Capítulo 1 - Sistema SEI

CAPÍTULO 1 - LÓGICA
CONSTRUÇÃO AXIOMÁTICA DA CIÊNCIA
A linguagem da Ciência é construída a partir de Termos primitivos e Definições.
Termo primitivo é um vocábulo cujo significado não é descrito por outros vocábulos.
Definir é a ação de descrever o significado de um vocábulo a partir de outros vocábulos previamente definidos ou de
termos primitivos.
A introdução de novos vocábulos na Ciência será sempre feita a partir de termos primitivos ou de definições.
Proposição ou sentença matemática é uma afirmativa a qual se associa um único valor: verdadeiro ou falso, que
representaremos respectivamente por 1 ou 0.
Axioma é uma proposição cuja veracidade é assumida por definição e um Teorema é uma proposição cuja veracidade
deve ser verificada por meio de outros axiomas ou teoremas.
A matemática é construída por meio de Axiomas e Teoremas.
DEFINIÇÃO: A negação de uma proposição é uma nova proposição cujo valor é o oposto da original.
Então dada uma proposição p, temos:
p
p
0
1
1
0
DEFINIÇÃO: Conectivo é o elemento utilizado para unir duas proposições.
Os conectivos se dividem em primários e secundários.
Sejam p e q duas proposições, então:
CONECTIVOS PRIMÁRIOS
1) CONECTIVO “e” ( ∧ ):
p
q
p∧ q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
p
q
p∨ q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
2) CONECTIVO “ou” ( ∨ ):
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CONECTIVOS SECUNDÁRIOS
1) CONDICIONAL “se então” ( ⇒ ):
p
q
p⇒ q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
p
q
p⇔ q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2) CONDICIONAL “se e somente se” ( ⇔ ):
DEFINIÇÃO: Tautologia é uma proposição que assume apenas o valor verdadeiro.
Sejam p, q e r proposições, seguem as principais tautologias:
NEGAÇÃO DA NEGAÇÃO
1. p ⇔ p
COMUTATIVIDADE DO ˄ E DO ˅
2. p ∧ q ⇔ q ∧ p
3. p ∨ q ⇔ q ∨ p
ASSOCIATIVIDADE DO ˄ E DO ˅
4. p ∧ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∧ r
5.p ∨ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∨ r
DISTRIBUTIVIDADE
6. p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
7. p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )
NEGAÇÃO DO ˄ E DO ˅
8. p ∧ q ⇔ p ∨ q
9. p ∨ q ⇔ p ∧ q
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IMPLICAÇÃO LÓGICA
10. p ⇒ q ⇔ p ∨ q
11. p ⇒ q ⇔ q ⇒ p
12. p ⇒ q ⇔ p ∧ q
EQUIVALÊNCIA LÓGICA
13. p ⇔ q ⇔ p ⇔ q
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EXERCÍCIOS
NÍVEL A
ESCOLA NAVAL
R1. (EN 1998) Considere a proposição:
“Se x > 5 então y = 6”.
A proposição equivalente é
(A) “Se x < 5 então y ≠ 6”
(B) “Se y ≠ 6 então x < 5”
(C) “se y > 5 então x = 5”
(D) “Se y ≠ 6 então x ≤ 5”
(E) “Se x ≤ 5 então y ≠ 6”.
2. (EN 1994) A negação da proposição:
" x ≠ 3 e y < 2" ,
é:
(A) " x = 3
(B) " x = 3
(C) " x = 3
(D) " x ≠ 2
(E) " x ≠ 3
e y ≥ 2"
e y > 2"
ou y ≥ 2"
e y < 3"
ou y < 2" .
3. (EN 1992) Sabe-se que se x > 4 então y = 2 . Podemos daí concluir que:
(A) Se x < 4 então y ≠ 2 .
(B) Se x ≤ 4 então y ≠ 2 .
(C) Se y = 2 então x > 4 .
(D) Se y ≠ 2 então x ≤ 4.
(E) Se y ≠ 2 então x < 4.
NÍVEL B
ESCOLA NAVAL
R1. (EN 1989) Dada a proposição p ∧ (q ∨ r) ⇔ ( p ∧ q) ∨ (p ∧ r) podemos afirmar que é:
(A) logicamente falsa
(B) uma tautologia
(C) equivalente a ( p ∨ q) ⇔ r
(D) equivalente a ( p ⇔ q)V r
(E) equivalente a (p ∨ q ) ⇔
NÍVEL C
ITA
R1. (ITA 2002) Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos:
I. Se x > 4 e y < 2, então x2 – 2y > 12.
II. Se x > 4 ou y < 2, então x2 – 2y > 12.
III. Se x2 < 1 e y2 > 2, então x2 – 2y < 0.
Então, destas é (são) verdadeira(s)
(A) apenas I.
(B) apenas I e II.
(C) apenas II e III.
(D) apenas I e III.
(E) todas.
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