solução

1o Teste Tipo
Sinais e Sistemas (LERC/LEE)
2008/2009
Maio de 2009
Respostas
i
Problema 1.
(0,9v) Considere o seguinte integral:
Z
0
+∞
δ(t − π/4) cos(t)dt
em que t ∈ ’ e δ(t) é a função delta de Dirac. O integral vale:
⊠
Nenhuma das restantes respostas está certa
1
√
2/2
δ(t)
Problema 2.
(0,9v) Considere o sinal
∀n ∈ š, x(n) = e j(π+3)n
Assinale a afirmação correcta
⊠
Nenhuma das restantes respostas está certa
x(n) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 2
x(n) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 3
x(n) é um sinal periódico com perı́odo fundamental 6
Problema 3.
(0,9v) Considere um sistema contı́nuo que para o sinal de entrada x(t) produz na saı́da o sinal
∀t ∈ ’, y(t) = x(t/2)
Escolha a afirmação verdadeira:
⊠
o sistema não tem memória
Nenhuma das restantes respostas está certa
o sistema não é estável
o sistema não é causal
1
Problema 4.
(0,9v) Considere o sinal:
∀t ∈ ’, y(t) = u(t) ∗ u(t)
em que u(t) é a função escalão unitário e ∗ significa a operação de convolução. O valor de y(3/2) é:
⊠
Nenhuma das restantes respostas está certa
0
3/2
1/2
Problema 5.
(0,9v) Considere um sistema linear e invariante no tempo caracterizado pela resposta impulsiva:
∀t ∈ ’, h(t) = u(t − 1)
em que u(t) é a função escalão. Escolha a afirmação verdadeira:
⊠
Nenhuma das restantes respostas está certa
o sistema não é causal
o sistema é estável
o sistema não é estável
Problema 6.
(0,9v) Considere um sistema continuo, linear e invariante no tempo caracterizado pela equação diferencial:
∀t ∈ ’,
dy(t)
+ 2y(t) = 4x(t)
dt
Sabendo que a entrada do sistema vale x(t) = 3e−3t u(t). Qual será a solução particular da equação diferencial:
⊠
Nenhuma das restantes respostas está certa
y p (t) = 6e3t
y p (t) = −12e−3t
y p (t) = 12e3t
2
Problema 7.
(0,9v) Considere um sistema contı́nuo em que a entrada é dada por:
x(t) = A x cos(ω x t + φ x )
e a saı́da:
y(t) = Ay cos(ωy t + φy )
em que A x , Ay , ω x , ωy , φ x , φy são constantes reais. Indique a resposta verdadeira:
⊠
Se o sistema for linear e invariante no tempo pode-se garantir que φ x = φy
Se o sistema for linear e invariante no tempo pode-se garantir que φ x = φy e que ω x = ωy
Nenhuma das restantes respostas está certa
Se o sistema for linear e invariante no tempo pode-se garantir que ω x = ωy
Problema 8. (0,9v) Considere uma sequência periódica real x(n) de perı́odo 5 cujos coeficientes da série de
Fourier são ak . A sequência y(n) é construı́da pela expressão:
y(n) = x(n) − jx(5 − n) + x(10 − n) + jx(n + 5)
Sendo bk os coeficientes da série de Fourier de y(n), escolha a resposta certa:
⊠
Nenhuma das restantes respostas está certa.
b0 é um número imaginário puro.
bk = 2ak .
b1 é um número real.
Problema 9.
(0,9v) Sendo x(n) um sinal discreto, periódico, real e par, com perı́odo N = 5 e coeficientes da série de Fourier
ak . Sabendo que:
4
X
|ak |2 = 1
k=0
e que x(−2) = 1 e x(1) = −1, determine qual das seguintes afirmações é verdadeira:
⊠
Nenhuma das restantes respostas está certa
x(0) = 1
x(5) = 0
x(2) = −1
3
Problema 10.
(0,9v) Admita que o sinal contı́nuo x(t), tem como transformada de Fourier X( jω) que é uma função par.
Indique qual será a transformada de Fourier de x1 (t) = x(−t − a) ∗ x(t − a):
⊠
X1 ( jω) = e− j2ω X 2 ( jω)
Nenhuma das restantes respostas está certa
X1 ( jω) = e− j2ω X( jω)
X1 ( jω) = X 2 ( jω)
Problema 11.
(0,9v) Considere um filtro ideal, em tempo contı́nuo, com a seguinte resposta em frequência:



1, 1 < |ω| < 3
∀ω ∈ ’, H(ω) = 

0, caso contrário
Sabendo que à entrada do filtro foi colocado o sinal x(t):
∀t ∈ ’, x(t) = 1 + 2 cos(2t) + 2 cos(4t)
Indique qual das seguintes expressões representa, Y(ω), a transformada de Fourier do sinal de saı́da do filtro:
⊠
Y(ω) = 2π(δ(ω) + δ(ω − 2) + δ(ω + 2))
Nenhuma das restantes equações representa Y(ω).
Y(ω) = 2πδ(ω)
Y(ω) = 2π(δ(ω − 2) + δ(ω + 2))
Problema 12.
(0,9v) Considere um sistema contı́nuo, linear e invariante no tempo com a seguinte resposta ao impulso:
∀t ∈ ’, h(t) = e−t u(t)
Sabendo que à entrada do filtro foi colocado o sinal em tempo contı́nuo x(t) tal que:
∀t ∈ ’, x(t) = cos(t)
Indique qual das seguintes expressões representa, Y(ω), a transformada de Fourier em tempo contı́nuo do sinal
de saı́da do filtro:
⊠
Y(ω) =
π
2+ j (δ(ω
− 1) + δ(ω + 1))
Nenhuma das restantes equações representa Y(ω).
Y(ω) = 2+π j (δ(ω − 2) + δ(ω + 2))
Y(ω) =
π
1+ j (δ(ω
− 1) + δ(ω + 1))
4
Problema 13.
(0,9v) Considere um sistema discreto cuja saı́da y(n) tem como transformada de Fourier Y(e jω ) que está relacionada com a DTFT da entrada pela equação:
Z ω+π/3
jω
X(e jθ )dθ
Y(e ) =
ω−π/3
Diga qual das seguintes expressões define y(n) (em que ∗ representa a operação de convolução como habitualmente):
⊠
Nenhuma das restantes respostas está certa
y(n) = x(n) ∗ sin(πn/3)
πn
y(n) = 2x(n) sin(πn/3)
n
y(n) = 3x(n) sin(πn/3)
n
Problema 14.
(0,9v) Considere um sistema discreto, linear e invariante no tempo com a seguinte resposta ao impulso:
∀n ∈ š, h(n) = δ(n) − δ(n − 12)
Assinale a equação correspondente ao módulo da resposta em frequência deste sistema:
⊠
|H(e jω )| = | cos(12ω)|
Nenhuma das restantes.
|H(e jω )| = 2| cos(ω)|
|H(e jω )| = 2| sin(6ω)|
Problema 15.
(0,9v) Considere um sinal discreto y(n) cuja transformada de Fourier em tempo discreto é representada pela
expressão:
∀ω ∈ ’, Y(e jω ) =
Assinale uma expressão válida para y(n):
⊠
1
(1 − (1/2)e− jω)(1 + (1/3)e− jω)
Nenhuma das restantes equações representa y(n).
y(n) = 3(1/2)nu(n) − 2(1/3)nu(n)
y(n) = 35 (1/2)nu(n) + 25 (−1/3)nu(n)
y(n) = −(1/2)nu(n) + 2(−1/3)nu(n)
5
6
Problema 16.
(3,25v) Considere a composição em cascata de dois sistemas contı́nuos lineares e invariantes no tempo:
x(t)
y(t)
-
S1
-
z(t)
S2
-
Sabe-se que o sistema S 2 tem como resposta em frequência:



1, |ω| < 15π
H2 ( jω) = 

0, caso contrário
1. Sabendo que no sistema S 1 a entrada x e a saı́da y se relacionam pela equação diferencial:
1 dy(t)
+ y(t) = 4x(t)
10π dt
determine H1 ( jω), a resposta em frequência do sistema S 1 .
2. Considere que a entrada x é o sinal periódico
x(t) = cos(10πt) + sin(20πt)
. Determine o perı́odo deste sinal e os coeficientes da sua série de Fourier.
3. Determine o sinal z à saı́da da composição dos dois sistemas quando a entrada for o sinal da alı́nea anterior
ω
(se não resolveu a primeira alı́nea considere H1 ( jω) = 1 − j 10π
)
Resposta:
1. Uma vez que se trata de um SLIT: x(t) = e jωt → y(t) = H1 (ω)e jωt
aplicando as propriedades da CTFT:
1
jωt
10π ( jω)H1 (ω)e
H1 (ω) =
+ H1 (ω)e jωt = 4e jωt
4
ω
1 + j 10π
2. O sinal é periódico com perı́odo T = 0,2 s e ω0 = 10π. Pela fórmula de Euler:
x(t) =
1 j10πt 1 − j10πt 1 j20πt 1 − j20πt
e
+ e
+ e
− e
2
2
2j
2j
é fácil concluir:
3. A série de Fourier da saı́da será z(t) =
1



2,



1


2j,
Xk = 

−1



2j ,



0,
P2
k=−2
|k| = 1
k=2
k = −2
caso contrário
H(k10π)Xk e jk10πt como H(ω) = H1 (ω)H2 (ω) = H2 (ω)H1 (ω) e
H(20π) = H2 (20π) = 0
H(10π) = H1 (10π)
4
=
10π
1 + j 10π
√ − jπ/4
= 2 2e
então
= 2(1 − j)
7
√ − jπ/4 1 j10πt √ jπ/4 1 − j10πt
e
+ 2e
e
z(t) = 2e
2
2
√
= 2 2 cos(10πt − π/4)
Problema 17.
(3,25v) Considere um sistema discreto linear e invariante no tempo caracterizado pela seguinte resposta em
frequência:
1 − e− jω
H(e jω ) =
1 − 31 e− jω
1. Determine a equação às diferenças que relaciona x(n), o sinal de entrada do sistema, com o sinal de saı́da
y(n).
2. Determine a resposta do sistema ao sinal
x1 (n) =
1
2
!n
u(n)
3. Usando o resultado da alı́nea anterior calcule a resposta do sistema ao sinal:
!n
1
x2 (n) =
[u(n) − u(n − 4)]
2
Resposta:
1.
1
y(n) − y(n − 1) = x(n) − x(n − 1)
3
2.
X1 (ω) =
Y1 (ω)
=
1−e− jω
(1− 13 e− jω )(1− 21 e− jω )
=
4
1− 13 e− jω
1
y1 (n) = 4
3
3.
x2 (n) = x1 (n) −
1
4
!
1
2
1
1 − 12 e− jω
!n
!n−4
−3
1− 12 e− jω
1
u(n) − 3
2
!n
u(n)
u(n − 4) = x1 (n) −
y2 (n) = y1 (n) −
8
+
1
y1 (n − 4)
16
1
x1 (n − 4)
16