1o Teste Tipo Sinais e Sistemas (LERC/LEE) 2008/2009 Maio de 2009 Número: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Não é permitido o uso de máquinas de calcular. • Nas perguntas de escolha múltipla escolha apenas uma das respostas. • Nas perguntas de escolha múltipla as respostas erradas não descontam. • Nas perguntas de resposta aberta justifique os seus cálculos. Problema 1. (0,9v) Considere o seguinte integral: Z 0 +∞ δ(t − π/4) cos(t)dt em que t ∈ e δ(t) é a função delta de Dirac. O integral vale: Nenhuma das restantes respostas está certa 1 √ 2/2 δ(t) Problema 2. (0,9v) Considere o sinal ∀n ∈ , x(n) = e j(π+3)n Assinale a afirmação correcta Nenhuma das restantes respostas está certa x(n) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 2 x(n) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 3 x(n) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 6 Problema 3. (0,9v) Considere um sistema contı́nuo que para o sinal de entrada x(t) produz na saı́da o sinal ∀t ∈ , y(t) = x(t/2) Escolha a afirmação verdadeira: o sistema não tem memória Nenhuma das restantes respostas está certa o sistema não é estável o sistema não é causal 1 Problema 4. (0,9v) Considere o sinal: ∀t ∈ , y(t) = u(t) ∗ u(t) em que u(t) é a função escalão unitário e ∗ significa a operação de convolução. O valor de y(3/2) é: Nenhuma das restantes respostas está certa 0 3/2 1/2 Problema 5. (0,9v) Considere um sistema linear e invariante no tempo caracterizado pela resposta impulsiva: ∀t ∈ , h(t) = u(t − 1) em que u(t) é a função escalão. Escolha a afirmação verdadeira: Nenhuma das restantes respostas está certa o sistema não é causal o sistema é estável o sistema não é estável Problema 6. (0,9v) Considere um sistema continuo, linear e invariante no tempo caracterizado pela equação diferencial: ∀t ∈ , dy(t) + 2y(t) = 4x(t) dt Sabendo que a entrada do sistema vale x(t) = 3e−3t u(t). Qual será a solução particular da equação diferencial: Nenhuma das restantes respostas está certa y p (t) = 6e3t y p (t) = −12e−3t y p (t) = 12e3t 2 Problema 7. (0,9v) Considere um sistema contı́nuo em que a entrada é dada por: x(t) = A x cos(ω x t + φ x ) e a saı́da: y(t) = Ay cos(ωy t + φy ) em que A x , Ay , ω x , ωy , φ x , φy são constantes reais. Indique a resposta verdadeira: Se o sistema for linear e invariante no tempo pode-se garantir que φ x = φy Se o sistema for linear e invariante no tempo pode-se garantir que φ x = φy e que ω x = ωy Nenhuma das restantes respostas está certa Se o sistema for linear e invariante no tempo pode-se garantir que ω x = ωy Problema 8. (0,9v) Considere uma sequência periódica real x(n) de perı́odo 5 cujos coeficientes da série de Fourier são ak . A sequência y(n) é construı́da pela expressão: y(n) = x(n) − jx(5 − n) + x(10 − n) + jx(n + 5) Sendo bk os coeficientes da série de Fourier de y(n), escolha a resposta certa: Nenhuma das restantes respostas está certa. b0 é um número imaginário puro. bk = 2ak . b1 é um número real. Problema 9. (0,9v) Sendo x(n) um sinal discreto, periódico, real e par, com perı́odo N = 5 e coeficientes da série de Fourier ak . Sabendo que: 4 X |ak |2 = 1 k=0 e que x(−2) = 1 e x(1) = −1, determine qual das seguintes afirmações é verdadeira: Nenhuma das restantes respostas está certa x(0) = 1 x(5) = 0 x(2) = −1 3 Problema 10. (0,9v) Admita que o sinal contı́nuo x(t), tem como transformada de Fourier X( jω) que é uma função par. Indique qual será a transformada de Fourier de x1 (t) = x(−t − a) ∗ x(t − a): X1 ( jω) = e− j2ω X 2 ( jω) Nenhuma das restantes respostas está certa X1 ( jω) = e− j2ω X( jω) X1 ( jω) = X 2 ( jω) Problema 11. (0,9v) Considere um filtro ideal, em tempo contı́nuo, com a seguinte resposta em frequência: 1, 1 < |ω| < 3 ∀ω ∈ , H(ω) = 0, caso contrário Sabendo que à entrada do filtro foi colocado o sinal x(t): ∀t ∈ , x(t) = 1 + 2 cos(2t) + 2 cos(4t) Indique qual das seguintes expressões representa, Y(ω), a transformada de Fourier do sinal de saı́da do filtro: Y(ω) = 2π(δ(ω) + δ(ω − 2) + δ(ω + 2)) Nenhuma das restantes equações representa Y(ω). Y(ω) = 2πδ(ω) Y(ω) = 2π(δ(ω − 2) + δ(ω + 2)) Problema 12. (0,9v) Considere um sistema contı́nuo, linear e invariante no tempo com a seguinte resposta ao impulso: ∀t ∈ , h(t) = e−t u(t) Sabendo que à entrada do filtro foi colocado o sinal em tempo contı́nuo x(t) tal que: ∀t ∈ , x(t) = cos(t) Indique qual das seguintes expressões representa, Y(ω), a transformada de Fourier em tempo contı́nuo do sinal de saı́da do filtro: Y(ω) = π 2+ j (δ(ω − 1) + δ(ω + 1)) Nenhuma das restantes equações representa Y(ω). Y(ω) = 2+π j (δ(ω − 2) + δ(ω + 2)) Y(ω) = π 1+ j (δ(ω − 1) + δ(ω + 1)) 4 Problema 13. (0,9v) Considere um sistema discreto cuja saı́da y(n) tem como transformada de Fourier Y(e jω ) que está relacionada com a DTFT da entrada pela equação: Z ω+π/3 jω X(e jθ )dθ Y(e ) = ω−π/3 Diga qual das seguintes expressões define y(n) (em que ∗ representa a operação de convolução como habitualmente): Nenhuma das restantes respostas está certa y(n) = x(n) ∗ sin(πn/3) πn y(n) = 2x(n) sin(πn/3) n y(n) = 3x(n) sin(πn/3) n Problema 14. (0,9v) Considere um sistema discreto, linear e invariante no tempo com a seguinte resposta ao impulso: ∀n ∈ , h(n) = δ(n) − δ(n − 12) Assinale a equação correspondente ao módulo da resposta em frequência deste sistema: |H(e jω )| = | cos(12ω)| Nenhuma das restantes. |H(e jω )| = 2| cos(ω)| |H(e jω )| = 2| sin(6ω)| Problema 15. (0,9v) Considere um sinal discreto y(n) cuja transformada de Fourier em tempo discreto é representada pela expressão: ∀ω ∈ , Y(e jω ) = Assinale uma expressão válida para y(n): 1 (1 − (1/2)e− jω)(1 + (1/3)e− jω) Nenhuma das restantes equações representa y(n). y(n) = 3(1/2)nu(n) − 2(1/3)nu(n) y(n) = 35 (1/2)nu(n) + 25 (−1/3)nu(n) y(n) = −(1/2)nu(n) + 2(−1/3)nu(n) 5 Problema 16. (3,25v) Considere a composição em cascata de dois sistemas contı́nuos lineares e invariantes no tempo: x(t) - y(t) - S1 S2 z(t) - Sabe-se que o sistema S 2 tem como resposta em frequência: 1, |ω| < 15π H2 ( jω) = 0, caso contrário 1. Sabendo que no sistema S 1 a entrada x e a saı́da y se relacionam pela equação diferencial: 1 dy(t) + y(t) = 4x(t) 10π dt determine H1 ( jω), a resposta em frequência do sistema S 1 . 2. Considere que a entrada x é o sinal periódico x(t) = cos(10πt) + sin(20πt) . Determine o perı́odo deste sinal e os coeficientes da sua série de Fourier. 3. Determine o sinal z à saı́da da composição dos dois sistemas quando a entrada for o sinal da alı́nea anterior ω (se não resolveu a primeira alı́nea considere H1 ( jω) = 1 − j 10π ) Resposta: 6 Problema 17. (3,25v) Considere um sistema discreto linear e invariante no tempo caracterizado pela seguinte resposta em frequência: 1 − e− jω H(e jω ) = 1 − 31 e− jω 1. Determine a equação às diferenças que relaciona x(n), o sinal de entrada do sistema, com o sinal de saı́da y(n). 2. Determine a resposta do sistema ao sinal x1 (n) = 1 2 !n u(n) 3. Usando o resultado da alı́nea anterior calcule a resposta do sistema ao sinal: !n 1 x2 (n) = [u(n) − u(n − 4)] 2 Resposta: 7