Lógica e Raciocínio - Universidade da Madeira

Lógica e Raciocínio
Universidade da Madeira
http://dme.uma.pt/edu/LeR/
Introdução
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Lógica
“... é a ciência que estuda os
princípios e aproximações para
estabelecer a validez da inferência
e demonstração: é a ciência dos
princípios formais do raciocínio.”
Como surge a Lógica
ÎOs retóricos e sofistas Gorgias, Hippias, Prodicus, e
Protagoras (Sec 5 B.C.). cultivaram a arte de defender ou
atacar uma tese pelo significado dos argumentos.
ÎOs sofistas foram os primeiros a demandar que a moral fosse
justificada pela razão.
ÎAs aprendizagens particulares de alguns sofistas e retóricos
são significativos para os princípios da lógica.
)Por exemplo, Pitágoras foi o primeiro a distinguir
diferentes tipos de sentenças: Perguntas, Respostas,
Orações e Requisitos.
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Como surge a Lógica
ÎSócrates, no Eutifrón diz que não é somente falar
das coisas que são piedosas e das que são ímpias mas
sobre a natureza única delas, isto é compreender:
)As características distintivas da piedade faz com que toda a
coisa seja ou não piedosa.
)A existência dum ideal de Piedade e Impiedade que sirva
de modelo para todas as coisas que sejam piedosas ou
ímpias.
Um pouco de História
ÎPlatão introduz a teoria das ideias ou
abstracções;
ÎAristóteles apresenta o raciocínio dedutivo e
sistematizado;
ÎEuclides estabelece o método axiomático.
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Um pouco de História
ÎOs tratados de lógica de Aristóteles (384332 a.C.), conhecidos como Organón,
contêm o primeiro tratamento sistemático
das leis do pensamento relacionado com a
aquisição de conhecimento.
Um pouco de História
ÎOriginalmente,
argumentos nos
pelos humanos.
para demonstrar
como o seguinte:
a
lógica
lidou
com
idiomas naturais usados
Por exemplo, foi utilizado
a validade de argumentos
)Todos os homens são mortais.
)Sócrates é um homem.
)Então, Sócrates é mortal.
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Um pouco de História
Alguns problemas ...
ÎAmbiguidade da linguagem natural;
ÎParadoxos:
)O paradoxo do mentiroso “Esta frase é falsa”;
)Etc.
Posteriormente ...
ÎSó no século XIX, a lógica formal é constituída
como ciência independente da filosofia,
Î George Boole e Augustus De Morgan: as
fórmulas algébricas podem ser usadas para
expressar perfeitamente relações lógicas.
1847 – George Boole “The Mathematical Analysis
of Logic”
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Posteriormente ...
Exemplo
a * (b +c) = (a*b) + (a*c) é similar a
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ ( a ∧ c)
Posteriormente ...
)Leibniz, “Ars combinatoria 1664” no qual
sustenta a possibilidade de construir um idioma
simbólico artificial cuja estrutura representasse
o pensamento e permitisse liberar o estudo
lógico das incertezas da linguagem natural.
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Posteriormente ...
B. Bolzano, Wissenschaftslehre (Teoria da ciência) 1837 e
Paradoxien des Unendlichen (Paradoxos do infinito) 1851.
Uma proposição é um objecto real cuja verdade ou
falsidade é independente do sujeito que os pensa; o
conceito de verdade é realmente objectivo, i.e., não é
epistémico nem psicológico.
Uma proposição é universalmente válida quando todas as suas
variantes são verdadeiras.
Posteriormente ...
•Frege 1879, Begriffschriff (Notação Conceitual)
A lógica como linguagem das matemáticas
Este trabalho é a base fundacional da lógica
moderna, já que pela primeira vez é apresentado
um sistema de lógica totalmente formalizado.
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Posteriormente ...
ÎRussell e Whitehead (Principia Mathematica)
Levar a cabo o programa fregeano de derivar a matemática da
lógica, mas evitando a aparição dos paradoxos que o mesmo
Russell tinha achado em Grundgesetze der Arithmetik (leis
fundamentais da aritmética) de Frege.
ÎHilbert, Grundlagen der Geometrie (Fundações da geometria)
Apresenta o termo metamatemática para referir a disciplina
que estuda a linguagem objecto da matemática.
Posteriormente ...
Î O Primeiro Teorema de Incompletude de Gödel: Kurt
Gödel provou que um sistema formal que seja bastante
poderoso para formar proposições sobre o que pode ser
provado, sempre haverá proposições verdadeiras que o
sistema pode expressar mas não pode provar.
ÎO Segundo Teorema de Incompletude de Gödel: Um
sistema formal que seja bastante poderoso para formar
declarações sobre aritméticas não pode provar a sua
própria consistência.
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ÎChega de Historia, vamos formalizar
Introdução
Sistema Formal
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Quê significa Formal?
ÎAntes de falar do significado de formal
analisaremos a frase usada no título .
ÎO que é que tento obter ou responder?
ÎO que será aceite como resposta?
ÎA pergunta, é claro, tem como objectivo
obter o significado da palavra Formal
ÎMas qual é o significado de “Significa”?
¿ Quê significa “Significa”?
Intuitivamente, obtiver o significado de algo
(signo) e procurar o “conceito” ou
“conteúdo nocional” desse algo
Objeto
Conceito
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Quê significa Formal?
Î De acordo com o dicionário (da língua
espanhola, traduzido ao meu portunhol):
•
•
•
•
•
relativo a forma;
de acordo com as regras ou formalidades
genuíno, textual
terminante
categórico
Exemplos de coisas formais
ÎMatemática
ÎXadrez, Damas
ÎUm programa de computador
ÎUm contrato
Îetc.
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Formalismo
Î Deve estar definido pôr regras que
controlam a situação e no devem existir
ambiguidades nem vazios de decisão.
Î Sempre deve quedar perfeitamente
definida a validez de um movimento
Î As regras não devem permitir conflitos
Î Um formalismo e caracterizado pôr a
definição e o uso de regras não ambíguas
Sistema Formal
Γconjunto de elementos carentes de
significado e dotado de regras explícitas que
estabelecem as suas relações”
ÎIsso não quer dizer que não possamos
atribuir-lhe algum significado a seus termos e
as suas fórmulas, nesse caso falamos que o
interpretamos.
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Sistema Formal: Componentes
ÎSintaxe
ÎTeoria de prova
ÎSemântica
Cálculo
Sintaxe
Regras bem definidas de formação da
linguagem.
ÎAlfabeto: conjunto finito de símbolos abstractos.
ÎRegras de formação: Regras que mostram como
combinar os elementos do alfabeto
ÎFórmulas (bem formadas): Combinações do
alfabeto a partir das regras de formação.
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Sintaxe
Exemplo:
Î Alfabeto {a,*}
Î Regras de formação:
1. a e uma fórmula bem formada (fbf)
2. Se X é uma fbf, então *X é uma fbf
Pergunta: Quais não são fbf ?
a, *a, **a, *a*, *a*a
Teoria de Prova
ÎAxiomas (ou postulados): Fórmulas bem
formadas que são admitidas sem
demonstração.
ÎRegras de Inferência: Regras de
manipulação de fórmulas da linguagem para
obtenção de novas fórmulas.
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Teoria de Prova
ÎTeorema: Uma fórmula que se deriva dos
axiomas mediante a aplicação de regras de
manipulação.
ÎDemonstração: Processo pelo qual se
mostra que um teorema se deriva de um
conjunto de axiomas mediante a aplicação
de regras de manipulação
Semântica
Significação ou sentido das fórmulas da linguagem
ÎIsto é, há um compromisso explícito na relação
dos símbolos da linguagem com o domínio.
ÎEste compromisso semântico permite discutir a
adequação e a veracidade do conhecimento.
ÎUm cálculo pode ter mais de uma semântica.
ÎE possível que a semântica e a teoria de prova não
se adaptem.
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Interpretação
ÎUma interpretação proporciona um
significado para cada um dos símbolos de
um cálculo, de modo que toda fbf é
verdadeira ou falsa sob essa interpretação.
ÎUma interpretação é um modelo para um
conjunto S de fbf se toda fbf de S e
verdadeira baixo essa interpretação.
Propriedades de um Sistema Formal
Um sistema formal é:
Îconsistente se o conjunto de seus axiomas não
conduz, aplicando as regras de transformação, a
teoremas contraditórios entre eles.
Îcorrecto se toda fbf demonstrável no sistema e
verdadeira em todas as interpretações
Îcompleto se toda fbf que é verdadeira em todas as
interpretações e demonstrável na teoria
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Propriedades de um Sistema Formal
Um sistema formal é:
ÎDecidível: se existe um procedimento efectivo
mediante o qual, em um número finito de passos,
se determina se uma fórmula é ou não um
teorema da teoria.
ÎSatisfatível se tem pelo menos uma interpretação
adequada, i.e., quando tem pelo menos um
modelo.
Exemplo:
ÎSintaxe:
)Alfabeto: {a,b,c,d}
)Regra de escrita: Toda fórmula deve incluir
pelo menos dois dos elementos
ÎAxiomas
)ab, ac
ÎRegra de inferência
)Se X é teorema, aX é teorema
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