teste 3

3o Teste
Sistemas e Sinais (LEIC-TP)
2006/2007
14 de Dezembro de 2006
Respostas
i
Problema 1.
(0,7v) Considere o sinal discreto h(n):
∀n ∈ š, h(n) = 3δ(n) + 8δ(n − 1)
e o sinal x(n):
∀n ∈ š, x(n) = 2δ(n − 1) + 8δ(n − 2)
em que δ(n) é o impulso unitário.
Sabendo que y(n) = h(n) ∗ x(n), em que ∗ é o operador de convolução, assinale a resposta correcta:
⊠
Nenhuma das restantes.
y(2) = 40
y(1) = 2
y(0) = 3
Problema 2.
(0,7v) Considere o sistema discreto, linear e invariante no tempo, caracterizado pela seguinte equação às
diferenças:
1
∀n ∈ š, y(n) = x(n) − 3x(n − 8) + y(n − 8)
2
Assinale a afirmação verdadeira
⊠
Nenhuma das restantes afirmações é verdadeira.
Trata-se de um sistema IIR
Trata-se de um sistema FIR porque y(n) = 0, para n > 8
Trata-se de um sistema FIR porque y(n) = 0, para n > 8
Problema 3.
(0,7v) Considere o sistema contı́nuo, linear e invariante no tempo, caracterizado pela seguinte resposta ao
impulso:
∀t ∈ ’, h(t) = e−3t u(t) + e8t u(−t)
Assinale a afirmação verdadeira:
⊠
Nenhuma das restantes afirmações é verdadeira.
Trata-se de um sistema causal e instável
Trata-se de um sistema não causal e estável
Trata-se de um sistema causal e estável
1
Problema 4.
(0,7v) Considere o sistema discreto, linear e invariante no tempo, caracterizado pela seguinte resposta em
frequência:
ω
∀ω ∈] − π, π], H(ω) = cos
e− jω/3
3
Se a entrada deste sistema for o sinal:
π
π
∀n ∈ š, x(n) = cos n +
8
4
Assinale a expressão do sinal de saı́da y(n):
⊠
Nenhuma das restantes.
y(n) = cos(π/3) cos(nπ/8 + π/4)
y(n) = cos(π/24) cos(nπ/8 + π/4)
y(n) = cos(π/24) cos(nπ/8 + π/4 − π/24)
Problema 5.
(0,7v) Considere o sistema discreto, linear e invariante no tempo, caracterizado pela seguinte resposta ao impulso:
∀n ∈ š, h(n) = (1/3)nu(n) + (1/3)n−8u(n − 8)
Assinale a expressão para a resposta em frequência deste sistema:
⊠
H(ω) = (1 + e− jω8 )/(1 − (1/3)e− jω)
Nenhuma das restantes.
H(ω) = (1 + e jω8 )/(1 + (1/3)e− jω)
H(ω) = (1 + e− jω8 )/(1 + (1/3)e− jω)
Problema 6.
(0,7v) Considere o sistema discreto, linear e invariante no tempo, caracterizado pela seguinte resposta em
frequência:
3 + e− jω
1 − 8e− jω + e− jω2
Sendo x(n) e y(n) os sinais de entrada e de saı́da deste sistema, indique qual das seguintes equações às diferença
os relaciona.
∀ω ∈] − π, π], H(ω) =
⊠
Nenhuma das restantes.
y(n) = 3x(n) − x(n − 1) − 8y(n − 1) + y(n − 2)
y(n) = 3x(n) + x(n − 1) − 8y(n − 1) + y(n − 2)
y(n) = 3x(n) + x(n − 1) + 8y(n − 1) − y(n − 2)
2
Problema 7.
(0,7v) Considere o sistema contı́nuo, linear e invariante no tempo, caracterizado pela seguinte resposta em
frequência:
∀ω ∈ ’, H(ω) =
jω
10 + jω
Se a entrada deste sistema for o sinal:
∀t ∈ ’, x(t) = e−2t u(t)
Assinale a expressão da transformada de Fourier do sinal de saı́da Y(ω):
h
i
⊠ Y(ω) = 81 10+10jω − 2+2jω
Nenhumahdas restantes.i
Y(ω) = 18 2+10jω − 10+2 jω
h
i
Y(ω) = 81 10+10jω + 2+2jω
Problema 8.
(0,7v) Considere o sistema discreto, linear e invariante no tempo, caracterizado pela seguinte resposta ao impulso:
∀n ∈ š, h(n) = (1/9)nu(n)
Sabendo que se observou o seguinte sinal à saı́da do sistema:
∀n ∈ š, y(n) = δ(n) + 2δ(n − 3)
Assinale a expressão da transformada de Fourier do sinal de entrada X(ω):
⊠
Nenhuma das restantes equações.
X(ω) = (1 + 2e− jω3 )/(1 + (1/9)e− jω)
X(ω) = (1 + 2e− jω3 )(1 + (1/9)e− jω)
X(ω) = (1 + 2e− jω3 )(1 − (1/9)e− jω)
Problema 9.
(0,7v) Sabendo que X(ω) é a transformada de x(n) indique a expressão para a transformada de Fourier de:
∀n ∈ š, y(n) = x(3 − n) + e j2n x(n − 9)
⊠
Nenhuma das restantes.
Y(ω) = e jω3 X(−ω) + e j9(ω−2) X(ω − 2)
Y(ω) = e jω3 X(−ω) + e− j9(ω−2) X(ω − 2)
Y(ω) = e− jω3 X(−ω) + e− j9(ω−2) X(ω − 2)
3
Problema 10.
(0,7v) Sabendo que X(ω) é a transformada de x(t) e que:
∀ω ∈ ’, X(ω) =
2e− jω
(2 + jω)(11 + jω)
Assinale uma expressão para x(t):
⊠
Nenhuma das restantes.
x(t) = 2[e−11(t−1) − e−2(t−1) ]u(t − 1)
x(t) = (2/9)[e−11(t−1) − e−2(t−1) ]u(t − 1)
x(t) = (2/9)[e−2(t−1) − e−11(t−1) ]u(t − 1)
Problema 11.
(0,7v) Considere o sinal em tempo contı́nuo:
∀t ∈ ’, x(t) = sin(3πt) + sin(6πt) + sin(9πt)
Escolha entre as seguintes frequências de amostragem a menor que cumpre o critério do teorema da amostragem para o sinal apresentado:
⊠
Nenhuma das frequências de amostragem cumpre o critério.
f s = 6 Hz
f s = 12 Hz
f s = 9 Hz
Problema 12.
(0,7v) Considere o seguinte sinal em tempo contı́nuo:
"
!
#
24
∀t ∈ ’, x(t) = e−3t sin
πt + 2 cos (16πt)
4
Assinale a expressão para o sinal discreto xd (n) resultante da amostragem do sinal anterior ao ritmo de 8 Hz
sem a utilização de um filtro anti-aliasing.
⊠
Nenhuma das restantes.
xd (n) = e−3n/8 [sin(πn/8)]
xd (n) = e−3n/8 [sin(3πn/4) + 2]
xd (n) = e−3n/8 [sin(3πn/4)]
4
Problema 13.
(0,7v) Considere o sinal em tempo contı́nuo x(t), definido por:
∀t ∈ ’, x(t) = e−2t [u(t) − u(t − 2)]
em que u(t) é a função escalão unitário. Sabendo que y(t) = x(9 − t) assinale a proposição verdadeira:
⊠
Nenhuma das restantes.
∀t < 7, y(t) = 0
∀t < 9, y(t) = 0
∀t > 7, y(t) = 0
Problema 14.
(0,7v) Considere o sistema contı́nuo S em que a saı́da y(t) é uma sinusóide com frequência instantânea igual à
amplitude do sinal de entrada:
∀t ∈ ’, y(t) = S (x)(t) = 2 cos(x(t)t)
Assinale a proposição verdadeira:
⊠
y ∈ [−2, 2]
y ∈ ’ → [−2, 2]
y ∈ [’ → [−2, 2]]
Nenhuma das restantes proposições é verdadeira
Problema 15.
(0,7v) Considere o sinal em tempo discreto x(n), definido por:
∀n ∈ š, x(n) = cos
!
π 2π
n + cos
n
2
2
Assinale a afirmação verdadeira:
⊠
Nenhuma das restantes afirmações é verdadeira.
x(n) é um sinal periódico de perı́odo 1/2
x(n) é um sinal periódico de perı́odo 2
x(n) é um sinal periódico de perı́odo 4
5
Problema 16.
(0,7v) Considere duas máquinas de estados A e B, com alfabetos de entrada e de saı́da iguais a {V, F}. Sendo a
máquina A definida pelo diagrama de estados:
{F}/V
{F}/F
{V}/V
B
{F}/V
{V}/F
{F}/V
C
{V}/F
{V}/F
A
D
e a máquina B:
{V}/F
{F}/V
{F}/F
1
{V}/V
2
{V}/F
Assinale a afirmação verdadeira:
⊠
A máquina A simula a máquina B com a relação de simulação S = {(1, A), (2, B), (2, C), (2, D)}
A máquina B simula a máquina A com a relação de simulação S = {(A, 1), (B, 2), (C, 2), (D, 2)}
Nenhuma das restantes afirmações é verdadeira
A máquina B não pode simular a máquina A porque não é determinı́stica
Problema 17.
(0,7v) Considere um sistema SISO, discreto, linear e invariante no tempo, caracterizado pelo seguinte modelo
de estado:
"
#
"
#


0 0
1


 s(n + 1) =
s(n) +
x(n)

1 i0
0
∀n ∈ š, 
h



 y(n) = 9 2 s(n) + 7x(n)
Indique a equação que relaciona a entrada e a saı́da do sistema:
⊠
y(n) = 7x(n) + 2x(n − 1) + 9y(n − 1)
y(n) = 7x(n) + 9y(n − 1) + 2y(n − 2)
y(n) = 7x(n) + 9x(n − 1) + 2x(n − 2)
Nenhuma das restantes equações
Problema 18.
(0,7v) Pretende-se dimensionar um sistema hı́brido modal com dois modos com o mesmo refinamento:
d
s(t) = 9
dt
O sistema muda do primeiro para o segundo modo quando s(t) = A e do segundo para o primeiro quando
s(t) = B. Sempre que muda de modo a variável de estado s(t) é inicializada a zero.
Indique o valor adequado para A e B de modo a que o sistema fique alternadamente 2 segundos no primeiro
modo e 10 segundos no segundo.
⊠
A = 1/2 e B = 1/10
A = 2 e B = 10
A = 18 e B = 90
Nenhuma das restantes respostas está correcta
6
Problema 19.
(0,7v) Considere o sinal periódico contı́nuo definido pela equação:
∀t ∈ ’, x(t) = 1 − 9 sin(4πt) + 3 cos(8πt)
Sendo Xk os coeficientes da série de Fourier deste sinal, assinale a resposta correcta:
⊠
X−1 = 9/(2 j)
X2 = 3
X1 = −9/2
nenhuma das restantes
Problema 20.
(0,7v) Considere um sistema contı́nuo, linear e invariante no tempo com a seguinte resposta em frequência:



9 se |ω| < 8/18
∀ω ∈ ’, H(ω) = 

0 caso contrário
Indique qual é a resposta do sistema quando a entrada for
!
!
π 2π
3π
t + cos
t + cos
t
∀t ∈ ’, x(t) = 1 + cos
18
18
18
⊠
y(t) = 0
π
y(t) = 9 + 9 cos( 18
t)
2π
π
t) + 9 cos( 18
t)
y(t) = 9 + 9 cos( 18
Nenhuma das restantes respostas
7
Problema 21.
(1,5v) Considere uma máquina de estados finitos C resultante da composição em retroacção das máquinas de
estados A e B:
A
B
C
em que EntradasC = {0, 1, nulo} e SaidasC = SaidasB .
Sabe-se que a a máquina de estados finitos A tem dois portos de entrada: EntradasA = {(0, F), (0, V), (1, F), (1, V), (nulo, nulo)},
em que o segundo está ligado à saı́da da máquina B. A máquina A tem dois estados, EstadosA = {A, B}, sendo
A o estado inicial, e saı́das SaidasA = {0, 1, nulo}. A máquina A caracteriza-se também pela seguinte tabela de
actualização:
Estado (0, F) (0, V) (1, F) (1, V) (nulo, nulo)
A
(B, 0) (A, 1) (A, 0) (A, 1) (A, nulo)
B
(A, 1) (B, 0) (B, 0) (B, 1) (B, nulo)
A máquina B tem EstadosB = {a, b}, aceita como entradas {0, 1, nulo}, o alfabeto de saı́da é SaidasB =
{F, V, nulo} e apresenta o seguinte diagrama de estados:
{1}/F
{0}/V
{0}/F
a
b
{1}/V
1. Diga, justificando, se a composição da máquina A com a B é bem formada.
2. Apresente a tabela de actualização da máquina C, mostrando apenas os estados acessı́veis.
3. Desenhe o diagrama de estados da máquina C (represente apenas os estados acessı́veis).
4. Apresente a saı́da da máquina C para a sequência de entrada: (1, 0, 1, 0, 1)
Resposta:
1. A composição é bem formada porque a máquina B é de saı́da definida pelo estado.
2. A tabela de actualização da máquina C será:
Estado
(A, a)
(A, b)
(B, a)
(B, b)
0
((B, b), F)
((A, a), V)
((A, a), F)
((B, b), V)
1
((A, b), F)
((A, a), V)
((B, b), F)
((B, a), V)
nulo
((A, a), nulo)
((A, b), nulo)
((B, a), nulo)
((B, b), nulo)
3. O diagrama de estados pode ser obtido directamente da tabela anterior:
{0}/V
(B,b)
{1}/V
{0}/F
{1}/F
(B,a)
(A,a)
{1}/F
(A,b)
{0,1}/V
{0}/F
4. Para a entrada (1, 0, 1, 0, 1) a máquina C alterna entre os estados (A, a) e (A, b) produzindo a saı́da (F, V, F, V, F).
8
Problema 22.
(1,5v) Considere um sistema descrito pela seguinte equação às diferenças:
∀n ∈ š, y(n) = 9x(n − 1) + 5x(n − 2) + 4y(n − 1)
em que x corresponde ao sinal de entrada do sistema e y à sua saı́da.
1. Apresente um vector de estado (s(n)) adequado para este sistema.
2. Utilizando este vector de estado, apresente as equações do modelo de estado na forma matricial.
3. Determine a resposta ao impulso do sistema.
Resposta:
1. Da equação ás diferenças é fácil verificar que o vector de estado terá de conter as 2 últimas amostas da
entrada e a última saı́da:

 x(n − 1)

s(n) =  x(n − 2)

y(n − 1)
2. O modelo de estado na forma matricial terá a forma:
s(n + 1) =
y(n) =

 0 0 0

 1 0 0
9 5 4
h
9 5 4





 

 1 

 
 s(n) +  0  x(n)
0
i
s(n) + 0x(n)
3. A resposta ao impulso corresponde a ter na entrada o sinal impulso unitário x(n) = δ(n), então:
∀n ∈ š, y(n) = 9(4)(n−1) u(n − 1) + 5(4)(n−2) u(n − 2)
9
Problema 23.
(1,5v) Considere o sistema discreto, causal, linear e invariante no tempo definido com a seguinte resposta em
frequência:
∀ω ∈ [−π, π], H1 (ω) =
9 + 2e− jω
1 − 12 e− jω
1. Determine a equação às diferenças que relaciona o sinal de entrada x(n) com o de saı́da y(n).
2. Determine a resposta ao impulso do sistema.
3. Considere que o sistema anterior é ligado em cascata com um sistema com a seguinte equação às diferenças:
∀n ∈ š, y(n) = x(n) −
1
x(n − 1)
2
Apresente a equação da resposta ao impulso do sistema resultante dessa associação. Indique, justificando,
se se trata de um sistema IIR ou FIR.
Resposta:
1. Dado que H1 (ω) = Y(ω)/X(ω):
1
Y(ω) − e− jω Y(ω) = 9X(ω) + 2e− jω X(ω)
2
Calculando a transformada inversa:
1
y(n) − y(n − 1) = 9x(n) + 2x(n − 1)
2
2. Decompondo H1 (ω) em fracções simples:
H1 (ω) =
Invertendo a transformada:
1
h1 (n) = 9
2
2e− jω
9
+
1 − 12 e− jω 1 − 21 e− jω
!n
1
u(n) + 2
2
!n−1
u(n − 1)
3. A resposta em frequência do segundo sistema será:
1
H2 (ω) = 1 − e− jω
2
Associando em cascata os dois sistemas:
H3 (ω) = H1 (ω)H2 (ω) = 9 + 2e− jω
Calculando a transformada inversa:
h3 (n) = 9δ(n) + 2δ(n − 1)
Trata-se de um sistema com resposta ao impulso finita (FIR).
10
Problema 24.
(1,5v) Considere o sinal contı́nuo:
∀t ∈ ’, x(t) = 3e−2t u(t) + δ(t)
em que δ(t) é o impulso de Dirac.
1. Determine X(ω), a transformada de Fourier de x(t).
2. Considere o sistema contı́nuo, linear e invariante no tempo com a seguinte resposta em frequência:
H(ω) =
1
(5 + jω)(9 + jω)
Apresente uma equação diferencial que relacione o sinal de entrada (x(t)) e o de saı́da (y(t)) do sistema.
3. Determine y(t), o sinal de saı́da do sistema da alı́nea anterior, quando a entrada for o sinal x(t) definido
anteriormente.
Resposta:
1. Aplicando a transforma de Fourier:
X(ω) =
5 + jω
3
+1=
2 + jω
2 + jω
2. Tomando a resposta em frequência:
1
1
=
(5 + jω)(9 + jω) 45 + j14ω + ( jω)2
H(ω) =
Sabendo que H(ω) = Y(ω)/X(ω):
45Y(ω) + jω14Y(ω) + ( jω)2 Y(ω) = X(ω)
Calculando a transformada inversa:
45y(t) + 14
dy(t) d2 y(t)
= x(t)
+
dt
dt2
3. Utilizando as transformadas de Fourier:
Y(ω) = H(ω)X(ω) =
1
(2 + jω)(9 + jω)
Decompondo em fracções simples:
Y(ω) =
B
1/7
1/7
A
+
=
−
2 + jω 9 + jω 2 + jω 9 + jω
Invertendo a transformada:
y(t) =
i
1 h −2t
e − e−9t u(t)
7
11