Expansão linear e geradores

Espaços Vectoriais - ALGA - 2004/05
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Expansão linear e geradores
Se u1 ; u2 ; :::; un são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de
V são combinação linear de u1 ; u2 ; :::; un e outros não. O conjunto de todas as combinações
lineares de um determinado de conjunto de vectores forma um subespaço vectorial de V :
Teorema: Se u1 ; u2 ; :::; un são vectores de um espaço vectorial real V; então:
1. O conjunto W de todas as possíveis combinações lineares de u1 ; u2 ; :::; un é um subespaço vectorial de V:
2. W é o "menor" subespaço de V que contém u1 ; u2 ; :::; un ; querendo isto dizer que, se
W 0 é outro subespaço vectorial de V que contenha u1 ; u2 ; :::; un ; então W
W 0:
De…nição: Seja V um espaço vectorial real e u1 ; u2 ; :::; un vectores de V . O subespaço W
de…nido no teorema anterior, isto é, o subespaço
W =f
1 u1
+
2 u2
+ ::: +
n un
:
1;
2 ; :::;
n
2 Rg
chama-se expansão linear dos vectores u1 ; u2 ; :::; un ou subespaço vectorial gerado pelos vectores
u1 ; u2 ; :::; un e representa-se por hu1 ; u2 ; :::; un i. Os vectores
u1 ; u2 ; :::; un dizem-se um sistema de geradores de W:
Exemplos:
1. R3 = h(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)i, ou seja, os vectores (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) e (0; 0; 1) formam um sistema de geradores para o espaço vectorial R3 :
2. Mais geralmente, o sistema [(1; 0; 0; :::; 0) ; (0; 1; 0; :::; 0) ; (0; 0; 1; :::; 0) ; :::; (0; 0; 0; :::; 1)]
de n vectores de Rn é um sistema de geradores de Rn .
3. O subespaço vectorial de R3 ; F = f(x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 : x1
gerado por
1 1
; ;1
2 2
; isto é, F =
1 1
; ;1
2 2 (
a solução geral do sistema de equações
x2 = 0 e 2x1
x3 = 0g é
: Para calcular este gerador, basta encontrar
x1 x2 = 0
:
2x1 x3 = 0
4. Os polinómios 1; x; x2 ; : : : ; xn formam um sistema de geradores para Rn [n] :
5. Para (0; 0; 1; 0) e (0; 0; 0; 1) em R3 ; veri…ca-se que
h(0; 0; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)i =
=f
1
(0; 0; 1; 0) +
2
(0; 0; 0; 1) :
1;
(1)
2
2 Rg =
= (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) 2 R4 : x1 = x2 = 0 :
(2)
(3)
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Observações:
1. As expressões (1), (2) e (3) do exemplo 5 mostram diferentes formas de representar
um subespaço vectorial.
2. Um subespaço vectorial admite muitos sistemas de geradores diferentes. No exemplo
2 veri…ca-se que
1 1
; ;1
2 2
F =
= h(1; 1; 2)i = h(1; 1; 2) ; (0; 0; 0)i =
1 1
; ; 1 ; (1; 1; 2) ; (0; 0; 0) :
2 2
3. Um espaço vectorial que admita um número …nito de geradores diz-se …nitamente
gerado.
4. Nem todos os espaços vectoriais são …nitamente gerados. Dos espaços estudados até
agora, nem R [x] ; nem F (R) são …nitamente gerados.
Bases e dimensão de um espaço vectorial
Se V é um espaço vectorial real, F um subespaço de V e u1 ; u2 ; :::; uk vectores de F , diz-se
que o sistema de vectores [u1 ; u2 ; :::; uk ] é uma base de F se:
(i) F = hu1 ; u2 ; :::; uk i ;
(ii) o sistema [u1 ; u2 ; :::; uk ] é linearmente independente.
Exemplos:
1. Como o sistema de geradores de Rn [(1; 0; 0; :::; 0) ; (0; 1; 0; :::; 0) (0; 0; 1; :::; 0) ; ::: (0; 0; 0; :::; 1)]
é linearmente independente, é uma base de Rn ; a que se chama base canónica de Rn .
2. O sistema de vectores [(1; 1; 1) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)] de R3 é uma base de R3 :
22
3
2
3
2
3
2
1 ::: 0
0 ::: 1
0 ::: 0
0 :::
66 .
7
6 .
7
6 .
7
6 .
.
.
.
6 .
.. 7 ; :::; 6 ..
.. 7 ; :::; 6 ..
.. 7 ; :::; 6 ..
3. O sistema 6
44 .
5
4
5
4
5
4
0 ::: 0
0 ::: 0
1 ::: 0
0 :::
m n vectores de Mm n (R) é uma base de Mm n (R) ; a que se chama base
de Mm
n
33
0
7
.. 7
7
. 7
55 de
1
canónica
(R).
4. Como o sistema de geradores de Rn [x] formado pelos polinómios 1; x; x2 ; : : : ; xn é
linearmente independente, é uma base de Rn [n] ; a que se chama base canónica de
Rn [x] :
5. O subespaço vectorial de R3 ; F = f(x1; x2 ; x3 ) 2 R3 : x1
como base, por exemplo, o sistema
1 1
; ;1
2 2
.
x2 = 0 e 2x1
x3 = 0g tem
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Os seguintes dois teoremas são fundamentais quando se estudam espaços vectoriais que
admitem um sistema …nito de geradores.
Teorema: Qualquer espaço vectorial …nitamente gerado tem uma base.
Observação: Tendo um sistema de geradores de um espaço vectorial …nitamente gerado,
para obter uma base basta retirar do sistema de geradores os vectores que "estragam"
a independência linear. Isto faz-se identi…cando no sistema os vectores que se podem
escrever como combinação linear dos restantes e retirando-os até se obter um sistema
de geradores linearmente independente.
Teorema: Num espaço vectorial …nitamente gerado todos as bases têm o mesmo número
de vectores.
A partir do teorema anterior de…ne-se dimensão de um espaço vectorial …nitamente gerado
V como sendo o número de vectores de uma base e representa-se esse número por dim (V ).
Considera-se que o espaço vectorial nulo tem dimensão 0.
Exemplos:
1. Para n 2 N; o espaço vectorial Rn tem uma base com n vectores, logo dim (Rn ) = n.
2. Para m; n 2 N, o espaço vectorial Mm
dim (Mm
n
n
(R) tem uma base com mn vectores, logo
(R)) = mn.
3. Para n 2 N; o espaço vectorial Rn [n] tem uma base com n + 1 vectores, logo
dim (Rn [n]) = n + 1
4. Se A e uma matriz de ordem n;
um seu valor próprio e U o subespaço próprio
associado ao valor próprio ; então dim (U ) é a multiplicidade geométrica de .
5. A dimensão do espaço nulo de uma matriz Am
do sistema AX = 0; que é n
n
é dada pelo grau de indeterminação
car (A) :
Saber a dimensão de um espaço vectorial permite tirar conclusões práticas importantes:
Proposição: Seja V um espaço vectorial real de dimensão n. Então:
1. Qualquer sistema de vectores de V com mais de n vectores é linearmente dependente.
2. Qualquer sistema linearmente independente com n vectores é uma base de V .
3. Qualquer sistema de geradores de V com n vectores é uma base de V .
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Pode-se ainda relacionar a dimensão de um espaço vectorial com a dimensão dos seus subespaços vectoriais:
Proposição:
1. Se V é um espaço vectorial de dimensão n e F é um seu subespaço vectorial, então F
é também …nitamente gerado e dim (F )
dim (V ).
2. Se V é um espaço vectorial de dimensão n e F é um seu subespaço vectorial tal que
dim (F ) = dim (V ), então F = V .
Coordenadas de um vector relativamente a uma base
Se V é um espaço vectorial e B = [u1 ; u2 ; : : : ; un ] é uma base de V; cada vector de V escreve-se de forma única como combinação linear dos vectores de B; isto é, cada vector de v 2 V
escreve-se de modo único na forma
v = a1 u 1 + a2 u 2 +
+ an un ; com a1 ; a2 ; : : : ; an 2 R.
Aos coe…cientes a1 ; a2 ; : : : ; an desta combinação linear chamam-se coordenadas do vector
v relativamente à base B: Como estas coordenadas são únicas, …xando uma base de
um espaço vectorial, pode-se "identi…car" cada vector do espaço com o n-uplo das suas
coordenadas, isto é, com um vector de Rn : Isso pode-se representar, por exemplo, na forma:
v 7! (a1 ; a2 ; : : : ; an )B
Exemplos:
1. O vector (1; 1; 2) tem coordenadas 1; 1; 2 relativamente à base canónica de R3 .
2. O mesmo vector (1; 1; 2) tem coordenadas (1; 0; 1)B
relativamente à base
3
B = [(1; 1; 1) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)] de R :
3. Ainda o mesmo vector (1; 1; 2) ; considerado agora como elemento do subespaço
F = f(x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 : x1
mente à base B =
"
2
4. O vector
4
""
# "
1 0
B=
;
0 0
5. O vector 5
de R3 [x] :
1 1
; ;1
2 2
5
x2 = 0 e 2x1
x3 = 0g ; tem coordenadas (2)B relativa-
de F:
#
tem coordenadas (2; 5; 4; 3)B relativamente à base
# "
# "
##
0 1
0 0
0 0
;
;
de M2 2 (R).
0 0
1 0
0 1
3
2x + 3x3 tem coordenadas (5; 2; 0; 3)B relativamente à base [1; x; x2 ; x3 ]
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Utilização de matrizes no estudo de espaços vectoriais
As linhas de uma matriz do tipo m
n podem ser identi…cadas com vectores de Rn : Quando
se efectua uma operação elementar de tipo II ou III sobre as linhas de uma matriz substitui-se uma linha por uma combinação linear de linhas. Quando, no decorrer do método de
eliminação de Gauss uma linha é anulada, signi…ca que essa linha é combinação linear das
restantes, ou seja, que o sistema de vectores formado pelas linhas da matriz é linearmente
dependente.
Sendo u1 ; : : : ; uk um sistema de vectores de vectores de Rn ; pode-se formar a matriz A do
tipo k
n cujas linhas são esses vectores. Calculando a característica dessa matriz pode-se
concluir que:
(i) Se car (A) < k; o sistema de vectores [u1 ; : : : ; uk ] é linearmente dependente.
(ii) Se car (A) = k; o sistema de vectores [u1 ; : : : ; uk ] é linearmente independente.
(iii) Se car (A) = t, t
k; então t é a dimensão do subespaço vectorial gerado por u1 ; : : : ; uk ,
isto é dim hu1 ; : : : ; uk i = car (A) :
(iv) Quando a matriz A está em forma de escada, as linhas que não foram anuladas correspondem a vectores de uma base de hu1 ; : : : ; uk i :
Exemplo: Considere-se o sistema [(1; 1; 2; 1) ; (2; 1; 1; 2) ; ( 1; 2; 1; 1)] de R4 : Forma-se a
3
2
1
1 2
1
7
6
matriz de tipo 3 4; A = 4 2
1 1
2 5 : Aplicando o método de eliminação
1
2 1
1
3
2
1
1
2 1
7
6
de Gauss a A chega-se à forma de escada A0 = 4 0
3
3 0 5 : Pode-se então
0
0
0 0
concluir:
(i) O sistema [(1; 1; 2; 1) ; (2; 1; 1; 2) ; ( 1; 2; 1; 1)] é linearmente dependente.
(ii) dim h(1; 1; 2; 1) ; (2; 1; 1; 2) ; ( 1; 2; 1; 1)i = 2
(iii) Uma base para o subespaço h(1; 1; 2; 1) ; (2; 1; 1; 2) ; ( 1; 2; 1; 1)i é formada pelos
vectores (1; 1; 2; 1) e (2; 1; 1; 2) :
Este método pode ser utilizado para vectores que não pertençam a Rn ; desde que sejam
vectores de um espaço …nitamente gerado. Para isso …xa-se uma base do espaço (sempre
que possível uma base canónica, para facilitar os cálculos) e determinam-se as coordenadas,
relativamente a essa base, dos vectores com os quais se está a trabalhar. Essas coordenadas
correspondem a vectores de Rn (sendo n a dimensão do espaço), com os quais se pode, então
formar uma matriz e aplicar o procedimento descrito atrás.
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Exemplos:
1. Considere-se o sistema [1 + x + 2x2 + x3 ; 2
x + x2 + 2x3 ; 1 + 2x + x2
x3 ] de R3 [x] :
Estes vectores, relativamente à base canónica de R3 [x] ; B = [1; x; x2 ; x3 ] ; têm coordenadas:
1 + x + 2x2 + x3 7! (1; 1; 2; 1)B
2
x + x2 + 2x3 7! (2; 1; 1; 2)B
1 + 2x + x2
x3 7! ( 1; 2; 1; 1)B
2
6
Identi…cadas as coordenadas, forma-se a matriz A = 4
2
1
6
como vimos atrás, a forma de escada A0 = 4 0
0
que:
(i) O sistema [1 + x + 2x2 + x3 ; 2
1
3
0
1
1 2
2
1 1
1
2 1
3
2 1
1
3
7
2 5 ; que admite,
1
7
3 0 5 : Pode-se então concluir
0 0
x + x2 + 2x3 ; 1 + 2x + x2
x3 ] é linearmente
dependente.
(ii) dim h1 + x + 2x2 + x3 ; 2
x + x2 + 2x3 ; 1 + 2x + x2
(iii) Uma base para o subespaço h1 + x + 2x2 + x3 ; 2
x3 i = 2:
x + x2 + 2x3 ; 1 + 2x + x2
x3 i
pode ser formada pelos vectores 1 + x + 2x2 + x3 e 2 x + x2 + 2x3 :
""
# "
# "
##
1 1
2
1
1
2
2. Considere-se o sistema
;
;
de M2 2 (R) : Estes vec2 1
1
2
1
1
tores, relativamente à base canónica B de M2 2 (R) ; têm coordenadas:
#
"
#
"
#
"
1 1
2
1
1
2
7! (1; 1; 2; 1)B ;
7! (2; 1; 1; 2)B e
7! ( 1; 2; 1; 1)B
2 1
1
2
1
1
Seguindo o procedimento anterior pode-se concluir que:
# "
##
""
# "
1 1
2
1
1
2
(i) O sistema
;
;
é linearmente dependente.
2 1
1
2
1
1
*"
# "
# "
#+
1 1
2
1
1
2
(ii) dim
;
;
= 2:
2 1
1
2
1
1
*"
# "
# "
#+
1 1
2
1
1
2
(iii) Uma base para o subespaço
;
;
pode ser for2 1
1
2
1
1
"
# "
#
1 1
2
1
mada pelos vectores
e
2 1
1
2