Introduç˜ao `a ´Algebra Linear

Universidade de Brası́lia
Departamento de Matemática
Introdução à Álgebra Linear
Módulo 3 – Gabaritos – Lista 4
2.o /2013
1) Considere a matriz A indicada abaixo e o subespaço W = col(A) ⊂ R4 . O complemento ortogonal
de W é o subespaço W ⊥ = {u ∈ R4 ; hu, vi = 0 ∀ v ∈ W }, isto é, o conjunto dos vetores que são
ortogonais a W . O subespaço W ⊥ pode ser estudado notando que col(A) = lin(AT ). Indique então
por α = {v1 , . . . , vj } uma base de W e por β = {u1 , . . . , uk } uma base de anul(AT ).


1
−2
2
−3
A=
C E
C E
1
0
2
−1
−1
2
−2
3
0
4
0
4
2
4
1
5
      
0
0 
 3
0
1
0
a) Calculando obtém-se que α pode ser escolhida como sendo α =  0  0 3 .


−13
1
5
T
b) dim anul(A ) = 5 − 3.
C E
c) Para todo v ∈ W e todo u ∈ anul(AT ) tem-se que hv, ui = 0 .
C E
d) α ∪ β não é base de R4 .
C E
e) W ⊥ = anul(AT ).
2) Seja α = {v1 , v2 , v3 } a base de R3 dada por v1 = [1, 1, 0], v2 = [3, 4, 2] e v3 = [0, 3, 3], e considere
o problema de obter uma base ortogonal β = {w1 , w2 , w3 } e de modo que w1 = v1 . Em seguida, é
fácil contruir uma base ortonormal γ = {u1 , u2 , u3 } apenas normalizando a base β.
v3
a) Calcule a projeção ortogonal de v2 sobre w1 .
Resposta:
v2
v1
projeção = hv2 , w1 i kww11k2 = 72 [1, 1, 0].
b) Use o item anterior para obter um vetor w2 ∈ ger(w1 , v2 ) e tal
que hw2 , w1 i = 0.
Resposta:
w2 = v2 − hv2 , w1 i kww11k2 = 12 [−1, 1, 4].
c) Calcule a projeção ortogonal de v3 sobre o subespaço ger(w1 , w2 ).
Resposta:
projeção= hv3 , w1 i kww11k2 + hv3 , w2 i kww22k2 = 13 [2, 7, 10].
d) Use o item anterior para obter um vetor w3 tal que hw3 , w1 i = hw3 , w2 i = 0 .
Resposta: w3 = v3 − hv3 , w1 i kww11k2 + hv3 , w2 i kww22k2 = 31 [−2, 2, −1].
e) Obtenha agora a base γ. Em seguida, calcule as coordenadas de u = [3, −1, 2] na base γ.
Resposta:
u = hu, u1 iu1 + hu, u2 iu2 + hu, u3 iu3 =
Introdução à Álgebra Linear
√2 u1
2
+
4
√
u
3 2 2
−
10
3 u3 .
Módulo 3 – Gabaritos – Lista 4
2.o /2013 – 1/2
3) Considere a forma quadrática q(x, y, z) = x2 + z 2 − 2xy − 2yz e o problema de determinar se essa
forma é positiva definida (ou semidefinida),
negativa definida (ou semidefinida) ou indefinida. Para
x
y
z
isso é importante notar que, para v =
e uma matriz simétrica A, tem-se q(v) = hAv, vi = v T Av.
a) Obtenha a matriz simétrica A de forma que q(v) = v T Av.
Resposta: A =
1
−1
0
−1
0
−1
0
−1
1
.
b) Calcule os autovalores e os autovetores da matriz A.
Resposta: autovalores λ1 = 1, λ2 = 2 e λ3 = −1 com autovetores v1 =
−1
0
1
, v2 =
1
−1
1
e v3 =
1
2
1
.
c) Obtenha uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D de modo que AP = P D.
Resposta: P =
√
1/√3
−1/√3
1/ 3
√
−1/ 2
0√
1/ 2
√
1/√6
2/√6
1/ 6
eD=
1
0
0
0
2
0
0
0
−1
.
hr i
d) Indicando por u = s a mudança de variáveis u = P T v, obtenha a expressão da forma
t
quadrática q nas novas variáveis r, s e t.
Resposta: q(v) = v T (P DP T )v = uT Du = r2 + 2s2 − t2 .
e) Decida se a forma quadrática é positiva definida (ou semidefinida), negativa definida (ou
semidefinida) ou indefinida.
Resposta: a forma é indefinida.
√
4) Em um sistema de coordenadas apropriado, a equação quadrática x2 + y 2 − 2xy + 4 2x − 4 = 0
corresponde ou a uma elipse, ou a uma hipérbole ou a uma parábola. Esse sistema apropriado pode
ser obtido com os passos indicados
sabaixo, ez permite inclusive esboçar o gráfico da equação. Para
x
isso, use as notações v = y , r = t e u = w .
a) Obtenha uma matriz simétrica A2×2 e outra matriz B1×2 de modo que a equação possa ser
escrita na formah v T Avi+ Bv − 4 = 0.
Resposta: A =
1
−1
−1
1
e B = [4
√
2
0
].
b) Obtenha uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D de modo que AP = P D.
Resposta: P =
h
√
1/√2
1/ 2
i
√
−1/√2
1/ 2
eD=
h
0
0
i
0
2
c) Observe que, com a mudança de coordenadas r = P T v, tem-se que v = P r, uma
vez que
s
T
−1
P = P . Use essa informação para escrever a equação nas coordenadas r = t .
Resposta: 0 = rT Dr + BP r − 4 = 2t2 − 4t + 4s − 4.
d) Completando quadrados na equação do item anterior, decida se a equação corresponde a uma
elipse, a uma hipérbole ou a uma paráboa.
Resposta: nas variáveis z = s −
3
2
e w = t − 1, a equação é z = − 21 w2 , que é uma parábola.
e) Esboce o gráfico da equação nas coordenadas x e y.
w
y
z
Resposta:
x
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2.o /2013 – 2/2