Mecanica INDICE - Livraria Cultura
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ÍNDICE Prefácio à segunda edição .......................................................................... 13 Prefácio à primeira edição ......................................................................... 15 Agradecimentos .......................................................................................... 19 Símbolos e abreviaturas ............................................................................ 21 1. Grandezas e unidades: o Sistema Internacional de unidades. Conceitos fundamentais de cálculo vectorial ....................................... 31 1.1. Noção de grandeza ................................................................................ 31 1.2 Unidades ................................................................................................ 33 1.3. Sistemas de unidades. O Sistema Internacional de unidades (SI) .......... 34 1.4. Conversões de unidades ........................................................................ 41 1.5. Dimensões das grandezas ...................................................................... 42 1.6. Grandezas escalares e grandezas vectoriais .......................................... 45 1.7. Noção de vector .................................................................................... 45 1.8. Sistema de coordenadas. Noção de base. Componentes de um vector . ........................................................................................ 46 1.9. Representação de um vector no espaço cartesiano ................................ 47 1.9.1. Norma e versor de um vector ..................................................... 48 1.9.2. Vector definido por dois pontos do espaço ................................. 49 1.9.3. Decomposição de vectores nas suas componentes cartesianas .. 49 1.9.3.1. Caso bidimensional ...................................................... 49 1.9.3.2. Caso tridimensional ..................................................... 51 1.10. Operações com vectores ...................................................................... 52 1.10.1. Adição e subtracção de vectores .............................................. 52 1.10.2. Produto de um escalar por um vector ...................................... 54 1.10.3. Produto interno ou escalar de vectores ................................... 56 1.10.4. Produto externo ou vectorial de vectores ................................ 58 Problemas ............................................................................................. 62 2. Cinemática do ponto material ............................................................... 65 2.1. Posição, trajectória e deslocamento ...................................................... 65 1.2.1. Equações paramétricas. Determinação da trajectória da partícula ............................................................................... 66 6 Mecânica – Uma Introdução 2.2. Vector velocidade ................................................................................. 67 2.3. Vector aceleração .................................................................................. 68 2.4. Movimento rectilíneo no espaço unidimensional .................................. 69 2.4.1. Movimento rectilíneo e uniforme ............................................... 70 2.4.2. Movimento rectilíneo uniformemente variado ........................... 72 2.5. Movimento rectilíneo nos espaços bi- e tridimensional ........................ 77 2.5.1. Movimento rectilíneo uniforme .................................................. 77 2.5.2. Movimento rectilíneo uniformemente variado ........................... 77 2.6. Movimento curvilíneo ........................................................................... 78 2.7. Movimento de projécteis ....................................................................... 83 2.7.1. Movimento de um projéctil lançado na horizontal .................... 85 2.7.2. Movimento de um projéctil lançado obliquamente da origem .................................................................................. 87 2.7.3. Movimento de um projéctil lançado obliquamente de uma altura y0 ........................................................................ 90 2.7.4. * Movimento de um projéctil lançado por um ser humano ........ 92 2.8. Movimento circular ............................................................................... 94 2.8.1. Movimento circular uniforme .................................................... 98 2.8.2. Movimento circular uniformemente variado ........................... 100 2.8.2.1. Semelhanças formais entre o m.r.u.v. e o m.c.u.v . ..... 102 2.9. Movimento harmónico simples ........................................................... 102 2.9.1. Relação entre o m.h.s. e o movimento circular uniforme ........ 106 2.9.2. Representação gráfica de um m.h.s. ........................................ 108 2.10. Movimento relativo ........................................................................... 109 Problemas ........................................................................................... 114 3. Leis de Newton ..................................................................................... 129 3.1. As leis de Newton ............................................................................... 3.1.1. A primeira lei de Newton ou lei da inércia .............................. 3.1.2. A segunda lei de Newton ou lei fundamental da dinâmica ...... 3.1.3. A terceira lei de Newton ou lei da acção-reacção ................... 129 129 131 133 3.2. Algumas forças ................................................................................... 3.2.1. Peso ou força gravítica. A lei da gravitação universal de Newton ................................................................................ 3.2.2. Tensão ...................................................................................... 3.2.2.1. Roldanas fixas e roldanas móveis .............................. 133 133 136 137 Índice 7 3.2.2.2. Forças de tensão em sistemas fora do equilíbrio........ 3.2.3. Força de reacção normal ......................................................... 3.2.4. Força elástica .......................................................................... 3.2.5. Força de atrito ......................................................................... 3.2.5.1. Força de atrito entre superfícies sólidas .................... 3.2.5.2. Atrito em fluidos ......................................................... 139 139 141 142 143 145 3.3. Técnicas para aplicação das leis de Newton ....................................... 3.4. Forças no movimento circular ............................................................. 3.4.1. Pêndulo cónico ........................................................................ 3.4.2.* Automóvel que descreve uma curva, sem atrito ou com atrito ............................................................................ 3.4.3. Pêndulo simples ....................................................................... 148 151 152 3.5. Momentos de forças ............................................................................ 3.5.1. Momento de uma força em relação a um ponto ....................... 3.5.2. Momento de uma força em relação a um eixo ......................... 3.5.3. Momento resultante ................................................................. 3.5.4. Lei da translação dos momentos .............................................. 3.5.5. Momento de um binário ........................................................... 161 161 163 164 166 167 154 156 3.6. Estática dos corpos rígidos .................................................................. 168 3.6.1. Equivalência de sistemas de forças ......................................... 172 Problemas ........................................................................................... 174 4. Dinâmica de uma partícula material .................................................. 181 4.1. Momento linear e sua conservação ..................................................... 181 4.1.1. FR ma versus FR dp dt ................................................... 182 4.2. Impulso de uma força .......................................................................... 4.3. Momento angular e sua conservação .................................................. 4.4. Trabalho e energia cinética ................................................................. 4.4.1. Trabalho de uma força constante no espaço unidimensional .. 4.4.2. Trabalho de uma força constante no espaço tridimensional ... 4.4.3. Trabalho de uma força variável ............................................... 184 186 189 190 191 195 4.5. Forças conservativas e não conservativas ........................................... 4.5.1. Trabalho da força gravítica ..................................................... 4.5.2. Trabalho da força elástica ....................................................... 4.5.3. Trabalho da força de atrito ...................................................... 199 199 200 202 4.6. Energia potencial ................................................................................ 203 4.6.1. Energia potencial gravítica ..................................................... 204 8 Mecânica – Uma Introdução 4.6.2. Energia potencial elástica ....................................................... 205 4.6.3. Energia potencial; caso geral .................................................. 206 4.7. Energia mecânica ................................................................................ 4.7.1. Corpo em queda livre por acção da força gravítica ................ 4.7.2. Corpo em movimento ascensional sob acção da força gravítica .................................................................................. 4.7.3. Energia no movimento harmónico simples .............................. 209 210 211 211 4.8. A energia potencial gravítica revisitada .............................................. 213 4.8.1. Velocidade de escape ............................................................... 216 4.9. Energia térmica. O princípio de conservação da energia total ............ 4.10. Potência ............................................................................................. 4.11. Rendimento ....................................................................................... Problemas ........................................................................................... 218 219 221 223 5. Dinâmica de um sistema de partículas materiais .............................. 231 5.1. Momento linear e sua conservação ..................................................... 5.2. Choques ou colisões ............................................................................ 5.2.1. Choques unidimensionais ........................................................ 5.2.2. Choques bidimensionais .......................................................... 5.2.3. Porque é legítimo desprezar a força da gravidade no estudo das colisões? ........................................................................... 231 234 235 239 5.3. Movimento de sistemas de massa variável ......................................... 5.3.1. Movimento de sistemas com admissão de massa ..................... 5.3.2. Movimento de sistemas com ejecção de massa ........................ 5.3.2.1. Movimento de um foguete sob acção da gravidade ... 5.3.3. Movimento de sistemas com admissão e ejecção de massa ..... 244 244 247 249 252 5.4. Centro de massa de um sistema de partículas materiais ...................... 5.5. Movimento relativamente ao centro de massa .................................... 5.6. Energia cinética translacional de um sistema de partículas materiais ............................................................................................. 5.7. Momento angular e sua conservação .................................................. Problemas .......................................................................................... 254 257 243 258 259 262 6. Dinâmica do corpo rígido .................................................................... 269 6.1. Definição de corpo rígido ................................................................... 269 Índice 6.2. Centro de massa de um corpo rígido ................................................... 6.3. Movimento de um corpo rígido .......................................................... 6.4. Movimento de translação de um corpo rígido ..................................... 6.5. Movimento de rotação de um corpo rígido ......................................... 6.5.1. Carácter vectorial das grandezas cinemáticas angulares ....... 6.5.2. Rotação em torno de um eixo. Momento de inércia ................. 6.5.2.1. Momento angular de um corpo rígido. Momento de inércia .................................................................... 6.5.2.2. Eixos principais de inércia ......................................... 6.5.2.3. Conservação do momento angular de um corpo rígido .......................................................................... 6.5.3. Raio de giração ........................................................................ 6.5.4. Algumas propriedades dos momentos de inércia ..................... 6.5.4.1. Aditividade dos momentos de inércia ......................... 6.5.4.2. Teorema dos eixos perpendiculares ........................... 6.5.4.3. Teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos ..................................................................... 6.5.5. Energia cinética de rotação ..................................................... 6.5.6. Pêndulo físico .......................................................................... 6.5.7.* Como representar correctamente a reacção normal ............. 6.5.7.1. O primeiro absurdo .................................................... 6.5.7.2. O segundo absurdo .................................................... 6.5.7.3. A solução do problema ............................................... 6.5.7.4. A importância do princípio de conservação da energia ................................................................... 6.6. Rolamento ........................................................................................... 6.6.1. Relação entre a velocidade do centro de massa e a velocidade angular ............................................................ 6.6.2. Centro instantâneo de rotação. Energia cinética no rolamento ........................................................................... 6.6.3. Dinâmica do rolamento ........................................................... 6.6.4.* Aplicação do rolamento: travagem de veículos e sistema ABS .......................................................................... 9 269 276 277 279 279 281 282 287 289 292 293 293 294 295 297 301 303 303 304 306 306 307 308 309 310 314 6.7. Trabalho e energia no movimento de rotação. Potência ..................... 321 6.8. Analogias entre o movimento de translação e o movimento de rotação ........................................................................................... 323 Problemas ........................................................................................... 325 10 Mecânica – Uma Introdução 7. Relatividade Restrita ........................................................................... 331 7.1. Referenciais de inércia e referenciais acelerados ................................ 7.2. Transformação de Galileu ................................................................... 7.3. A experiência de Michelson-Morley ................................................... 7.4. Postulados de Einstein ........................................................................ 7.5. Consequências dos postulados de Einstein ......................................... 7.5.1. Simultaneidade relativa ........................................................... 7.5.2. Dilatação do tempo .................................................................. 7.5.3. Contracção dos comprimentos ................................................. 332 335 336 341 342 342 344 347 7.6. Transformação de Lorentz .................................................................. 350 7.6.1. O invariante na transformação de Lorentz ............................... 355 7.7. Transformação das velocidades .......................................................... 7.8. Dinâmica relativista ............................................................................ 7.8.1. Momento linear ........................................................................ 7.8.2. Energia relativista ................................................................... 7.8.2.1. Energia cinética ......................................................... 7.8.2.2. Energia de repouso. Princípio de equivalência massa-energia ............................................................ 7.8.2.3. Energia total ............................................................... 7.8.2.4. Principio de conservação da massa-energia ............. 7.8.2.5. Relações úteis entre o momento linear, a energia e a massa .................................................................... 7.8.3. Transformação de Lorentz para o momento linear e a energia ............................................................................... 356 358 358 362 362 7.9. Colisões relativistas ............................................................................ 7.10. Processos de fissão e fusão nuclear ................................................... 7.10.1. Balanço energético em reacções nucleares ........................... 7.10.2. Processos de fissão ou cisão nuclear ..................................... 7.10.3. Processos de fusão nuclear .................................................... 7.10.4. Nucleossíntese ........................................................................ 371 376 376 378 379 381 364 366 367 368 370 7.11. Validade da Mecânica clássica ......................................................... 383 Problemas ........................................................................................... 385 Apêndice 1. Constantes físicas fundamentais ........................................ 391 Apêndice 2. Alguns dados astronómicos ................................................ 393 Índice 11 Apêndice 3. Conversão de unidades ....................................................... 395 A3.1. O sistema CGS ................................................................................. 395 A3.2. Outros factores de conversão ........................................................... 396 Apêndice 4. Alfabeto grego ..................................................................... 399 Apêndice 5. Relações matemáticas ......................................................... 401 A5.1. Geometria ......................................................................................... 401 A5.2. Trigonometria ................................................................................... 401 A.5.2.1. Funções trigonométricas ................................................... 401 A.5.2.2. Identidades trigonométricas .............................................. 402 A.5.2.3. Lei dos senos e lei dos co-senos ......................................... 402 A5.3. Desenvolvimentos em série de Taylor ............................................. 403 A5.4. Derivadas e primitivas ...................................................................... 403 A.5.4.1. Derivadas e primitivas de funções elementares ................. 403 A.5.4.2. Outras primitivas ............................................................... 404 A.5.4.3. Integração por partes ........................................................ 404 A5.5. Coordenadas polares, esféricas e cilíndricas .................................... 405 A.5.5.1. Coordenadas polares, (r , ) ............................................... 405 A.5.5.2. Coordenadas esféricas, (r , , ) ......................................... 405 A.5.5.3. Coordenadas cilíndricas, (r , , z ) ....................................... 406 Bibliografia ............................................................................................... 407 Soluções dos problemas propostos .......................................................... 409 PREFÁCIO À SEGUNDA EDIÇÃO Foi com enorme surpresa e grande satisfação que vimos a primeira edição deste livro esgotada decorrido apenas um ano do seu lançamento, em Fevereiro de 2013. Preparar esta segunda edição permitiu-nos rever o texto e, sobretudo, corrigir os vários erros, gralhas e frases menos claras que subsistiram na revisão das provas da primeira edição e que tanto nos irritaram. Ao longo destes últimos doze meses, foram vários os colegas e alunos que, generosa e atentamente, nos apontaram muitos desses erros. A todos eles aqui fica o nosso agradecimento. Mas não temos ilusões, eliminar todas as gralhas de um livro é tarefa hercúlea e quase impossível... Deste modo, todo e qualquer erro que venhamos a detectar após a impressão desta segunda edição será coligido numa errata que poderá ser consultada no endereço electrónico http://www.fisica.isel.pt/PDF/Mecanica-uma-introducao/Errata-E2.pdf Tal como na primeira edição, a segunda edição do presente livro mantém a ortografia pré-acordo ortográfico. Os Autores, Lisboa, Março de 2014. PREFÁCIO À PRIMEIRA EDIÇÃO Sendo a Física a mais fundamental das ciências da natureza, é nela que assenta a formação de base de qualquer curso superior de ciências ou de engenharia. A maioria destes cursos, nacionais ou internacionais, encontra-se estruturada de modo a que o primeiro contacto dos alunos com a Física ocorra numa disciplina de Mecânica elementar. Tal facto tem uma razão de ser; é na Mecânica que muitos dos conceitos e princípios fundamentais da Física têm a sua raiz. Conceitos e princípios estes que os alunos verão posteriormente, ao longo do seu percurso académico, estendidos e adaptados não só a outros ramos da Física que eventualmente venham a estudar, mas também às restantes disciplinas de ciências e engenharia que constituam o cerne dos seus cursos. Este livro destina-se, precisamente, ao ensino de uma primeira disciplina de Mecânica de cursos de ciências ou de engenharia, tendo a sua génese na unidade curricular de “Mecânica Geral” que temos vindo a leccionar no segundo semestre do primeiro ano da Licenciatura em Engenharia Química e Biológica do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa (ISEL). Poder-se-á legitimamente perguntar: porquê mais um livro de Mecânica elementar? Não existem já muitos e bons? A resposta é, obviamente, afirmativa. De facto, não faltam excelentes manuais de Física geral que incluam as matérias tratadas no presente livro. São exemplos o Physics for Scientists and Engineers, de Fishbane, Gasiorowicz e Thornton ou os mais antigos, mas ainda actuais e amplamente utilizados, Sears and Zemansky’s University Physics, de Young e Freedman e Physics, de Halliday e Resnick. Quase todos trazem a chancela de prestigiadas universidades norte-americanas; de vários existem traduções para português, maioritariamente brasileiras. Porquê, então, escrever mais um? Sucede que o grau de preparação dos nossos alunos é muito variável. A sua motivação para a Física, em geral, não é grande, como o não é a facilidade com a língua inglesa. Um grosso compêndio, como os acima referidos, sobre uma matéria supostamente difícil, com a qual têm pouca familiaridade, e, ainda por cima, escrito num idioma estrangeiro, poderá parecer-lhes algo intimidatório. Quanto às traduções brasileiras, elas são, muitas vezes, de fraca qualidade; ou, mesmo quando satisfatórias, utili- 16 Mecânica – Uma Introdução zam, necessariamente, a terminologia técnica do Brasil, que não é igual à deste lado do Atlântico. Sem prejuízo do rigor, procurámos concentrar-nos no essencial da Mecânica que um futuro cientista ou engenheiro deve dominar, não só ao nível do conhecimento factual, como também, o que é porventura mais importante, da atitude a adoptar face a um problema. Aceitamos como empiricamente provado que as competências que se adquirem no estudo da Física são úteis em muitas e variadas actividades profissionais. Além disso, sendo a Física uma das grandes criações do intelecto humano, entendemos a Mecânica, em particular, e a Física, em geral, não apenas como algo que um dia poderá, de algum modo, ser “útil” a quem a aprende, mas também como parte da sua cultura geral. Se ninguém deveria chegar ao fim da vida sem ter lido os clássicos da literatura, ou admirado as grandes obras da arte universal, não deveria ter tido também alguma exposição, ainda que breve, à Física, enquanto parte importante do esforço humano para, através da razão, compreender o mundo que nos rodeia? A ideia que muitos alunos têm da Física é que é uma matéria seca, abstracta, e totalmente divorciada da realidade. Por muito que isso custe a um físico profissional, há que reconhecer que esta ideia tão errada, mas tão corrente, se deve, em parte, ao carácter cumulativo da Física – onde é necessário partir dos princípios mais básicos e percorrer um longo e, bastas vezes, árduo caminho até chegar a aplicações não triviais. O facto de se tratar de uma ciência “dura”, fortemente axiomatizada, também não ajuda. Encontramo-nos, assim, numa situação algo paradoxal: os pontos fortes da Física, aquilo que lhe confere relevância e ampla aplicabilidade, também a tornam pouco “amiga do utilizador”. Intentámos combater este estado de coisas através da inclusão de algumas secções mais “avançadas”, assinaladas com *, onde discutimos sistemas e situações físicas mais próximas da experiência diária. Saliente-se, a propósito, que algumas destas secções se baseiam em trabalhos originais desenvolvidos por colegas do ISEL no âmbito das suas actividades lectivas, e que despertaram grande interesse entre os alunos. O futuro dirá se é esta uma boa estratégia. O resultado final foi um livro algo extenso, porventura demasiado extenso para uma unidade curricular semestral. Seguimos a ordem clássica de apresentação da matéria: depois de um capítulo introdutório sobre grandezas, unidades e revisões de cálculo vectorial, que nunca são demais (capítulo 1), encetamos o estudo da cinemática do ponto material (capítulo 2). Seguem-se as leis de Newton da dinâmica e o modo de as aplicar, bem como uma discussão dos principais tipos de forças (capítulo 3, o mais importante do livro). Tratamos em seguida a dinâmica de uma partícula material (capítulo 4), de sistemas de muitas partículas materiais (ca- Prefácio 17 pítulo 5) e, de modo algo simplificado, do corpo rígido (capítulo 5). Nestes contextos introduzimos grandezas como os momentos linear e angular, o trabalho e a energia, e as respectivas leis de conservação. Terminamos com uma breve introdução à teoria da Relatividade Restrita (capítulo 7) – o único tópico de Física “moderna” (século XX) do programa. Os tópicos assinalados com * podem ser omitidos sem qualquer perda de continuidade – embora sugiramos que, neste caso, se aconselhe a sua leitura. Na nossa opinião, é este o cânone mínimo de Mecânica que um cientista ou engenheiro deve conhecer; deixamos ao docente a decisão quanto ao nível de pormenor a que é apropriado descer em cada circunstância. Um alerta importante aos estudantes, porque é a eles a quem o livro, sobretudo, se dirige. Ao longo da nossa actividade docente temos verificado que a maioria dos alunos apreende com facilidade os conceitos teóricos leccionados. Contudo, muitos encontram dificuldade em aplicá-los a situações práticas concretas, denotando aquilo a que o físico Richard Feynman chamou de “conhecimento frágil”. Na nossa perspectiva, só há um modo de os alunos ultrapassarem esta dificuldade e adquirirem um conhecimento robusto em Física: trabalhando afincadamente, aplicando repetidamente os conceitos teóricos a uma larga variedade de exercícios. Para o poderem fazer, compilámos, no fim de cada capítulo, um número significativo de problemas cuja resolução permitirá sedimentar a teoria e ganhar a necessária confiança para a aplicar correctamente nas mais variadas situações. Nunca é demais sublinhar que o cálculo é um ingrediente essencial da Física e que a capacidade de obter resultados numéricos que podem ser verificados pela observação experimental é a base do enorme sucesso das ciências e tecnologias modernas. O presente livro foi redigido seguindo as regras ortográficas pré-acordo ortográfico. A razão desta opção é simples: é a ortografia que os autores dominam. Os Autores, Lisboa, Julho de 2012.
