2º Teste

2o Teste
Sistemas e Sinais (LEIC-TP)
2006/2007
10 de Novembro de 2006
Número: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Não é permitido o uso de máquinas de calcular.
• Nas perguntas de escolha múltipla escolha apenas uma das respostas.
• Nas perguntas de escolha múltipla as respostas erradas não descontam.
• Nas perguntas de resposta aberta justifique os seus cálculos.
Problema 1.
(1,1v) Considere uma máquina de estados em que
Estados :
’4
Entradas :
Saidas :
’3
’2
Assinale a afirmação verdadeira:
nenhuma das restantes afirmações é verdadeira
A matriz C tem dimensão 3 × 4
A matriz B tem dimensão 2 × 3
A matriz A tem dimensão 4 × 4
Problema 2.
(1,1v) Seleccione a afirmação verdadeira
Nenhuma das restantes afirmações é verdadeira.
Num sistema hı́brido misto, não há interacção entre as máquinas de estados e os modelos temporais
Num sistema hı́brido misto, as máquinas de estados definem o modo de funcionamento do modelo
temporal
Num sistema hı́brido modal, o refinamento de um modo é um sistema temporal
Problema 3.
(1,1v) Considere um sistema discreto, linear e invariante no tempo com entrada x(n) e em que a saı́da é dada
pela seguinte expressão:
∀n ∈ š, y(n) = x(n) + n3 x(n − 1)
Trata-se de um sistema:
não-linear e variante no tempo
não-linear e invariante no tempo
linear e variante no tempo
linear e invariante no tempo
1
Problema 4.
(1,1v) Considere um sistema discreto, linear e invariante no tempo, descrito pela seguinte equação às diferenças:
∀n ∈ š, y(n) = 3x(n − 2) − 2y(n − 3)
Assinale uma escolha adequada para o vector de estado:
nenhuma das restantes
s(n) = [y(n − 1), y(n − 2), y(n − 3)]T
s(n) = [x(n − 2), y(n − 3)]T
s(n) = [x(n − 1), x(n − 2), y(n − 1), y(n − 2), y(n − 3)]T
Problema 5.
(1,1v) Considere um sistema hı́brido modal com dois modos em que o refinamento do primeiro é
d
s(t) = a
dt
e o do segundo:
d
s(t) = b
dt
O sistema muda de modo sempre que s(t) = 8 e nessa altura envia um evento tique e faz s(t) = 0. Pretende-se
que o sistema envie tiques em perı́odos alternados de 1 e 4 segundos. Indique que valores são adequados para a e
b:
a=1eb=8
a=1eb=4
a=8eb=2
nenhuma das restantes respostas está correcta
Problema 6.
(1,1v) Considere um sistema discreto linear e invariante no tempo em que a entrada vale:
!
πn + 3
∀n ∈ š, x(n) = cos
6
e a saı́da:
y(n) = cos
πn + 4
6
!
Deste resultado pode concluir que a fase da resposta em frequência desse sistema vale:
Nenhuma das restantes expressões está certa.
∠H(π/12) = −π/6.
∠H(π/6) = π/6.
∠H(π/6) = 1/6.
2
Problema 7.
(1,1v) Considere um sistema SISO, contı́nuo, linear e invariante no tempo, caracterizado pelo seguinte modelo
de estado:
( d
dt s(t) = −6s(t)
∀t ∈ ’,
y(t) = 4s(t)
Sabendo que s(0) = 2, indique qual será a evolução the y(t) para t > 0:
y(t) = 8e−6t
y(t) = 4e6t
y(t) = 2e6t
nenhuma das restantes
Problema 8.
(1,1v) Considere um sistema contı́nuo linear e invariante no tempo com resposta em frequência dada por:
∀ω ∈ ’, H(ω) = | sin(3ω)|
Se a entrada do sistema for:
∀t ∈ ’, x(t) = 1 − sin
Indique qual dos seguintes sinais será a saı́da desse sistema:
Nenhuma das restantes respostas está certa.
y(t) = − sin π6 t .
y(n) = 1 − sin π3 t .
y(n) = 1 + sin π6 t .
3
π π t + sin t
6
3
Problema 9.
(1,1v) Considere um sistema SISO, discreto, linear e invariante no tempo, caracterizado pelo seguinte modelo
de estado:
"
#
"
#


5 10
3



s(n
+
1)
=
s(n)
+
x(n)

1 i0
0
∀n ∈ š, 
h



 y(n) = 5 10 s(n) + 3x(n)
Indique a equação que relaciona a entrada e a saı́da do sistema:
y(n) = 3x(n) + 10x(n − 1) + 5x(n − 2)
y(n) = 3x(n) + 5x(n − 1) + 10x(n − 2)
y(n) = 3x(n) + 5y(n − 1) + 10y(n − 2)
nenhuma das restantes
Problema 10.
(1,1v) Considere um sistema SISO de primeira ordem, discreto, linear e invariante no tempo, em que o modelo
de estado tem os seguintes valores: a = 0, b = 8, c = 4, d = 2.
A entrada e a saı́da deste sistema relacionam-se pela equação:
∀n ∈ š, y(n) = 2x(n) + 32x(n − 1)
∀n ∈ š, y(n) = 2x(n)
∀n ∈ š, y(n) = 2x(n) + 4x(n − 1)
nenhuma das restantes equações
Problema 11.
(1,1v) Considere um sistema discreto, linear e invariante no tempo caracterizado pela seguinte equação às
diferenças:
∀n ∈ š, y(n) = 3x(n) + x(n − 6) − 5y(n − 8)
Assinale a equação que representa a resposta em frequência deste sistema (∀ω ∈ ’):
H(ω) = (3 − 5e− jω8 )/(1 + e− jω6 )
H(ω) = (3 + e− jω6 )/(1 − 5e− jω8 )
H(ω) = (3 + e− jω6 )/(1 + 5e− jω8 )
nenhuma das restantes
4
Problema 12.
(1,1v) Considere um sistema SISO, discreto, linear e invariante no tempo, caracterizado pelo seguinte modelo
de estado:
(
s(n + 1) = −s(n) + 7x(n)
∀n ∈ š,
y(n) = 3s(n) + 5x(n)
Indique a expressão da resposta do sistema a um impulso unitário com estado inicial nulo (u(n) é a função
escalão unitário e δ(n) o impulso unitário):
h(n) = 3(−1)n−1 u(n)
h(n) = 5δ(n) + 3(−1)n−1u(n)
h(n) = 5δ(n) − 21(−1)n u(n − 1)
nenhuma das restantes
Problema 13.
(1,1v) Considere um sistema discreto, linear e invariante no tempo com a seguinte resposta em frequência:



8 se 3/6 < |ω| < 2/3
∀ω ∈ [−π, π], H(ω) = 

0 caso contrário
Indique qual é a resposta do sistema quando a entrada for
π π π n + cos n + cos n
∀n ∈ š, x(n) = 1 + cos
12
6
3
y(t) = 8
y(n) = 8 cos( π3 n)
y(n) = 8 cos( π6 n)
nenhuma das restantes respostas
Problema 14.
(1,1v) Considere o sinal periódico contı́nuo definido pela equação
∀t ∈ ’, x(t) = 9 − 3 cos(tπ/4) + 4 cos(t2π/4)
Sendo Xk os coeficientes da série de Fourier deste sinal, assinale a resposta correcta:
X−1 = −3/2
X2 = 4
X1 = 4
nenhuma das restantes
5
Problema 15.
(2,3v) Considere um sistema descrito pela seguinte equação às diferenças:
∀n ∈ š, y(n) = 9x(n) + 5x(n − 2) + 4x(n − 3)
em que x corresponde ao sinal de entrada do sistema e y à sua saı́da.
1. Apresente um vector de estado (s(n)) adequado para este sistema.
2. Utilizando este vector de estado, apresente as equações do modelo de estado na forma matricial.
3. Determine a resposta ao impulso do sistema.
Resposta:
6
Problema 16.
(2,3v) Considere um sistema discreto, linear e invariante no tempo, em que o sinal de entrada, x(n), e o de
saı́da, y(n), se relacionam pela seguinte equação diferencial:
∀n ∈ š, y(n) = 3x(n) + 3x(n − 2)
1. Determine H(ω), a resposta em frequência do sistema.
2. Sabendo que o sinal de entrada é:
∀n ∈ š, x(n) = 9 + 6(−1)n
determine Xk , os coeficientes da sua série de Fourier.
3. Determine y(n), o sinal de saı́da do sistema, quando a entrada for o sinal da alı́nea anterior.
Resposta:
7