universidade federal de itajubá prova de transferência interna

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
Pró-Reitoria de Graduação - PRG
Coordenação de Processos Seletivos – COPS
PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 28/06/2015
Física
CANDIDATO: __________________________________________________________
CURSO PRETENDIDO: ____________________________________________________
OBSERVAÇÕES:
01 – Prova sem consulta.
02 – A prova pode ser feita a lápis.
03 – Duração: 2 HORAS.
1) Um carrinho de brinquedo desloca-se com velocidade escalar constante sobre uma
mesa horizontal, descrevendo uma trajetória circular. Quando ele passa pelo ponto P
mostrado na figura, qual flecha melhor representa sua velocidade vetorial?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Solução: Alternativa (d). A velocidade do carrinho é tangente à trajetória.
2) Considere a mesma situação descrita na questão anterior. A flecha que melhor
representa a aceleração do carrinho no ponto P é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Solução: Alternativa (b). Uma vez que a velocidade escalar é constante, a aceleração
tangencial é nula. Portanto a aceleração do carrinho é a aceleração centrípeta, que
aponta para o centro da circunferência.
Força (N)
3) Considere que uma partícula se move ao longo de um
eixo retilíneo. O gráfico ao lado mostra como a força
0.5
resultante varia em função da posição da partícula. A
0.4
partir dessas informações é correto afirmar que, no
0.3
trecho mostrado na figura:
0.2
a) o trabalho realizado por essa força é positivo;
0.1
b) o trabalho realizado por essa força é negativo;
1
2
3
4
5
6
c) o trabalho realizado por essa força é nulo;
0.1
Posição (m)
d) a velocidade da partícula é constante;
e) a aceleração da partícula é constante.
Solução: Alternativa (a). Na primeira metade do trecho o trabalho é positivo e na segunda
metade é negativo. Como a área sob a curva no primeiro trecho é maior do que a área no
segundo trecho, o trabalho realizado pela força resultante é positivo.
4) A posição de uma partícula que realiza um movimento unidimensional é dada por
x(t) = A cos(t). Nessa expressão A e  são constantes e t é a variável tempo. A
função que descreve a aceleração dessa partícula é:
a) a(t) = A sen(t)
b) a(t) = - A cos(t)
c) a(t) = - A  sen(t)
d) a(t) = A2 cos(t)
e) a(t) = - A 2 cos(t)
Solução: Alternativa (e). A velocidade da partícula é a derivada de sua posição em
relação ao tempo: v(t) = - A

sen(t). A aceleração, por sua vez, é a derivada da
velocidade em relação ao tempo: a(t) = - A 2 cos(t).
5) Um artefato, inicialmente em repouso, explode dividindo-se em três fragmentos que se
deslocam com velocidades v1, v2 e v3. Ao se comparar a situação desse sistema antes
da explosão com a situação após a explosão é correto afirmar que:
a) Tanto a energia mecânica quanto o momento linear do sistema se conservam.
b) Nem a energia mecânica nem o momento linear do sistema se conservam.
c) A energia mecânica do sistema se conserva, mas seu momento linear não se
conserva.
d) O momento linear do sistema se conserva, mas sua energia mecânica não se
conserva.
e) A energia mecânica do sistema se conserva, mas sua energia cinética não se
conserva.
Solução: Alternativa (d). Como não há forças externas atuando sobre o sistema, seu
momento linear se conserva. Como parte da energia química armazenada no explosivo é
transformada em energia cinética, a energia mecânica do sistema não se conserva.
6) Um sistema é constituído por duas partículas de massas m1 = 2,0 kg e m2 = 3,0 kg que
se movem ao longo de uma trajetória retilínea. Se em um certo instante as velocidades
dessas partículas forem, respectivamente, v1 = 5,0 m/s e v2 = - 4,0 m/s, no referencial
do laboratório, determine a velocidade do centro de massa do sistema no referencial
do laboratório.
Solução:
7) Um automóvel viaja em uma rodovia em que há cinco postos de pedágio,
denominados A, B, C, D e E. A tabela abaixo mostra a posição quilométrica e o
instante em que o automóvel passou em cada um deles. A partir desses dados,
calcule:
a) a velocidade escalar média do automóvel em quilômetros por hora no trecho
compreendido entre os postos A e B;
b) a velocidade escalar média do automóvel em quilômetros por hora no trecho
compreendido entre os postos A e E.
Posto Posição
(km)
A
546
B
597
C
658
D
735
E
805
Solução:
Horário
13 h 01 min
13 h 51 min
14 h 27 min
15 h 12 min
16 h 13 min
8) O torque sobre uma partícula é dado no Sistema Internacional de unidades (SI) pelo
vetor  (t) = 3,0 t2 i + 2,0 j, que varia em função do tempo t. Nessa expressão i e j são,
respectivamente, os vetores unitários nas direções x e y. Calcule a variação do
momento angular dessa partícula entre os instantes t = 1,0 s e t = 2,0 s.
Solução:
9) Uma esfera maciça é solta a partir do repouso de uma altura h (ponto A) e rola sem
deslizar ao longo do trilho mostrado na figura. Supondo que o raio do trecho circular do
trilho seja um terço da altura h, calcule a velocidade da esfera ao chegar ao ponto B.
Considere que r, o raio da esfera, seja muito menor do que a altura h. Sua resposta deve
ser dada em função da aceleração da gravidade g e da altura h.
Dado: Iesfera = (2/5) m r 2.
Solução:
10) Um automóvel de 900 kg descreve uma curva em que a trajetória é uma circunferência
de raio R e a pista tem uma inclinação de 26º com a horizontal. A velocidade escalar
do automóvel é constante e seu valor é tal que a força de atrito perpendicular aos
pneus é nula. Calcule:
a) a magnitude da força normal que a pista exerce sobre o veículo;
b) o raio R da circunferência. Item (b) anulado (5 pontos dados a todos os candidatos)
Dados: sen 26º = 0,44; cos 26º = 0,90; g = 10 m/s2.
Solução:
UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
PROVA DE CÁLCULO 1 e 2
PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 28/06/2015
CANDIDATO:
CURSO PRETENDIDO:
OBSERVAÇÕES:
1.
2.
3.
4.
Prova SEM consulta;
A prova PODE ser feita a lápis;
PROIBIDO o uso de calculadoras e similares;
Duração: 2 HORAS.
x
Seja a função f(x) = 1+22 x+1 , qual a função inversa de f(x)?
1
x
1
x
c)
ln
d)
ln
e) @ inversa
b) ln x+2
x
ln 2
1−2x
ln 2
1+2x
Questão 1 (10 pontos).
a) log2 (x − 2)
Resposta: c)
Considere:
y=
2x
1 + 2(2x )
Isolando 2x obtemos,
2x =
y
1 − 2y
Assim, obtemos
−1
f (x) = log2
x
1 − 2x
.
Logo, mudando a base do logaritmo, a função inversa é
1
x
−1
f (x) =
ln
.
ln(2)
1 − 2x
Questão 2 (10 pontos).
Avalie:
lim−
x→5
a) e5 /6
b) -e5 /6
c) +∞
ex
(x − 5)3
d) −∞
e) @
Resposta: d)
O numerador tem limite e5 , pois é uma função contı́nua. O denominador vai para zero,
por valores negativos, logo o limite tende a −∞.
Questão 3 (10 pontos). Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva
x3 + y3 − 6xy = 0, no ponto (3, 3).
a) 1
b) 0
c) -1
d) -6
e) @
Resposta: c)
Caculando a derivada implicita obtemos,
y0 =
6y − 3x2
3y2 − 6x
Avaliando em (3, 3), temos:
y0 =
Questão 4 (10 pontos).
18 − 27
= −1.
27 − 18
Encontre os valores de x para os quais a série é convergente.
∞
X
n=0
a) x ∈ [−1, 1]
b) x ∈ [0, 1]
1
(1 + x2 )n
c) x ∈ (0, 1)
d) x 6= 0
e) x ∈ (−1, 1)
Resposta: d)
Usando o teste da razão, temos
an+1
1
=
an
1 + x2
Se x 6= 0, o limite desta razão fica positivo e menor que 1. Quando x = 0 a série
claramente diverge.
Questão 5 (10 pontos).
Calcule:
Z1
0
a)
4
3
b)
1
2
c) ln 2
d)
π
4
1
dx
1 + x2
e) ln 4
Resposta: d)
2
Usando a mudança de coordenadas x = tan(θ), temos
Z1
0
Questão 6 (10 pontos).
1
dx =
1 + x2
Z π/4
dθ =
0
π
.
4
Avalie o limite:
lim
(x,y)→(0,0) x2
xy
+ y2
Resposta:
Pelo caminho x = y, temos
1
x2
=
x→0 2x2
2
lim
e pelo caminho x = 0, temos
0
= 0.
y→0 y2
lim
Logo, o limite não existe.
Questão 7 (10 pontos). Considere a função F(x, y) = x2 + y2 e a curva g(t) = (t, t2 ).
Calcule a derivada da composição de F com g para t = 1, isto é,
d
(F ◦ g) (t)
dt
Avaliado em t = 1, vale quanto?
Resposta:
Usando a regra da cadeia, temos
d
dx
dy
(F ◦ g) (t) = 2x
+ 2y
dt
dt
dt
avaliando em t = 1, vem
d
(F ◦ g) (1) = 6.
dt
Questão 8 (10 pontos).
Considere a função:
x2 sen x1 + x, x 6= 0
f(x) =
0,
x=0
Calcule f 0 (0).
3
Resposta:
Da definição de derivada temos
f(x) − f(0)
,
x→0
x−0
f 0 (0) = lim
desde que o limite exista.
Calculando o limite obtemos f 0 (0) = 1.
Questão 9 (10 pontos). Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2
de papel. Determine as dimensões para que a caixa tenha volume máximo.
Resposta:
O volume da caixa é dado pelo produto de suas arestas. Sejam x, y e z, respectivamente,
comprimento, largura e altura da caixa. Assim, o volume é dado por
V(x, y, z) = xyz
e a área da caixa é dada por
A = 2xz + 2yz + xy
Temos que A = 12, por hipótese. Assim, isolando z na expressão da área, obtemos
V(x, y) =
12xy − x2 y2
2(x + y)
Encontremos ∇V(x, y). Precisamos encontrar apenas as raı́zes comuns das entradas do
vetor gradiente.
Vx =
y2 (12 − 2xy − x2 )
,
2(x + y)2
Vy =
x2 (12 − 2xy − y2 )
.
2(x + y)2
Resolvendo obtemos, como ponto crı́tico admissı́vel (2, 2). Logo, as dimensões serão
x = 2, y = 2 e z = 1.
Questão 10 (10 pontos).
Se F(x) =
Rx
0
2
e−t dt. Calcule F 00 (x).
Resposta:
2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos F 0 (x) = e−x , logo usando a regra da cadeia
2
vem F 00 (x) = −2xe−x .
4