Equivalência Lógica e Interdefinibilidade dos

Resumos - Lógica - Prof. Ricardo P. Tassinari - Departamento de Filosofia - Unesp/Marília – 2012
EQUIVALÊNCIA LÓGICA
E
INTERDEFINIBILIDADE
DOS
CONECTIVOS CLÁSSICOS
Comecemos com a seguinte questão:
Quanto afirmamos as fórmulas A ∨ B e B ∨ A estamos afirmando a mesma coisa?
Notemos então que apesar de, do ponto de vista sintático, as fórmulas A ∨ B e B ∨ A serem diferentes, do ponto de vista semântico, como estamos interpretando até agora, elas
afirmam a mesma coisa, no sentido de que, se A ∨ B é verdadeira, então B ∨ A é verdadeira
e vice-versa.
Essa relação entre as fórmulas motiva a definição a seguir de equivalência lógica.
Definição. Dizemos que X é logicamente equivalente a Y se temos que:
se X é V, então Y é V e, inversamente, se Y é V, então X é V.
Notação. Vamos escrever X=Y para denotar que X é logicamente equivalente a Y.
Exemplos:
~~A = A
A∨B=B∨A
A∧A=A
(A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)
Notemos então que a equivalência lógica tem as seguintes propriedades.
Proposição (Propriedades da Equivalência Lógica).
(1) X = X (Reflexividade);
(2) Se X = Y, então Y = X (Simetria);
(3) Se X = Y e Y = Z, então X = Z (Transitividade).
Exercício. Mostre que a equivalência lógica tem as propriedades acima.
Definida então a equivalência lógica como no início dessa lição, podemos nos perguntar:
Será que existe um método para saber se duas fórmulas são logicamente equivalentes?
A proposição abaixo responde afirmativamente essa questão.
Proposição: Dadas duas fórmulas X e Y, temos que:
X = Y se, e somente se, a fórmula (X ↔ Y) é uma tautologia.
Exercício. Mostre que X ∨ Y = ~(~X ∧ ~Y).
Pela proposição anterior, basta mostrar que (X ∨ Y) ↔ ~(~X ∧ ~Y) é uma tautologia, o
que podemos ver pela tabela-verdade abaixo.
X Y (X ∨ Y) ↔ ~ (~X ∧ ~Y)
V V
V
V V F F F
V F
V
V V F F V
F V
V
V V V F F
F F
F
V F V V V
Notemos, na tabela-verdade acima, que sempre que X∨Y é V, ~(~X∧~Y) é V, e vice-versa
(como na definição de equivalência lógica) e que é isso que faz (X∨Y) ↔ ~(~X∧~Y) ser uma
tautologia. Notemos, na tabela-acima, que, inversamente, como (X∨Y) ↔ ~(~X∧~Y) é uma
tautologia, então X∨Y é V se, e somente se, ~(~X∧~Y) é V (equivalência lógica).
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Vemos então que a equivalência lógica permite expressar uma igualdade entre os sentidos das fórmulas.
Existe então vários aspectos interessantes que podem ser daí derivados.
Por exemplo, o exercício anterior mostra que afirmar X∨Y é equivalente a afirmar
~(~X∧~Y) e, nesse sentido, podemos expressar o conectivo ∨ apenas com os conectivos ∧ e
~.
Vamos então investigar, agora, a possibilidade de definir conectivos uns pelos outros.
Podemos nos perguntar:
Será que também podemos expressar o conectivo → apenas com os conectivos ∧ e ~?
O exercício a seguir mostra que sim.
Exercício. Mostre que X → Y = ~(X ∧ ~Y).
Por fim, também podemos expressar o conectivo ↔ em termos de ∧ e ~, conforme o
exercício a seguir.
Exercício. Mostre que X ↔ Y = (X → Y) ∧ (Y → X). Conclua, a partir deste resultado e
dos resultados dos exercícios anteriores, que os conectivos ∨, → e ↔ podem ser expressos
em termos apenas dos conectivos ∧ e ~ e que, assim, podemos reduzir os conectivos de nossa linguagem artificial à uma linguagem apenas com os conectivos ∧ e ~ sem perder poder
expressivo.
O exercício anterior mostra que podemos assumir a conjunção e a negação como noções
primitivas e, a partir daí, derivar delas todas as outras noções relativas a disjunção, impli cação e bicondicional. Em uma interpretação mais livre, podemos dizer, que da noção de simultaneidade e de negação, podemos derivar todas as outras noções lógicas (de alternativa,
de implicação, etc.).
Notemos, por fim, que característica expressa no exercício anterior não é apenas rela tiva a ∧ e ~, como podemos constatar pelos exercícios abaixo.
Exercício. Mostre que X ∧ Y = ~(~X ∨ ~Y) e X → Y = ~X ∨ Y e que, assim, podemos também reduzir os conectivos de nossa linguagem artificial à uma linguagem apenas com os co nectivos ∨ e ~ sem perder poder expressivo. Note, em especial, que X → Y = ~X ∨ Y é a definição que adotamos para a implicação na lição Conectivos e Tabelas-Verdade.
Exercício. Mostre que X ∨ Y = ~X → Y e que X ∧ Y = ~(X → ~Y). Conclua que podemos
reduzir os conectivos de nossa linguagem artificial à uma linguagem apenas com os conectivos → e ~ sem perder poder expressivo.