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Introdução a computação
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Curso Superior de Tecnologia em Gestão da Tecnologia da
Informação
Coordenador: Emerson dos Santos Paduan
Autor(a): Daniel Gomes Ferrari
São Paulo - 2016
1
Sumário
1. Lógica Matemática ...................................................................................................... 3
1.1. Proposição ............................................................................................................................. 4
1.2. Conectivos Lógicos ............................................................................................................. 5
1.3. Tabelas Verdades ................................................................................................................ 6
1.4. Tautologias, Contradições e Contingências ............................................................. 10
2. Lógica Proposicional ................................................................................................ 12
2.1. Fórmulas .............................................................................................................................. 12
2.1.1. Ordem de precedência ................................................................................................ 11
2.1.2. Comprimento de fórmula ........................................................................................... 15
2.1.3. Subfórmulas .................................................................................................................... 15
2.2. Semântica ............................................................................................................................ 16
2.2.1. Interpretação .................................................................................................................. 17
2.2.2. Procedimentos para interpretar fórmulas ............................................................. 18
2.2.3. Tabela Verdade .............................................................................................................. 19
Bibliografia a ser acessada.......................................................................................... 20
Bibliografia Complementar ......................................................................................... 21
2
1. Lógica Matemática
A lógica ligada ao pensamento é um campo de estudo da Filosofia. Seus estudos iniciais são atribuídos ao filósofo Aristóteles (384-322 a.C.), considerado o
pai das Ciências. É bastante comum utilizarmos a lógica em nossas conversas
corriqueiras, como, por exemplo:
É lógico que eu vou ao teatro.
Se não parar de chover, não irei sair de casa.
Como você se preparou para a prova, é lógico que irá tirar uma boa
nota.
Agora, qual será a melhor definição para a palavra “lógica”? Para Aristóteles a
lógica representa as leis do pensamento (GERSTING, 2004), mas pensamentos
coerentes e racionais, não pensamentos desordenados ou confusos.
Na computação, a lógica deve ser utilizada para que um programa seja escrito
e funcione corretamente. Um programa é como uma receita, um passo a passo das tarefas que o computador deve realizar. Nas tarefas simples do dia a
dia, também utilizamos a lógica. Por exemplo, para escovar os dentes, devemos seguir alguns passos na ordem correta:
1.
Pegar a escova de dente
2.
Pegar o creme dental
3.
Abrir o tubo de creme dental
4.
Colocar creme dental na escova de dente
5.
Molhar a escova de dente na torneira
6.
Levar a escova à boca
Essa é a maneira lógica de executar a tarefa de escovar os dentes. Imagine
se em vez disso, você mudasse a ordem dos passos:
3
1.
Levar a escova à boca
2.
Abrir o tubo de creme dental
3.
Pegar a escova de dente
4.
Pegar o creme dental
5.
Molhar a escova de dente na torneira
6.
Colocar creme dental na escova de dente
Observe que os passos são exatamente os mesmos, mas a ordem está trocada. Se um programa de computador for escrito dessa forma, mesmo que os
comandos estejam corretos, certamente não irá funcionar. Por isso, vamos,
inicialmente, estudar as proposições lógicas. Elas são essenciais para a construção do raciocínio lógico.
1.1. Proposição
Proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Uma proposição representa uma sentença que
pode assumir o valor lógico verdadeiro ou falso. As proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s, ...). Veja:
Sentença
Valor Lógico
Símbolo
100 > 10
VERDADEIRO
p
A terra é quadrada.
FALSO
q
O fogo é gelado.
FALSO
r
O carvão é preto.
VERDADEIRO
s
Tabela 1 (Fonte: Autor)
Nem todas as sentenças são proposições, pois não possuem valor lógico. Por
exemplo:
Oi, tudo bem?
4
Você vai à praia?
A Lógica matemática adota duas regras fundamentais do pensamento, os dois
seguintes princípios:
1) PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
2) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição ou é verdadeira
ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro.
1.2. Conectivos Lógicos
Os conectivos lógicos são utilizados para conectar duas (ou mais) proposições
e, assim, formar as chamadas proposições compostas. Para verificar se uma
proposição composta é verdadeira ou falsa, devemos observar duas coisas: o
valor lógico das proposições componentes e o tipo de conectivo que as une.
Observe:
Sentença
Valor Lógico
Símbolo
Os cavalos têm quatro
patas.
VERDADEIRO
p
As focas gostam de
peixes.
VERDADEIRO
q
Tabela 2 (Fonte: Autor)
Usando as proposições simples (p, q), formamos proposições compostas como os conectivos e, ou, se... então. Conforme segue:
5
Proposição
Conectivo
Proposição
Proposição Composta
p
e
q
Os cavalos têm quatro patas E
as focas gostam de peixes.
p
ou
q
Os cavalos têm quatro patas
OU as focas gostam de peixes.
q
SE os cavalos têm quatro patas, ENTÃO as focas gostam de
peixes.
p
se...então
Tabela 3 (Fonte: Autor)
Na lógica matemática, cada conectivo é representado por um símbolo. Observe:
Conectivo Lógico
Significado
Símbolo
Negação
Não
-
Conjunção
E
^
Disjunção
Ou
v
Disjunção Exclusiva
Ou exclusivo
⊕
Condicional
Se...então

Bicondicional
Se, somente se

Tabela 4 (Fonte: Autor)
Para formular proposições compostas, sempre devemos utilizar um conectivo.
Observe:
(a b) → c : errado, falta o conectivo entre a e b;
(a  b) → c : correto.
1.3. Tabelas Verdades
Para avaliar proposições lógicas, utilizamos o recurso chamado tabelas verdade. Elas avaliam uma proposição em função de todas as entradas possíveis. A
quantidade de linhas de uma tabela verdade irá depender do número de proposições simples contidas na proposição composta, seguindo a seguinte regra:
6
Nº de linhas da Tabela Verdade = 2nº de proposições simples
Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela verdade terá 4 linhas, 22 = 4.
Podemos fazer a seguinte leitura, considerando as proposições simples como
variáveis e as proposições compostas como expressões:
Expressões
Número de
variáveis
Número de linhas da
tabela verdade
(a ^ b)
(a ^ b) ↔ c
2
3
22 = 4
23 = 8
(a ^ b) ↔ (c ^ d)
4
24 = 16
Tabela 5 (Fonte: Autor)
Na construção de uma tabela verdade, precisamos avaliar todas as possibilidades de valores para cada proposição simples. Observe:
a
b
a^b
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Tabela 6: Verdadeiro = V e Falso = F. (Fonte: Autor)
Existe uma tabela verdade para cada conectivo lógico. Assim, a tabela verdade
do conectivo lógico de Negação é simbolizada por −p (não p), e representada
do seguinte modo:
p
-p
V
F
F
V
Tabela 7 (Fonte: Autor)
Exemplificando:
p = Hoje está chovendo.
–p = Hoje não está frio.
7
As proposições compostas do tipo p  q são chamadas de conjunção: lê-se p e
q. Observe a tabela verdade:
p
q
p^q
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
Tabela 8 (Fonte: Autor)
Exemplificando:
p = Antônio é forte.
q = Antônio faz academia.
p  q = Antônio é forte e Antônio faz academia.
As proposições compostas do tipo p  q são chamadas de disjunção: lê-se p
ou q. Observe a tabela verdade:
p
q
pvq
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
Tabela 9 (Fonte: Autor)
Exemplificando:
p = Hoje vou à praia.
q = Hoje vou à escola.
p  q = Hoje vou à praia ou hoje vou à escola.
Representamos a disjunção exclusiva pelo símbolo , também chamada de ou
exclusivo e representada na tabela verdade da seguinte forma:
8
p
q
p⊕q
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
Tabela 10 (Fonte: Autor)
Exemplificando:
p = Marta é linda.
q = Marta é inteligente.
p  q = Ou Marta é linda ou Marta é inteligente.
Também podemos combinar as proposições: “se proposição p, então proposição q”, e a representamos através do símbolo . A denotação da preposição
composta é p  q (p implica q). Esse conectivo é chamado de condicional, ou
implicação. A tabela verdade da forma condicional é representada da seguinte
forma:
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
Tabela 11 (Fonte: Autor)
Exemplificando:
p = Hoje é feriado.
q = Hoje vou à praia.
p  q = Se hoje é feriado, então hoje vou à praia.
Temos também o conectivo bicondicional, ou equivalência, simbolizado por .
A expressão “p  q” é uma abreviatura de (p  q)  (q  p); dessa forma, a
tabela verdade é definida conforme abaixo:
9
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
Tabela 12 (Fonte: Autor)
Exemplificando:
p = João tirará boas notas na escola.
q = João é estudioso.
p ↔q = João tirará boas notas na escola, se e somente se for estudioso.
Em resumo, temos as seguintes tabelas verdades para os principais conectivos:
p
q
p^q
pvq
p⊕q
p q
pq
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
Tabela 13 (Fonte: Autor)
1.4. Tautologias, Contradições e Contingências
Os resultados das tabelas verdade podem ser classificados de acordo com
três critérios:
Tautologia: quando o resultado da tabela verdade apresenta apenas
valores verdadeiros (V).
Contradição: quando o resultado da tabela verdade apresenta apenas
valores falsos (F).
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Contingência: quando o resultado da tabela verdade apresenta valores
verdadeiros (V) e valores falsos (F).
Exemplo: seja p a proposição “faz Sol” e −p sua negação “não faz Sol”.
“faz Sol” ou “não faz Sol” é uma tautologia, pois o resultado da tabela verdade é
sempre verdadeiro.
p
-p
p v -p
V
F
F
V
V
V
Tabela 14 (Fonte: Autor)
“faz Sol” e “não faz Sol” é uma contradição, pois o resultado da tabela verdade
é sempre falso.
p
-p
p ^ -p
V
F
V
F
V
V
Tabela 15 (Fonte: Autor)
Se “faz Sol” então “não faz Sol” é uma contingência, pois o resultado da tabela
verdade possui valores verdadeiros e falsos.
p
-p
p  -p
V
F
V
F
V
V
Tabela 13 (Fonte: Autor)
11
2. Lógica Proposicional
A lógica proposicional é um formalismo matemático por meio do qual podemos abstrair a estrutura de um argumento, eliminando a ambiguidade existente na linguagem natural. Esse formalismo é composto por uma linguagem
formal e por um conjunto de regras de inferência que nos permitem analisar
um argumento de forma precisa e decidir a sua validade.
O alfabeto da Lógica proposicional é definido pelos símbolos a seguir:
Símbolos de pontuação: ( , )
Símbolos de verdade: true, false
Símbolos proposicionais: p, q, r, s, p1, q1, r1, s1, p2, q2, ...
O alfabeto da linguagem lógica proposicional é constituído de infinitos símbolos. Os conectivos proposicionais são símbolos utilizados também na lógica
matemática, com as seguintes denominações:
Símbolo
Significado
-
Não
^
E
v
Ou
⊕
Ou exclusivo

Se...então

Se, somente se
Tabela 14 (Fonte: Autor)
2.1. Fórmulas
A construção das fórmulas na lógica proposicional é feita através da concatenação dos símbolos do alfabeto, observando-se as seguintes regras:
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1)
Todo símbolo de verdade é uma fórmula.
2)
Todo símbolo proposicional é uma fórmula.
3)
Se p é uma fórmula, então (−p), a negação de p, é uma
fórmula.
4)
Se p e q são fórmulas, então (p  q) é uma fórmula. Esta fórmula é a disjunção das fórmulas p e q.
5)
Se p e q são fórmulas, então (p  q) é uma fórmula. Esta fórmula é a conjunção das fórmulas p e q.
6)
Se p e q são fórmulas, então (p  q) é uma fórmula.
Neste caso, p é o antecedente e q o consequente da
fórmula.
7)
Se p e q são fórmulas, então (p  q) é uma fórmula.
Neste caso, p é o lado esquerdo e q o lado direito da
fórmula.
As fórmulas mais elementares da Lógica Proposicional são os símbolos de
verdade e proposicionais. Utilizando as outras regras, é possível elaborar um
conjunto infinito de fórmulas a partir das duas primeiras. Os símbolos de pontuação são utilizados na formação das células.
Exemplo:
p, q e r são fórmulas;
a partir das fórmulas p e q, construímos a fórmula (p  q);
utilizando a fórmula (p  q) e r, temos a seguinte fórmula: ((p  q)  r)
Seguindo esse raciocínio podemos criar infinitas fórmulas.
Notação: Os parênteses podem ser omitidos, caso essa omissão não cause
problemas na interpretação da fórmula. Observe:
13
(((p  r) → s)  (q  s))
Pode ser reescrita como:
(p  r) → s ↔ q  s
2.1.1. Ordem de precedência
Assim como na matemática, na lógica proposicional os conectivos têm uma
ordem de precedência – a utilização dessa ordem permite a simplificação das
fórmulas com a eliminação de símbolos de pontuação. Ordem de precedência
dos conectivos proposicionais:
Maior precedência: −
Precedência intermediária: , 
Menor precedência: , 
Exemplificando:
Os conectivos ,  não possuem precedência de um sobre o outro, então na
seguinte fórmula há duas interpretações distintas:
pqr
((p  q)  r) ou ((p  (q  r))
Além da precedência, existem as regras de associatividade, que servem para
definir a prioridade na fórmula para conectivos de mesma precedência:
Conectivos associativos à esquerda: , 
Conectivos associativos à direita: , 
Exemplo:
14
pqr
fica como
(p  q)  r
pqr
fica como
p  (q  r)
2.1.2. Comprimento de fórmula
O comprimento de uma fórmula proposicional h, denotado por comp [h], é
definido da seguinte forma:
Se h é um símbolo proposicional ou de verdade, então comp [h] = 1
Se h e g são fórmulas da lógica proposicional, então:
comp [−h] = comp [h] +1
comp [h  g] = comp [h] + comp [g] + 1
comp [h  g] = comp [h] + comp [g] + 1
comp [h  g] = comp [h] + comp [g] + 1
comp [h  g] = comp [h] + comp [g] + 1
Os símbolos de pontuação não são considerados no cálculo do comprimento.
O comprimento da fórmula é obtido contando os símbolos proposicionais, os
de verdade e os conectivos.
Exemplificando: nas fórmulas: (p  q) e ((p  q)  r), o comprimento é 3 e 5,
respectivamente.
2.1.3. Subfórmulas
Uma subfórmula é um pedaço de uma fórmula, um conjunto formado de subfórmulas. Contém todos os pedaços válidos dessa fórmula, inclusive ela mesma. Observe:
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Sendo h uma fórmula, uma subfórmula de h é definida por: h é uma subfórmula de h.
Se h = (−g), então g é uma subfórmula de h.
Se h é uma fórmula do tipo: (p  q), (p  q), (p  q) ou (p  q), então p e q são
subfórmulas de h.
Se g é subfórmula de h, então toda subfórmula de g é subfórmula de h.
2.2. Semântica
É na semântica da lógica proposicional que se associa a cada objeto sintático
um significado. O resultado da fórmula (p  q) somente pode ser considerado
verdadeiro ou falso quando atribuímos significado a p e q. Observe:
p = “Está chovendo”.
q = “A rua está molhada”.
Considerando o conectivo “” com o significado de inclusão dos fatos, para a
fórmula ser verdadeira, os significados de p e q devem ser verdadeiros. No
caso, isso irá depender das condições climáticas do dia, que irão determinar o
valor falso ou verdadeiro para p. Indicamos da seguinte forma:
I[p] = V ou I[p] = F
e também se
I[q] = V ou I[q] = F
No caso em que I[p] = V, I[q] = F e  é interpretado como conjunção dos fatos,
então: I[(p  q)] = F.
Se modificarmos o significado de p e q, podemos obter outros resultados.
Observe:
16
p = “Há dez reais no cofre”.
q = “NÃO há dez reais no cofre”.
Dessa forma, a fórmula (p  q) é falsa e a fórmula (p  q) é verdadeira. Os símbolos sintáticos, que, neste caso, estão associados a significados semânticos,
definem as fórmulas.
2.2.1. Interpretação
A lógica proposicional clássica é denominada lógica bivalente. Isso porque as
suas fórmulas possuem somente dois valores, o “verdadeiro” e o “falso”.
O significado ou semântica dos elementos sintáticos da linguagem da lógica
proposicional é determinado por uma função I (função binária total) denominada interpretação.
Definição (função binária): uma função é binária e seu contradomínio possui
apenas dois elementos.
Definição (interpretação): uma interpretação I, na Lógica Proposicional, é uma
função binária tal que:
O domínio de I é constituído pelo conjunto das fórmulas da lógica
proposicional;
O contradomínio de I é o conjunto {V,F};
O valor da interpretação I, tendo como argumentos os símbolos de
verdade é dado por I[true] = V e I[false] = F;
Dado um símbolo proposicional p, então I[p] E {V,F}
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A interpretação das fórmulas na lógica proposicional é feita seguindo um conjunto de regras semânticas, obtidas a partir dos significados dos símbolos
proposicionais, dos de verdade e dos conectivos proposicionais.
2.2.2. Procedimentos para interpretar fórmulas
Dada a fórmula p e uma interpretação I, então o significado de s, indicado por
I[p], é determinado pelas regras:
Se p = q, onde q é um símbolo proposicional, então I[p] = I[q], e I[q] E {V,F}.
Se p = true, então I[p] = I[true] = V.
Se p = false, então I[p] = i[false] = F.
Sejam h e g duas fórmulas.
Se p = −h, então I[p] = I[−h] = V se I[h] = F, e I[p] = I[−h] = F se I[h] = V.
Se p = (h  g), então I[p] = I[h  g] = V se I[h] = V e/ou I[g] = V,
e I[p] = I[h  g] = F se I[h] = F e I[g] = F.
Se p = (h  g), então I[p] = I[h  g] = V se I[h] = V e I[g] = V,
e I[p] = I[h  g] = F se I[h] = F e/ou I[g] = F.
Se p = (h  g), então I[p] = I[h  g] = V se I[h] = F e/ou I[g] = V,
e I[p] = I[h  g] = F se I[h] = V e I[g] = F.
Se p = (h  g), então I[p] = I[h  g] = V se I[h] = I[g],
e I[p] = I[h  g] = F se I[h] ≠ I[g].
18
2.2.3. Tabela Verdade
As regras semânticas também podem ser representadas por tabelas verdade.
As tabelas verdade associadas aos conectivos proposicionais já foram vistas no
item 1.3 desta unidade. Vamos ver uma tabela verdade associada a uma fórmula. Observe:
h = (−p  q)  (q  p)
p
q
-p
-pvq
q^p
h
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
Tabela 15 (Fonte: Autor)
19
Bibliografia a ser acessada:
Livro: Fundamentos de Informática – Lógica para Computação, Capítulo 1
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-21980/cfi/18!/4/2@100:0.00
20
Referências bibliográficas
ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel,
2002.
GERSTING, J. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. São
Paulo: LTC Editora, 2004.
SOUZA, João Nunes de. Lógica para ciência da computação: fundamentos da
linguagem, semântica e sistemas de duração. Rio de Janeiro: Elsevier, 2002.
BARBIERI FILHO, P.; HETEM Jr., A. Fundamentos de Informática – Lógica para
Computação. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2013. (Biblioteca virtual: Minha
Biblioteca).
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