Prova com Gabarito MBA

UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
PROVA DE CÁLCULO 1
PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016
CANDIDATO:
CURSO PRETENDIDO:
OBSERVAÇÕES:
1.
2.
3.
4.
5.
Prova SEM consulta;
A prova PODE ser feita a lápis;
PROIBIDO o uso de calculadoras e similares;
Duração: 2 HORAS.
Nas questões discursivas EXPLICITAR os cálculos.
Questão 1 (10 pontos).
Avalie:
lim+
x→0
a) 0
b) +∞
c) −∞
x2
3
−x
d) 3
Resposta: c)
O numerador tem limite igual a 3 enquanto o denominador tem limite 0 por valores
negativos, logo o resultado é −∞.
Questão 2 (10 pontos). Considere g : R → R e h : R → R deriváveis, supondo que
f(x) = g(x cos(h(x))) encontre f ′ (x).
a) g ′ (−xsen(h ′ (x))
b) g ′ (x cos(h(x))) (cos(h(x) − xh ′ (x)sen(h(x))))
c) g ′ (xsen(h(x))) (cos(h(x) − xh ′ (x)sen(h(x))))
d) g ′ (xsen(h(x))) (xh ′ (x) cos(h(x))))
Resposta: b)
Utilizando a regra do produto e a regra da cadeia obtemos
f ′ (x) = g ′ (x cos(h(x))) (cos(h(x) − xh ′ (x)sen(h(x)))) .
Questão 3 (10 pontos). Considere a curva y3 + 2xy + x2 = 1, encontre o coeficiente
angular da reta tangente para x não nulo, quando y = 1.
a) 1
b) −1
c) −2
d) 2
Resposta: c)
Caculando a derivada implı́cita obtemos,
y′ = −
2x + 2y
.
3y2 + 2x
Fazendo y = 1 na curva temos
x2 + 2x = 0
resolvendo para x e substituindo a raiz não nula, x = −2, temos:
y ′ = −2.
Questão 4 (10 pontos).
Para x ∈ [0, π], determine o ponto de mı́nimo da função
f(x) = sen(x) + cos(x).
a)
π
4
b) 0
c)
π
6
d) π
Resposta: d)
A derivada é dada por
f ′ (x) = cos(x) − sen(x)
e está definida para todo valor de x, se anulando, no intervalo do enunciado, quando
x = π4 , logo este valor de x é ponto crı́tico de f. Avaliando, a função no ponto crı́tico e
nas extremidades do intervalo temos
(π) √
= 2, f(π) = −1.
f(0) = 1, f
4
Logo, o ponto de mı́nimo é x = π.
Questão 5 (10 pontos).
Qual o valor de
∫ √π
2x3 cos(x2 )dx.
0
2
a) −π
b) −2
c) 2
d) π
Resposta: b)
2
Resolvendo a integral indefinida obtemos,
∫
2x3 cos(x2 )dx = cos(x2 ) + x2 sen(x2 ) + C,
logo,
∫ √π
2x3 cos(x2 )dx = −2
0
Questão 6 (10 pontos).
Estude a concavidade da função
f(x) =
4x
+1
x2
Resposta:
Calculando a derivada segunda temos
f ′′ (x) =
8x(x2 − 3)
(x2 + 1)3
√
O√
denominador acima é sempre positivo. O numerador troca de sinal nos pontos − 3, 0
e 3, logo estes pontos√são os pontos
de inflexão. Avaliando o sinal √
temos concavidade
√
√
para baixo em (−∞, − 3) ∪ (0, 3) e concavidade para cima em (− 3, 0) ∪ ( 3, +∞)
Questão 7 (10 pontos).
Avalie
lim
x→0
onde
f(x) − f(0)
x
{
( )
xsen x1 , se x ̸= 0
f(x) =
0,
se x = 0.
Resposta:
Escrevendo a expressão temos
( )
1
lim sen
x→0
x
o qual não existe.
Questão 8 (10 pontos). Sejam x1 e x2 as raı́zes da função f(x) = ax2 − x e sejam r1
e r2 as retas tangentes ao gráfico de f nos pontos x = x1 e x = x2 , respectivamente. Para
quais valores de a ∈ R as retas r1 e r2 são normais?
3
Resposta:
Calculando as raı́zes temos,
x1 = 0,
x2 =
1
a
Avaliando a derivada de f, nestes pontos, temos
( )
1
′
′
=1
f (0) = −1, f
a
Logo, a equação de r1 é da forma y = −x e a equação de r2 é da forma y = x − 1/a, logo
para todo valor real de a ̸= 0, estas retas são normais. No caso a = 0 não temos duas
retas tangentes.
Questão 9 (10 pontos). Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno
do eixo x da região x2 ≤ y ≤ x com x ∈ [0, 2].
Resposta:
Note que as funções x2 e x se cruzam em x = 1, assim o volume é dado pelas integrais
∫1
∫2
2
4
V = π (x − x )dx + π (x4 − x2 )dx = 4π.
0
Questão 10 (10 pontos).
Resposta:
Temos que Calcular
1
Encontre uma primitiva da função f(x) = sen(3x) cos(2x).
∫
2sen(3x) cos(2x)dx
usando, senos da diferença e soma temos
∫
∫
1
2sen(3x) cos(2x)dx = (sen(5x) + sen(x)) dx = − cos(5x) − cos(x) + C
5
4
UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016
CANDIDATO:
CURSO PRETENDIDO:
OBSERVAÇÕES:
1.
2.
3.
4.
5.
Prova SEM consulta;
A prova PODE ser feita a lápis;
PROIBIDO o uso de calculadoras e similares;
Duração: 2 HORAS.
Nas questões discursivas EXPLICITAR os cálculos.
Questão 1 (10 pontos).
Resolva para x ∈ R
(32x−7 )3
= (32x−1 )3 .
9x + 1
a) −9
b) −10
c) −11
d) −12
Resposta: b)
Usando as propriedades de exponenciação, temos que resolver
34x−23 = 36x−3 ⇔
Questão 2 (10 pontos).
x = −10.
Qual o domı́nio da seguinte função:
f(x) = log10 (−3x2 − 3x + 18)
a) x ∈ [−9, 6]
b) x ∈ (−3, 2)
c) x ∈ [−3, 2]
d) x ∈ (−9, 6)
Resposta: b)
O argumento do Logaritmo deve ser positivo, logo devemos resolver −3x2 −3x+18, donde
temos {x ∈ R : −3 < x < 2}
Questão 3 (10 pontos).
Considere a equação
√
|2x − 3| − |x + 2| = 2
Para quais valores de x ela se verifica?
a) x = 9
b) x = −2
c) x = −1 e x = 9
d) x = 2 e x = 4
Resposta: a)
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos |2x − 3| − |x + 2| = 4 que tem soluções
x = −1 e x = 9, porém somente a segunda é valida.
Questão 4 (10 pontos).
Sejam f e g funções com domı́nio em R. Para as afirmações:
1. Se f é par e g é par, então h(x) = f(x)g(x) é par;
2. Se f é ı́mpar e g é ı́mpar, então h(x) = f(x)g(x) é par;
3. Se f é par e g é ı́mpar, então h(x) = f(x)g(x) é ı́mpar.
Se associarmos V para verdadeiro e F para falso, temos então:
a) V, F, F
b) V, F, V
c) V, V, V
d) F, F, F
Resposta: c)
Questão 5 (10 pontos).
Encontre o conjunto solução da seguinte inequação
|2x − 8| − x + 2 ≤ 0
a) x ∈ [6, +∞)
b) x ∈ [2, 6]
c) x ∈ [ 103 , 6]
d) ∅
Resposta: c)
Usando a definição da função módulo para x < 4 temos que resolver 8 − 2x − x + 2 ≤ 0,
que tem como solução x ∈ [ 103 , +∞) e para x ≥ 4 temos que resolver 2x − 8 − x + 2 ≤ 0,
que tem como solução x ∈ (−∞, 6]. Fazendo a interseção, temos x ∈ [ 103 , 6].
Questão 6 (10 pontos).
equação
Considerando x ∈ [0, π], qual o conjunto solução da seguinte
cotg(x) − sen(2x) = 0.
Resposta:
Usando sen(2x) = 2sen(x) cos(x), temos 2sen2 (x) = 1,
√
2
sen(x) = ±
2
Para o intervalo dado temos então,
3π
π
ou
.
4
4
2
Questão 7 (10 pontos). Sejam f e g funções com domı́nio em R. Suponha que f é
par e g é ı́mpar, mostre que a composição f ◦ g(x) é uma função par.
Resposta:
Sabemos que vale f(−x) = f(x) e g(−x) = −g(x), assim
f ◦ g(−x) = f(g(−x)) = f(−g(x)) = f(g(x)) = f ◦ g(x)
logo, função par.
Questão 8 (10 pontos).
Faça o gráfico da função
f(x) = |2x2 − 8| − x + 2.
Resposta:
Questão 9 (10 pontos).
Resolva a inequação
|x2 − 6x + 5| + 1 < x.
Resposta:
Usando a definição da função módulo para x ∈
/ (1, 5) devemos resolver x2 − 6x + 5 + 1 < x,
que tem como solução x ∈ (1, 6) e para x ∈ (1, 5) devemos resolver −x2 + 6x − 5 + 1 < x
que tem como solução x ∈
/ (1, 4), tomando a interseção temos x ∈ (4, 6).
Questão 10 (10 pontos).
Resolva para x e y reais
{
x + y = 16
log2 x = 2 + log2 y
3
Resposta:
Usando as propriedades do Logaritmo, temos
{
x + y = 15
x
=4
y
isolando x na segunda e substituindo na primeira temos 5y = 15, portanto y = 3 e daı́
x = 12
4