O Uso de Programação Semidefinida para Melhores

O Uso de Programação Semidefinida para Melhores Planos de
Corte de Programação Inteira 0/1: O Caso dos Métodos
Lift-and-Project
Dênis Emanuel da Costa Vargas,
Sérgio Ricardo de Souza.
Depto de Pesquisa e Pós-Graduação, DPPG, CEFET-MG,
30510-000, Belo Horizonte, MG
E-mail: [email protected],
Um problema de programação semidefinida é um
problema de otimização no qual a variável é uma
matriz simétrica semidefinida positiva. Dois fatores
motivam o estudo da programação semidefinida. O
primeiro é a sua aplicação em diversas áreas e o
segundo, o aspecto computacional associado.
Seja K o conjunto das soluções factı́veis do problema linear inteiro 0/1 relaxado para o <n . Os
métodos lift-and-project consistem em representar
o politopo P = convex hull {K ∪ {0 , 1}n } como a
projeção de um outro politopo R, encontrado em
um espaço de maior dimensão que a dimensão do
politopo inicial. A questão que se apresenta é como
formular o politopo R, de tal modo que sua projeção
tenha apenas soluções factı́veis inteiras 0/1. Os
principais métodos para a construção de R são:
[email protected].
• Método de Lasserre [4], que gera o politopo
Pt (K) construı́do por relaxações semidefinidas
e projetando, em <n , o politopo Qt (K). Com
n iterações, tem-se que P = Qn (K).
A comparação desses métodos, apresentada em
[5], mostra que a relação de inclusõ Qt (K) ⊆
N+t (K) ⊆ St (K) ⊆ N t (K)Pj1 ,...,jt (K) é satisfeita,
determinando, assim, que politopos definidos por
relaxações semidefinidas geram planos de corte melhores do que os politopos formados por relaxações
lineares.
Referências
[1] E. Balas. S. Ceria. G. Cornuéjols. A lift-andproject cutting plane algorithm for mixed 01 programs. Mathematical Programming. Vol.
58 : 295–324. 1993.
• Método BCC, conhecido como lift-andproject para BCC [1].
O método constrói R = Mj (K) baseado em relaxações
lineares.
O ı́ndice j significa que os ve- [2] H. Sherali. W. Adams. A hierarchy of relaxations and convex hull representations for
tores da projeção Pj (K) terão entradas
mixed integer zero-one programming problems.
xj ∈ {0, 1}. Fazendo a¡ iteração definida
¢
Discrete Applied Mathematics. Vol. 52 : 83–
por Pj1 ,...,jt (K) = Pjt Pjt−1 ... (Pj1 (K)) ,
106. 1994.
encontra-se P = Pj1 ,...,jn (K) em n iterações.
• Método SA, conhecido como Técnica de Re- [3] L.Lovász. A. Schrijver. Cones of matrices
and set-functions and 0-1 optimization. SIAM
formulação e Linearização para SA [2]. Ele
Journal on Optimization . Vol. 1:166–190.1991.
gera um politopo R = Rt (K) através de ren
laxações lineares. A projeção St (K) em < sa- [4] J.B. Lasserre. An explicit exact SDP relaxation
tisfaz P ⊆ . . . ⊆ St+1 (K) ⊆ St (K) ⊆ . . . ⊆ K
for nonlinear 0-1 programs. IPCO. Lecture
e P = Sn (K). Também pode-se escrever R =
Notes in Computer Science. Vol. 2081:293–
Rt (K) com relaxações semidefinidas, levando
303.2001.
ao mesmo politopo St (K).
[5] M.Laurent, F.Rendl. Semidefinite Program• Método LS, conhecido como Cortes de Maming and integer programming. Probabiltrizes para LS [3]. Esse método gera o poliity, Networs and Algorithms, Centrum voor
topo N (K) como a projeção de R = M(K)
Wiskunde en Informatica. 2002.
através de relaxações lineares e N+ (K) como a
projeção do politopo R = M+ (K) através de
relaxações semidefinidas, fazendo com que P =
N n (K) ou P = N+n (K). Pode-se provar que
N+t (K) ⊆ N t (K), mostrando que relaxações
semidefinidas geram planos de corte melhores
que relaxações lineares nesse método.