco de História
Originalmente,
Originalmente
argumentos nos
pelos humanos.
para demonstrar
como o seguinte:
a
lógica
lidou
com
idiomas naturais usados
Por exemplo, foi utilizado
a validade de argumentos
Todos os homens são mortais.
Sócrates é um homem.
Então, Sócrates é mortal.
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Um pouco de História
Alguns problemas ...
Ambiguidade da linguagem natural;
Paradoxos:
O paradoxo do mentiroso “Esta frase é falsa”;
Etc.
Etc
Posteriormente ...
Só no século XIX,
XIX a lógica formal é constituída
como ciência independente da filosofia,
 George Boole e Augustus De Morgan: as
fórmulas algébricas podem ser usadas para
expressar perfeitamente relações lógicas.
1847 – George Boole “The Mathematical Analysis
of Logic”
5
Posteriormente ...
Exemplo
a * (b +c) = (a*b) + (a*c) é similar a
a  (b  c) = (a  b)  ( a  c)
Posteriormente ...
Leibniz, “Ars
Leibniz
Ars combinatoria 1664
1664” no qual
sustenta a possibilidade de construir um idioma
simbólico artificial cuja estrutura representasse
o pensamento e permitisse liberar o estudo
lógico das incertezas da linguagem natural.
6
Posteriormente ...
B. Bolzano, Wissenschaftslehre (Teoria da ciência) 1837 e
Paradoxien des Unendlichen (Paradoxos do infinito) 1851.
Uma proposição é um objecto real cuja verdade ou
falsidade é independente do sujeito que os pensa; o
conceito de verdade é realmente objectivo, i.e., não é
epistémico nem psicológico.
Uma proposição é universalmente válida quando todas as suas
variantes são verdadeiras.
verdadeiras
Posteriormente ...
•Frege 1879,
1879 Begriffschriff (Notação Conceitual)
A lógica como linguagem das matemáticas
Este trabalho é a base fundacional da lógica
moderna, já que pela primeira vez é apresentado
um sistema de lógica totalmente formalizado.
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Posteriormente ...
Russell e Whitehead (Principia Mathematica)
Levar a cabo o programa fregeano de derivar a matemática da
lógica, mas evitando a aparição dos paradoxos que o mesmo
Russell tinha achado em Grundgesetze der Arithmetik (leis
fundamentais da aritmética) de Frege.
Hilbert, Grundlagen der Geometrie (Fundações da geometria)
Apresenta o termo metamatemática para referir a disciplina
que estuda
t d a linguagem
li
objecto
bj t da
d matemática.
t áti
Posteriormente ...
 O Primeiro Teorema de Incompletude de Gödel: Kurt
Gödel provou que um sistema formal que seja bastante
poderoso para formar proposições sobre o que pode ser
provado, sempre haverá proposições verdadeiras que o
sistema pode expressar mas não pode provar.
O Segundo Teorema de Incompletude de Gödel: Um
sistema formal que seja bastante poderoso para formar
declarações sobre aritméticas não pode provar a sua
própria consistência.
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Chega de Historia
Historia, vamos formalizar
Introdução
Sistema Formal
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Quê significa Formal?
Antes de falar do significado de formal
analisaremos a frase usada no título .
O que é que tento obter ou responder?
O que será aceite como resposta?
A pergunta
pergunta, é claro
claro, tem como objectivo
obter o significado da palavra Formal
Mas qual é o significado de “Significa”?
¿ Quê significa “Significa”?
Intuitivamente, obtiver o significado de algo
Intuitivamente
(signo) e procurar o “conceito” ou
“conteúdo nocional” desse algo
Objeto
Conceito
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Quê significa Formal?
 De acordo com o dicionário (da língua
espanhola, traduzido ao meu portunhol):
•
•
•
•
•
relativo a forma;
de acordo com as regras ou formalidades
genuíno,
í textual
t t l
terminante
categórico
Exemplos de coisas formais
Matemática
Xadrez, Damas
Um programa de computador
Um contrato
 t
etc.
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Formalismo
 Deve estar definido pôr regras que
controlam a situação e no devem existir
ambiguidades nem vazios de decisão.
 Sempre deve quedar perfeitamente
definida a validez de um movimento
 As
A regras não
ã devem
d
permitir
iti conflitos
flit
 Um formalismo e caracterizado pôr a
definição e o uso de regras não ambíguas
Sistema Formal
 conjunto de elementos carentes de
“conjunto
significado e dotado de regras explícitas que
estabelecem as suas relações”
Isso não quer dizer que não possamos
atribuir-lhe
t ib i lh algum
l
significado
i ifi d a seus termos
t
e
as suas fórmulas, nesse caso falamos que o
interpretamos.
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Sistema Formal: Componentes
Sintaxe
Teoria de prova
Semântica
Cálculo
Sintaxe
Regras bem definidas de formação da
linguagem.
Alfabeto: conjunto finito de símbolos abstractos.
Regras de formação: Regras que mostram como
combinar os elementos do alfabeto
Fórmulas (bem formadas): Combinações do
alfabeto a partir das regras de formação.
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Sintaxe
Exemplo:
 Alfabeto {a,*}
 Regras de formação:
1. a e uma fórmula bem formada (fbf)
2. Se X é uma fbf,, então *X é uma fbf
Pergunta: Quais não são fbf ?
a, *a, **a, *a*, *a*a
Teoria de Prova
Axiomas (ou postulados): Fórmulas bem
formadas que são admitidas sem
demonstração.
Regras de Inferência: Regras de
manipulação de fórmulas da linguagem para
obtenção de novas fórmulas.
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Teoria de Prova
Teorema: Uma fórmula que se deriva dos
axiomas mediante a aplicação de regras de
manipulação.
Demonstração: Processo pelo qual se
mostra
t que um teorema
t
se deriva
d i de
d um
conjunto de axiomas mediante a aplicação
de regras de manipulação
Semântica
Significação ou sentido das fórmulas da linguagem
Isto é, há um compromisso explícito na relação
dos símbolos da linguagem com o domínio.
Este compromisso semântico permite discutir a
adequação e a veracidade do conhecimento.
U cálculo
Um
ál l pode
d ter
t mais
i de
d uma semântica.
â ti
E possível que a semântica e a teoria de prova não
se adaptem.
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Interpretação
Uma interpretação proporciona um
significado para cada um dos símbolos de
um cálculo, de modo que toda fbf é
verdadeira ou falsa sob essa interpretação.
Uma interpretação é um modelo para um
conjunto S de fbf se toda fbf de S e
verdadeira baixo essa interpretação.
Propriedades de um Sistema Formal
Um sistema formal é:
consistente se o conjunto de seus axiomas não
conduz, aplicando as regras de transformação, a
teoremas contraditórios entre eles.
correcto se toda fbf demonstrável no sistema e
verdadeira em todas as interpretações
completo se toda fbf que é verdadeira em todas as
interpretações e demonstrável na teoria
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Propriedades de um Sistema Formal
Um sistema formal é:
Decidível: se existe um procedimento efectivo
mediante o qual, em um número finito de passos,
se determina se uma fórmula é ou não um
teorema da teoria.
Satisfatível se tem pelo menos uma interpretação
adequada, i.e., quando tem pelo menos um
modelo.
Exemplo:
Sintaxe:
Alfabeto: {a,b,c,d}
Regra de escrita: Toda fórmula deve incluir
pelo menos dois dos elementos
Axiomas
ab ac
ab,
Regra de inferência
Se X é teorema, aX é teorema
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