ibmecnov2008_analise quantitativa e logica objetiva

CPV conquista 93% das vagas do ibmec
(junho/2008)
Prova REsolvida – IBMEC – 09/Novembro /2008 – (Manhã)
ANÁLISE QUANTITATIVA E LÓGICA OBJETIVA
41. A equação algébrica 24x4 – 50x3 + 35x2 – 10x + 1 = 0
admite 4 raízes racionais distintas. Não é uma dessas raízes:
1
.
2
c)
1
.
3
d)
1
.
4
e)
1
.
5
•
m2 ≥ 2 ∴ m =
•
p>
•
d=l 2 ∴ d=
A única alternativa que não apresenta uma dessas raízes é a
a) 3 2 −
• A é igual à soma do maior número inteiro que não supera
2π com o menor número real positivo cujo quadrado
não é inferior a 2;
2
⇒ B=6–
2
2 ) = 36 – 2 = 34
Alternativa C
3 π
<
2 2
3 <
3
2
c)
3
<3 2−
2
3 <
π
2
d)
3
< 3 (2 −
2
3) <
π
2
e)
3 π
< < 3(2 −
2 2
Resolução:
•
AB =
Então o produto A . B é igual a:
•
sen α =
ibmecnov2008
3 <
π
<3 2−
2
• B é igual à diferença entre o menor número inteiro que
é maior do que 30 e a medida da diagonal de um
quadrado de lado 1.
CPV
2
2 ) (6 –
b)
Alternativa E
42. Considere que:
d) 34 2 .
e) 34 π.
⇒ A=6+
43. Na figura abaixo, a circunferência tem raio igual a 3cm e
α mede 30°. É correto concluir da comparação da medida
do arco AB com as medidas dos segmentos CD e EF que:
Divisor (1)
1
1
1
1
1
1
1
= ± 1, ± , ± , ± , ± , ± , ± , ±
Divisor (24)
2
3
4
6
8
12
24
b) 17 2 .
c) 34.
30 ∴ p = 6
Assim, A . B = (6 +
Resolução:
As possíveis raízes racionais dessa equação algébrica são dadas
pela Pesquisa Racional:
a) 17.
2
ΙΙ) B = p – d
a) 1.
b)
Resolução:
Ι) A = n + m
• n < 2 π (≅ 6,28) ∴ n = 6
•
3)
2πr 2π . 3
π
=
⇒ AB =
12
12
2
EF
EF
⇒ sen 30º =
3
r
CD2 = r2 + r2 – 2 . r . r . cos α
⇒ EF =
3
2
CD2 = 32 + 32 – 2 . 3 . 3 . cos 30º ⇒ CD = 3 2 − 3
Da figura, temos: EF < CD < AB ∴
π
3
<3 2− 3 <
2
2
Alternativa C
1
2
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Seu pé direito nas melhores Faculdades
44. Considere dois ângulos agudos cujas medidas a e b,
em graus, são tais que a + b = 90º e 4 sen a – 10 sen b = 0.
tais que
Nessas condições, é correto concluir que:
1
.
4
c) tg a =
1
e tg b = 4.
4
d) tg a =
2
5
e tg b = .
5
2
e) tg a =
5
2
e tg b = .
2
5
a)
Resolução:
b)
Como a e b são complementares, sen b = cos a. Logo:
4 sen a – 10
sen
b = 0 ⇒ 4 sen a = 10 cos a
cos a
sen a
10
cos a = 4
5
2
2
Como b = 90º – a ∴ tg b =
5
2
5
Logo, tg a =
e tg b =
5
2
∴
∴ tg a =
c)
Alternativa E
45. Se a sequência (3, x, cos θ) é uma progressão aritmética,
sendo x e θ números reais, então:
a)
b)
c)
d)
e)
–1,5 ≤ x ≤ 0.
–1 ≤ x ≤ 1.
0,5 ≤ x ≤ 1,5.
1 ≤ x ≤ 2.
2 ≤ x ≤ 4.
d)
Resolução:
P.A. (3, x, cos θ)
x=
3 + cos θ
⇒ 2x = 3 + cos θ ⇒ cos θ = 2x – 3
2
∴ – 1 ≤ 2x – 3 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x ≤ 2
Alternativa D
CPV
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z=
1 
 nπ 
 nπ  
.  cos 
+ i . sen 

 ,
n 
 4 
 4 
em que n é um numero natural não nulo.
Dentre as figuras abaixo, aquela que melhor representa
esses números no plano de Argand-Gauss é:
a) tg a = 1 e tg b = 1.
b) tg a = 4 e tg b =
46. Considere o conjunto de todos os números complexos z
e)
Seu pé direito nas melhores Faculdades
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3
Quando apanhou o mosquito, o sapo “voava” a uma altura
que está entre
Resolução:
Vamos determinar alguns desses números complexos:
a)
b)
c)
d)
e)

2
2
 π
 π 
i
+
n = 1, z = 1 . cos   + i sen    =
4
4
2
2
 
 

n = 2, z =
1 
 π
 π  1
. cos   + i sen    = i
2 
2
 
 2  2
n = 3, z =
1 
2
2
 3π 
 3 π 
. cos 
 + i sen  4   = − 6 + 6 i
3 
4




1,50 e 2,00 metros.
2,00 e 3,00 metros.
4,00 e 6,00 metros.
6,00 e 10,00 metros.
10,00 e 18,00 metros.
Resolução:
Das informações do enunciado, podemos montar o seguinte gráfico:
1
1
. [cos (π) + i sen (π)] = –
4
4
Colocando esses números no plano de Argand-Gauss, obtemos
os pontos:
V (xV, yV)
n = 4, z =
y (cm)
p2
Im
p1
(x
)
(x
)
1
n=1
Q
50
n=2
n=3
–1
n=4
1
Re
60
0
a
x (cm)
Sendo Q = (a, 50) o ponto de partida do segundo pulo.
–1
A única figura que contém os pontos distribuídos dessa forma
corresponde à
Alternativa B
47. Para alcançar um suculento mosquito, um sapo deu dois
saltos, partindo do ponto (0, 0) de um sistema de
coordenadas, cuja unidade representa 1cm.
A trajetória do sapo pode ser descrita como se segue:
• obedeceu ao gráfico da parábola dada por
2
x
para pousar sobre uma cadeira de
10
altura 50cm (já na parte descendente do gráfico, após o
ponto de máximo);
p1 (x) = 6x –
• no mesmo ponto onde “aterrisou” na cadeira tomou
impulso e seguiu sobre o gráfico da parábola
p2(x) = –x2 + bx – 3600;
• no ponto de altura máxima de p2(x), laçou o mosquito
com o seu tradicional golpe de língua.
CPV
ibmecnov2008
Como Q ∈ p1 (x) ⇒ p1 (a) = 50 ⇒
a = 10 (não convém)
6.a–
2
a
= 50
10
ou
a = 50
∴ Q = (50, 50)
Como Q ∈ p2 (x) ⇒ p2 (50) = 50 ⇒ – 502 + b . 50 – 3600 = 50,
donde b = 123.
No instante em que o sapo laçou o mosquito, ele se encontrava
sobre o ponto V. Portanto, a sua altura corresponde ao yV de
p2 (x).
yV = −
∆
− [1232 − 4 . ( −1) . (−3600)]
=
como b = 123,
4a
4 . (−1)
temos yV = 182,25 cm = 1,8225 m
Alternativa A
4
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Seu pé direito nas melhores Faculdades
48. Um hexágono regular de lados medindo 2( 3 + l) cm foi
decomposto em seis triângulos equiláteros. Em cada
triângulo, foram desenhadas três circunferências de mesmo
raio, tangentes entre si e aos lados do triângulo, como
mostra a figura. Se o círculo hachurado tangencia seis das
outras circunferências, e seu centro coincide com o centro
do hexágono, então sua área, em cm2, vale
3π
.
2
b) π.
c) 2π.
d) 3π.
Resolução:
logn k
f (x) = logn x
•
a)
logn
1
k
e) 2(2 + 3 )π.
Resolução:
Sendo 2( 3 + 1) o lado de cada ∆ equilátero e h sua altura, temos:
1
 (0, 0)
log n
∆y

k
r :  1
=
1  ∴ mr =
∆x
1
 k , log n k 


k
h = r + r + r 3 + r ⇒ h = 3r + 3 r
Como h =
A 3
⇒
2
⇒ h = 2( 3 + 1)
log n k
 (0, 0)
∆y
s: 
∴ ms =
=
k
∆x
 (k, log n k)
h
3
⇒
2
⇒h=3+ 3
se r
∴ 3r + 3 r = 3 + 3 ⇒ r = 1
Logo: A = π r2 = π (1)2 = π
Alternativa B
s ⇒ mr . ms = – 1 ∴
1
k . log n k = –1 ⇒
1
k
k
log n
⇒ logn k–1 . logn k = –1 ⇒ (logn k)2 = 1
49. A figura, feita fora de escala, mostra o gráfico da função
f (x) = logn x, em que n é um número inteiro maior do que 1.
∴ logn k = 1 (pois logn k > 0)
Logo, k = n.
Alternativa C
50. Considere um televisor “widescreen” de 36 polegadas (isto
significa que o comprimento da diagonal de sua tela
retangular é igual a 36 polegadas). Sabe-se que a proporção
entre a largura e a altura da tela nos televisores “widescreen”
é de 16 para 9. Admitindo que 1 polegada equivale a
337 ≈ 18, é correto afirmar que a
área da tela desse televisor, em cm2, vale, aproximadamente:
2,5 centímetros, e que
a) 7200. b) 6000. c) 5400. d) 4500. e) 3600.
Resolução:
Dado um número real k, k > 1, são traçadas as retas r e s,
que passam pela origem e interceptam o gráfico de f(x) em
1
pontos de abscissas
e k, respectivamente.
k
Se as retas r e s são perpendiculares, então:
n
a) k = n .
d) k = n2.
CPV
ibmecnov2008
b) k = n .
e) k = nn.
c) k = n.
.
902 = (16a)2 + (9a)2
902 = 256a2 + 81a2 9 a
36 . 2,5 = 90
902 = 337a2
a=
90
337
≅
90
=5
18
16a
Atela = 16a . 9a ⇒ Atela ≅ 16 . 5 . 9 . 5 ⇒ Atela ≅ 3600 cm2
Alternativa E
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5
2
51. Considere um cubo ABCDEFGH, cujas arestas medem
2 cm. O número de maneiras diferentes de escolher três de
seus vértices de modo que a área do triângulo por eles
determinados seja maior do que 2 cm2 e igual a:
a) 32.
b) 36.
c) 40.
d) 48.
e) 56.
Resolução:
Para que a área seja maior que 2, os três vértices não podem
pertencer à mesma face. Devemos portanto, calcular o total de
maneiras de tomarmos 3 dos 8 vértices do cubo e subtrairmos
aquelas em que os 3 vértices pertencem à mesma face.
n = C8,3 – 6 . C4,3 =
a)
b)
c)
d)
e)
8!
4!
–6.
3! 5!
3!1!
n = 56 – 24 = 32 maneiras
Alternativa A
52. Considere as funções f(x) = 4x – x2, g(x) = x2 – 4x + 8 e
as retas q : y = 2x, r : y = 0, s : y = 8, t : x = 0 e v : x = 4.
Se todas essas retas e funções forem construídas num
mesmo plano, teremos um retângulo maior subdividido em:
a) 4 partes.
b) 6 partes.
c) 8 partes.
d) 10 partes.
e) 12 partes.
2009 − 4
53. O valor de
20092 + 2009 − 2
é igual a:
2007
2008
2008
2009
2007
2009
2009
2008
2009
2007
Resolução:
2
2
2009 − 4
2
2009 + 2009 − 2
=
=
x −2
2
2
x +x−2
(2009 + 2 )(2009 − 2 )
(2009 + 2 )(2009 − 1)
=
=
( x + 2 )( x − 2 )
=
( x + 2 ) ( x − 1)
2007
2008
Alternativa A
54. Cada uma das seis faces de um dado foi marcada com um
único número inteiro de 1 a 4, respeitando-se as seguintes
regras:
• faces opostas foram marcadas com o mesmo número;
• a soma dos números marcados nas seis faces é igual a 22.
Resolução:
y = x2 – 4x + 8
y
y = 2x
Lançando-se esse dado duas vezes seguidas,
a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos nos
dois lançamentos seja 7 é igual a:
y=8
8
a)
1
9
b)
2
9
c)
3
9
d)
4
9
e)
6
9
x=0
5
Resolução:
4
4
6
3
b
x=4
2a + 2b + 2c = 22
c
a
a + b + c = 11
1
2
Nas condições dadas, a única possibilidade é que duas dessas
faces correspondam a 4, e a terceira corresponda a 3. Assim
y=0
x
y = 4x – x2
Desenhando todas as curvas no mesmo plano, identificamos
6 regiões.
Alternativa B
CPV
ibmecnov2008
D2
D1
3
3
4
4
4
4
3
6
6
7
7
7
7
3
6
6
7
7
7
7
4
7
7
8
8
8
8
4
7
7
8
8
8
8
4
7
7
8
8
8
8
4
7
7
8
8
8
8
P=
16 4
=
36 9
Alternativa D
6
Seu pé direito nas melhores Faculdades
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55. Para decorar uma caixa com a forma de paralelepípedo reto
retângulo, uma pessoa colou algumas fitas sobre suas faces,
como mostra a figura.
a) digitar a =, inserir o numero 625, depois digitar b =,
inserir o número 8 e digitar a tecla ab = c.
b) digitar a =, inserir o número 25, depois digitar c =,
inserir o número 4 e digitar a tecla ab = c.
c) digitar c =, inserir o número 25, depois digitar a =,
inserir o número 4 e digitar a tecla ab = c.
d) digitar b =, inserir o número 625, depois digitar c =,
inserir o número 8 e digitar a tecla ab = c.
e) digitar c =, inserir o número 625, depois digitar a =,
inserir o número 4 e digitar a tecla ab = c.
Resolução:
Cada fita foi colada, sem folga, ligando dois vértices
opostos de uma mesma face, e havia fitas com comprimentos
iguais a 10 cm, 3 29 cm e 17 cm.
Nas demais alternativas:
360.
540.
600.
720.
840.
Resolução:
Sendo a, b e c as medidas da caixa, temos:
 2
2
2
a + c = 17
 2
2
2
b + c = 10

2
a 2 + b 2 = 3 29

(
)
I
III
Alternativa D
56. Uma calculadora tem, além das teclas das operações usuais,
quatro outras teclas, marcadas com os seguintes símbolos:
• b=
• c=
• ab = c
Se uma pessoa digita a =, insere o número 3, depois digita
b =, insere o número 2 e digita a tecla a b = c,
a calculadora devolve c = 9. Ou seja, dados dois dos
valores a, b ou c, a calculadora devolve automaticamente
o terceiro valor que torna a igualdade ab = c verdadeira,
quando a tecla que tem esse símbolo é pressionada.
Para que a calculadora devolva o resultado de
log16 625, uma possibilidade de seqüência de teclas a
serem pressionadas é:
ibmecnov2008
ab = 6258 = c
falso
b) a = 25; c = 4
ab = c 25b = 4
b = log25 4 falso
d) b = 625; c = 8
ab = c a625 = 8
a = 81/625
e) c = 625; a = 4
ab = c 4b = 625
b = log4 625 falso
falso
57. A equipe de trabalho de uma empresa de socorro mecânico
é composta, diariamente, por 4 funcionários sendo apenas
um supervisor e três auxiliares. A escala do plantão, para o
Natal e para o Ano Novo, será a seguinte:
II
∴ V = a . b . c ⇒ V = 15 . 6 . 8 ⇒ V = 720
• a=
a) a = 625; b = 8
Alternativa C
Fazendo I – II + III, vem: 2a2 = 450 ⇒ a2 = 225 ⇒ a = 15
Fazendo II + III – I, vem: 2b2 = 72 ⇒ b2 = 36 ⇒ b = 6
Fazendo I + II – III, vem: 2c2 = 128 ⇒ c2 = 64 ⇒ c = 8
CPV
2
log16 625 = log 2 25 = log4 25
4
Uma possibilidade aparece na alternativa C, pois,
se a = 4 e c = 25, temos: 4b = 25 ⇒ b = log4 25
Portanto, o volume da caixa, em cm3, é:
a)
b)
c)
d)
e)
O enunciado solicita a operação que daria como resultado:
• Dia 24 de dezembro de 2008:
André, Bernardo, Carlos e Décio.
• Dia 25 de dezembro de 2008:
Carlos, Elton, Fábio e Bernardo.
• Dia 31 de dezembro de 2008:
Décio, Bernardo, Gilberto e Fábio.
• Dia 1o de janeiro de 2009:
Fábio, André, Bernardo e Gilberto.
Os dois supervisores decidiram que irão trabalhar
exatamente dois dias cada (nunca no mesmo dia), porém os
cinco auxiliares não estão sujeitos a esta restrição.
A partir das condições acima os supervisores são:
a)
b)
c)
d)
e)
Gilberto e Carlos.
André e Fábio.
Elton e Décio.
Gilberto e Décio.
Elton e Bernardo.
Seu pé direito nas melhores Faculdades
IBMEC – 09/11/2008
7
Resolução:
Os dados apresentados nas escalas podem ser organizados numa tabela, para facilitar a leitura:
André
Carlos
Décio
x
x
x
25/Dez
x
x
31/Dez
x
24/Dez
1/Jan
x
x
Bernardo
Elton
x
x
x
Fábio
Gilberto
x
x
x
x
x
1. Cada um dos dois supervisores vai trabalhar exatamente dois dos quatro dias assinalados.
Isso indica que os funcionários Bernardo, Elton e Fábio (que trabalham 4, 1 e 3 dias, respectivamente) são auxiliares;
vamos indicá-los pela letra A. Os demais, pelo ponto de interrogação (?), já que não sabemos ainda se são supervisores ou auxiliares:
André
Carlos
Décio
A
?
?
25/Dez
A
?
31/Dez
A
24/Dez
1/Jan
?
?
Bernardo
Elton
A
?
A
Fábio
Gilberto
A
A
?
A
?
2. Note agora que, no dia 25 de Dezembro, Carlos vai trabalhar com três outras pessoas que, seguramente, são auxiliares.
Logo, Carlos é obrigatoriamente um supervisor.
André
Carlos
Décio
A
S
?
25/Dez
A
S
31/Dez
A
24/Dez
1/Jan
?
?
Bernardo
Elton
A
?
A
Fábio
Gilberto
A
A
?
A
?
3. Se Carlos é supervisor, André e Décio, que dividem a escala com ele em 24 de Dezembro, são auxiliares
(há apenas um supervisor por dia). Nesse caso, por exclusão, resta a Gilberto a segunda vaga de supervisor:
André
Carlos
Décio
A
S
A
25/Dez
A
S
31/Dez
A
24/Dez
1/Jan
A
A
Bernardo
Elton
A
A
A
Fábio
Gilberto
A
A
S
A
S
4. Logo, a alternativa correta é A, que afirma que Gilberto e Carlos são supervisores.
Alternativa A
58. Uma empresa possui 1.000 funcionários. No último ano, foram realizadas 2.000 reuniões internas nessa empresa (ou seja,
reuniões em que todos os participantes são funcionários). Assim, é correto concluir que nesse ano, necessariamente,
a)
b)
c)
d)
e)
CPV
todos os funcionários da empresa participaram de no mínimo duas reuniões internas.
houve funcionários da empresa que participaram de uma única reunião interna.
houve reuniões internas na empresa com apenas dois participantes.
houve no mínimo duas reuniões internas na empresa com números de participantes diferentes.
houve no mínimo duas reuniões internas na empresa com o mesmo número de participantes.
ibmecnov2008
8
IBMEC – 09/11/2008
Seu pé direito nas melhores Faculdades
Resolução:
A alternativa correta é a E. Na situação de máxima distribuição,
seria possível criar até 999 reuniões com quantidades diferentes
de funcionários (2, 3, 4, ..., 999, 1000). Na sequência, seria
necessário repetir essas quantidades, e teríamos ao menos duas
reuniões com um mesmo número de participantes.
Alternativa E
59. Um grupo de arqueólogos descobriu uma série de registros
de uma antiga civilização que viveu nas montanhas geladas
do Himalaia. Entre esses registros, havia um sobre as
classificações que eles estabeleceram para os números,
que foi devidamente decifrado e está transcrito a seguir.
Todo número simpático é esperto. Alguns números
elegantes são simpáticos, mas nenhum número elegante é
legal. Todo número legal, por sua vez, é esperto.
A partir desses registros, conclui-se que, necessariamente,
a)
b)
c)
d)
existem números legais que são simpáticos.
pelo menos um número esperto não é legal.
existem números elegantes que não são espertos.
alguns números elegantes são espertos mas não são
simpáticos.
e) todo número esperto ou é elegante ou é legal.
I. (
) e (
) .
p
q
II. Se (
) , então (
) .
p
q
III. (
) se, e somente se, (
) .
p
q
Dependendo das proposições p e q, as proposições
(I), (II) e (III) podem ser verdadeiras ou falsas.
Dentre as alternativas abaixo, a única que faz com que as
três proposições sejam simultaneamente falsas é
a) p:
q:
b) p:
q:
c) p:
q:
d) p:
q:
e) p:
q:
o seno de 2 é um número negativo.
nenhum triângulo retângulo é equilátero.
o seno de 2 é um número negativo.
nenhum triângulo retângulo é isósceles.
a raiz cúbica real de –8 é igual a –2.
nenhum triângulo retângulo é equilátero.
a raiz cúbica real de –8 é igual a –2.
nenhum triângulo retângulo é isósceles.
o seno de 2 é um número negativo.
todo triângulo retângulo é isósceles.
Resolução:
O enunciado lista 3 proposições compostas clássicas:
Resolução:
As informações apresentadas são melhor visualizadas na forma
de conjuntos. No diagrama a seguir, o símbolo “X” indica a
existência segura de ao menos um elemento naquela região:
legal
X
simpático
esperto
elegante
A única informação seguramente verdadeira é a apresentada na
alternativa B: pelo menos um número esperto não é legal.
Alternativa B
CPV
60. A partir de duas proposições p e q, foram criadas outras
três proposições, descritas a seguir.
ibmecnov2008
intersecção (“e”), implicação (“se... então”) e bi-implicação
(“se e somente se”). Em símbolos:
I. p ^ q
II. p → q
III. p ↔ q
Note que, para as três serem simultaneamente falsas, a condição
necessária e suficiente é que p seja verdadeiro e q seja falso.
Isso acontece na alternativa D; afinal, a raiz cúbica real de –8
é realmente –2, mas há triângulos retângulos que são isósceles.
Alternativa D
COMENTÁRIO DO CPV
Avaliamos que a prova de Raciocínio Quantitativo do IBMEC,
aplicada em novembro de 2008, apresentou questões adequadas
quanto ao nível de dificuldade, mantendo a costumeira qualidade e o
rigor exigido nos conceitos e exibido na clareza dos enunciados.
Mais uma vez, apontamos que esses atributos — domínio conceitual
e capacidade de modelagem matemática — são exigidos dos candidatos
na mesma medida em que se pressupõem serem indispensáveis no
curso para o qual se destina o vestibular.
Salientamos que, desde alguns semestres atrás, a prova tem se
mostrado mais adequada a essa proposta de selecionar os candidatos
mais capazes, pois a distribuição de questões por complexidade é
hoje mais equitativa, o que aumenta a qualidade do exame por acarretar
maior discriminação entre os candidatos, que é o propósito de qualquer
processo seletivo.
Em termos de conteúdo, notamos a não-ocorrência de alguns tópicos,
como Matrizes, Determinantes, Sistemas, PG. Tais ausências,
entretanto, não comprometeram a tradicional qualidade da prova.