Funções trigonométricas - Unifal-MG

Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski.
Parte 4
Trigonometria e relações trigonométricas
Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos
assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado
mais comprido, oposto ao ângulo de 90º (ângulo reto), chama-se
hipotenusa e os demais se chamam catetos. O cateto que forma o
ângulo θ, na figura, com a hipotenusa é o cateto adjacente ao ângulo
e o outro o cateto oposto.
Teorema de Pitágoras
O grego Pitágoras formulou o seguinte teorema para o triângulo retângulo: a soma do quadrado
dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Isto é:
x ²  y ²  h²
Relações trigonométricas de ângulos
Os lados do triângulo podem ser relacionados com o ângulo θ, através de relações denominadas
trigonométricas:
Seno do ângulo θ ou sen(θ)
É o quociente entre o cateto oposto ao ângulo θ e a hipotenusa:
sen   
Cosseno do ângulo θ ou cos(θ)
cateto oposto y
 .
hipotenusa
h
É o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo θ e a hipotenusa;
cos   
Tangente do ângulo θ ou tan(θ)
cateto adjacente x

hipotenusa
h
É o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente:
tan   
cateto oposto
y
 .
cateto adjacente x
Note que a tangente pode ser escrita como:
tan( ) 
y h  sen( )


x h  cos( )
1
tan( ) 
sen( )
cos( )
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Parte 4
Funções trigonométricas derivadas
Secante do ângulo θ ou sec(θ)
sec   
Co-Secante do ângulo θ ou cosec(θ)
1
cos  
cosec   
Co-Tangente do ângulo θ ou cotan(θ)
cotan   
1
sen  
1
tan  
A equação fundamental da trigonometria
A equação fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitágoras:
x2  y 2  h2
x
y
 x  y
 sen   e  cos   .
      1 mas
h
h
h h
2
2
sen 2    cos 2    1
Desta equação podemos derivar outras. Dividindo ambos os lados por cos2   :
sen 2  
cos  
2
ou, dividindo por sen 2   :

cos 2  
cos  
2
tan 2    1 
sen 2  
sen  
2


1
1
cos 2  
cos 2  
cos 2  
sen  
2
cotan 2    1 
2

1
1
sen 2  
sen 2  
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Parte 4
Problema da altura da torre
Um problema interessante é o cálculo da altura da torre a partir dos ângulos α e β.
Fazendo a medição dos ângulos separados pela distância de 10 m mostrado na figura, mediu-se
  20o e   18o . Então, das funções trigonométricas obtemos:
h

 h  b tan(  ) 

b
  b tan(  )  a tan( )
h
tan( )   h  a tan( ) 

a
mas b  a  10
então:
tan(  ) 
 a  10  tan(  )  a tan( )
a  tan(  )  tan( )   10 tan(  ) 
mas a 
h
tan( )
h
10 tan(  )

tan( ) tan( )  tan(  )

h
a
10 tan(  ) tan( )
tan( )  tan(  )
Substituindo os valores das tangentes dos ângulos:
tan( )  tan(20o )  0,367
tan(  )  tan(18o )  0,325
h
10 tan(  ) tan( )
 30,3m
tan( )  tan(  )
3
10 tan(  )
tan( )  tan(  )
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Parte 4
Outro problema de medição de altura
A medição da altura do prédio pode ser feita utilizando-se a luz
solar (e a sombra produzida pelo prédio) e uma estaca de altura
conhecida colocada ao lado.
Note
que,
neste
caso,
a
H
para o prédio, e é a mesma relação para a estaca:
X
h
Port
tan( )  , então,
x
tan( ) 
H h
h
  H X
X x
x
anto, conhecendo-se o comprimento das sombras e a altura da
estaca, pode-se determinar o valor da altura do prédio H.
Seno, cosseno e tangente como funções reais de variável real
Na figura ao lado, a circunferência foi dividida em ângulos na unidade radianos, onde uma volta inteira
corresponde a 2π radianos ou rad. Isto é, π é a razão entre o diâmetro da circunferência e o comprimento
dela:

comprimento comprimento

diâmetro
2  raio
comprimento
 2
raio
.
Portanto θ tem unidade rad e, neste caso, pode ser usado como
qualquer número nas operações matemáticas, por exemplo:
se  

4
então a operação
2   2 

4
 1, 41 
3,14
 2, 2
4
O mesmo não poderia ser feito se θ fosse expresso em graus.
A origem da medida dos ângulo é no eixo das abscissas (x). O eixo
vertical y (ordenadas) corresponde, portanto, a um ângulo de 90º ou θ
= π/2.
4
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Parte 4
Considere o triângulo retângulo à direita do eixo y. O ângulo é θ e o valor das funções trigonométricas
seno e cosseno é:
sen( ) 
y
h
cos( ) 
x
h
Agora considere o triângulo retângulo à esquerda do eixo y. O ângulo agora é π – θ. Então:
x
h
cos       cos  
sen     
cos     
y
h
sen      sen  
Portanto, a função sen   é uma função par e cos   uma função
ímpar.
Agora analisemos o triângulo inferior. Neste caso,
sen     sen  2    
sen      sen  
y
h
cos     cos  2    
cos     cos  
x
h
Portanto, isto prova novamente o caráter ímpar para a função
cosseno e par para a função seno.
Agora analisemos os casos em que θ =0 e θ = π/2.
Quando θ =0, x será igual ao valor da hipotenusa, isto é, x = h, enquanto que y = 0. Portanto:
sen  0  
cos  0  
y
0
h
x h
 1
h h
Portanto, podemos construir uma tabela com valores de θ mais comuns:
sen   
y
h
cos   
x
h
tan   
Θ
graus
x
y
0
0º
h
0
0
90º
0
h
1
0

2
2
2
2
1
1
2
1
4
4
3


45º
2
2
h
2
2
h
1
0

270º
0
h
-1
0

π
180º
-h
0
0
-1
0
5
y
x
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Parte 4
Soma e subtração de ângulos.
Algumas propriedades trigonométricas interessantes referem-se à soma ou subtração de ângulos. São elas:
cos      cos    cos    sen    sen  
*Prova no anexo 1
sen      sen    cos    cos    sen  
Estas equações podem ser usadas para determinar o valor do seno ou cosseno de ângulos desconhecidos.
Por exemplo, qual o sen  6  ou sen  30o  ?
     
 
 
  
 
  
sen    sen        sen    cos     cos    sen   
2
6
6 6
6
6 6
 6  6 6 
   
 
 
  
   
 
 
  
1  sen    cos   cos    sen   sen     cos   sen    cos    cos    sen   
 6   6 
6
6
 6 
 6   6 
6
6
 6 
 
 
 
 
 
1   sen 3    3sen   cos 2    cos 2    1  sen 2  
6
6
6
6
6
 
 
  
 
 
1   sen 3    3sen   1  sen 2     4sen 3    3sen  
6
 6 
 6 
6
6
 
 
4sen 3    3sen    1  0
6
6
A resolução desta equação do terceiro grau fornece3 raízes:
 
 
  1
sen1    1, sen 2    sen 3   
6
6
6 2
 
como sen   está no primeiro quadrante, a soluça o negativa não é valida.
6
  1
Portanto sen   
6 2
Tente fazer cos  6  , sen  12  e sen  3 
Também podemos obter
tan     
sen    
cos    
sen    cos    cos    sen  
tan     

cos    cos    sen    sen  
tan     
tan    tan  
1  tan    tan  
sen  cos    cos sen  
cos  cos 
cos  cos   sen  sen  
cos cos 
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Parte 4
Soma de ângulos iguais
Da primeira equação, fazendo α = θ, obtemos:
cos      cos    cos    sen    sen  
cos  2   cos 2    sen 2  
mas
cos 2    sen 2    1  sen 2    1  cos 2  
cos  2   2 cos 2    1
ou
cos  2   1  2sen 2  
Da segunda equação, fazendo α = θ, obtemos:
sen      sen    cos    cos    sen  
sen  2   2 sen    cos  
Periodicidade das funções trigonométricas
As funções seno e cosseno são funções periódicas, cujo período é π.
Note que, ao substituirmos θ nas equações abaixo por n   2  , onde n é um número inteiro, ou o número
de voltas em torno da circunferência, obtemos:
cos      cos    cos    sen    sen  
cos   2 n   cos    cos  2 n   sen    sen  2 n 
mas sen  2 n   0 para qualquer n
e cos  2 n   cos  2n     1 pois 2n é par para qualquer n e portanto tem-se múliplos de 2 .
portanto
cos   2 n   cos  
n
sen   2 n   sen    cos  2 n   cos    sen  2 n 
sen   2 n   sen  
Portanto as funções seno e cosseno tem o mesmo valor para   1  2 ,   2  2 ,   3  2 , ...,   n  2 .
Observe no gráfico a periodicidade com que a função se repete:
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Parte 4
cos()
sen()
1,0
1,0
0,5
0,5
0,0

A

0,0

A
-0,5
-0,5
-1,0
-1,0

Embora não sejam contínuas, isto é, possuem valores que tendem a infinito, as demais funções
trigonométricas também são periódicas:
cotan()
tan()
0


0

sec()
0


cossec()

0

8

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Parte 4
Ângulo de fase:
As funções trigonométrica, por serem periódicas, costumamos chamar uma constante somada ao ângulo
de ângulo de fase, por exemplo:



cos      é o ângulo de fase
2
2

Uma aplicação é a rede elétrica trifásica. A energia elétrica é uma função co-senoidal e cada fio (ou fase)
tem amplitude máxima de 127 Volts, como na figura, sendo cada onda defasada da outra de 120º, ou
ângulo de fase de 23  , isto é, a fase 1 começa em θ = 0, a fase 2 em θ = 0+ 23  e a fase 3 em θ =
0+2. 23 
(
a
escala
x
=
θ,
é
uma
função
do
tempo,
isto
é,
  t , onde  é a frequência angular de  2 .60 Hz  :
Fase 1
Fase 2
220
Fase 3
Fase 2 - Fase 1
132
Volts
44
-44
-132
-220
0
0,5
1
1,5
Múltiplos de Pi
2
2,5
3
Ligando um aparelho na fase 1 e no terra (0 V), tem-se 127 V, mas se ligar o aparelho em duas fases (fase
2 – fase 1) obtém-se 220 V, representada pela função de maior intensidade.
Anexo I - Demonstração da adição e subtração de arcos
Considere o círculo trigonométrico de raio h = 1 abaixo:
9
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Parte 4
Observando as construções geométricas no círculo trigonométrico acima, podemos deduzir que os
triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e semelhantes. Então, podemos construir algumas relações:
Os triângulos OVS e OMP são semelhantes, logo:
Substituindo as relações (1), (2), (7) na igualdade acima, obtemos:
10
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Parte 4
Os triângulos QTS e OMP são semelhantes, logo:
Substituindo as relações (3), (4) e (7) na igualdade acima, obtemos:
Agora que já construímos algumas relações principais, vamos às demonstrações:
cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sen(b)sen(a)
Observando o círculo trigonométrico da figura 1, notamos que:
Podemos concluir também que:
Se substituirmos as relações (5) e (8) na igualdade acima, obteremos:
cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sen(b)sen(a)
Da relação (10) temos que:
Se quisermos determinar cos(a – b), podemos escrever a relação acima como:
11
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Parte 4
Mas, se observarmos o círculo trigonométrico da figura 1, deduzimos que:
Então:
Em contrapartida, podemos escrever:
Então teremos:
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)
Sabemos que:
Se fizermos θ = (a + b), teremos:
Da mesma forma, temos:
Temos aqui um cosseno da diferença entre dois arcos e é dado pela relação (11), logo:
Mas, observando a relação (12), vemos algumas similaridades coma relação (13) e podemos escrevê-la
assim:
12
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Parte 4
sen(a – b) = sen(a)cos(b) – sen(b)cos(a)
Da relação (14) temos que:
Se quisermos determinar sen(a – b), podemos escrever a relação acima como:
No entanto:
e
Fazemos:
13