Trigonometria Funções Trigonométricas

Trigonometria
Funções Trigonométricas
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
f(x) = sen x
f(x) = R
2
0
-1
3
2
Imagem: [-1,1]
1
1
0
R
Período: 2
y
imagem: [ -1 , 1 ]
Prof.
PH
3
2
0
2
2
-1
x
período
2
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
f(x) = cos x
2
-1
f(x) = R
3
2
Imagem: [-1,1]
1
10
0
R
Período: 2
y
imagem: [ -1 , 1 ]
Prof.
PH
0
3
2
2
-1
2
x
período
2
Prof.
PH
ALTERAÇÕES NO GRÁFICO
f(x) = ±a ± b∙ sen ( mx + n )
cos
movimenta o gráfico
para cima ou para baixo
muda a
amplitude
o sinal indica
o caminho da
curva
y
+3
y
y
+2
se +
x
x
y
x
se -
quanto maior o valor de m mais
encolhido fica o gráfico, isto é, menor
seu período. Quanto menor o valor de m,
maior seu período.
x
y
y
altera o período
se = 2
-2
apenas movimenta o
gráfico na horizontal
sem destorcê-lo.
y
1
se = 3
m=2
m=1
m=1/2
+3
2
-2
-1
x
-3
x
4
x
Prof.
PH
ALTERAÇÕES NO GRÁFICO (exemplos)
f(x) = ±a ± b∙sen ( mx + n )
f(x) = 3 – 2sen ( x/2 )
+ sen
m = 1/2
arrumar o período
y
- sen
+ cos
- cos
imagem: [ 1 , 5 ]
6
2
P = ___
5
m
4
3
2
P = ____
P=4
1/2
f(x) = 3 – 2sen ( x/2 )
2
1
-1
-2
2
2
X2
3
X2
2
2
X2
3
x
2
4
X2
4
[ +3 -2 , +3 +2 ]
[ 1
,
5 ]
Prof.
PH
ALTERAÇÕES NO GRÁFICO (exemplos)
f(x) = ±a ± b∙sen ( mx + n )
f(x) = -2 + 4 cos ( 4x )
+ sen
m=4
arrumar o período
y
- sen
+ cos
- cos
Z
imagem: [ -6 , 2 ]
2
2
P = ___
1
0
-1
82
/4
33 /82
2
÷4
-2
-3
4
x
2
P = __
2
f(x) = -2 +4 cos ( 4x )
2
-4
-5
-6
[ -2 -4 , -2 +4 ]
[ -6
,
2 ]
Prof.
PH
Exercícios da apostila – 01 da página 57
f(x) = 2 + sen ( x )
[ +2 -1
[ 1
RESPOSTA: C
, +2 +1
,
3 ]
]
Prof.
PH
Exercícios da apostila – 03 da página 57
f(x) = 0 + 3sen (2x )
[ +0 -3 , +0 +3 ]
[ -3
f(x) = 3sen (2x)
Domínio: R
P=
2
2
Período:
RESPOSTA: E
,
3 ]
Imagem: [ -3, 3 ]
Prof.
PH
Exercícios da apostila – 06 da página 58
P=
2
4
P= 1
2
Período: 1/2
RESPOSTA: B
Prof.
PH
Exercícios da apostila – 08 de página 58
cos x pode valer no mínimo (-1)
e no máximo (+1), logo:
1
3 – cos x
1
3 – (-1)
RESPOSTA: B
=
1
1
4
3 – (+1)
=
1
2
Prof.
PH
Exercícios da apostila – 06 da página 58
sen
f(x) = ±a ± b∙ cos ( mx + n )
0
+
1 cos
2
f(x) = 0 + 1 cos ( 2x )
f(x) = cos ( 2x )
RESPOSTA: B
Prof.
PH
+ sen
Exercícios da apostila – 19 da página 60
sen
f(x) = ±a ± b∙ cos ( mx + n )
+2
-
1 sen
- sen
+ cos
Z
- cos
RESPOSTA: E
1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
f(x) = tg x
P=
2
1
0
0
Domínio:
Imagem: R
0
/2
2
período
/2 + k }
k é um nº inteiro
3 /2
-1
3
{xєR/x
m
y
imagem: R
Prof.
PH
2
x
Prof.
PH
Exercícios da apostila – 01 da página 63
P=
2
RESPOSTA: B
Prof.
PH
Exercícios da apostila – 02 da página 63
Domínio: { x є R / x
/2 + k }
x representa o ângulo
3x
/2 + k
x
/2 + k
3
1
(
+ k )
3
2
x
x
6
+
k
3
RESPOSTA: D
Trigonometria
Funções Inversas
Encontrar o ângulo através de seu seno,
cosseno ou tangente.
Prof.
PH
Porém é necessário lembrar que
se você perguntar qual ângulo
tem seno igual a 0,5 , teremos
infinitas respostas.
Já no primeiro e no segundo
quadrantes teremos 30º e
150º como primeiras
determinações positivas.
Mas teremos também 390º,
510º, 750º, 870º...
90º
1
510º
150º
30º
0
-1
270º
0º
390º
Prof.
PH
Para que não tenhamos mais de
uma resposta, vamos limitar, para
seno, os ângulos de -90º até 90º.
Sendo assim, basta você
fornecer um valor entre -1 e 1
teremos como resposta um
ângulo entre -90º e 90º.
Para que não tenhamos mais de
uma resposta, vamos limitar, para
cosseno, os ângulos de 0º até 180º.
Sendo assim, basta você
fornecer um valor entre -1 e 1
teremos como resposta um
ângulo entre 0º e 180º.
90º
-90º
180º
Sendo assim, basta você
fornecer qualquer valor real e
teremos como resposta um
ângulo entre -90º e 90º.
90º
90º
0º
Para que não tenhamos mais
de uma resposta, vamos
limitar, para tangente, os
ângulos de -90º até 90º.
0º
0º
-90º
Prof.
PH
f
-1(x)
= arc sen (x)
f
-1 :
[ -1 ; 1 ]
90º
1
- ,
2 2
f(x) = arc sen (1/2)
f(x) = 30º
0
0º
f(x) = arc sen (1)
f(x) = 90º
-1
f(x) = arc sen (-1)
-90º
f(x) = -90º
Prof.
PH
f
-1(x)
= arc cossen (x)
f -1 : [ -1 ; 1 ]
[0;
]
90º
f(x) = arc cos (1/2)
f(x) = 60º
180º
-1
1
0
0º
f(x) = arc cos (-1/2)
f(x) = 120º
f(x) = arc cossen (-1)
f(x) = 180º
Prof.
PH
f
-1(x)
= arc tg (x)
-
f -1 : IR
2
90º
1
,
2
f(x) = arc tg (1)
f(x) = 45º
0
0º
f(x) = arc tg (-1)
f(x) = -45º
-1
f(x) = arc tg ( 3 )
-90º
f(x) = 60º
Prof.
PH
Exercícios da apostila – 01 da página 73
logo a soma dos dois
ângulos será um ângulo
de 90º
y = arc sen (1/2)
y = arc tg ( 3 )
y = 30º
y = 60º
y = /6
y = /3
RESPOSTA: D
Prof.
PH
Exercícios da apostila – 03 da página 73
f(0) = arc sen (0)
f(0) = 0
f( g(1) )
h( /2) = sen ( /2)
h( /2) = 1
= f(0)
g(1) = arc cos (1)
g(1) = 0
RESPOSTA: E
Prof.
PH
Exercícios da apostila – 04 da página 74
ângulo do primeiro quadrante
cujo seno é 1/3.
SOHCAHTOA
3
1
y = cos ângulo em que o sen = 1/3
y = 2
x
2
2
2
3
RESPOSTA: D
Trigonometria
Fórmulas de Fatoração
Prof.
PH
As fórmulas a seguir permitem fatorar as principais
razões trigonométricas para dois arcos p e q quaisquer:
sen p + sen q = 2•sen (
p+ q
sen p - sen q = 2•sen (
p-q
2
2
p-q
)•cos (
)•cos (
cos p + cos q = 2•cos (
cos p - cos q = -2•sen (
2
p+ q
2
p+ q
2
p-q
2
)
)
)•cos (
)•sen (
p-q
2
)
p+ q
2
)
Prof.
PH
sen p + sen q = 2•sen ( p + q )•cos ( p - q )
sen p - sen q = 2•sen ( p - q )•cos ( p + q )
cos p + cos q = 2•cos ( p + q )•cos ( p - q )
cos p - cos q = -2•sen ( p - q )•sen ( p + q )
2
2
2
2
Exercício 02 da página 78
2
2
2
2
sen 50º + sen 30º= 2•sen ( 50º + 30º )•cos ( 50º - 30º )
2
2
sen 50º + sen 30º= 2•sen ( 80º )•cos ( 20º )
2
2
sen 50º + sen 30º= 2•sen ( 40º )•cos ( 10º )
RESPOSTA: B
Prof.
PH
sen p + sen q = 2•sen ( p + q )•cos ( p - q )
sen p - sen q = 2•sen ( p - q )•cos ( p + q )
cos p + cos q = 2•cos ( p + q )•cos ( p - q )
cos p - cos q = -2•sen ( p - q )•sen ( p + q )
2
2
2
2
Exercício 01 da página 78
2
2
2
2
sen 20º - sen 60º= 2•sen ( 20º - 60º )•cos ( 20º + 60º )
2
2
sen 20º - sen 60º= 2•sen ( -40º )•cos ( 80º )
2
2
sen 20º - sen 60º= 2•sen ( -20º )•cos ( 40º )
cos 70º - cos 30º
sen 20º - sen 60º
sen 20º - sen 60º= - 2•sen ( 20º )•cos ( 40º )
RESPOSTA: D
Trigonometria
Equações Trigonométricas
O objetivo será achar uma solução ou soluções para o
valor de seno, cosseno ou tangente apresentado.
A forma de responder a solução dependerá dos
quadrantes usados.
Prof.
PH
1º e no 2º quadrantes ou 3º e 4º
Exemplo:
solução geral
(graus): x = 360ºk + 30º ou x = 360ºk + 150º
sen x = 1/2
(rad): x = 2 k + /6 ou x = 2 k + 5 /6
1
... 510º
360ºk + 150º
150º
30º
0
-1
390º
750º...
0º
360ºk + 30º
Prof.
PH
1º e no 4º quadrantes ou 2º e 3º
Exemplo:
solução geral
cos x = 1/2
(graus): x = 360ºk ± 60º
(rad): x = 2 k ± /3
60º
420º
780º...
360k + 60º
-1
0
1
-60º
0º
-420º
360k + 300º
-780º...
Prof.
PH
1º e no 3º quadrantes ou 2º e 4º
Exemplo:
solução geral
tg x = 1
(graus): x = 180ºk + 45º
(rad): x = k ± /4
45º
0
45º + (180º) = 225º
585º
945º...
405º
0º
765º...
Prof.
PH
Exercício 01 da página 85
60º
180º
3x = 60º
0º
x = 20º ou x = /9
3x = 240º
x = 80º ou x = 4/9
3x = 420º
x = 140º ou x = 7/9
420º
240º
RESPOSTA: B
Prof.
PH
Exercício 03 da página 85
1
60º
420º
0º
0
-1
2x = 60º
RESPOSTA: D
300º
660º
x = 30º
2x = 300º
x = 150º
2x = 420º
x = 210º
2x = 660º
x = 330º
Prof.
PH
Exercício 08 da página 86
4cos2 x- 6cos x + 2 = 0
y’=1
cos x = y
y ’ = 1/2
4y2 – 6y + 2 = 0
cos x = 1
360ºk ou 2k
cos x = 1/2
± 60º + 360ºk ou ± /3 + 2k
RESPOSTA: C