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Quantificadores
Primeiro quantificador universal (  )
Seja a proposição𝑝(𝑥) = {𝑥𝜖ℝ|2𝑥 − 4 ≥ 0}. Buscando os valores de 𝑥𝜖ℝ que
atendem a inequação temos, x  2. Nessas condições o conjunto solução é dado por
proposição𝑉 = {𝑥𝜖ℝ|𝑥 ≥ 2}. Assim podemos afirmar:
a) Para todo x de V , p( x) é verdadeira.
b) Qualquer que seja x  V , p( x) é verdadeira.
Indicamos esse fato usando a simbologia.
 x V  p( x) é verdadeira  ou  x V  : p( x)
 : lê-se qualquer que seja, todo, para todo.
Exemplo 1:
Seja a proposição
p( x) dada por p( x) =(∀𝑛𝜖ℕ)(𝑛 > −1). A proposição
p( x) é verdadeira e tem como conjunto verdade 𝑉 = {𝑛𝜖ℕ|𝑥 ≥ 0} , logo podemos
escrever:
 n V  p( x) é verdadeira 
Segundo quantificador existencial (  )
Analogamente como fizemos com o primeiro quantificador universal escrevemos:
 x V   p( x) é verdadeira  , o símbolo  lê-se: existe, algum.
Exemplo 2:
Seja a proposição
p( x) : Existe um número real x
símbolos(𝑥𝜖ℝ|𝑥 > 𝑥 2 ). De fato para x 
Exemplo 3:
A proposição
p ( x)   x 
tal que
x  x 2 , em
1 1 1 1
,   .
2 2 22 4
| x 2  4  0 é falsa, e podemos
escrever
(∄𝑥𝜖ℝ)(𝑥 2 = −4).
Exemplo 4:
Seja a proposição
Não existe aluna feia que estude nesta sala. Escrevendo de forma equivalente:
Qualquer que seja a aluna desta sala ela é não feia.
Escrevendo em símbolos temos:
1
2
A( x) : aluna feia
E( x) : estuda nesta sala.
 x   A( x)  E ( x)  ou (x)( A( x)  E( x))
Exemplo 5:
Seja a proposição: Existe número par que não é inteiro.
Escrevendo em símbolos temos:
p( x) : número par.
i( x) : número inteiro.
 x  p( x)  i( x)  .
Exemplo 6: Negue a proposição:
(∃𝑥𝜖ℝ)(2𝑥 = 𝑥)
Negando:
 (x  )  2 x  x 
 x   2 x  x 
 x    2 x  x 
Exemplo 7:
Negue a proposição: Para todos os números naturais
Em símbolos:
(n)(n  )(n  2  4) .
Negando:
n , n  2  4.
(n)(n  , n  2  4) (n)(n  )(n  2  4) , lê-se:
Existe um
n
tal que
n  2  4.
Exemplo 8:
Negue a proposição: Existe um planeta habitável.
Negando:
Todos os planetas não são habitáveis.
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Exercícios de aplicação 01:
Escreva as proposições usando os quantificadores.
1) Todo número primo é inteiro.
2)Existe aluno que não estuda.
3) Ele foi para Botucatu.
4)Ninguém almoçou aqui.
5) Negue a sentença:
Existe número par que não é inteiro.
6) Negue a sentença:
Existe aluno que não estuda.
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7) Sejam as proposições:
x é número natural não nulo.
A( x) : x é divisível por 2.
Traduzir as sentenças.
a)
 x  A( x)  :
b)
 x  A( x)  :
c)
 x  A( x)  B( x)  :
d)
 x  A( x)  B( x)  :
B( x) : x é divisível por 3.
8) Sejam as proposições: x é número natural não nulo.
A( x, y) : x é maior que y.
B( x,100) : x é maior que
100.
Traduzir as sentenças.
a)
 x  y  A( x, y)  :
b)
 x  y  A( x, y)  :
c)
 x  y  A( x, y)  :
d)
 x  y  A( x, y)  :
e)
 x  B( x,100)  :
f)
 x  B( x,100)  :
4
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9) Sejam o universo seres vivos e
A( x) : x é velocista.
B( x) : x é veloz.
Escreva as proposições na forma de
A( x) e B( x).
a) Todos que são velocistas são velozes.
b) Todos são velocistas e todos são velozes.
c) Existem seres que são velocistas e seres que não são velozes.
d) Existem seres que são velocistas e que não são velozes.
10) Negue as proposições.
a)
 x    x
b)
 x   2 x  5x  7 x  .
2
 3x  2  .
11) Negue as proposições. Sendo
a)
 x  A x  3  6.
b)
 x  A x  3  6 .
A  1,2,3,4 .
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6
12) Negar as proposições. Sendo x número real.
a)
 x  x  2  7    x   x
b)
 x   x
2
2
 1  3 .
 9    x  2 x  5  7  .
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