da unidade 6

Módulo 2
Cálculo Integral
Função primitiva
1RHVWXGRGDGHULYDGDSULPLWLYDWtQKDPRVXPDIXQomRHREWLYHPRVDSDUWLUGHODXPDRXWUDDTXHFKDPDPRV
de derivada1HVWDVHomRIDUHPRVRFDPLQKRLQYHUVRLVWR
é, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma
IXQomRRULJLQDOTXHFKDPDUHPRVGHSULPLWLYD9RFrGHYH
REVHUYDUTXHpLPSRUWDQWHFRQKHFHUEHPDVUHJUDVGH
derivação e as derivadas de várias funções, estudadas no
Capítulo 5, para determinar as primitivas. O que acabamos
GHPHQFLRQDUQRVPRWLYDDVHJXLQWHGHÀQLomR
Nesta unidade, passaremos
a nos preocupar com o
teorema mais importante
do cálculo diferencial, que
é o Teorema Fundamental
do Cálculo. É importante
TXHYRFrFRPSUHHQGDHVWD
temática antes de prosseguir
seus estudos. Não esqueça
TXHYRFrQmRHVWiVR]LQKR
conte com o Sistema de
$FRPSDQKDPHQWRSDUD
auxiliar-lo nas suas dúvidas.
Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função
f (x) em um intervalo I , se para todo x DI , tem-se
F '(x) f (x) .
Vejamos alguns exemplos.
x5
Exemplo 7.1 A função F (x) é uma primitiva da função f (x) x 4 ,
5
pois
4
5x
F '(x) x 4 f (x) , ™x D°
5
x5
x5
Exemplo 7.2 As funções T (x) 9 , H (x) < 2 também são
5
5
4
primitivas da função f (x) x , poisT '(x) H '(x) f (x) .
281
Curso de Graduação em Administração a Distância
Exemplo 7.3 A função F (x) f (x) e < 3x , pois
e <3 x
é uma primitiva da função
<3
<3 = e <3x
F '(x) e <3x 1 f (x) , ™x D° .
<3
Exemplo 7.4 A função F (x) x x 2 é uma primitiva da função
1
f (x) , pois
2 x
1
1
<
1 <1 1
1
1
1
F '(x) x 2 = x 2
= 1 f (x) , x 0 .
2
2
2
2
x
x2
Observação Seja I um intervalo em ° . Se F : I A ° é uma primitiva de
f : I A ° , então para qualquer constante real k , a função G(x) dada por
G(x) F (x) k é também uma primitiva de f (x) .
Se F ,G : I A ° são primitivas de f : I A ° , então existe uma
constante real k , tal queG(x) F (x) k , para todo x DI .
Exemplo 7.5 Sabemos que sen x ' cos x . Assim, F (x) sen x
é uma primitiva da função f (x) cos x e toda primitiva da função
f (x) cos x é do tipo G(x) sen x k para k D ° .
3
Assim,G1 (x) sen x 10 , G2 (x) sen x < 50 e G3 (x) sen x < são
4
todas primitivas da função f (x) cos x , pois
G1` (x) G2` (x) G3` (x) cos x f (x) .
Exemplo 7. 6 E n c o n t ra r u m a p r i m it iva F (x) , d a f u n ç ã o
f (x) 2x 3 < 4x 2 5x < 1, para todo x D° , que satisfaça a seguinte
condição F (1) 4 .
Resolução:3HODGH¿QLomRGHIXQomRSULPLWLYDWHPRVF '(x) f (x)
para todo x D ° , assim, F (x) será uma função cuja derivada será
a função f (x) dada. Logo,
2
x3
x2
F (x) x 4 < 4 5 < x k ,
4
3
2
pois
2
x2
x
3
F '(x) u 4x < 4 u 3 5 u 2 < 1 0
3
4
2
282
Módulo 2
2x 3 < 4x 2 5x < 1 f (x) ,
ou seja,
1 4
x3
x2
x <4 5 <x
k.
2
3
2
F (x) Como F (x) deve satisfazer a condição F (1) 4 , vamos calcular o
valor da constante k , fazendo x 1 na função F (x) ,
isto é,
3
2
1
1
1 4
F (1) 1 < 4
<5
< 1
k 4
3
2
2
e resolvendo temos k Assim,
10
.
4
F (x) 1 4
x3
x2
10
x <4 5 <x
.
2
3
2
3
F (x) 1 4
x3
x2
13
x <4 5 <x
,
2
3
3
2
Portanto,
é uma função primitiva de
f (x) 2x 3 < 4x 2 5x < 1,
que satisfaz condição F (1) 4 .
Exemplo 7.7 Encontrar uma primitiva F (x) , da função
f (x) 1
x 3 +2 ,
2
1 x
que satisfaça a seguinte condição F (0) 2 .
Resolução: Sabemos que F (x) é uma função cuja derivada é a
função f (x) dada. Conforme visto no Capitulo 5, temos
d
1
1
arc tg x ou arc tg x ' .
2
dx
1
x
1 x2
Logo,
F (x) arc tg x x4
2x k ,
4
pois,
283
Curso de Graduação em Administração a Distância
F '(x) ou seja,
£ x4 ¥ v
arc tg x ' + ² ´ (2x)'
k '
¤ 4¦
1
4x 3
2
0
4
1 x2
=
1
x 3 2 f (x) ,
2
1
x
F (x) arc tg x x4
2 x
k.
4
Como F (x) deve satisfazer a condição F (0) 2 , com isto vamos
calcular o valor da constante k fazendo x 0 na função F (x) ,
isto é,
x4
F (x) arc tg x 2x k
4
04
‰ F (0) arc tg 0 2 u 0 k 2
4
‰0
0
0
k 2 ‰ k 2
Assim,
F (x) arc tg x x4
2x 2 .
4
F (x) arc tg x x4
2x 2
4
Portanto,
é uma função primitiva de
f (x) 1
x 3 +2
2
1
x
que satisfaz a condição F (0) 2 .
Exemplo 7.8 Encontrar uma primitiva F (x) , da função
f (x) e <3x x ,
que satisfaça a condição F (0) 1 .
Resolução: Sabemos que F (x) será uma função cuja derivada
284
Módulo 2
será a função f (x) dada, logo
3
e <3 x 2 2
F (x) <
x k,
3
3
pois,
£ 2 3 ¥v
£ e <3 x ¥ v
F '(x) ² <
x2 ´ 3 k
²
´
<3
x
3e ¦
¤
¤23 3 ¦ <1
<(<3)
u x2
3 2
3
1
e <3 x x 2 e <3 x x f (x) ,
ou seja,
3
e <3 x 2 2
F (x) <
ux k .
3
3
Como F (x) deve satisfazer a condição F (0) 1 , com isto vamos
calcular o valor da constante k fazendo x 0 na função F (x) ,
isto é,
3
e <3 x 2
. x2 k
3
3
3
<3 . 0
e
2
2
‰ F (0) <
.0 k 1
3
3
F (x) <
1 2
‰ < u0 k 1
3 3
1
‰< 0
k 1
.
3
4
1 4
‰ k 1
‰ k 3
3 3
Assim,
3
F (x) <
e <3 x 2 2 4
x .
3
3
3
3
Portanto, F (x) <
e <3 x 2 2 4
x , é uma função primitiva de
3
3
3
f (x) e -3 x x que satisfaz a condição F (0) 1 .
285
Curso de Graduação em Administração a Distância
+PVGITCNKPFGſPKFC
Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do
Cálculo. Outro conceito também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas idéias. Assim, nesta seção, será
introduzida a idéia de integral, mostrando sua relação com a derivada.
Se a função F (x) é primitiva da função f (x), a expressão
F (x) C é chamada LQWHJUDOLQGHÀQLGD da função f (x)
e é denotada por
0 f (x) dx F (x) C
onde
0
< é chamado sinal de integração;
f (x)
< é a função integrando;
dx ²DGLIHUHQFLDOTXHVHUYHSDUDLGHQWLÀFDUDYDULiYHOGH
integração;
C
– é a constante de integração.
/rVH,QWHJUDOLQGHÀQLGDGH f (x) em relação a x ou simplesmente
integral de f (x) em relação a x .
2 SURFHVVR TXH SHUPLWH HQFRQWUDU D LQWHJUDO LQGHÀQLGD GH XPD
IXQomRpFKDPDGRintegração.
Observação 'DGHÀQLomRGHLQWHJUDOLQGHÀQLGDWHPRVDVVHJXLQWHV
observações:
(i)
0 f (x) dx F (x) C
‹ F '(x) f (x) .
(ii) 0 f (x) dx representa uma família de funções, isto é, a família
ou o conjunto de todas as primitivas da função integrando.
(iii)
286
d
dx
0 f (x) dx dxd F (x) C dxd F (x) F '(x) f (x) .
Módulo 2
Vejamos alguns casos, no exemplo a seguir.
Exemplo 7.9
(i) Se
d
senx cos x então 0 cos x dx senx C .
dx
(ii) Se
d 4
x 4x 3 então 0 4x 3dx x 4 + C .
dx
(iii) Se
d
dx
(iv) Se
d
tg x sec 2 x então 0 sec 2 x dx tgx C .
dx
(v) Se
d
1
1
arctg x então 0
dx arctgx C .
2
dx
1 x2
1
x
x 2 1 x então 0 2 1x dx x C .
5
2
2
5
d £ 3 3¥
3 3
3
3
(vi) Se
x x , então 0 x dx x C .
dx ²¤ 5 ´¦
5
Observação Pelos exemplos acima, temos:
d
0 f (x) dx F (x) C ‰ dx 0 f (x)dx f (x) .
Isto nos permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente
das fórmulas para diferenciação.
Propriedades da integral indefinida
Sejam f (x) e g(x) IXQo}HVUHDLVGHÀQLGDVQRPHVPRGRPtQLRH
k uma constante real. Então:
a)
0 k f (x) dx k 0 f (x) dx .
b)
0 f (x)
g(x) dx 0 f (x) dx 0 g(x) dx .
Algumas integrais imediatas
Daremos a seguir algumas fórmulas de integrais simples e imediatas.
287
Curso de Graduação em Administração a Distância
(i)
0 dx x C .
n
0 x dx (ii)
x n 1
C, n & <1 .
x 1
dx
ln x C .
x
ax
(iv) 0 a x dx C, a 0, a & 1 .
ln a
0
(iii)
(v)
x
0 e dx e
C .
(vi)
0 sen x dx < cos x C .
(vii)
0 cos x dx sen x C .
(viii)
0 tg x dx ln sec x C .
(ix)
0 cotg x dx ln sen x C .
(x)
0 sec x du ln sec x tg x C .
(xi)
0 cosec x dx ln cosec x < cotg x C .
(xii)
0 sec x tg x dx sec x C .
(xiii)
0 cosec x cotg x dx <cosec x C .
(xiv)
0 sec
(xv)
0 cosec x dx <cotg x C .
0x
(xvii)
0x
(xviii)
0
(xx)
2
x dx tg x C .
2
(xvi)
(xix)
288
x
0
0
2
dx
1
x
arc tg C .
2
a
a
a
2
dx
1
x<a
ln
C, x 2 a 2 .
2
2a x a
<a
dx
2
x a
dx
2
x <a
2
dx
2
a <x
2
2
ln x x 2 a 2 C .
ln x x 2 < a 2 C .
arc sen
x
C, x 2 a 2 .
a
Módulo 2
(xxi)
dx
0x
x2 < a2
1
x
arc sec C .
a
a
Observação Apesar de que não estudarmos as funções inversas trigonométricas, mas nas integrais (xvi), (xx) e (xxi) as respostas das integrais é em termos de funções inversas. Estas integrais foram colocadas
aqui, apenas para cumprir a tabela. Para conhecimento do leitor:
arc tg x tg <1x , arc sen x sen <1x e arc sec x sec <1 x .
Usando as propriedades da integral e a tabela de integrais imediatas,
vamos calcular, através de alguns exemplos, a integral de funções.
Exemplo 7.10 Calcular
0 7x
4
sec 2 x dx .
Resolução: 'DVSURSULHGDGHVGDLQWHJUDOLQGHÀQLGDHGDWDEHODGH
integrais imediatas, temos
0 7x
4
sec 2 x dx
7
=7
0x
4
dx 0 sec
2
x dx
x 4
1
x5
C1 tg x C2 7 tg x C1 C2 ,
4 1
5
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.
Como a soma C1 + C2 p XPD QRYD FRQVWDQWH DUELWUiULD YRFr
escreve C1 + C2 C e vem
7
x5
x5
tg x C1 C2 7
tg x C .
5
5
Portanto,
0
7x 4 sec 2 x dx 7
x5
tg x C .
5
Atenção:
Sempre que você tiver uma soma de duas ou mais integrais
LQGHÀQLGDVHVFUHYDDSHQDVuma constante para indicar a
soma das várias constantes de integração.
289
Curso de Graduação em Administração a Distância
Exemplo 7.11 Calcular
£
0 ²¤ 3 e
x
¥
1
< sen x ´ dx .
4x
¦
Resolução: Das propriedades da integral, vem
£
0 ²¤ 3 e
x
¥
1
1
< sen x ´ dx 0 3e x dx 0
dx < 0 sen x dx
4x
4x
¦
30 e x dx 0
= 30 e x dx 1 dx
< sen x dx
4 x 0
1 dx
< 0 sen x dx
40 x
1
3e x ln x < (< cos x) C
4
1
3e x ln x cos x C ,
4
onde utilizamos os resultados da Tabela (v), (iii) e (vii), respectivamente.
Portanto,
£ x
¥
1
1
x
0 ²¤ 3 e 4 x < sen x ´¦ dx = 3e 4 ln x cos x C .
Exemplo 7.12 Calcular
£
0 ²¤ 4e
x
<
sen x
4¥
5 ´ dx .
2
cos x x ¦
Resolução: Aplicando as propriedades da integral e como
cos 2 x cos x.cos x , vem
£
0 ²¤ 4e
290
x
<
sen x
4¥
5 ´ dx
2
cos x x ¦
=
04 e
x
dx <
sen x
dx 2
x
0 cos
4
0x
5
dx
sen x
1
dx 0 4 = 5 dx
= cos x
x
= 4 0 e x dx <
0 cos x
= 4 0 e x dx < 0
sen x
1
=
dx 4 0 x <5 dx
cos x cos x
Módulo 2
= 4 0 e x dx <
0 tg x
= sec x dx 4 0 x <5 dx
= 4 0 e x dx < 0 sec x = tg x dx 4 0 x <5 dx
= 4 e x < sec x 4
x <5 1
C
<5 1
= 4 e x < sec x 4
= 4e x < sec x x <4
C
<4
x <4
C
<1
4 e x < sec x < x <4 C
= 4e x < sec x <
1
C.
x4
Portanto,
£ x sen x
4¥
1
x
0 ²¤ 4 e < cos2 x x5 ´¦ dx = 4 e < sec x < x 4 C .
Exemplo 7.13 O custo fixo de produção da empresa “Sorriso e
(VSHUDQoDµ p 5 2 FXVWR PDUJLQDO p GDGR SHOD IXQomR
C '(x) 0,03x 2 0,12x 5. Determinar a função custo total.
Resolução: Sabemos que o custo marginal C '(x) é a derivada da
função custo totalC(x) . Assim, para encontrarmos C(x) devemos
FDOFXODUDLQWHJUDOLQGHÀQLGDGDIXQomRFXVWRPDUJLQDORXVHMD
C(x) = 0 C '(x) dx =
0 0,03x
2
0,12x 5 dx
= 0 0,03x 2 dx 0 0,12x dx 0 5 dx
= 0,030 x 2 dx 0,12 0 x dx 50 dx
=
0,03 3 0,12 2
x x 5x K .
3
2
Logo,
C(x) = 0,01x 3 0,06x 2 5x k .
Quando a produção for nula, x 0 RFXVWRÀ[RVHUi5
ou seja,
3
2
8.000 0,01 0 0,06 0 5 0 k e k 8.000 .
291
Curso de Graduação em Administração a Distância
Portanto, a função custo total é
C(x) 0,01x 3 0,06x 2 5x 8.000 .
Exemplo 7.14 O custo marginal para produção de determinado bem,
é dado pela funçãoC '(x) 18 x 4 6H R FXVWR À[R p GH 5
escreva a função custo total.
Resolução: O custo marginal C '(x) é a derivada da função custo
totalC(x) . Assim, para encontrarmos C(x) devemos calcular a
LQWHJUDOLQGHÀQLGDGDIXQomRFXVWRPDUJLQDORXVHMD
C(x) = 0 C '(x) dx =
=
0 18
0 18
x 4 dx
x dx 0 4dx = 18 0 x dx 4 0 dx
1
= 18 0 x 2 dx 4 0 dx
3
2
3
x
= 18 u
4x k =12x 2 4x k .
3
2
Logo,
3
C(x) 12x 2 4x k
Quando a produção for nula, x 0 RFXVWRÀ[RVHUi5
ou seja,
3
50 12 u 0
2
4 u 0 k e k 50 .
Portanto, a função custo total é
3
2
C(x) 12x 4x 50 .
&RQVHJXLXDFRPSDQKDURFRQWH~GR
estudado até aqui? Para saber
se aprendeu, procure resolver os
exercícios propostos sobre função
primitiva e integral. Caso encontre
GLÀFXOGDGHVEXVTXHDSRLRMXQWRDR
6LVWHPDGH$FRPSDQKDPHQWR
292
Módulo 2
Exercícios propostos – 1
1)
2)
Determinar a função primitiva F (x) da função f (x) , onde
a)
f (x) 5x 2 7x 2 .
b)
f (x) x
c)
f (x) d)
f (x) e)
f (x) e 4x .
.
1
x
x
.
1
para x 1.
x <1
Encontrar uma função primitiva F (x) da função f (x) dada, que
satisfaça a condição inicial dada, onde
a)
3)
5
4
<
f (x) 2 sen x cos x <
<
2
3
x
1 2
/
2
x tal que F ( ) <
.
2
4
2
tal que F (1) 1
.
2
b)
f (x) x
c)
/
f (x) sec x = tg x cos x tal que F ( ) 2 .
3
d)
f (x) x
e)
f (x) cos x < sen x tal que F (0) 0 .
x e x tal que F (0) 2 .
3
Calcular as integrais
a)
0
2
2
x < 2 = x 2 dx .
x
<
1
3
2
b)
0
c)
1
£ 5
¥
2
x
2
x
3
´ dx .
0 ²²
´
x2
¤
¦
d)
0 4 < x < x
i)
0x
3
1
3
x2
dx .
2
dx .
Os exercícios propostos nesta
seção, contribuirão para
amadurecer os conceitos que
acabamos de apresentar. As
propriedades apresentadas nesta
seção, serão utilizadas durante
o curso. Por este motivo, é
H[WUHPDPHQWHLPSRUWDQWHTXHYRFr
WHQKDUHVROYLGRFRUUHWDPHQWHD
dx .
293
Curso de Graduação em Administração a Distância
+PVGITCNFGſPKFC
Nas Unidades 5 e 6, tratamos da derivada e suas aplicações. A derivada é um dos conceitos mais importantes do cálculo. Outro conceito
também muito importante é o de integral.
Existem dois problemas fundamentais em cálculo: o primeiro é
encontrar a inclinação de uma curva em um ponto dado e o segundo é
HQFRQWUDUDiUHDVREDFXUYD9RFrYLXQD8QLGDGHTXHRFRQFHLWRGH
derivada está ligado ao problema de traçar à tangente a uma curva.
$JRUDYRFrYHUiTXHDLQWHJUDOHVWiOLJDGDDRSUREOHPDGHGHWHUPLQDUDiUHDGHXPDÀJXUDSODQDTXDOTXHU$VVLPDGHULYDGDHDLQWHJUDO
&DVRWHQKDG~YLGDV são as duas noções básicas em torno das quais se desenvolve
anote e esclareça antes todo o cálculo.
'HVHMDPRVTXHYRFrQHVWDVHomRSRVVD compreender o
de prosseguir.
FRQFHLWRGHLQWHJUDOGHÀQLGD
Conceito de área
Já sabemos que a integral está ligada ao problema de determinar a
iUHDGHXPD¿JXUDSODQDTXDOTXHU3RULVVRPRWLYDUHPRVRHQWHQGLPHQWR
do cálculo de área usando o método do retângulo, de uma região R comSUHHQGLGDHQWUHRJUi¿FRGHXPDIXQomR f (x) com valores positivos, o
eixo x , em um intervalo fechado [a,b] FRQIRUPH¿JXUDDEDL[R
y
R
0
a
b
x
Figura 7.1
Talvez o primeiro contato que você tenha com o conceito de área,
294
Módulo 2
seja através da fórmula A b = h , que dá a área A de um retângulo
como o produto da base b pela altura h . Logo a seguir, você tem a área
de um triângulo que é igual à metade do produto da base pela altura.
Isto decorre do fato de que qualquer triângulo pode ser decomposto em
dois triângulos retângulos, e todo triângulo equivale exatamente a meio
UHWkQJXORFRQIRUPH¿JXUDDEDL[R
h
b
Figura 7.2
1
b = h para a área de um triângulo, pode2
se, encontrar a área de qualquer polígono (um subconjunto do plano
A razão é que,
TXDOTXHU¿JXUD
GHOLPLWDGRSRUXPD³FXUYD´IHFKDGDFRQVLVWLQGRHPXPQ~PHUR¿QLWR
poligonal pode ser
de segmentos retilíneos).
subdividida em triOs problemas para o cálculo de área, não apresentam grande diângulos que não se
¿FXOGDGHVHD¿JXUDSODQDIRUXPUHWkQJXORXPSDUDOHORJUDPRRXXP superpõem, e a área
triângulo.
do polígono é então
a soma das áreas
$iUHDGHXPD¿JXUDSODQDTXDOTXHUSRGHVHUFDOFXODGDDSUR[Ldesses
triângulos.
PDQGRD¿JXUDSRUSROtJRQRVFXMDViUHDVSRGHPVHUFDOFXODGDVSHORV
Essa abordagem de
métodos da geometria elementar. Isto nos motiva a considerar, agora,
área ,remonta ao
o problema de calcular a área de uma região R do plano, limitada por
Egito e à Babilônia
duas retas verticais x a e x b , pelo eixo x HSHORJUi¿FRGHXPD de muitos milênios
atrás. Os antigos
função f (x) , limitada e não negativa no intervalo fechado[a,b] , congregos iniciaram a
IRUPH¿JXUDDVHJXLU
pesquisa de área de
¿JXUDVFXUYLOtQHDV
no quinto e quarto
século a.C.
Dada a fórmula A 295
Curso de Graduação em Administração a Distância
y
R
0
a
b
x
Figura 7.3
Para isso, vamos fazer uma partição P do intervalo [a,b] , isto é, vamos dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos, por meio dos pontos
x0 , x1 , x2 , ... , xi <1 , xi , ... , xn ,
HVFROKLGRVDUELWUDULDPHQWHGDVHJXLQWHPDQHLUD
a x0 x1 x2 ... xi <1 xi < ... xn b ,
YHMDDÀJXUDDEDL[R
y
f(cn)
f(x)
f(c3)
f(c2)
f(c1)
0 a = x0 c1 x1 c2 x2 c3 x3
xn−1 cn xn = b x
Figura 7.4
O comprimento do i < ésimo subintervalo, •– xi <1 , xi —˜ , é dado por
6 xi xi < xi <1 . Vamos construir retângulos de base xi < xi <1 e altura
f (ci ) onde ci é um ponto do intervalo •– xi <1 , xi —˜ .
'DÀJXUDDFLPDWHPRV
296
6x1 x2 < x1
base do primeiro retângulo;
6x2 x3 < x2
... ;
base do segundo retângulo;
Módulo 2
6xi xi < xi <1
base do i-ésimo retângulo; ... ;
6xn xn < xn <1 base do Q-ésimo retângulo e
f (c1 )
altura do primeiro retângulo;
f (c2 )
altura do segundo retângulo; ... ;
f (ci )
altura do i-ésimo retângulo; ...;
f (cn )
altura do Q-ésimo retângulo.
Logo, a área de cada retângulo será
6x1 = f (c1 )
área do primeiro retângulo;
6x2 = f (c2 )
6xi = f (ci )
área do segundo retângulo; ...;
área do i-ésimo retângulo; ... ;
6xn = f (cn )
área do Q-ésimo retângulo.
Você já deve ter percebido que, aumentando o número de retângulos,
pode-se obter uma melhor aproximação para a área A da região R .
Assim a soma das áreas dos n retângulos, denotada por Sn , será:
Sn f (c1 ) = 6x1 f (c2 ) = 6x2 . . . f (cn ) = 6xn
n
-
f (ci ) = 6xi
i 1
Essa soma é chamada Soma de 5LHPDQQ da função f relativa à
partição P . Quando n cresce, é “razoável” esperar que a soma das áreas
dos retângulos aproxime da área A VREDFXUYD'HVWHPRGRGH¿QLPRV
a medida da área A da região R , como sendo
n
A lim
n A '
-
f (ci ) = 6xi
i 1
se esse limite existir. E então se diz que a região R é mensurável.
A integral
A integral está associada ao limite apresentado acima. Nesta seomRGDUHPRVDGHÀQLomRGDLQWHJUDOTXHQDVFHXFRPDIRUPXODomRGRV
problemas de áreas, e citaremos as suas propriedades. Já sabemos que a
integral e a derivada, estudadas na Unidade 5, são as duas noções básicas
297
Curso de Graduação em Administração a Distância
em torno das quais se desenvolve todo o Cálculo. Conforme terminologia
LQWURGX]LGDDQWHULRUPHQWHWHPRVDVHJXLQWHGHÀQLomR
Seja f (x) XPDIXQomROLPLWDGDGHÀQLGDQRLQWHUYDORIHFKDGR
[a,b] e seja P uma partição qualquer de[a,b]. A integral de
b
f (x) no intervalo[a,b], denotada por 0 f (x) dx , é dada por
a
b
n
0 f (x) dx a
lim
n A '
- f (c ) . 6x ,
i
i
i 1
desde que o limite do segundo membro exista.
Destacando:
b
• 1DQRWDomR 0 f (x) dx , f (x) pFKDPDGDIXQomRLQWHJUDQGR
a
0
pRVtPERORGDLQWHJUDOHRVQ~PHURVa e b são chamaGRVOLPLWHVGHLQWHJUDomRRQGH a pROLPLWHLQIHULRUH b é
ROLPLWHVXSHULRUGDLQWHJUDomR
b
• Se
0 f (x) dx
existe, diz-se que f pLQWHJUiYHOHP [a,b] e
a
JHRPHWULFDPHQWH D LQWHJUDO UHSUHVHQWD D iUHD GD UHJLmR
OLPLWDGDSHODIXQomR f (x) , as retas x a e x b e o eixo
x , desde que f (x) * 0 ™x D •– a, b —˜ .
&KDPDPRVDVXDDWHQomRSDUDRIDWRGHTXHDLQWHJUDOQmRVLJQLÀFD
necessariamente uma área. Dependendo do problema, ela pode representar grandezas, como: volume, quantidade de bactérias presentes em certo
LQVWDQWHWUDEDOKRUHDOL]DGRSRUXPDIRUoDPRPHQWRVHFHQWURGHPDVVD
(ponto de equilíbrio).
$GHÀQLomRGHLQWHJUDOSRGHVHUDPSOLDGDGHPRGRDLQFOXLURFDVR
em que o limite inferior seja maior do o limite superior, e o caso em que
os limites inferior e superior são iguais, senão vejamos,
298
Módulo 2
Se a b , então
b
0
a
a
f (x) dx = < 0 f (x) dx ,
b
se a integral à direita existir.
Se a b e f (a) existe, então
a
0 f (x) dx 0 .
a
Teorema Se f (x) é uma função contínua no intervalo fechado[a,b] ,
então f (x) é integrável em[a,b] .
$VHJXLUDOJXPDVSURSULHGDGHVIXQGDPHQWDLVGDLQWHJUDOGHÀQLGD
que usaremos no curso.
Propriedades da integral definida
$VSURSULHGDGHVGDLQWHJUDOGHÀQLGDQmRVHUmRGHPRQVWUDGDVSRLV
foge do objetivo do nosso curso.
P1.
Se a função f (x) é integrável no intervalo fechado [a,b] e se k é
uma constante real qualquer, então
b
0
b
k f (x) dx k
a
0 f (x) dx .
a
P2. Se as funções f (x) e g(x) são integráveis em [a,b] , então
f (x) ( g(x) é integrável em [a,b] e
b
0
a
P3.
f (x) ( g(x) dx b
0
a
b
f (x) dx (
0 g(x) dx .
a
Se a c b e a função f (x) é integrável em [a,c] e em[c,b] ,
299
Curso de Graduação em Administração a Distância
então, f (x) é integrável em [a,b] e
b
c
0 f (x) dx
a
P4.
b
0 f (x) dx
a
0 f (x) dx .
c
Se a função f (x) é integrável e se f (x) * 0 para todo x em[a,b] ,
então,
b
0 f (x) dx
* 0.
a
P5.
Se as funções f (x) e g(x) são integráveis em [a,b] e f (x) * g(x)
para todo x em[a,b] , então,
b
0 f (x) dx
b
*
a
P6.
0 g(x) dx .
a
Se f (x) é uma função integrável em •– a, b —˜ , então f (x) é integrável em •– a, b —˜ e
b
0 f (x) dx
a
b
)
0
f (x) dx .
a
Observação Calcular uma integral através do limite das Somas de Riemann é, geralmente, uma tarefa árdua. Por isso nosso próximo objetivo
é estabelecer o chamado Teorema Fundamental do Cálculo, o qual nos
permite calcular muitas integrais de forma surpreendentemente fácil!
Teorema fundamental do cálculo*:
estabelece a importante conexão entre o
Cálculo Diferencial
e o Cálculo Integral.
O primeiro surgiu a
partir do problema
de se determinar a
reta tangente a uma
curva em um ponto,
enquanto o segundo surgiu a partir
do problema de se
encontrar a área de
XPDÀJXUDSODQD
300
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
Esta subseção contém um dos mais importantes teoremas do cálculo. Este teorema permite calcular a integral de uma função utilizando uma
primitiva da mesma, e por isso, é a chave para calcular integrais. Ele diz
que, conhecendo uma função primitiva de uma função f (x) integrável
no intervalo fechado[a,b] , podemos calcular a sua integral.
As considerações acima motivam o teorema a seguir.
Teorema Fundamental do Cálculo* - se a função f (x) é integrável no
intervalo fechado [a,b] e se F (x) é uma função de f (x) neste intervalo, então
Módulo 2
b
0 f (x) dx F (b) < F (a) .
a
b
Costuma-se escrever F (x) a para indicar F (b) < F (a) .
Destacando:
O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) não só torna o
cálculo de integrais mais simples, como também contém em
si a relação entre a derivada, o limite e a integral. Isto porque o Teorema )XQGDPHQWDODÀUPDTXHRYDORUGDLQWHJUDO
b
0 f (x) dx , pode ser calculado com o auxílio de uma função
a
F , tal que a derivada de F seja igual a f , possibilitando
encontrar o valor de uma integral utilizando uma primitiva
da função integrando.
Vejamos agora, alguns exemplos aplicando o Teorema Fundamental
do Cálculo.
Exemplo 7.15 Determinar
2
0 x dx .
0
x2
Resolução: Sabemos que F (x) é uma primitiva da função
2
f (x) , pois,
x
F '(x) 2 = x f (x) .
2
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, vem
2
2
2
x2
0 x dx F (x) 2 F (2) < F (0)
0
0
0
2
=
Portanto,
2
02
4 0
<
= < = 2<0 = 2.
2
2
2 2
2
0 x dx 2 .
0
301
Curso de Graduação em Administração a Distância
Exemplo 7.16 Calcular:
3
0 x
2
4 dx .
1
x3
4x que é uma primitiva de
3
Resolução: Aqui, temos F (x) f (x) x 2 4 , pois
F '(x) 3 =
x2
4 = 1 x 2 4 f (x) .
3
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, vem
3
0
1
£ x3
¥ 3
x 2 4 dx ² 4x ´ F (3) < F (1)
¤ 3
¦ 1
£ 33
¥ £ 13
¥
1
² 4 = 3´ < ² 4 = 1´ 9 12 < ( 4)
3
¤3
¦ ¤3
¦
£ 1 12 ¥
13 63 < 13 50
= 21 <
=21 < ²
=
.
´
3
3
3
¤ 3 ¦
Portanto,
3
0 x
2
4 dx 1
50
.
3
3
Observe que podemos calcular a integral
0 x
2
4 dx usando as
1
SURSULHGDGHV3H3GDLQWHJUDOGH¿QLGDHRWHRUHPDIXQGDPHQWDO
do cálculo, o resultado será o mesmo. De fato,
3
0 x
1
2
3
3
2
4 dx 0 x dx 0 4 dx
1
3
1
3
3
x3 3
= 0 x dx 4 0 dx 4x
1
3 1
1
1
3
3
£3 1 ¥
£ 27 1 ¥
+ 4=2
= ² < ´ + 4 = 3<1 = ²
<
¤ 3 3 ´¦
¤ 3 3¦
2
=
Assim,
26
26 + 24 50
+8=
=
.
3
3
3
3
0 x
1
2
4 dx 50
.
3
3RUWDQWRXVDQGRSURSULHGDGHVGDLQWHJUDOGH¿QLGDHR7)&FKH302
Módulo 2
3
gamos ao mesmo valor no cálculo da integral
50
. Você pode usar sempre este fato.
3
0 x
2
4 dx que é
1
Exemplo 7.17 Calcular:
4
02
1
x
1
dx .
Resolução: Sabemos que F (x) x é uma primitiva de
1
f (x) , pois
2 x
1
F '(x) f (x) .
2 x
Logo pelo TFC, temos
4
02
4
1
x
1
dx x
F (4) < F (1)
1
= 4 < 1 2 < 1 1.
Portanto,
4
02
1
1
dx 1 .
x
4
Exemplo 7.18 Calcular a integral
0 f (x) dx
, onde:
0
¨x 2 , se 0 ) x ) 2
f (x) ©
ǻ2x, se 2 x ) 4
Resolução:3HODSURSULHGDGH3GDLQWHJUDOGHÀQLGDWHPRV
4
0
2
f (x) dx 0
0
4
f (x) dx 0
0 f (x) dx .
2
Como f (x) x 2 para 0 ) x ) 2 e f (x) 2x para 2 x ) 4 ,
vem
4
0 f (x) dx
0
2
4
0x
2
0
0 2x dx
2
3 2
x
=
3
dx 0
x2
2=
2
4
2
303
Curso de Graduação em Administração a Distância
£ 23 03 ¥
= ² < ´ +2
¤ 3 3¦
£ 8 0¥
=² < ´ + 2 =
¤ 3 3¦
£ 42 22 ¥
= ² < ´
2¦
¤ 2
£ 16 4 ¥
²¤ 2 < 2 ´¦
£8
¥
= ² < 0´ + 2 8 < 2
¤3 ¦
8
8 36 44
12 .
3
3
3
=
Portanto,
4
44
.
3
0 f (x) dx 0
Exemplo 7.19 O custo C(x) para produzir a x < ésima TV digital, num
50
programa de produção diária da fábrica GL , é dado porC(x) ,
x
x ) 200 . Determinar o custo para produzir as 100 primeiras TVs.
Resolução: Vamos considerar C o valor exato do custo total de
produção das 100 primeiras TVs, assim
C C(1) C(2) ... C(100) .
Esta soma pode ser calculada aplicando o TFC, como segue:
100
C
100
0 C(x)dx =
0
100
= 50 u
0
1
x
0
0
0
50
x
dx
100
dx 50 u
0
0
1
2 100
x
50 u
1
2
0
50 u 2 u x
1
x
1
2
1 100
2
0
100
dx 50 u
0x
<
1
2
dx
0
100 u
100 < 0 1000 .
Portanto, o custo C para produzir as 100 primeiras TVs é de
R$1.000,00.
Exemplo 7.20 A mineradora “Natureza Preservada”, produz 400 toneladas por mês de certo minério. Estima-se que este processo dure 25 anos
(300 meses) a partir de hoje, e que o preço por tonelada do minério da304
Módulo 2
qui a t meses, em reais, é dado pela função f (t) <0,03t 2 20t 400
Determinar a receita gerada pela mineradora “Natureza Preservada”,
ao longo dos 300 meses.
Resolução: Vamos considerar R a receita da mineradora ao longo
dos 300 meses, assim
R 400 u f (1) 400 u f (2) ... 400 u f (300) .
(VWDVRPDSRGHVHUFDOFXODGDDSOLFDQGRR7)&FRPRVHJXH
300
R 400 u
0
300
f (t)dt = 400 u
0
0 <0,03t
20t 400 dt
0
•
400 u ³ <0,01t 3 10t 2 400t
–
2
300
0
—
µ
˜
3
2
400 •³ <0,01 300 10 300 400 u 300
–
3
2
< <0,01 0 10 0 400 u 0 —µ
˜
400 u <270000 900000 120000
400 u 750000 300000000,00 .
Portanto, a receita R , gerada pela mineradora “Natureza Preservada”, ao longo dos 300 meses é R$300.000.000,00.
Exemplo 7.21 O administrador de uma empresa estima que a compra
de um certo equipamento irá resultar em uma economia de custos operacionais. A economia dos custos operacionais dado pela função f (x)
unidades monetárias por ano, quando o equipamento estiver em uso por
x anos, e f (x) 4.000x 1.000 para 0 ) x ) 10 . Determinar:
DDHFRQRPLDHPFXVWRVRSHUDFLRQDLVSDUDRVFLQFRSULPHLURVDQRV
b) após quantos anos de uso o equipamento estará pago por si
mesmo, se o preço de compra é R$36.000,00.
Resolução: A economia obtida nos custos operacionais para os cinFRVSULPHLURVDQRVpDLQWHJUDOGH¿QLGDGH f (x) 4.000x 1.000
305
Curso de Graduação em Administração a Distância
no intervalo 0 ) x ) 10 , logo, respondendo a letra a), vem
5
0 4.000x 1.000 dx 2.000x
0
2
1.000x
5
0
2.000 = 25 1000 = 5
55.000.
Portanto, a economia nos custos operacionais para os 5 primeiros
anos é de R$55.000,00.
Vamos agora responder a letra b). Como o preço de compra do equipamento é R$36.000,00, temos que o número de anos requeridos
para o equipamento pagar-se por si mesmo é n que será a integral
GH¿QLGDGH f (x) 4.000x 1.000 de 0 até n , ou seja,
n
0 f (x)dx 36.000 .
0
Resolvendo a integral acima, vem
n
n
0
0
0 f (x)dx 36.000 ‰ 0 4.000x 1.000 dx 36.000
n
‰ 2.000x 2 1.000x 36.000
0
‰ 2.000n 2 1.000n 36.000 ,
‰ 2n 2 n < 36 0 .
Resolvendo a equação 2n 2 n < 36 0 pela fórmula de Bhaskara ,
9
temos n 4 e n < .
2
Portanto, são necessários 4 anos de uso para o equipamento pagarse por si mesmo.
&KHJRXDKRUDGHSRUHPSUiWLFD
RTXHYRFrDSUHQGHXQHVWDVHomR
Resolva os exercicios e tire suas
dúvidas com seu tutor. Só prossiga
após resolver todos as questões
pois tudo que veremos as seguir
depende do ceonceito introduzido
nesta seção.
306
Módulo 2
Exercícios propostos – 2
3
1.
Calcular a integral
0 f (x)dx
0
2.
¨7 < x, se x 2
onde f (x) ©
.
ªx 3, se x * 2
Determinar o valor das seguintes integrais, aplicando o Teorema
Fundamental do Cálculo.
/
2
0
a)
1
x cos x dx .
b)
0
3
< 6x 8 dx .
0
/
4
2
2
0 sec x dx .
c)
0 x
d)
0
0e
x
dx .
0
Integração por substituição
A partir de agora você vai conhecer uma técnica utilizada com
RREMHWLYRGHGHVHQYROYHURFiOFXORGHLQWHJUDLVLQGH¿QLGDVGHIXQo}HV
que possuem primitivas. A esta técnica, damos o nome de integração
por substituição ou mudança de variável.
Suponha que você tem uma função g(x) e uma outra função f
tal que f g(x) HVWHMDGH¿QLGD f e g HVWmR GH¿QLGDV HPLQWHUYDORV
convenientes). Você quer calcular uma integral do tipo
0 f g(x) = g '(x) dx ,
Logo,
0 f g(x)
= g '(x) dx F g(x) C.
)D]HQGRu g(x) ‰
(1)
du
g '(x) ‰ du g '(x) dx e substituindo
dx
na equação (1), vem
0 f g(x)
= g ` (x) dx 0 f (u) du
F (u) C.
307
Curso de Graduação em Administração a Distância
Vejamos agora alguns exemplos de como determinar a integral
LQGHÀQLGDGHXPDIXQomRDSOLFDQGRDWpFQLFDGDPXGDQoDGHYDULiYHO
ou substituição e usando a tabela acima.
Exemplo 7.22 Calcular a integral
0 x
2
3
5 = 2 x dx .
Resolução:)D]HQGRDVXEVWLWXLomRGH x 2 5 por u na integral
dada, ou seja, u x 2 5 , vem
du
2 x 0 2 x ‰ du 2 x dx .
dx
u x2 5 ‰
Agora, vamos em 0 x 2 5
3
= 2 x dx , substituímos x 2 5
por u e 2 x dx por du e temos:
0
x2 5
3
u4
C ,
4
= 2 x dx 0 u 3 du onde utilizamos a fórmula (ii) da tabela de integrais.
Como,
4
x2 5
u4
2
u x 5 ‰
C C.
4
4
Portanto,
0 x
2
5
3
.2x
x
dx =
2
5
4
4
C.
Exemplo 7.23 Calcular:
0
3 x 2 dx
.
1 x3
Resolução:)D]HQGRDVXEVWLWXLomRGH 1 x 3 por u na integral
dada, ou u 1 x 3 , vem:
du
u 1 x3 ‰
0 3 x 2 3 x 2 ‰ du = 3 x 2 dx .
dx
Agora, vamos em 0
308
3 x 2 dx
, substituímos u 1 x 3 por u e
3
1
x
Módulo 2
3 x 2 dx por du e temos:
3 x 2 dx
du
0 1 x3 0 u ln u C .
(Pela fórmula (iii) da tabela de integrais).
Como
u 1 x 3 ‰ ln u C ln 1 x 3 C .
Portanto,
0
3 x 2 dx
ln 1 x 3 C .
3
1
x
Exemplo 7.24 Calcular:
dx
0 16 9x
2
.
Resolução. Na integral dada temos
dx
0 16 9x
2
dx
0 4 +3 x
2
2
2
04
2
dx
(3x)2
aqui a 4 e u 3x .
Assim,
du
1
u 3x ‰
3 ‰ du 3dx ‰ dx du .
dx
3
dx
Agora, vamos à integral dada 0
, substituímos 3x por u
16 9x 2
1
e dx por du e temos
3
dx
0 16 9x
2
04
dx
2
3x
2
1
du
du
1
3
= 0 2
0 2
2
3 4 u2
4 u
1 1
u
= arc tg C
3 4
4
1
u
arc tg
C.
12
4
(Pela fórmula (xvi) da tabela de integrais).
309
Curso de Graduação em Administração a Distância
Como:
u 3x ‰
1
u
1
3x
arctg C arctg
C .
12
4
12
4
Portanto,
dx
0 16 9x
2
1
3x
arctg
C .
12
4
Exercícios propostos – 3
Calcular as seguintes integrais abaixo:
•
4
0
1)
3
dx .
7 < 5x 0 cos 7t < / dt .
3)
0x
5)
dx
.
3
2
0x
2
4)
0
x 2 < 2x 4 dx .
7)
dx .
/
2
6)
0 cos
3
3
x
x sen x dx .
0
4
lnt 5
0 t dt .
1
1
2)
8)
0
0
x2 1
dx .
Integração por partes
Na seção anterior, estudamos como calcular integrais usando o método da substituição. Mas, existem algumas integrais, tais como: 0 ln x dx ,
x
0 x e dx , 0 x
3
cos x dx , etc. , que não podem ser resolvidas aplicando o mé-
todo da substituição. Necessitamos de alguns conhecimentos a mais. Neste
caso, iniciaremos apresentando a técnica de LQWHJUDomRSRUSDUWHV.
Sejam u(x) e v(x) funções diferenciáveis num intervalo (a,b) .
310
Módulo 2
Então, podemos escrever:
(uv )v uv v vuv ,
ou seja,
vuv (uv )v < uv v .
Integrando os dois membros da igualdade acima, temos:
0
b
a
vuvdv 0
b
a
b
(uv )v dx < 0 uv vdx ,
a
ou,
0
b
a
b
b
vdu uv a < 0 udv .
a
(SDUDDLQWHJUDOLQGHÀQLGDWHPVH
0
b
a
b
b
vdu uv a < 0 udv ,
a
ou simplesmente,
0 vdu uv < 0 udv .
(2)
A expressão (2) é conhecida como a fórmula de LQWHJUDomRSRUSDUWHV.
Quando aplicarmos esta fórmula para resolver a integral 0 f x dx , devemos
separar o integrando dado em duas partes, uma sendo u e a outra, juntamente
com dx , sendo dv . Por essa razão o cálculo de integral utilizando a fórmula (2) é chamado LQWHJUDomRSRUSDUWHV. Para escolher u e dv , devemos
lembrar que:
(i) a parte escolhida como dv , deve ser facilmente integrável;
(ii)
0 v du deve ser mais simples que 0 u dv .
A seguir, apresentaremos alguns exemplos:
Exemplo 7.25 Calcular a integral:
x
0 x e dx .
Resolução: Sejam u x e dv e x dx . Assim, teremos du dx e
v e x . Aplicando a fórmula 0 u dv uv < 0 v du , obtemos
x
0 x e dx x e
x
< 0 e x dx
x e x < e x C.
311
Curso de Graduação em Administração a Distância
Exemplo 7.26 Calcular a integral:
0 ln x dx.
Resolução: Sejam u ln x e dv dx . Assim, teremos du e v x. Aplicando a fórmula (2), obtemos:
1
dx
x
1
0 ln x dx x ln x < 0 x x dx
x ln x < x c.
Exemplo 7.27 Encontre:
0 arc tg x dx.
Resolução: Sejam u arc tg x e dv dx. Assim, teremos,
dx
du e v x. Logo,
1 x2
x
0 arc tg x dx x arc tg x < 0 1 x 2 dx .
x
dx , utilizamos a substituição
1 x2
t 1 x 2 ‰ dt 2x dx , então,
Para calcular a integral 0
x
0 1
x
2
dx 1 dt 1
ln t C
20 t
2
1
ln(1 x 2 ) c , pois 1 x 2 é sempre positivo.
2
Portanto,
1
0 arc tg x dx x arc tg x < 2 ln(1 x
2
) C.
Exemplo 7.28 Calcular:
0 x ln x dx.
312
1
Resolução: Sejam u ln x e dv x dx. Assim, teremos du dx
x
1 2
e v x . Logo,
2
1 2
1
0 x ln x dx 2 x ln x < 2 0 x dx
1
1
x 2 ln x < x 2 C.
2
4
Módulo 2
Exemplo 7.29 Calcular:
0e
x
sen x dx.
Resolução: Sejam u e x e dv sen x dx. Assim, teremos
du e x dx e v < cos x. Logo,
0e
x
sen x dx <e x cos x 0 e x cos x dx.
(3)
Novamente, considerando, u e x e dv cos x dx , temos
d u e x dx e v sen x . De (2), obtemos:
0e
x
cos x dx e x sen x < 0 e x sen x dx .
(4)
De (3) e (4), segue que:
1
x
0 e sen x dx 2 e
x
(sen x < cos x) C.
Exemplo 7.30 Determine:
0 sec
3
x dx.
Resolução: Podemos escrever:
0 sec
3
x dx 0 sec 2 x sec x dx.
)D]HQGR u sec x , temos du sec x tg x dx e dv sec 2 x dx e
v tg x . Aplicando a fórmula (2), obtemos:
0 sec
3
x dx sec x tg x < 0 sec x tg 2 x dx
sec x tg x < 0 sec x (sec 2 x < 1) dx
sec x tg x < 0 (sec3 x < sec x) dx
sec x tg x < 0 sec3 x dx 0 sec x dx.
6LPSOLÀFDQGRREWHPRV
2 0 sec3 x dx sec x tg x 0 sec x dx .
Pela tabela de integração sabemos que
0 sec x dx ln sec x tg x C .
313
Curso de Graduação em Administração a Distância
Logo,
0 sec
3
x dx 1
1
sec x tg x ln sec x tg x C.
2
2
Exercícios propostos – 4
%
Calcular as seguintes integrais usando o método de integração por
partes:
1)
0 e x 1
3)
0
5)
0
x
2
dx .
x ln x dx .
ln x
dx .
x
2
2)
0x
4)
0 sen x dx .
6)
0x e
ln x dx .
2
<x
dx .
Integrais impróprias
Sabemos que toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo, ou seja, se f é uma função contínua em [a,b]
b
então existe 0 f (x)dx . Quando f QmRHVWiGH¿QLGDQXPGRVH[WUHPRVGR
a
0
b
f (x)dx para todo t D(a,b)
b
SRGHPRVGH¿QLU 0 f (x)dx como sendo o limite lim
0 f (x)dx quana
t
tAa
do este limite existe. Para os outros casos a situação é análoga. Nestes
intervalo[a,b] , digamos em a , mas existe
t
b
casos as integrais são conhecidas como LQWHJUDLVLPSUySULDV. A seguir
DSUHVHQWDUHPRV D GH¿QLomR H R SURFHGLPHQWR SDUD FDOFXODU LQWHJUDLV
impróprias. Analisaremos cada caso em separado.
(i) Dado f : (a,b] A ° , se existe
GH¿QLPRV
314
0
b
t
f (x)dx para todot D(a,b) ,
Módulo 2
b
0
a
f (x)dx lim
tAa
b
0
t
f (x)dx , a t b ,
quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos
que a integral
0
b
a
f (x)dx não existe, ou não converge.
*UD¿FDPHQWH
y
y = f(x)
0
a
b
x
Figura 7.5
(ii) Dado f :[a,b) A ° , se existe
GH¿QLPRV
0
b
a
f (x)dx lim<
tAb
0
t
a
0
t
a
f (x)dx para todot D(a,b) ,
f (x)dx , a t b ,
quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos
b
que 0 f (x)dx não existe, ou não converge.
a
*UDÀFDPHQWH
y
y = f(x)
0
a
b
x
Figura 7.6
315
Curso de Graduação em Administração a Distância
(iii) Dadof : (a,b) A ° , escrevemos:
0
b
a
0
f (x)dx c
a
b
f (x)dx 0 f (x)dx , a c b ,
c
quando as duas integrais do 2o membro existem.
$VLQWHJUDLVGRVHJXQGRPHPEURIRUDPGHÀQLGDVHPLHLL
respectivamente.
(iv) Quando f :[a,b] A ° é descontínua em algum c D(a,b) e
não existe algum limite lateral perto de c , então escrevemos
0
b
a
0
f (x)dx c
a
b
f (x)dx 0 f (x)dx , a c b ,
c
sempre que as integrais do 2o membro existem.
$VLQWHJUDLVGRVHJXQGRPHPEURIRUDPGHÀQLGDVHPLLHL
respectivamente.
(v) Dadaf : (<',b] A ° , se existir
GH¿QLPRV
0
b
f (x)dx lim
<'
tA<'
0
b
t
0
b
t
f (x)dx para todot D(<',b),
f (x)dx , < ' t b ,
quando este limite existe. Se este limite não existir, diremos
b
que a integral 0 f (x)dx não existe ou não converge.
<'
t
(vi) Dadaf :[a,') A ° , se existir 0 f (x)dx para todot D[a,') ,
a
GH¿QLPRV
0
'
a
f (x)dx lim
tA'
0
t
a
f (x)dx , a t ' ,
quando este limite existe. Se este limite não existir diremos que
a integral
0
'
a
f (x)dx não existe ou não converge.
(vii) Dada f : <',' A ° , escrevemos,
0
'
<'
f (x)dx 0
c
<'
'
f (x)dx 0 f (x)dx , < ' c ' ,
c
quando as duas integrais do 2o membro existem.
316
Módulo 2
$VLQWHJUDLVGRVHJXQGRPHPEURIRUDPGHÀQLGDVHPYHYL
respectivamente.
Quando uma integral imprópria existe, ou seja, o limite envolvido
WHPYDORUÀQLWRGL]HPRVTXHHODpconvergente. Caso contrário dizemos
que ela é divergente.
A seguir apresentaremos alguns exemplos.
Exemplo 7.31 Calcular, se existir:
0
dx
1
0
1< x
.
dx
Resolução: Observemos que a função f (x) não está de1< x
¿nida no ponto x 1. Neste caso calculamos o limite, usando (ii)
lim<
tA1
0
dx
t
0
1 < x2
lim<
tA1
0
t
0
<
1
(1 < x) 2 dx
)D]HQGR u 1 < x ‰ du <dx , pelo método de substituição, vem
0 (1 < x)
<
1
2
dx < 0 u
<
1
2
du <2u1/ 2 ,
ou seja,
t
<1/ 2
1/ 2
0 (1 < x) dx <2(1 < x)
0
t
0
<2 •–(1 < t)1/ 2 < 1—˜ .
Logo,
lim<
tA1
0
t
0
dx
1< x
lim< < 2 •–(1 < t)1/ 2 < 1—˜
tA1
<2[0 < 1] 2
Portanto, a integral converge e temos
1
dx
00 1 < x 2 .
Exemplo 7.32 Calcular, se existir:
dx
.
0 x2
0
1
317
Curso de Graduação em Administração a Distância
1
QmRHVWiGH¿QLGD
x2
no ponto x 0. Neste caso, calculamos o limite, usando (i)
Resolução: Observemos que a função f (x) 1
lim 0
tA0
1
t
dx
x <1
lim
x 2 tA0
<1 t
£
1¥
lim
² <1 ´
tA0 ¤
t¦
'.
Portanto, a integral
dx
diverge ou não existe.
0 x2
0
1
Exemplo 7.33 Calcular, se existir:
/
2
0
0
cos x
1 < sen x
dx.
Resolução: Observemos que f (x) em x /
2
1 < sen x
QmRHVWiGH¿QLGD
/
. Assim, calculamos o limite, usando (i)
2
lim 0
xA
cos x
t
0
cos x
1 < sen x
/
dx lim 0 2 1 < sen x
tA
/
2
0
<1/ 2
cos x dx
t
—
•
1/ 2
µ
³ 1 < sen x
µ
lim ³ <
/
µ
1
tA ³
2 ³
µ
2
0˜
–
t
•
1/ 2 —
lim ³ <2 1 < sen x
µ
/
0˜
tA –
2
lim • <2 1 < sen t
/ ³
tA –
1/ 2
2
1/ 2
—
• £
/¥
³ <2 ² 1 < sen ´ 2 µ
2¦
µ˜
³– ¤
•– <2(1 < 1)1/ 2 2 —˜ 2
Logo, a integral converge e temos
/
cos x
002 1 < sen x dx 2 .
318
2 1 < sen 0
1/ 2
—
˜µ
Módulo 2
Exemplo 7.34 Determinar, se existir:
0
4
0
dx
.
x<2
Resolução: Observemos que f (x) x 2. Assim,
0
4
0
dx
x<2
0
1
não é contínua em
x<2
4 dx
dx
0
,
x<2 2 x<2
2
0
se as integrais do segundo membro convergirem.
4 dx
dx
lim
0
0 x<2
t x<2
tA2
lim< 0
tA2
t
t
lim< ln x < 2 lim
ln x < 2
0
tA2
tA2
4
t
lim< ln t < 2 < ln <2 lim
ln 2 < ln t < 2 .
tA2
tA2
Observamos que calculando o primeiro limite obtemos o resultado
' , logo, podemos concluir que a integral proposta não existe, ou
seja, a integral é divergente.
Exemplo 7.35 Determinar, se existir:
0
0
<'
e x dx.
Resolução: Calculamos
lim
0
0
tA<' t
0
e x dx lim e x
t
tA<'
( <' t 0 )
lim 1 < e t
tA<'
1.
Logo, a integral converge e temos
0
0
<'
e x dx 1.
Exemplo 7.36 Determinar, se existir:
0
'
1
dx
x
.
319
Curso de Graduação em Administração a Distância
Resolução: Calculamos
t
t
dx
tA' 1
x
lim 0
t
1
< 1
2
x
x1/ 2
lim
tA'
tA' 1
1
< 1
2 1
2
1
lim
(1 t ' )
lim 2 t < 2 ' .
tA'
Portanto, a integral diverge.
Exemplo 7.37 Calcular, se existir:
0
'
<'
dx
.
1 x2
Resolução. Escrevemos,
'
0
' dx
dx
dx
0<' 1 x 2 0<' 1 x 2 00 1 x 2 ,
e calculamos os limites:
0 dx
t dx
lim 0
lim
tA<' t 1 x 2
tA' 00 1 x 2
t
0
lim arc tg x t lim arc tg x 0
tA<'
tA'
£ /¥ /
<²< ´ /
¤ 2¦ 2
Portanto, a integral converge e temos
'
dx
0<' 1 x 2 / .
Exercícios propostos – 5
%
320
Calcular, se existirem, as seguintes integrais impróprias, indicar
se converge ou diverge.
1)
0
3)
0
'
<'
3
0
e
<x
dx .
dx
9 < x2
.
2)
0
4)
0
1
0
x ln x dx .
4dx
.
<' x 16
'
2
5)
dy
.
<1 y 2
0
1
Módulo 2
Saiba Mais...
Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte:
— FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron
Books, 1992.
— MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton
de O. Cálculo funções de uma e várias variáveis. São Paulo:
Saraiva, 2005.
— SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da;
SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática: para os cursos de
HFRQRPLDDGPLQLVWUDomRHFLrQFLDVFRQWiEHLVHG6mR3DXOR
Atlas, 1988.
— KWWSSHVVRDOVHUFRPWHOFRPEUPDWHPDWLFDVXSHLRUVXSHULRUKWP
— KWWSZZZFHSDLIXVSEUHFDOFXOR
RESUMO
Nesta Unidade tratamos o conceito de função primitiYDHFRPLVVRFRPSUHHQGHXWDPEpPDGHÀQLomRGHLQWHJUDO
LQGHÀQLGDHVXDVSURSULHGDGHV$SUHQGHXDFDOFXODURYDORU
de algumas integrais imediatas, bem como a calcular uma
LQWHJUDOGHÀQLGDDSOLFDQGRR7HRUHPD)XQGDPHQWDOGR&iOFXOR9RFrWDPEpPDSUHQGHXDOJXPDVWpFQLFDVGHFiOFXORGH
integrais e de integrais impróprias.
321
Curso de Graduação em Administração a Distância
RESPOSTAS
• Exercícios propostos – 1
1)
5
7
a) F (x) x 3 x 2 2x + K .
3
2
<
1
4
<
1
2
b) F (x) < 4 x
c) F (x) < 2 x
K.
K.
d) F (x) ln (x < 1) K .
e) F (x) 2)
e4 x
K .
4
a) F (x) <2cos x sen x <
1
3
b) F (x) 3 x x3
/3
K e K
.
6
384
x2
K e K <3.
2
c) F (x) sec x sen x K e K <
7
3 3
d) F (x) x e x K e K = 1.
7
e) F (x) sen x cos x K e K = –1.
3)
x5
8
a) < x 3 16x C .
5
3
b) ln x 6 x
1
3
C.
x4
4
3
c)
<
<
C.
3
4
x
2
3x
x2 x3
d) 4x <
<
C .
2
3
e) <
322
1
C .
2x 2
3
.
2
Módulo 2
• Exercícios propostos – 2
1)
33
.
2
2)
a)
/2
1;
8
b)
21
; c) 1;
4
d) e 2 < 1 .
• Exercícios propostos – 3
1)
1
5 7 - 5x
3)
5)
7)
C .
2
1
sen 7t < / C .
7
3
x
arctg
C .
3
3
2
5
= ln 4 .
2
2)
<1
C .
x
4)
<1
1 < 2x 2
6
6)
1
.
4
3
2
C .
10 < 1.
8)
• Exercícios propostos – 4
1)
exx2 ex C .
2)
1 3
x3
x ln x <
C .
3
9
3)
2 3/ 2
4x 3/ 2
x ln x <
C .
3
9
4)
1
x
< cos x sen x C .
2
2
5)
1
ln x
2
6)
<x e < x < e < x C .
2
C .
Exercícios propostos – 5
1) 2 .
1
2) < .
4
3)
/
.
2
4) › .
5) ' .
323