1 Universidade Salvador – UNIFACS Cursos de Engenharia

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Universidade Salvador – UNIFACS
Cursos de Engenharia – Métodos Matemáticos Aplicados / Cálculo Avançado /
Cálculo IV
Profa: Ilka Rebouças Freire
Série de Fourier
Texto 01: Introdução. Alguns Pré-requisitos
No curso de Cálculo III estudamos as séries de potências de ( x − a ) que aproximam uma
função f(x), numa vizinhança de a, através de polinômios. Outro tipo de séries que servem
para aproximar funções são as chamadas séries trigonométricas que têm como elementos
fundamentais não potências de x ou ( x − a ), mas funções periódicas simples como senos e
cossenos. As funções periódicas ocorrem com muita freqüência nos problemas das
Engenharias. Elas se apresentam, no entanto, de forma um tanto complicada, em muitas
aplicações. O que desejamos é desenvolver uma teoria que nos permita escrever tais
funções em termos de funções periódicas mais simples, como, por exemplo, seno e
cosseno.
O nosso objetivo será analisar, sob que condições, dada uma função periódica f(x) ela
poderá ser escrita como soma de senos e cossenos. Mais precisamente, na forma da série
f (x ) =
ao ∞
+ ∑ (a n cos nx + b n sennx)
2
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que é chamada de série trigonométrica ou série de Fourier em homenagem ao físico e
matemático francês Jean Baptiste Fourier ( 1768-1830), que utilizou as séries
trigonométricas em seus estudos sobre a teoria do calor.
As séries de Fourier desempenham papel importante no estudo dos modelos físicos que
descrevem pequenas oscilações de uma membrana elástica, no fenômeno da condução do
calor em uma barra, na concentração de substâncias químicas e na análise de sistemas
mecânicos ou elétricos onde as forças envolvidas são periódicas. Além disso, será
ferramenta importante para a resolução de equações de derivadas parciais.
Vamos estabelecer alguns resultados de caráter elementar sobre as séries de Fourier.
Inicialmente faremos algumas considerações sobre funções periódicas, funções pares e
ímpares
Funções Periódicas
Definição: Uma função f(x) é dita periódica quando ela é definida para qualquer x real e
existe um número positivo T tal que f(x + T) = f(x). O menor valor positivo de T tal que
2
f(x + T) = f(x) é chamado de período mínimo, período primitivo ou simplesmente período
da função.
Observações:
•
•
•
O gráfico de uma função periódica de período T é obtido pela repetição periódica
de seu gráfico em qualquer intervalo de comprimento T.
Se n é um inteiro qualquer então f( x + nT) = f(x + T) = f(x). Ou seja, se f tem
período T, então qualquer múltiplo de T, nT ( n ≠ 0 ) é também um período de f .
A função constante f(x) = k tem qualquer número como período.
Exemplos:
1) As funções senx e cosx têm período 2π
sen( x + 2π) = senx
cos(x + 2π ) = cosx
2) As funções sen(nx) e cos(nx) têm período
2π
n
2π
)) = sen (nx + 2 π) = sen(nx )
n
2π
cos(n ( x + )) = cos(nx + 2 π) = cos(nx )
n
sen (n ( x +
Observemos que 2π é também um período de sen(nx) e cos(nx) mas não é o menor
sen(n(x+2π))=sen(nx +2πn)=sen(nx)cos(2πn)+sen(2πn)cos(nx)=sem(nx), uma vez que
sem(2πn) = 0 e cos(2πn)=1
3) A função tangente tem período π.
tg(x + π) = tgx
3
4) Esboçar o gráfico das seguintes funções periódicas
0; − π < x < 0
;
 x; 0 < x < π
a) f ( x ) = 
f periódica de período 2π.
b) f ( x ) = x;
−π<x≤ π;
f periódica de período 2π.
− x ; − π < x < 0
;
 x; 0 < x < π
c) f ( x ) = 
f periódica de período 2π.
Propriedade:
L
a + 2L
Se f(x) é uma função periódica de período 2L, então ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx ,
−L
•
∀ a∈R
a
Esta propriedade significa que o valor da integral de uma função periódica de
período 2L é o mesmo em qualquer intervalo de comprimento igual ao período. O
4
resultado é facilmente justificado se usarmos a interpretação geométrica da integral
definida como área de uma região.
Funções Pares e Impares
Definição: Uma função f(x) é dita
• Par, se f(x) = f(−x) , para todo x do domínio
• Impar, se f(x) = − f(−x), para todo x do domínio
Exemplos:
1. f(x) = x2 é uma função par, pois f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x)
2. f(x) = x3 é uma função ímpar, pois f(−x) = (−x)3 −x3 = − f(x)
3. f(x) = cosx é par, pois cos(−x) = cosx
4. f(x) = senx é ímpar, pois sen( −x) = −senx
Observações:
• O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo OY.
• O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem
O fato da função cosseno ser par e da função seno ser ímpar vai desempenhar um papel
importante quando do desenvolvimento de uma função na sua série trigonométrica.
Veremos, portanto, algumas propriedades das funções pares e ímpares que nos serão úteis.
Propriedades:
1. Se f e g são funções pares, então f.g é uma função par.
2. Se f e g são funções ímpares, então f.g é uma função par.
3. Se f é uma função par e g é uma função ímpar, então f.g é uma função ímpar.
a
a
4. Se f é uma função par, então ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx
−a
0
5
a
0
a
−a
a
−a
a
D] ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = − ∫ f (− x )dx + ∫ f ( x )dx
−a
−a
0
0
0
0
0
− x = t ⇒ −dx = dt

Mudando a variável na 1ª integral da última igualdade x = −a ⇒ t = a
obtemos
x = 0 ⇒ t = 0

−a
a
a
a
a
− ∫ f ( x )dx = ∫ f ( t )dt = ∫ f ( x )dx . Logo, ∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx
0
0
0
−a
0
a
5. Se f é uma função ímpar, então ∫ f ( x )dx = 0
a
0
−a
−a
a
a
D] ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
−a
−a
0
0
0
− x = t ⇒ −dx = dt

e usando o
Mudando a variável na 1ª integral da última igualdade x = −a ⇒ t = a
x = 0 ⇒ t = 0

fato que f é ímpar, ou seja, f(x) = −f( −x) obtemos
−a
−a
a
a
a
∫ f ( x )dx = ∫ − f (− x )dx = − ∫ f ( t )dt = − ∫ f ( x )dx . Logo, ∫ f ( x )dx = 0
0
0
0
0
−a
Exercício: Utilizando as propriedades das funções periódicas, pares e ímpares e
identidades trigonométricas (*), mostre que:
π
1) ∫ cos nx cos kxdx = 0 ( n ≠ k)
−π
D]
π
π
∫ cos nx cos kxdx = 2 ∫ cos nx cos kxdx = 2
0
−π
=
1π
sen (n + k ) x sen(n − k ) x π
+
]0
∫ (cos(n + k ) x + cos(n − k ) x )dx = [
20
n+k
n−k
sen (n + k ) π sen (n − k ) π
+
=0
n+k
n−k
π
2) ∫ cos 2 kx dx = π ( k ≠ 0 )
−π
π
π 1 + cos 2kx
D] ∫ cos 2 kx dx = 2 ∫
−π
0
2
dx = [ x +
π
3) ∫ sen nx senkx dx = 0 ( n ≠ k)
−π
sen 2kx π
sen 2kπ
]0 = π +
− 0 − 0] = π
2k
2k
6
π
π
1π
20
−π
0
sen (n − k ) x sen (n + k ) x π sen( n − k ) π sen (n + k ) π
[
−
]0 =
−
=0
n−k
n+k
n−k
n+k
D] ∫ sen nx senkx dx = 2 ∫ sen nx senkx dx = 2 ∫ [cos(n − k ) x − cos(n + k ) x )]dx =
π
4) ∫ sen 2 kx dx = π ( k ≠ 0 )
−π
π
π 1 − cos 2kx
D] ∫ sen 2 kx dx = 2 ∫
0
−π
2
dx = [ x −
sen 2kx π
sen 2kπ
]0 = π −
− 0 + 0] = π
2k
2k
π
5) ∫ cos nx senkx dx = 0
−π
D] cosseno é par e seno é ímpar, logo o produto é ímpar e portanto a integral é 0.
Os resultados podem ser resumidos no seguinte quadro
0;
π;
π
1. ∫ cos nx cos kxdx = 
−π
0;
π;
π
2. ∫ sennxsenkxdx = 
−π
se n ≠ k
se n = k e k ≠ 0
se n ≠ k
se
n=k
e k≠0
(*) Identidades trigonométricas:
1
(cos(p + q) + cos(p − q) )
2
1
2. senpsenq = (cos(p − q ) − cos(p + q ) )
2
1
−
cos 2p
3. sen 2 p =
2
1
+
cos
2p
4. cos 2 p =
2
1. cos p cos q =
Referências Bibliográficas:
1. Boyce/ Di Prima – Equações Diferenciais Elementares LTC
2. Dennis Zill/ Michael Cullen - Equações Diferenciais vol 2 Makron Books
3. George B. Thomas – Cálculo vol 2 Pearson
4. Marivaldo P Matos – Séries e Equações Diferenciais Prentice Hall