lógica proposicional - Ulisses Cotta Cavalca

FACULDADE PITÁGORAS
Curso Superior em Tecnologia
Redes de Computadores e Banco de dados
Matemática Computacional
Prof. Ulisses Cotta Cavalca
<[email protected]>
LÓGICA PROPOSICIONAL
Belo Horizonte/MG
2014
1. ELEMENTO DA LINGUAGEM INFORMAL E OUTROS TÓPICOS
FRASE é o elemento de comunicação que relaciona palavras entre si de modo a
estabelecer uma mensagem com sentido completo:
•
Declarativa: “O sol é uma estrela”
•
Imperativa: “Não faça isto!”
•
Interrogativa: “Onde você mora?”
•
Exclamativa: “Parabéns!!!”
PROPOSIÇÃO é uma frase declarativa a qual pode ser atribuído, sem
ambiguidade, um dos valores lógicos: Verdadeiro (V) ou Falso (F). Exemplos:
•
•
•
O Japão fica na África
O Brasil não é uma ilha
3+4=7
Não são preposições:
•
•
3+4 (não tem predicado)
onde você vai? (interrogativa)
Proposições serão representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto:
p: O México fica na América do Norte
q: O número 16 é primo.
CONECTIVOS LÓGICOS, ou operadores lógicos, são palavras ou expressões
que se usam para formar novas proposições a partir de outras preposições:
•
não (negação)
•
e (conjunção)
•
ou (disjunção)
•
se … então … (condicional)
•
… se, e somente se … (bicondicional)
VALOR LÓGICO de uma preposição é a verdade (V) se a preposição for
verdadeira e é a falsidade (F) se a proposição for falsa:
p: O sol é verde → V(p)=F
q: Um hexágono tem seis lados → V(q)=V
r: 2 é raiz da equação x² + 3x – 4 = 0 → V(p)=F
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA
Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser simultaneamente
verdadeira (V) e falsa (F).
Princípio do terceiro excluído: Toda preposição ou só é verdadeira (V) ou só é
falsa (F).
Logo, toda preposição admite um e um só dos valores V e F.
REPRESENTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES LÓGICAS
Proposições lógicas podem ser representadas através de diagramas de árvores ou de
tabelas verdade.
Seja a proposição P composta por p: P(p)
Diagrama em árvore
V
p
F
Tabela verdade
p
·
V
·
F
·
Seja a proposição P composta por p e q: P(p,q)
Diagrama em árvore
V
V
q
F
Tabela verdade
p q
V V ·
V F
p
F
V
q
F
·
·
F V ·
F F
·
2. OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES
2.1 NEGAÇÃO
Apresenta valor lógico oposto ao da proposição dada.
Seja a proposição p, a negação da proposição dada será ~p, as vezes também
denotada por ¬p (lê-se não p).
Tabela verdade
p
~p
V
F
F
V
p: O sol é uma planeta ~p: O sol não é um planeta
q: 2+3 = 5 ~q: 2+3 ≠ 5
Negar uma preposição p não é apenas afirmar algo diferente do que p afirma, ou
algo com o valor lógico diferente:
A proposição “O sol é uma estrela” (que é verdadeira) não é
negação da “O sol é um planeta” (que é falsa).
2.2 CONJUNÇÃO
Apresenta valor lógico se, e somente se, cada componente for verdadeira. Duas
proposições p e q podem ser combinadas pelo conectivo “e” para firmas uma proposição
composta denominada conjunção das proposições originais. Denota-se p^q (lê-se p e q).
Tabela verdade
p
q
p^q
p: Carlos estuda matemática; q: Calor joga xadrez
p^q: Carlos estuda matemática e joga xadrez
V
V
V
V
F
F
F
V
F
p: 2>0; q: 2 ≠ 5
F
F
F
p^q: 2>0 e 2 ≠ 5
2.3 DISJUNÇÃO
Pode traduzir tanto a ideia de hipótese mutuamente exclusiva (ou ocorre isto ou
aquilo) quanto a de que pelo menos uma das hipóteses ocorre:
Sejam p e q duas proposições combinadas pelo conectivo ou, para formar uma
proposição composta denominada disjunção. Denota-se p V q (lê-se p ou q).
A disjunção inclusa de duas proposições (p V q) é false se, e somente se, todas as
componentes forem falsas.
Tabela verdade
p
q
pvq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Determinar o valor lógico da proposição composta P dada a
seguir:
p: 3<π (pi)
(verdadeiro: V)
q: 2 não é primo
(falso: F)
P(p,q) = p V q → V(P)=F
Disjunção exclusiva
Seja o exemplo:
P(p,q): Pedro passará nos exames ou repetirá de ano.
p: Pedro passará nos exames.
q: Pedro repetirá de ano.
A proposição P será verdadeira somente nos casos em que p e q forem verdadeiros.
No caso o exemplo é falso, se Pedro passará nos exames e repetirá de ano.
2.4 CONDICIONAL
Dadas duas proposições p e q, o conectivo lógico “se …, então …” estabelece uma
relação condicional, traduzindo uma ideia de antecedência e consequência. Notação: p → q
(Lê-se p então q)
Tabela verdade
p
q
pvq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
A proposição condicional “Se chove, então a rua fica
molhada”, também pode ser lida das seguintes formas:
Chover é uma condição suficiente para a rua
ficar molhada.
A rua ficar molhada é uma condição necessária
quando chove.
De um modo geral, p → q só é falso quando p é verdadeiro e q é falso.
Outros exemplos:
1) Dadas as proposições
p: 1litro = 1 dm³
p → q: Se 1L = dm³ então 1mL = 1cm³
q: 1mL = 1cm³
2) Dada as proposições:
p: Chove
q: Faz Frio
p → q: Se chove, então faz frio.
2.5 BICONDICIONAL
Dadas duas proposições p e q, o conectivo lógico “… se, e somente se …”
estabelece uma relação bi condicional, traduzindo uma ideia de antecedência e consequência
se satisfazem mutuamente. Ou outras palavaras:
p é condição necessária e suficiente para q.
q é condição necessária e suficiente para p.
Notação: p ↔ q (Lê-se: p se, e somente se q)
Tabela verdade
p
q
pvq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Dadas as proposições:
p:  2 ∈ℚ
q:  21
p↔q:  2 ∈ℚ se, e somente se  21
Dada as proposições:
p: Perereca se transforma em sapo.
q: Sapo se transforma em príncipe
p↔q: Perereca se transforma em sapo se, e somente se sapo se
transforma em príncipe.
De um modo geral, p ↔ q só é verdadeiro quando V(p) = V(q)
2.6 PRIORIDADE DE CONJUNÇÕES LÓGICAS
Em geral será emprego parêntese para especificar ordem e agrupamento de
conjunções lógicas. De um modo geral, a tabela a seguir ilustra tais prioridades.
Operador Prioridade
~
1
^
2
V
3
→
4
↔
5
A conjunção tem prioridade sobre a disjunção:
p ^ q v r é o mesmo que (p ^ q) v r
Outra regra afirma que, conjunção e disjunção tem
prioridade sobre condicional e bicondicional.
p ^ q → r é o mesmo que (p ^ q) → r
3. TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÃOE INDETERMINAÇÃO
3.1 Tautologia
Dada um proposição composta P(p1,p2, … ,pn), definiremos como TAUTOLOGIA
quando o V(P) (valor de P) sempre for verdade (V).
Exemplo:
Exemplo:
p
~p
p v ~p
V
F
V
F
V
V
p: Chove.
Chove ou não chove.
3.2 Contradição
Dada um proposição composta P(p1,p2, … ,pn), definiremos
CONTRADIÇÃO quando o V(P) (valor de P) sempre for falsidade (F).
como
Exemplo:
Exemplo:
p
~p
p ^ ~p
V
F
V
F
V
V
p: Chove.
Chove e não chove.
3.3 Indeterminação
Dada um proposição composta P(p1,p2, … ,pn), P será INDETERMINADA (ou
contingente) se, e somente se, P não for uma tautologia e não for uma contradição.
4. IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Dada as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma implicação lógica
(ou relação de implicação) entre P e Q quando a proposição condicional P → Q é uma
tautologia.
Notação P ==> Q (Lê-se P implica Q)
Exemplo: Mostrar que (p^q) ==> p
p
q
p ^ q
(p ^ q) → p
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma equivalência lógica
entre P e Q quando suas tabelas verdade forem idênticas.
Notação: P ≡ Q ou P <==> Q (Lê-se P é equivalente a Q).
Exemplo: Mostrar que (p→q)^(q→p) e p↔q são equivalentes.
p
q
p→q
q→p
(p→q)^(q→p)
p ↔ q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
4.1 Negação da negação
Dada as proposições p e ~(~p).
p
~p
~(~p)
V
F
V
F
V
F
Conclusão: ~(~p) ≡ p
4.2 Negação da conjunção
Dada as proposições ~(p^q) e ~pV~q
p
q
p^q
~(p^q)
~p
~q
~pV~q
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
Conclusão: ~(p^q) ≡ ~pV~q
4.3 Negação da disjunção
Dada as proposições ~(pVq) e ~p^~q
p
q
pVq
~(pVq)
~p
~q
~p^~q
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
Conclusão: ~(p^q) ≡ ~pV~q
4.4 Negação do Condicional
Dada as proposições p→q e ~(p^~q).
p
q
p→q
~q
p^~q
~(p^~q)
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
Conclusão: p→q ≡ ~(p^~q)
5. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS NOTÁVEIS
Referências
p, q, r – proposições
τ - tautologia
γ - contradição
Dupla negação
~(~p) ≡ p
Leis idempotentes
p^p≡p
pVp≡p
Leis Comutativas
p^q≡q^p
pVq≡qVp
Leis Associativas
p ^ (q ^ r) ≡ (p ^ q) ^ r
p V (q V r) ≡ (p V q) V r
Leis Distributivas
p V (q ^ r) ≡ (p V q) ^ (p V r)
p ^ (q V r) ≡ (p ^ q) V (p ^ r)
Leis de De Morgan
~(p V q) ≡ ~p ^ ~q
~(p ^ q) ≡ ~p V ~q
Leis de Identidade
pVγ≡p
p^γ≡γ
p^τ≡p
pVτ≡τ
Leis Complementares
p V ~p ≡ τ
p ^ ~p ≡ γ
~τ ≡ γ
~γ ≡ τ
Condicional
p→q ≡ ~(p^~q) ≡ ~pVq
p → q ≡ ~q → ~p (Contrapositiva)
~(p→q) ≡ p^~q
Bicondicional
p ↔ q ≡ (p → q) ^ (q → p)
~(p ↔ q) ≡ p ↔ ~q ≡ ~p ↔ q
6. ARGUMENTOS
No contexto da matemática computacional, podemos definir “argumentar” como o
ato de estabelecer relação entre proposição dadas e uma conclusão.
P 1 , P 2 , ... , P n  n≥1 proposições quaisquer (simples ou
Definição: Sejam
compostas). Chama-se argumento a sequência finita de proposições P 1 , P 2 , ... , P n  n≥1
que tem como consequência a proposição C .
As proposições P 1 , P 2 , ... , P n  n≥1 chamam-se premissas do argumento, e a
proposição C chama-se conclusão do argumento. Uma argumentação com premissas
P 1 , P 2 , ... , P n com conclusão C indicamos por:
P 1 , P 2 , ... , P n −−C
Lê-se:
•
P 1 , P 2 , ... , P n acarretam C ;
•
P 1 , P 2 , ... , P n , logo C ;
•
P 1 , P 2 , ... , P n , então C ;
Definição: Um argumento P 1 , P 2 , ... , P n −−C é válido se, e somente se a
conclusão for verdadeira sempre que as premissas P 1 , P 2 , ... , P n forem verdadeiras.
Definição: Um argumento não-válido chama-se sofisma ou falácia.
Definição: Silogismo é um argumento formado por duas premissas e uma
conclusão.
Para análise de argumenta a partir de diagramas de Euler-Venn, seguem os
exemplos:
•
•
•
Todos os homens são mortais
Sócrates é homem.
Logo, Sócrates é mortal
Argumento é válido!
H
.S
M
•
•
•
Todos os brasileiros são felizes
Todos os paulistas são brasileiros
Logo, todos os paulistas são felizes
Argumento é válido!
P
B
F
A
•
•
•
Alguns animais podem raciocinar
O homem é um animal
Logo, o homem pode raciocinar
Argumento é sofisma!
.H
R
.H
Em algumas situações, o uso do diagrama de Euler-Venn torna-se inadequado para a
análise de argumentos. Dessa forma será utilizada a lógica proposicional, junto com a
tabela-verdade, para o estudo de argumentos.
Teorema: O argumento P 1 , P 2 , ... , P n −−C é válido se, e somente se o condicional
P 1 , P 2 , ... , P n −−C é uma tautologia.
Exemplos:
1) O argumento
(p→q), (r→s), (p V r) |––– (q V s)
corresponde ao condicional
( (p→q) ^ (r→s) ^ (p V r) ) → (q V s)
2) O condicional
( (p→q) ^ p ) → q
corresponde ao argumento
( (p→q), p ) |––– q
3) Determine a validade do argumento:
P1: Se um homem é solteiro, ele é infeliz
P2: Se um homem é infeliz, ele morre cedo.
C: Logo, solteiros morrem cedo
Considere as seguintes proposições:
p: homem é solteiro;
q: homem é infeliz;
r: homem morre cedo.
O argumento pode ser representado da seguinte forma
P1, P2 |––– C
Com o proposicional
P1 ^ P2 → C;
((p → q) ^ (q → r)) → (p → r)
Construindo a tabela-verdade:
p
q
r
P1: (p → q)
P2: (q → r)
P1 ^ P2
C: (p → r)
(P1 ^ P2) → C
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
Como P1 ^ P2 → C é uma tautologia, o argumento P1, P2 |––– C é válido
7. QUANTIFICADORES
No estudo da lógica, o uso dos quantificadores impõe a ideia de quantidade (ou
“quantificação”) na criação de proposições lógicas. Enquanto que na linguagem normal
empregamos as palavras muitos, todos, alguns, nenhum e poucos, na matemática formal
recorreremos à dois tipos de quantificação:
•
universal: um predicado (proposição ou sentença) é válido para todos os elementos
em consideração;
•
existencial: representa a existência de um ou mais elemento que validam um
predicado (proposição ou sentença).
Os quantificadores serão aplicados considerando os possíveis valores de uma
variável, ao qual denominaremos de domínio (conjunto D). Dessa forma, a proposição será
da seguinte forma:
∀ x ∈ D , P  x  ou ∃ x ∈ D , P  x 
DEFINIÇÃO: A quantificação universal de P(x) é a afirmação:
“P(x) é valida para todos os valores de x do domínio.”
A notação ∀ x P  x  indica a quantificação universal de P  x  . Aqui ∀ é
chamado de quantificador universal. Lemos ∀ x P  x  como “para todo x P(x)”. Um
exemplo para o qual P(x) é falsa é chamado de contra-exemplo para ∀ x P  x  .
DEFINIÇÃO: A quantificação existencial de P(x) é a proposição:
“Existe um elemento x no domínio tal que P(x)”
Usamos a notação ∃ x P  x para a quantificação existencial de P  x  . Aqui
P  x  é chamado de quantificador existencial.
Em síntese:
Sentença
Quando é verdadeira
Quando é falsa
∀ x Px
P(x) é verdadeira para todo x
Existe um x tal que P(x) é falsa
∃ x P  x
Existe um x tal que P(x) é verdadeira P(x) é falsa para todo x
Para mostrar que uma proposição da forma ∀ x ∈ D , P  x  é falsa, basta mostrar a
que a sua negação ∃ x ∈ D , ¬P  x  . Assim definimos um contra-exemplo.
Em síntese:
Sentença
Sentença negada
∀ x∈D , P x
¬∀ x ∈D , P  x≡∃ x ∈D ,¬ P  x 
∃ x∈D , Px
¬∃ x ∈ D , P  x ≡∀ x ∈D ,¬ P  x 
Exemplo 1
Seja P(x) a declaração “x+1>x”. Qual é o valor-verdade da quantificação
∀ x P  x  , no domínio de todos os números reais??
Como P(x) é verdadeira para todo número real x, a quantificação
verdadeira.
∀ x Px é
Exemplo 2
Qual o valor verdade de ∀ x P  x  , em que P(x) é a proposição “x² < 10”, e o
domínio é o conjunto dos inteiros positivos menores que 5? Se for falsa, qual é o seu contra
exemplo
A declaração ∀ x P  x  é o mesmo que a conjunção
pois o domínio é formado por esses quatro elementos.
Para
exemplo.
x=4 , P 4 :1610 . Dessa forma
P 1∧P 2∧P 3∧P  4 ,
∀ x P  x  é falsa, e
x=4 é o contra
Exemplo 3
Qual o valor verdade de ∃ x ∈ D , P  x  , em que P(x) é a proposição “x² > 10”, e o
domínio é o conjunto dos inteiros positivos menores que 5?
A declaração ∃ x P  x é o mesmo que a conjunção
pois o domínio é formado por esses quatro elementos.
Para x=4 , P 4 :1610 e ∃ x P  x é verdadeira.
P 1∨P 2∨P 3∨P  4 ,
8. REGRAS DE INFERÊNCIAS
Em algumas situações, verificar a validade de alguns argumentos por tabela verdade
pode demanda certo esforço. Dessa forma, recorremos às chamadas regras de inferência
para validade de alguns argumentos relativamente simples.
A tabela a seguir ilustra algumas regras de inferência:
Regra de inferência Tautologia
Nome
p
p q
q
 p∧ p  q q
Modus ponens
¬q
p q
¬p
¬q∧ p  q ¬ p
Modus tollens
p q
qr
p r
 p  q∧ q  r   p  r 
Silogismo hipotético
p∨q
¬p
q
 p∨q∧¬ p  q
Silogismo disjuntivo
 p  p∨q 
Adição
 p∧q  p
Simplificação
 p∧q p∧q
Conjunção
 p∨q∧¬ p∨r   q∨r 
Resolução
p
p∨q
p∧q
p
p
q
p∧q
p∨q
¬ p∨r
q∨r
Exemplo 1
Qual a regra de inferência para o seguinte argumento: “Está esfriando e chovendo agora.
Portanto, está esfriando agora.”
p: Está esfriando
q: Está chovendo
P1: p∧q → Está esfriando e chovendo agora
C : p → Portanto está esfriando
Argumento que usa regra de simplificação
E para estes casos...
Qual a regra de inferência para o seguinte argumento: “W3 chover, então não haverá
churrasco hoje. Se não houver churrasco hoje, haverá amanhã. Portanto, se chover hoje,
então haverá churrasco churrasco amanhã”
Regra do silogismo hipotético
Está esfriando agora. Portanto, está esfriando ou chovendo agora
Regra da adição
Se nevar hoje, então eu vou esquiar. Está nevando hoje. Portanto, eu vou esquiar
Regra modus ponens
Notas de aulas retirada de:
CURY, Márcia Xavier: Introdução à lógica (Estude e use. Série matemática), São Paulo.
Editora Érica, 1996.
ROSEN, Kenneth H.: Matemática Discreta e Suas Aplicações, São Paulo. Editora McGraw
Hill, 2009.