AFRFB_racioc_logico_traumatizados_exercicios_Aula 07

1 Aula 7 ­ Geometria 1. Comentários .......................................................................................................................... 2 2. Ângulos .................................................................................................................................. 2 I. Ângulo reto, agudo, obtuso .............................................................................................. 2 II. Bissetriz de um ângulo ...................................................................................................... 4 III. Ângulos complementares, suplementares e replementares ........................................ 4 IV. Ângulos opostos pelo vértice ........................................................................................ 4 3. Paralelismo ............................................................................................................................ 7 I. 4. Lei Angular de Tales ........................................................................................................ 10 Polígonos ............................................................................................................................. 11 I. Polígono Regular ............................................................................................................. 13 II. Número de diagonais de um polígono de n lados .......................................................... 14 III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo ................................................. 18 5. Classificação dos Triângulos ................................................................................................ 25 I. Síntese de Clairaut ........................................................................................................... 26 6. Teorema de Tales ................................................................................................................ 30 7. Teorema de Pitágoras e suas aplicações ............................................................................. 33 I. Diagonal do quadrado ..................................................................................................... 34 II. Altura do triângulo equilátero ......................................................................................... 34 8. Semelhança de Triângulos .................................................................................................. 44 9. Quadriláteros ...................................................................................................................... 50 I. Trapézios ......................................................................................................................... 50 II. Paralelogramo ................................................................................................................. 52 III. Losango ....................................................................................................................... 52 IV. Retângulo .................................................................................................................... 53 V. Quadrado ........................................................................................................................ 53 10. Circunferência e Círculo .................................................................................................. 59 I. Corda, diâmetro e tangentes .......................................................................................... 72 II. Relações entre cordas e secantes ................................................................................... 81 11. Triângulos, circunferências e áreas ................................................................................. 83 12. Relação das questões comentadas ................................................................................. 87 13. Gabaritos ....................................................................................................................... 101 2 1. Comentários A Geometria é milenar. Imagine a quantidade de conhecimento que foi acumulada em
pelo menos 2.000 anos de Geometria. Colocaremos nesta aula o que julgamos ser
fundamental para resolver as questões de Geometria dos concursos. Quem quiser se
aprofundar para ser “expert” em Geometria, aconselhamos o livro Fundamentos de
Matemática Elementar – Volume 9 (Atual Editora – Osvaldo Dolce e José Nicolau
Pompeo).
Diga-se de passagem, que a ESAF costuma copiar muitas questões desta coleção.
Depois que você passar no concurso de seu sonho e quiser virar um Pelé da
Geometria, aconselhamos a compra dos seguintes livros:
- Elementos de Geometria (Autor: Frere Ignace Chaput (FIC) – Livraria Garnier)
Este livro é um clássico. Muitos consideram este livro a Bíblia da Geometria. Talvez
você encontre no site www.estantevirtual.com.br
- Challenging Problems in Geometry (Autores: Alfred Posamentier e Charles Salkind –
Editora Dover).
Este livro contém inúmeros exercícios resolvidos para os Pelés que estudaram pelo
FIC.
2. Ângulos Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem. Essas semi-retas são os
lados do ângulo e a origem comum das semi-retas é o vértice do ângulo.
A
O B
O vértice do ângulo é o ponto O. Os lados do ângulo são as semi-retas AO e OB.
I.
Ângulo reto, agudo, obtuso Os ângulos são medidos em graus ou em radianos. Nesta aula trabalharemos apenas
com graus. Na próxima aula (trigonometria) trabalharemos com os ângulos medidos
em radianos.
Quando as semi-retas que formam o ângulo são opostas, dizemos que o ângulo é raso
e sua medida é, por definição, 180º (180 graus).
3 180º
O
Pois bem, a partir da figura anterior, vamos traçar uma semi-reta que divida
exatamente o ângulo ao meio. Teremos dois ângulos de 90º que são chamados de
ângulos retos.
Quando este símbolo aparecer em alguma figura, estará indicado que se trata de um ângulo reto. Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.
Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto e menor que um ângulo raso.
Ângulo obtuso
Ângulo agudo O
Podemos dizer que o ângulo de 1 grau (1º) é um ângulo reto dividido em 90 partes
iguais.
O ângulo reto tem 90 graus (90º).
Existem ainda submúltiplos do grau. Dizemos que um grau (1º) é igual a um ângulo de
60 minutos (60’).
1°
60
Podemos ainda dizer que o ângulo de um minuto (1’) é igual a um ângulo de 60
segundos (60’’).
1
60
4 II.
Bissetriz de um ângulo Considere um ângulo de vértice O. Uma semi-reta interna ao ângulo e que o divide em
dois ângulos congruentes.
O III.
Ângulos complementares, suplementares e replementares Dois ângulos são complementares se e somente se a soma de suas medidas é 90º.
Um deles é o complemento do outro.
90°
Se um dos ângulos mede , diremos que a medida do outro é
30°
Por exemplo, o complemento de 30º é
90°
30°
.
60°.
Dois ângulos são suplementares se e somente se a soma de suas medidas é 180º.
Um deles é o suplemento do outro.
180°
Se um dos ângulos mede , diremos que a medida do outro é
Por exemplo, o suplemento de 30º é
30°
180°
30°
.
150°.
Dois ângulos são replementares se e somente se a soma de suas medidas é 360º. Um
deles é o replemento do outro.
360°
Se um dos ângulos mede , diremos que a medida do outro é
Por exemplo, o replemento de 30º é
IV.
30°
360°
30°
.
330°.
Ângulos opostos pelo vértice Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semi-retas
opostas dos lados do outro.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida).
5 Ângulos opostos pelo vértice EC 1. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são
suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor,
assinale a alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos:
a) 25º
b) 36º
c) 43º
d) 65º
e) 137º
Resolução
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Em
tempo, dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90º e
dois ângulos são replementares se a soma de suas medidas é 360º.
Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup
, o seu
complemento é denotado por
e o seu replemento é denotado por
.
Assim, tem-se as seguintes relações:
sup
180
comp
90
360
rep
Voltemos ao enunciado: Dois ângulos são suplementares. Digamos que o
maior meça x graus. Assim, o menor medirá (180 – x) graus.
A medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor.
4 · 180
35
720
4
5
685
35
6 137
Atenção!!! A resposta não é a letra E!!! O problema pede o menor dos ângulos.
137
43 .
Como os ângulos são suplementares, o menor ângulo será 180
Letra C
EC 2. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura
abaixo, as duas aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o
valor da medida do ângulo X?
(A) 100º 45’
(B) 106º 37’
(C) 98º 99’
(D) 360º
(E) 111º 11’
Resolução
Vimos na questão passada que dois ângulos são suplementares se a soma de
suas medidas é 180º. Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por
sup
e
sup
180
sup 72 83′
180
72 83′
Lembremos que 1º é o mesmo que 60’ (60 minutos). Assim, 180º = 179º60’ e
72º83’=73º23’
sup 72 83′
179 60′
sup 72 83′
73 23′
106 37′
Letra B
EP 1. Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 58º?
Resolução
Vamos considerar que o ângulo mede
a 90°
.
graus. Desta forma, seu complemento é igual
Podemos reescrever o enunciado assim:
Â
é
58°
7 90°
58°
90°
2
58°
148°
74°
O ângulo procurado é 74º.
EP 2. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do
outro.
Resolução
Se um dos ângulos mede
graus, então o outro medirá 180°
.
3 · 180°
540°
4
3
540°
135°
O outro ângulo é 180°
135°
45°.
Resposta: Os ângulos são 135º e 45º.
3. Paralelismo Duas retas são paralelas se são coincidentes (iguais) ou se são coplanares
(pertencem ao mesmo plano) e não possuem pontos comuns.
Para os nossos objetivos, vamos trabalhar apenas com retas paralelas distintas.
r
s
As retas r e s são paralelas e indicamos assim:
.
Vamos agora considerar duas retas paralelas distintas r e s, e uma reta t concorrente
com r e s.
8 Desta forma, 8 ângulos importantes ficam determinados.
t 2 3 6 7 1 4 5 8 r s Vamos considerar dois grupos de ângulos:
Grupo I
1, 3, 5, 7.
Grupo II
2, 4, 6, 8.
Todos os ângulos do grupo I são congruentes entre si.
Todos os ângulos do grupo II são congruentes entre si.
Escolhendo-se um ângulo qualquer do grupo I e um ângulo qualquer do grupo II,
certamente eles serão suplementares (a soma é igual a 180º).
Se a reta t for perpendicular às retas r e s, então os oito ângulos serão congruentes.
Resumindo:
Vamos considerar que a reta t é concorrente obliqua. Então dos oito ângulos
determinados, 4 são agudos e 4 são obtusos.
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os agudos, então eles são congruentes (têm a
mesma medida).
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os obtusos, então eles são congruentes (têm a
mesma medida).
Escolhendo-se 1 ângulo agudo e 1 ângulo obtuso, então eles são suplementares (a
soma é igual a 180º).
9 EC 3. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são
paralelas.
Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é:
a) 100°.
b) 55°30’.
c) 60°.
d) 44°30”.
e) 80°.
Resolução
Tracemos uma reta paralela às retas “r” e “s” pelo ponto de interseção dos segmentos
inclinados. O ângulo que fica acima da reta vermelha é igual a e o ângulo que fica
abaixo da reta vermelha é igual a . Isso é verdade pois quando temos duas retas
paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos agudos são congruentes.
Assim,
44 30′
Letra A
55 30′
99 60′
100
10 I.
Lei Angular de Tales A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º.
EC 4. (CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão
2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:
a) 40°
b) 70°
c) 75°
d) 80°
e) 90°
Resolução
Se os ângulos do triângulo encontram-se na razão 2:3:4, podemos chamá-los de 2x,
3x e 4x. Lembremos da Lei Angular de Tales: a soma dos ângulos de um triângulo
qualquer é sempre 180º.
Assim, 2
3
4
180
9
180
20
O maior ângulo é 4
4 · 20
80
Letra D
EC 5. (Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo
interno de vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos
internos de vértices B e C mede:
a) 45º
b) 60º
c) 90º
d) 120º
e) 150º
Resolução
A Lei Angular de Tales garante que
60°
180°. Como
180°
120°
60°, então:
11 Vamos traçar as bissetrizes dos ângulos B e C. Lembre-se que uma bissetriz é uma
semi-reta interna ao ângulo que o divide em duas partes de mesma medida. A
bissetriz do ângulo B o divide em dois ângulos de medida B/2. A bissetriz do ângulo C
o divide em dois ângulos de medida C/2.
60º
X B/2 C/2 Vamos aplicar novamente a Lei Angular de Tales:
2
2
180°
2
Como
180°
120°:
120°
2
180°
60°
180°
120°
Letra D
4. Polígonos De acordo com o número
de lados, os polígonos recebem nomes especiais.
Número de Lados
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
Nome do polígono
Triângulo ou Trilátero
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Pentadecágono
12 20
Icoságono
O perímetro de um polígono é a soma dos seus lados. Temos o costume de indicar o
perímetro de um polígono por 2 e o seu semiperímetro (metade do perímetro) por .
EC 6. (Prefeitura Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Calcule o perímetro de
um terreno retangular de medida 94 m e 36 m.
(A) 320 m
(B) 280 m
(C) 260 m
(D) 270 m
(E) 300 m
Resolução
Temos o costume de denotar o perímetro (soma das medidas de todos os
lados de um polígono) por 2p.
Assim, 2
94
94
36
36
260 .
Letra C
EC 7. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu
um muro ao redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O
comprimento desse terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse
terreno valem
(A) 12 m por 36 m.
(B) 25 m por 50 m.
(C) 1 km por 12 km.
(D) 15 m por 32 m.
(E) 18 m por 36 m.
Resolução
Denotando a largura por x, o comprimento será 3x.
13 O perímetro é igual a 96m.
3
Assim,
3
96
8
96
12
Assim, a largura é 12m e o comprimento 3 x 12 = 36m.
Letra A
I.
Polígono Regular Um polígono que possui todos os lados congruentes (com mesma medida) é dito
equilátero.
Um polígono que possui todos os ângulos congruentes (com mesma medida) é dito
equiângulo.
Polígono equilátero Polígono equiângulo Um polígono convexo é regular se e somente se é equilátero e equiângulo.
14 É muito importante observar o seguinte fato:
O único polígono que se é equilátero, então é equiângulo e se é equiângulo, então é
equilátero é o triângulo.
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, podemos concluir que
cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede:
180°
3
60°
60º
60º
II.
60º
Número de diagonais de um polígono de n lados Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não
consecutivos do polígono.
Um pentágono e suas 5 diagonais.
Vamos deduzir a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono de duas
maneiras:
i)
Argumento combinatório
Um polígono de lados possui vértices. Para determinar uma diagonal devemos
escolher dois dos vértices. Observe que uma diagonal AB é igual a uma diagonal
BA. Portanto, não é relevante a ordem dos vértices. A priori, o número de diagonais
seria igual a .
15 Destas
há alguns segmentos que são “pseudo-diagonais”. São os lados do
polígono. Devemos das
“pseudo-diagonais” retirar os lados.
Portanto, o número de diagonais é igual a:
1
·
2·1
2
2
2
·
3
2
3
2
ii)
Argumento geométrico
Considere um polígono com
lados. De cada vértice partem
3 diagonais.
Subtraímos o número 3, porque não podemos “mandar” uma diagonal para o próprio
vértice e nem para os vértices que estão “ao lado”.
Vamos ver, por exemplo, um heptágono (polígono de 7 lados).
Observe que cada vértice “manda” 4 diagonais (7 – 3).
3 diagonais. Isso é importantíssimo e já foi
Pois bem, então de cada vértice partem
perguntado em prova!!
Como são
vértices, “então”o total de diagonais seria igual a
·
3 .
Porém, nesta conta cada diagonal é contada duas vezes, pois tem extremidades em 2
vértices. Portanto, o número de diagonais é igual a:
·
3
2
16 EC 8. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Assinale a
alternativa que corresponde ao número de diagonais de um icoságono.
a) 340
b) 190.
c) 170.
d) 380.
e) 95.
Resolução
Vamos lembrar os nomes dos polígonos em função do número de lados.
Número de
Lados
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Nome do polígono
Triângulo ou Trilátero
Quadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Pentadecágono
Icoságono
Portanto, o icoságono é um polígono com 20 lados. O número de diagonais de um
polígono com n lados é igual a
·
3
2
Assim, o número de diagonais do icoságono é igual a
20 · 20
2
3
170
.
Letra C
EC 9. (AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais
determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um
hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11
b) 12
c) 10
d) 15
e) 18
17 Resolução
Mostramos anteriormente a fórmula que fornece o número de diagonais de um
polígono convexo.
·
3
2
De cada vértice partem (n – 3) diagonais. Isso porque não podemos traçar diagonais
para o próprio vértice nem para os vértices adjacentes.
Um hexágono possui
6· 6 3
2
9
.
Assim, se o polígono possui n lados, de cada vértice partem n – 3 diagonais. Dessa
forma,
3
9
12
Letra B
EC 10. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral
2006/CETRO) Um joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O
comprador exige que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo
assim, o joalheiro deve produzir uma jóia
(A) triangular.
(B) quadrangular.
(C) pentagonal.
(D) hexagonal.
(E) decagonal.
Resolução
O número de diagonais é igual ao número de lados.
·
3
2
·
3
2
Como n > 0, podemos “cortar n em ambos os membros”.
3
2
5
18 Trata-se, portanto, de um pentágono. O pentágono possui 5 diagonais.
Letra C
III.
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com
180° ·
lados é
2
Quem sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180° pode
facilmente entender a fórmula acima. Ou seja, saber o valor da soma dos ângulos
internos de um triângulo permite calcular a soma dos ângulos de qualquer outro
polígono convexo.
Como exemplo, considere o polígono de cinco lados disposto abaixo (pentágono).
Vamos tomar o vértice de cima como referência. A partir deste vértice, quantas
diagonais podemos traçar?
Diagonal é qualquer segmento de reta que une dois vértices de um polígono.
Embora eu tenha dito “qualquer”, este “qualquer” tem exceção. Cada lado do polígono
liga dois vértices. Só que os lados não são diagonais.
Então uma diagonal seria qualquer segmento de reta que liga dois vértices não
adjacentes de um polígono.
Para exemplificarmos, vamos tomar como referência o vértice de cima (destacado em
vermelho na figura abaixo).
19 Queremos construir diagonais a partir deste vértice. As diagonais devem ligar este
vértice aos demais.
Não podemos ter diagonais ligando este vértice aos dois vizinhos, pois aí teríamos
lados. Não podemos ter diagonal ligando este vértice a ele próprio.
Assim, dos 5 vértices do pentágono, este vértice em destaque só pode formar diagonal
quando ligado a dois dos demais vértices. Ou seja, só é possível construirmos 2
diagonais a partir dele.
Abaixo detalhamos as duas diagonais:
Você pode guardar isso como regra. A partir de um vértice, sempre conseguiremos
traçar n − 3 diagonais (onde n é o número de vértices do polígono).
Por que precisamos subtrair 3?
Porque não podemos formar diagonais com os dois vértices vizinhos, nem com o
próprio vértice em análise.
→
Número de diagonais que partem de um dado vértice do polígono de n
lados:
n−3
Muito bem, traçadas as duas diagonais, nós conseguimos dividir o pentágono em 3
triângulos. Ora, se a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 e com 3 triângulos
nós formamos um pentágono, então a soma dos ângulos internos de um pentágono
fica:
3 × 180º = 540º
E nós podemos fazer isto para qualquer figura.
20 Para um polígono de n lados ficaria assim. Partindo de um dos vértices nós
conseguimos traçar n − 3 diagonais. Com isso, dividimos a figura em n − 2 triângulos.
Logo, a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por:
( n − 2) × 180 º
Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados
→
( n − 2) × 180 º
Observe que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma
medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de
lados é igual a:
180° ·
2
Vamos determinar a soma dos ângulos internos de alguns polígonos para exercitar.
3
180° · 3
â
2
180° · 1
180°
Que já sabíamos através da Lei Angular de Tales
4
180° · 4
á
2
5
180° · 5
180° · 2
360°
á
2
180° · 3
540°
EC 11. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo
de n lados, com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de lados de três polígonos
convexos, P1 , P2 , e P3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3).
Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a
32400, então o número de lados do polígono P2 e o total de diagonais do polígono P3
são, respectivamente, iguais a:
a) 5 e 5
b) 5 e 44
c) 11 e 44
d) 5 e 11
e) 11 e 5
Resolução
O enunciado foi muito generoso já fornecendo a fórmula da soma dos ângulos internos
de um polígono. O primeiro polígono tem (x – 3) lados. Assim, na fórmula devemos
substituir o “n” por “x – 3” obtendo
3 2 · 180 . O segundo polígono tem “x”
lados, e, portanto, devemos substituir o “n” por “x” obtendo
2 · 180 . Por fim, o
terceiro polígono tem (x+3) lados e a soma dos seus ângulos internos será
3
2 · 180 . Já que a soma de todos os ângulos internos é 3240º, temos a seguinte
equação:
21 3
180 ·
2 · 180
2 · 180
3
5 · 180
2 · 180
1 · 180
900
180 ·
360
180 ·
540 ·
1.080
3.240
540 ·
1.080
3.240
2 · 180
180
3.240
3.240
3.240
4.320
540 ·
8
Portanto, o número de lados de P2 é 8.
O primeiro polígono P1 possui 8 – 3 = 5 lados.
O polígono P3 possui 8+3 = 11 lados. O número de diagonais de um polígono de n
lados é dado por
·
3
2
Assim, o número de diagonais de P3 é
11 · 11
2
3
44
A questão não tem resposta e foi anulada pela ESAF.
EC 12. (APO-MPOG 2008/ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem,
respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A
excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de
lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a:
a) 9 e 8
b) 8 e 9
c) 9 e 10
d) 10 e 11
e) 10 e 12
Resolução
Esta questão foi anulada porque no início falava-se em polígonos X e Y e em seguida
falava-se em polígonos A e B. Mas não vamos perder uma questão aqui só por causa
disso. Vamos considerar que o polígono X é o polígono A e o polígono Y é o polígono
B (esta era a intenção da ESAF).
Vimos anteriormente que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a
mesma medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo
de lados é igual a:
22 180° ·
2
O enunciado diz que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do
polígono B em 5º (cinco graus).
5°
180° ·
180° ·
2
180° ·
1
1
180° ·
2
180° ·
2
2
180° ·
1
2
180° ·
1
5°
5°
1
180° ·
5°
2
5° ·
1
180° ·
180° ·
180°
360°
5° ·
1
180° ·
185° ·
180°
360°
1
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
185° ·
185° ·
360° ·
185° ·
1
180° ·
360° ·
360°
180° ·
180° ·
180° ·
Para evitar uma poluição visual, vamos deixar de escrever o símbolo do grau.
5
5
360
0
Vamos dividir os dois membros da equação por 5.
72
√
2
1
1
Como
1
0
4
4·1·
2·1
72
1
17
√289
2
2
é positivo, só devemos usar o +.
17
1
2
Como o polígono X tem
16
2
8
1 lados, então ele possui 9 lados.
23 O polígono Y tem
lados, então ele possui 8 lados.
Poderíamos ter resolvido a equação do segundo grau da seguinte maneira:
n 2 + n = 72
n × ( n + 1) = 72
Um produto entre dois naturais seguidos que dá 72, só poderia ser 8 e 9.
Letra A
Questão anulada
Mesmo que o candidato não soubesse como resolver a questão, dava para marcar a
alternativa certa. Sabemos que X tem n + 1 lados. Sabemos que Y tem n lados. Logo,
X tem 1 lado a mais que Y.
A única alternativa que prevê isso é a letra A. Em todas as outras, Y tem mais lados
que X, o que é falso.
EC 13. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos
regulares colados.
O valor do ângulo ABC é:
A) 18o
B) 20o
C) 22o
D) 24o
E) 26o
Resolução
Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com
fórmula:
180° ·
lados utilizamos a
2
Desta forma, a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a:
180° · 5
2
540°
180° · 3
24 Como os pentágonos do problema são regulares, então os pentágonos são
eqüiângulos (têm todos os ângulos com as mesmas medidas).
Para calcular a medida de cada ângulo dos pentágonos, devemos dividir 540° por 5.
540°
5
108°
Vamos calcular a medida do ângulo :
108°
108°
216°
360°
360°
144°
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos B e C são congruentes.
Vamos chamar os ângulos B e C de .
180°
2
144°
2
36°
18°
Letra A
180°
25 5. Classificação dos Triângulos Os triângulos podem ser classificados:
i)
Quanto aos lados
Triângulo Equilátero
Triângulo Isósceles
Triângulo Escaleno
Tem os três lados
congruentes.
Tem dois lados congruentes.
Tem os três lados nãocongruentes.
Triângulo Acutângulo
Triângulo Retângulo
Triângulo Obtusângulo
Tem três ângulos agudos.
Tem um ângulo reto.
Tem um ângulo obtuso.
Quanto aos ângulos:
Lados menores: catetos
Lado maior (oposto ao
ângulo reto): hipotenusa
Observe que todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é
equilátero.
Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e
o ângulo oposto é o ângulo do vértice.
26 Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes (este teorema é
conhecido como Pons Asinorum).
Ângulo do vértice Ângulos Congruentes BASE
O triângulo equilátero também é equiângulo (possui os três ângulos congruentes) e
seus ângulos medem 60º.
Como classificar um triângulo quanto aos lados sabendo apenas os valores dos
ângulos?
Se os três ângulos forem congruentes (o triângulo for equiângulo), então o triângulo
será equilátero.
Se apenas dois ângulos forem congruentes, então ele é isósceles (Pons Asinorum que
foi visto no início desta página).
Se os três ângulos forem diferentes, então o triângulo é escaleno.
E como classificar um triângulo quanto aos ângulos, sabendo a medida de seus lados?
Neste caso devemos utilizar a Síntese de Clairaut.
I.
Síntese de Clairaut Em geometria nós consideramos que o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto
ao ângulo B e o lado c é oposto ao ângulo C.
A
c
B b
a
C
Vamos considerar que o lado a é o maior lado do triângulo.
O triângulo é acutângulo se e somente se
.
27 O triângulo é obtusângulo se e somente se
.
(esta parte da Síntese de
O triângulo é retângulo se e somente se
Clairaut é conhecida como TEOREMA DE PITÁGORAS).
EC 14. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada
número pode ser usado apenas uma vez.
Coluna 1
1. Triângulo retângulo
2. Triângulo acutângulo
3. Triângulo obtusângulo
Coluna 2
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo.
a) 1, 2, 3
b) 3, 2, 1
c) 2, 3, 1
d) 3, 1, 2
e) 2, 1, 3
Resolução
Foram dados os lados de três triângulos e devemos classificá-los quanto aos
ângulos.
Para resolver esse problema utilizaremos a conhecida Síntese de Clairaut.
Seja um triângulo de lados “a”, “b” e “c”. Consideraremos “a” como o maior lado.
O triângulo é acutângulo se e somente se
O triângulo é retângulo se e somente se
O triângulo é obtusângulo se e somente se
Coluna 1
1. Triângulo retângulo
2. Triângulo acutângulo
3. Triângulo obtusângulo
Coluna 2
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13
12
13 ? 6
169 ? 36 144
169 180
O triângulo é acutângulo (2).
.
(Teorema de Pitágoras).
.
28 ( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13
12
13 ? 5
169 ? 25 144
169 169
O triângulo é retângulo (1).
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12
10
12 ? 6
144 ? 36 100
144 136
O triângulo é obtusângulo (3).
Letra E
EC 15. (Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui
(A) os três lados com medidas diferentes.
(B) dois lados com medidas iguais.
(C) os três lados com medidas iguais.
(D) um ângulo reto.
(E) dois ângulos obtusos.
Resolução
Vimos no resumo anterior que um triângulo equilátero possui os três lados com
medidas iguais. O gabarito oficial é a letra C.
Por outro lado, quem possui três lados com medidas iguais também possui dois
lados com medidas iguais. Ou seja, todo triângulo equilátero também é
isósceles. A banca também deveria aceitar a letra B.
Obviamente, o objetivo nosso é passar no concurso e não brigar com a banca
organizadora. Facilmente se percebe que o objetivo da banca é fazer com que o
candidato marque a alternativa C.
EC 16. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os
três lados com a mesma medida, é chamado de triângulo
(A) isósceles
(B) retângulo
(C) equilátero
(D) normal
(E) escaleno
Resolução
Aqui não há discussão. O triângulo é chamado de equilátero.
Letra C
29 EC 17. (EPPGG – MPOG 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem,
respectivamente,
e
, onde ,
, são números reais. Sabendo que o
ângulo oposto ao cateto que mede
é igual a 45º, segue-se que:
a)
2
b)
3
c)
d)
e)
2
3
2
Resolução
O triângulo é retângulo e um dos ângulos agudos mede 45º. Vamos considerar que a
medida do terceiro ângulo é x. Pela Lei Angular de Tales,
45°
90°
180°
45°
Portanto, os ângulos do triângulo são 45º, 45º e 90º.
Como o triângulo possui dois ângulos congruentes, então ele é isósceles (também
possui dois lados congruentes). Como a hipotenusa é o maior lado de um triângulo
retângulo, podemos concluir que os catetos são iguais.
Letra D
30 6. Teorema de Tales Antes de enunciar o Teorema de Tales propriamente dito, vamos definir algumas
coisas...
Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas paralelas (em um mesmo plano) entre
si. Uma reta é transversal a este feixe se concorre com todas as retas do feixe.
a c
Feixe de retas paralelas b d
Transversais Pois bem, o Teorema de Tales afirma que se duas retas são transversais de um feixe
de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual
à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Na figura anterior, podemos afirmar, por exemplo, que:
EC 18. (Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO) Na figura abaixo, as retas R, S e T são
paralelas. Então o valor de X será de:
31 (A) 6
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) 2
Resolução
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à
razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Assim,
2
5
4
8
2
1
4· 5
1
8· 2
20
4
16
4
20
2
16
5
Letra B
EC 19. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um
grande matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso
Teorema de Tales poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura,
sendo que as retas r, s e t são paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a
21.
Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y.
a) 36.
b) 42.
c) 49.
32 d) 96.
e) 98.
Resolução
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à
razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Observe que o segmento de comprimento 10 na reta da esquerda corresponde ao
segmento de comprimento y na reta da direita. O segmento de comprimento 30
(10+20) na reta da esquerda corresponde ao segmento AB de comprimento 21 (este
valor encontra-se no enunciado). Assim,
10
30
21
Em toda proporção, o produto dos meios (30 e y) é igual ao produto dos extremos (10
e 21).
30 ·
10 · 21
30 ·
210
7
Como o segmento AB mede 21 e y=7, então o segmento de comprimento 2x+2 mede
14.
2
2
2
14
12
6
O produto dos valores x e y é 6 x 7 = 42.
Letra B
EC 20. (AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta
transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse
mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três
segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira
e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos
segmentos sobre a transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54
b) 6, 34 e 50
c) 10, 30 e 50
d) 14, 26 e 50
e) 14, 20 e 56
Resolução
33 Vamos construir uma figura que descreva bem a situação acima.
2 a 10 30 90 b c 18 A B O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à
razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Observe que, na reta A, o segmento compreendido entre a primeira e a quarta reta
paralela do feixe mede 2 10 18 30. O seu segmento correspondente na reta B
mede 90 cm (exatamente o triplo). Então os segmentos correspondentes na reta B de
2, 10 e 18 serão exatamente o triplo.
Podemos afirmar que:
3·2
3 · 10
3 · 18
6
30
54
Letra A
7. Teorema de Pitágoras e suas aplicações Vamos considerar um triângulo retângulo.
c a b O maior lado de um triângulo retângulo sempre fica oposto ao ângulo reto e é
chamado de hipotenusa. Na figura acima, a hipotenusa é o lado a. Os outros lados são
chamados de catetos.
Vimos anteriormente que o Teorema de Pitágoras afirma que um triângulo é retângulo
se e somente se
.
34 Vamos ver duas aplicações imediatas do Teorema de Pitágoras e em seguida resolver
alguns problemas envolvendo diretamente este assunto.
I.
Diagonal do quadrado Vamos considerar um quadrado de lado ℓ.
Um quadrado, por definição, é um quadrilátero regular, ou seja, possui todos os lados
congruentes e todos os ângulos congruentes (retos).
ℓ
ℓ ℓ
ℓ
Pelo Teorema de Pitágoras:
ℓ
ℓ 2ℓ ℓ√2 Desta forma, a diagonal de um quadrado de lado 5
II.
mede 5√2
.
Altura do triângulo equilátero Por definição, a altura de um triângulo equilátero é um segmento que parte de um
vértice e atinge o lado oposto formando um ângulo reto.
Há uma propriedade que diz que a altura de um triângulo equilátero divide o lado
oposto em dois segmentos de mesmo comprimento. Então se considerarmos que o
lado do triângulo equilátero é igual a ℓ, então o lado oposto fica dividido em dois
segmentos de comprimento ℓ/2.
ℓ
ℓ
ℓ/2
Pelo Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que:
35 ℓ
2
ℓ
ℓ
4
ℓ
Vamos multiplicar os dois membros da equação por 4 para eliminar o denominador.
4ℓ
4
3ℓ
ℓ
4
3ℓ
4
ℓ√3
2
Desta forma, a altura de um triângulo equilátero com 4
4√3
2
de lado é igual a:
2√3
(EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Os catetos de um
EC 21.
triângulo retângulo medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual
a:
a) 36 cm
b) 38 cm
c) 40 cm
d) 42 cm
e) 44 cm
Resolução
“O teorema de Pitágoras fora impresso em milhões, se não bilhões, de
mentes humanas. É o teorema fundamental que toda criança inocente é
forçada a aprender.”
Simon Singh
O Último Teorema de Fermat – Editora Record
O teorema de Pitágoras nos diz que em todo triângulo retângulo, o quadrado
da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Vamos decodificar
esta frase.
36 Tem um triângulo retângulo na história. Ei-lo:
a
b c
A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto. É
sempre o maior lado do triângulo retângulo. No nosso exemplo, é o lado de
medida a. Os outros lados, adjacentes ao ângulo reto, são chamados de
catetos. O teorema de Pitágoras afirma que:
Os catetos do problema medem 9 cm e 12 cm. Podemos calcular a hipotenusa
com o auxílio do teorema de Pitágoras.
9
12
81
144
225
15
O perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. É comum
em geometria plana indicar o perímetro por 2 (desta forma o semiperímetro é
indicado por .
2
9
12
15
36
Letra A
EC 22. (ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de
90º uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um
carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se
encontra na segunda estrada, a 4 km do cruzamento?
a) 5 km
b) 4 km
c) 4 2 km
d) 3 km
e) 5 2 km
Resolução.
37 A figura abaixo representa a situação dada:
Vamos chamar a distância entre os dois carros de x.
O triângulo de lados 3, 4, e x é retângulo. A hipotenusa, que é o maior lado, vale x.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
x 2 = 32 + 4 2
x 2 = 9 + 16 = 25
x=5
Letra A
EC 23. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral
2006/CETRO) Durante um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura
quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura,
inclinou-se, e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 12
metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo quebrou-se o poste.
(A) 6
(B) 5
(C) 4
(D) 3
(E) 2
Resolução
38 O poste quebrado está mais espesso no desenho. Se o segmento vertical mede x
metros, então o segmento inclinado medirá 18 – x, já que a soma dos dois segmentos
deve ser 18 m (altura do poste).
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo.
12
18
12
18
144
324
36
36
324
144
36
180
5
Letra B
EC 24. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que
a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36
metros, então a altura e a base medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m.
b) 12 m e 10 m.
c) 6 m e 8 m.
d) 14 m e 12 m.
e) 16 m e 14 m.
Resolução
39 Todo triângulo isósceles possui dois lados congruentes. O lado não-congruente é
chamado de base. A altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo
comprimento: chamemo-los de x. Assim, a base mede 2x. Como a base de um
triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base, então essa altura
mede 2x+2. Chamaremos os lados congruentes de y.
O enunciado nos informou que o perímetro do triângulo é igual a 36. Assim,
2
2
2
36
36
Dividindo ambos os membros por 2, temos
18
18
çã
Ao traçarmos a altura relativa a base, obtemos dois triângulos retângulos que
podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.
2
2
çã
Agora precisaríamos resolver este sistema de duas equações.
Os valores de x e y que atenderem às duas equações simultaneamente são a nossa
solução.
Só que estas equações não são nada amigáveis. Dá certo trabalho resolvê-las.
Então vamos parar um pouco para analisar as alternativas.
Como a altura é maior que a base (informação dada no próprio enunciado), já
podemos descartar algumas alternativas:
a) 8 m e 10 m.
b) 12 m e 10 m.
40 c) 6 m e 8 m.
d) 14 m e 12 m.
e) 16 m e 14 m.
Vamos testar a letra B. A base seria 10 m. Logo, metade da base valeria 5 m.
x=5
Da equação I, temos:
y = 18 − x ⇒ y = 13
Vamos substituir estes valores de x e y na equação II, para ver se ela é obedecida.
y 2 = (2 x + 2) 2 + x 2
13 2 = (2 × 5 + 2) 2 + 5 2
169 = 144 + 25
169 = 169
As duas equações foram obedecidas. Logo, esta é a alternativa correta.
Vamos agora resolver o sistema utilizando a força braçal.
18
2
Como
18
çã
2
çã
,
2
2
8
4
4
18
4
44
324
36
320
0
Dividindo ambos os membros por 4, obtemos:
11
80
√
2
11
11
0
4
4·1·
2·1
11
√441
2
11 21
2
80
41 Como x > 0, então
11 21
2
5
A base é 2x, logo a base é
2
2·5
10
Como a altura é 2x+2, então
2·5
2
12
Letra B
EC 25. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B
e C são retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m.
Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os
pontos A e D é:
a)
b)
c)
d)
e)
15m
16m
17m
19m
21m
Resolução
Já que o objetivo é calcular a distância entre os pontos A e D, o primeiro passo é
traçar um segmento que ligue estes dois pontos.
42 4
11 4
9
E
Vamos também prolongar o segmento AB para a direita até o ponto E, de forma que
BE = CD.
11.
Vamos ligar o ponto D ao ponto E. Obviamente
Está formado o triângulo retângulo ADE.
O cateto AE mede 13, o cateto DE mede 11 e queremos calcular a hipotenusa AD.
Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados dos catetos.
11
13
290
O problema pede o valor mais próximo da medida de AD. Observe que 17
portanto:
289,
17
Letra C
EC 26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano.
Certo dia, o fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em
seguida, andou 6 km para o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a
distância do fazendeiro à sua casa é de, aproximadamente:
a) 7 km
b) 8 km
c) 9 km
d) 10 km
e) 11 km
Resolução
43 O trajeto feito pelo fazendeiro é o seguinte:
6
3
11
2
Para calcular a distância do fazendeiro até sua casa, devemos ligar o ponto inicial e o
ponto final do trajeto. Podemos formar um triângulo retângulo como é feito na figura
abaixo.
Devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo vermelho.
8
4
80
Como 9
81, então:
9
Letra C
44 8. Semelhança de Triângulos Observem os dois triângulos da figura abaixo:
Eles são muito parecidos. Pegamos o triângulo menor, da esquerda, e demos um
zoom. Com isso, chegamos ao triângulo da direita. Quando isso acontece, dizemos
que os triângulos são semelhantes. Um é o outro “aumentado”.
Explicação meio “grosseira” esta que nós demos, né?
Bom, melhorando um pouquinho a definição, dizemos que dois triângulos são
semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e
os lados homólogos (correspondentes) proporcionais.
Dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais.
b c b' c'
a a’
Os segmentos correspondentes são proporcionais. Isto é:
A constante de proporcionalidade
é a chamada razão de semelhança.
Esta constante indica em quantas vezes precisamos aumentar o triângulo menor para
chegar no maior. Ou seja, ela nos diz de quantas vezes foi o “zoom”.
Exemplo: se a razão de semelhança é 3, isto significa que pegamos cada lado do
triângulo pequeno e triplicamos. Com isso, obteremos o triângulo grande.
45 Se a razão entre os segmentos correspondentes dos triângulos é , pode-se afirmar
que a razão entre as áreas dos triângulos é .
Isto significa que se multiplicamos os lados de um triângulo por 4, então a área será
multiplicada por 16 = 4².
EC 27. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral
2006/CETRO) Em um terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do
dia, mede 15m. Próximo ao prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura,
produz uma sombra que mede 3m. A altura do prédio, em metros, é:
(A) 75
(B) 45
(C) 30
(D) 29
(E) 25
Resolução
Os dois triângulos acima são semelhantes, assim:
15
5
3
3
75
25
Letra E
EC 28. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de
um poste. Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4
metros. Se a sombra da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de
(A) 6,2 metros.
(B) 6,6 metros.
(C) 6,8 metros.
(D) 7,0 metros.
46 (E) 7,2 metros.
Resolução
Os dois triângulos acima são semelhantes, assim:
5,4
60
80
60
432
7,2
Letra E
(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura
EC 29.
tem no alto uma forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura
ficou parada a uma distância de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa
criança no chão era de:
a) 1,5m
b) 1,6m
c) 1,75m
d) 1,92m
e) 2,00m
Resolução
8 1,6 6 x Usemos a semelhança dos triângulos:
47 â
â
â
â
6
8
1,6
6
5
6
5
4
6
1,5
Letra A
EC 30. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é
igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do
triângulo T2 é igual a
a) 4 m2.
b) 16 m2.
c) 32 m2.
d) 64 m2.
e) 2 m2.
Resolução
Relembremos uma propriedade importantíssima:
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão
de semelhança.
Assim,
128
128
64 ·
8
64
128
2
Letra E
EC 31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem
catetos AB = 8 e AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento
MN perpendicular a BC. O segmento AN mede:
48 a) 7/4
b) 2
c) 9/4
d) 5/2
e) 11/4
Resolução
Vamos calcular o valor da hipotenusa do triângulo retângulo ABC.
8
6
100
10
Observe que os triângulos ABC e MNB são semelhantes: ambos são triângulos
retângulos e têm um ângulo em comum B. Vamos chamar o ângulo B de . O outro
ângulo agudo do triângulo ABC e o outro ângulo agudo do triângulo MNB serão
chamados de .
Como o ponto M é o ponto médio da hipotenusa BC, então
5.
49 Os triângulos ABC e MNB são semelhantes.
â
â
â
â
10
8·
5
8
5 · 10
50
8
6,25
6,25
1,75
Letra A
8
175
100
7
4
50 9. Quadriláteros De acordo com a teoria já vista, os quadriláteros (polígonos com 4 lados) possuem 2
diagonais a soma dos ângulos internos é igual a 360º.
Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os
losangos e os quadrados.
I.
Trapézios Um quadrilátero é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. Os lados
paralelos do trapézio são as bases.
Base Menor (b) Base Maior (B) De acordo com os dois lados que não são bases, temos:
- trapézio escaleno (como o da figura acima), se estes lados não são congruentes.
- trapézio isósceles (como o da figura abaixo), se estes lados são congruentes.
O trapézio é retângulo quando possui dois ângulos retos.
Em qualquer trapézio, os ângulos opostos são suplementares (a soma é 180º).
51 c b a d 180°
Se o trapézio é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.
b b a a O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é
chamado de base média e a sua medida é igual à média aritmética das bases.
Base Menor (b) BM
Base Maior (B) 2
A área de um trapézio qualquer é calculada da seguinte forma:
·
2
Onde
é a altura do trapézio. A altura do trapézio é a distância entre as bases.
52 II.
Paralelogramo Um quadrilátero é paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos.
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes e os ângulos adjacentes
são suplementares (a soma é 180º).
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.
A área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A altura é a distância entre
as bases.
·
III.
Losango Um quadrilátero é losango se e somente possui os quatro lados congruentes
(quadrilátero equilátero).
Todo losango é um paralelogramo.
As diagonais de um losango são perpendiculares (formam quatro ângulos retos.
Como todo losango é um paralelogramo, então os losangos possuem todas as
propriedades dos paralelogramos.
A área do losango é o semi-produto das diagonais.
53 2
IV.
Retângulo Um quadrilátero é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos retos.
O retângulo é um quadrilátero equiângulo (ângulos com mesma medida).
Todos os retângulos são paralelogramos.
As diagonais do retângulo são congruentes e podem ser calculadas com o auxílio do
Teorema de Pitágoras.
a d b A área de um retângulo é igual ao produto dos lados (base vezes altura).
V.
Quadrado Um quadrilátero é um quadrado se e somente se é equilátero e equiângulo
(quadrilátero regular).
Seus quatro ângulos são retos e os quatro lados são congruentes.
Podemos afirmar que o quadrado é um quadrilátero que é simultaneamente retângulo
e losango.
Já vimos que um quadrado de lado ℓ tem diagonal com medida ℓ√2.
A área de um quadrado é igual ao quadrado do lado.
ℓ
54 EC 32. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um
jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que
ocupar uma área de 36m2, perímetro de 26m e
formato retangular. As dimensões desse jardim são de:
(A) 2m e 18m
(B) 20m e 6m
(C) 4m e 9m
(D) 3m e 12m
(E) 10m e 16m
Resolução
A área é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos
que ·
36
Como o perímetro é igual a 26m, então
2
2
26
Dividindo ambos os membros por 2, temos
13
Devemos pensar em dois números cuja soma é 13 e o produto é 36. Podemos testar
as alternativas ou resolver o sistema. Rapidamente verificamos que a alternativa C
satisfaz as condições do problema.
13
13
Substituindo essa expressão na equação (I):
·
36
· 13
36
13 ·
36
13
36
√
2
0
4
55 13
13
13
2·1
144
√169
2
13
4 · 1 · 36
5
2
9
Assim,
Ou
4
13
13
4
9
4
9.
Logo, as dimensões são 4m e 9m.
Letra C
EC 33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas
de dois quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto,
as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente:
Obs.:Figuras fora de escala.
(A) 3m e 4m
(B) 3,5m e 3,5m
(C) 5m e 2m
(D) 7m e 7m
(E) 20m e 8m
Resolução
A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado.
Assim, um quadrado de lado ℓ tem área ℓ .
A soma das áreas é igual a 25 m2. Podemos escrever que
25
Os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida. Assim, o perímetro do
primeiro quadrado é 4x e o perímetro do segundo quadrado é 4y. Como a soma dos
perímetros é 28m, temos que
4
4
28
Dividindo ambos os membros por 4, temos
7
Neste ponto, podemos testar as alternativas e marcar a letra A.
56 Isolando o y:
7
Devemos agora substituir na primeira equação para encontrarmos os valores das
incógnitas:
25
25
7
49
2
25
14
14
24
0
Dividindo ambos os membros por 2,
12
7
√
2
7
4
7
2·1
7
0
4 · 1 · 12
1
2
4
Assim,
Ou
3
3
4
Assim, as dimensões são 3m e 4m.
Letra A
EC 34. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo
abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:
Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo
ABCD é:
a) 15.
b) 24.
c) 30.
d) 32.
e) 40.
Resolução
57 A área de um paralelogramo é o produto do comprimento da base pelo comprimento
da altura. O comprimento da base AD já foi fornecido: 8.
Precisamos calcular o comprimento da altura do paralelogramo. A altura é a distância
entre as bases: o segmento BE.
Para calcularmos o comprimento de BE, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras (já
visto na aula passada) no triângulo ABE.
Os valores 5 e 3 foram fornecidos no enunciado. O Teorema de Pitágoras diz que um
triângulo é retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual
ao quadrado da hipotenusa.
Assim,
3
5
9
25
16
4
Assim, a área do paralelogramo é dada por
Á
·
8·4
32
Letra D
EC 35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos
medem 16m e 44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2,
é:
(A) 600.
(B) 550.
(C) 500.
(D) 450.
(E) 400
Resolução
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados
paralelos.
58 Lembremos a fórmula da área de um trapézio:
·
2
Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. Para calcularmos a altura,
devemos projetar a base menor sobre a base maior.
A base maior ficou dividida em três segmentos. O da esquerda foi chamado de x. O do
meio é igual à base menor: 16. Já que a base maior mede 44, então o segmento da
esquerda mede 44 – x – 16 = 28 – x.
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da esquerda:
17
289
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da direita:
28
56
784
Sabemos por (I) que
25
625
289.
Assim,
784
56
1.073
289
56
625
625
59 56
448
8
Voltemos para (I).
289
8
289
289
64
225
15
A fórmula da área de um trapézio:
·
2
44
16 · 15
2
60 · 15
2
450
Letra D
10.
Circunferência e Círculo Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um
ponto dado (centro) desse plano é igual a uma distância dada (raio). O dobro
do raio é denominado diâmetro. Portanto, um diâmetro é um segmento que tem
as duas extremidades no círculo e que passa pelo seu centro.
r
Círculo é a reunião da circunferência com o seu interior. Portanto, o círculo é
uma região do plano e a circunferência é apenas a linha que delimita o círculo.
Como a circunferência é uma linha, podemos calcular o seu comprimento.
Como o círculo é uma região, podemos calcular a sua área.
60 Existe um número muito famoso em matemática chamado
número irracional e suas primeiras casas decimais são:
(pi). Este é um
3,1415926535 …
Pois bem, o comprimento da circunferência é dado por:
2
A área do círculo é dada por:
(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra
EC 36.
três circunferências com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas.
As distâncias entre os centros são conhecidas: AB = 34, BC = 18 e CA = 30. O
raio da circunferência de centro A é:
a) 24
b) 23
c) 22
d) 21
e) 20
Resolução
Havendo circunferências tangentes, é importantíssimo ligar os centros.
61 AB = 34, BC = 18 e CA = 30
Temos o seguinte sistema:
34
18
30
Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um
sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de
duas das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo
de sistema é o seguinte:
i) Escolha a incógnita que você quer calcular.
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a
incógnita escolhida por você.
iii) Some as três equações.
Nosso objetivo é calcular o raio da circunferência de centro A. Logo, queremos
calcular o valor de .
O termo não aparece na segunda equação. Portanto, multiplicaremos os dois
membros da segunda equação por -1. Em seguida somaremos as três
equações. Desta forma,
serão cancelados.
34
30
34
2
18
18
30
46
23
Letra B
EC 37. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um
quadrado. O perímetro do quadrado é igual a:
a) 32
b) 28
c) 24
d) 20
e) 16
Resolução
A área de um círculo de raio r é igual a
.
62 Como a área é igual a 16 , então
16
16
4
O círculo está inscrito em um quadrado.
Observe que o lado do quadrado é igual ao dobro do raio do círculo (diâmetro).
Assim, ℓ
2·4
8.
O perímetro do quadrado é igual a
2
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
4·ℓ
4·8
32
Letra A
EC 38. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado
6m “cortado” por um arco de circunferência.
Considerando =3,14, a área da região pintada de preto é
de
(A) 7,74m²
(B) 7,98m²
(C) 8,42m²
(D) 8,86m²
(E) 9,12m²
Resolução
63 A área de um quadrado de lado
raio é igual a
.
. A área de uma circunferência de
é igual a
Observe que a região branca é um quarto de círculo. Portanto, a área da região
pintada de preto é igual à área do quadrado menos a área branca. Lembrando
que a área branca é igual à área do círculo dividida por 4.
í
/
ℓ
4
3,14 · 6
4
6
7,74
Letra A
(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco
EC 39.
quadrado com 8 cm de lado tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de
raio.
A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é,
aproximadamente:
a) 11%
b) 14%
c) 17%
d) 20%
e) 24%
Resolução
Vamos lembrar as fórmulas das áreas do quadrado e do círculo.
A área de um quadrado de lado é igual a
.
Portanto, a área do quadrado é igual a 8
64
A área de um círculo de raio
é igual a
Portanto, a área do círculo é igual a
·2
.(
4
.
3,1415926535 …
4 · 3,14
12,56
Para calcular a porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza
devemos dividir a área do círculo pela área do quadrado e multiplicar por
100%.
64 12,56
· 100%
64
1256
%
64
19,625%
Letra D
EC 40. (BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está
inscrita em um quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e
R são pontos em que a circunferência toca o quadrado.
Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir:
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a
metade da área total do quadrado.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do
quadrado.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do
que o feito por sobre os lados do quadrado. Assinale:
(A) se somente a afirmativa I estiver correta.
(B) se somente a afirmativa II estiver correta.
(C) se somente a afirmativa III estiver correta.
(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
Resolução
Se o raio da circunferência for igual a , então o lado do quadrado é igual a 2 .
Comprimento da circunferência:
2 r
Área do círculo:
Área do quadrado:
ℓ
2
4
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.
65 I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a
metade da área total do quadrado.
Para calcular a área interior ao quadrado e exterior à circunferência, devemos
calcular a diferença entre a área do quadrado e a área do círculo.
ã
ã
4
Usando uma boa aproximação para o número
ã
4
3,14
3,14:
0,86
Como á área do quadrado é 4 , então a metade da área do quadrado é 2 .
Portanto, a área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do
que a metade da área total do quadrado.
0,86
2
O item é verdadeiro.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do
quadrado.
O triângulo em destaque na figura é retângulo de catetos iguais a . A distância
AO pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:
2
√2
66 Portanto, a distância de A até O é maior do que a metade da medida do lado
do quadrado. Isto porque a metade da medida do lado do quadrado é igual ao
raio da circunferência e √2
.
O item é falso.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do
que o feito por sobre os lados do quadrado.
O percurso PQR feito por cima da circunferência equivale a 3/4 do
comprimento da circunferência.
3
·2
4
3 · 3,14 ·
2
3
2
4,71
O mesmo percurso feito pelos lados do quadrado:
2 2
Este comprimento é igual a
2
2
6 .
67 6 , o percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é
Como 4,71
mais curto do que o feito por sobre os lados do quadrado. O item é verdadeiro.
Letra D
EC 41. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de
diâmetros AB e AC.
Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura
é:
A) 0,5
B) 0,6
C) 0,8
D) 1
E) 1,2
Resolução
Vamos calcular a área da região R que é uma semicircunferência.
Seu diâmetro AB mede 2, portanto seu raio mede 1. A área de uma semicircunferência
é a metade da área de uma circunferência.
·1
2
2
2
Vamos calcular o raio da semicircunferência maior. Seu diâmetro é igual a:
2
1
3
Como o raio é a metade do diâmetro, então o raio da semicircunferência maior é igual
a 3/2.
A área da região S é igual à área da semicircunferência maior menos a área da região
R.
2
·
3
2
2
·
2
2
9
4
2
68 9
8
9
2
4
8
5
8
A razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é:
2
5
8
8
2 5
·
8
10
0,8
Letra C
EC 42. (ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm
de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5
cm de altura. De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto
onde a esfera toca na superfície?
a) 5
b) 7,5
c) 5 + 5 2 / 2
d) 5 2
e) 10.
Resolução.
Uma esfera é uma figura com formato de uma bola de futebol. Um cone é uma figura
com formato daqueles “chapéus de palhaço” que vemos em festa de aniversário de
criança.
Segue o desenho de um cone:
A base de um cone é uma circunferência. Seu perfil é de um triângulo.
A figura abaixo representa uma esfera, encostada num cone, ambos sobre uma
superfície horizontal.
69 A esfera foi desenhada de modo que seu raio é igual à altura do cone (ambas valem
5).
Seja d a distância perguntada (entre o centro da base do cone e o ponto em que a
esfera toca o solo).
Como os pontos P e Q estão a uma mesma distância em relação ao solo, então eles
estão ao longo de uma mesma horizontal.
Com isso, o segmento PQ tem medida igual à d.
Seja R o ponto em que a circunferência toca o cone:
70 O ângulo entre o raio da circunferência e o segmento de reta tangente à circunferência
é de 90º. Assim, o ângulo destacado em vermelho na figura abaixo é de 90º:
Agora vamos observar o triângulo PST na figura abaixo:
O segmento PS é altura. Portanto, é perpendicular ao solo. Logo, o triângulo é
retângulo. O ângulo PST, também destacado em vermelho, é de 90º.
71 O segmento ST corresponde ao raio da base do cone. Logo, seu comprimento é 5.
Com isso, o triângulo PST é isóceles, pois possui dois lados iguais entre si, com
ambos valendo 5 cm.
Como o triângulo PST é isóceles, então os outros dois ângulos deste triângulo devem
ser iguais entre si. Lembrando que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º,
temos que cada um dos ângulos restantes, destacados em azul, valem 45º.
O ângulo entre os segmentos PS e PQ é de 90º (pois é um ângulo entre uma vertical e
uma horizontal).
Como o ângulo SPR é de 45º (ver figura acima), o ângulo restante, RPQ, também é de
45º, para que a soma entre ambos seja de 90º.
Agora vamos analisar o triângulo PRQ. Ele também é retângulo. Já sabemos dois de
seus ângulos. Um vale 45º e outro vale 90º (ver figura acima).
Logo, o ângulo restante deve ser de 45º, para que a soma dê 180º.
72 Disto resulta que o triângulo PQR tem dois ângulos de 45º. Logo, é um triângulo
isósceles. Apresenta dois lados iguais. Portanto, os segmentos RQ e RP têm a mesma
medida.
Como RQ é raio da circunferência, vale 5 cm.
O triângulo PQR é retângulo. Portanto, obedece ao teorema de Pitágoras:
52 + 52 = d 2
2 × 25 = d 2
d =5 2
Letra D
I.
Corda, diâmetro e tangentes Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à
circunferência.
73 O diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo seu centro (ver
segmento em azul na figura acima). O comprimento do diâmetro é o dobro do
comprimento do raio.
Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em
um único ponto. A reta “toca” a circunferência.
As retas tangentes são perpendiculares aos raios traçados no ponto de tangência.
Há uma propriedade muito importante referente à retas tangentes.
Considere uma circunferência qualquer e marque um ponto P fora dela. A partir deste
ponto P, trace duas retas tangentes à circunferência.
Pois bem, estas duas retas tangentes tocam a circunferência em dois pontos distintos
A e B. O teorema afirma que PA é igual a PB, ou seja, a distância de P até A é igual à
distância de P até B.
A
P B
Em suma, o segmento azul tem o mesmo comprimento do segmento vermelho.
74 Pois bem, a partir deste teorema, podemos inferir outro teorema (corolário) que é
imediato.
Vamos traçar uma circunferência. A partir desta circunferência vamos desenhar um
quadrilátero de forma que todos os lados do quadrilátero sejam tangentes à
circunferência. Dizemos que o quadrilátero é circunscrito à circunferência. Da mesma
forma, podemos dizer que a circunferência é inscrita ao quadrilátero.
Bom, a figura fica assim:
Os segmentos tangentes que forem congruentes, vamos colocar com cores iguais.
D
A B C
Vamos somar os pares de lados opostos: AB com CD e AD com BC.
Lembre-se que os segmentos de mesma cor são congruentes, ou seja, têm a mesma
medida.
Portanto,
Resumindo o teorema diz o seguinte: um quadrilátero convexo é circunscrito a uma
circunferência se e somente se a soma de dois lados opostos é igual à soma dos
outros dois.
Esses dois teoremas já apareceram na ESAF...
Vamos ver como foi!
75 EC 43. (MPOG 2005/ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois
segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos
determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabese que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a
hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a:
a) 40 cm
b) 35 cm
c) 23 cm
d) 42 cm
e) 45 cm
Resolução.
Um círculo é inscrito ao triângulo quando ele está dentro do triângulo, tangenciando
todos os seus lados. A figura abaixo representa as informações do enunciado:
O raio do círculo mede 1 cm. O raio é o segmento de reta que parte do centro do
círculo e termina na sua extremidade.
Abaixo desenhamos dois raios:
O ângulo entre o raio e o lado do triângulo, no ponto de tangência, é 90º. Logo, os dois
ângulos destacados em vermelho, abaixo, são de 90º:
76 Como o triângulo é retângulo, o ângulo destacado em azul também é de 90º. Por fim,
como a soma dos ângulos de um quadrilátero é 360º, o ângulo destacado em verde é
também de 90º.
Com isso, podemos concluir que os dois segmentos abaixo medem 1 cm:
Agora vem a informação dada pela questão. Observem os segmentos a e b acima.
Eles partem de um mesmo ponto. E ambos tangenciam a circunferência. Quando isso
acontece, os dois segmentos têm a mesma medida.
Repetindo:
- dados dois segmentos, de medidas a e b, que partem de um mesmo ponto
- ambos terminam sobre a circunferência, tangenciando-a.
Logo:
a=b
Isto vale sempre, para qualquer circunferência.
Com o mesmo raciocínio, temos que c = d . Nossa figura fica assim:
77 A hipotenusa do triângulo vale 20 cm. Logo:
a + c = 20
A questão pede o perímetro do triângulo. O perímetro é dado pela soma de todos os
seus lados. O perímetro fica:
Perímetro = (c + a ) + ( a + 1) + (1 + c ) = ?
= 2a + 2c + 2
Lembrando que a + c = 20 , temos:
Perímetro = 2 × ( a + c ) + 2
= 2 × 20 + 2 = 42
Letra D
EC 44. (Enap 2006/ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC
medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste
triângulo é tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R,
respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR , BP e CQ medem x, y e z metros,
respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC é igual a 36
metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a
a) 18 - c.
b) 18 - x.
c) 36 - a.
d) 36 - c.
e) 36 - x.
Resolução.
A figura abaixo representa a situação dada.
78 Os segmentos BR e BP partem do mesmo ponto B e terminam tangenciando a mesma
circunferência. Logo, estes dois segmentos têm o mesmo comprimento. Assim, o
segmento BR também mede y.
Com o mesmo raciocínio, temos que PC mede z e AQ mede x.
79 O exercício pede a medida do segmento CQ. Ou seja, pede-se o valor de z.
O perímetro do triângulo é igual a 36. Ou seja, a soma de todos os lados é 36.
( y + x) + ( x + z ) + ( z + y ) = 36
2( x + y + z ) = 36
x + y + z = 18
z = 18 − ( x + y )
O enunciado disse que o lado AB mede c metros. Portanto, concluímos que:
x+ y =c
Deste modo:
z = 18 − ( x + y )
z = 18 − c
Letra A
EC 45. (CGU 2008/ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência
possui os lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente.
Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é
igual a:
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40
e) 50
Resolução.
80 A figura abaixo representa um quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Ou seja,
o quadrilátero está do lado de fora e seus lados tangenciam a circunferência.
Podemos também dizer que a circunferência está inscrita ao quadrilátero.
Vamos dar nomes aos pontos:
Já vimos que, se dois segmentos de reta partem de um mesmo ponto e terminam
tangenciando a mesma circunferência, eles têm a mesma medida. Assim, os
segmentos PD e PA têm a mesma medida. O mesmo vale para QA e QB. Ou para RC
e RB. E também para SD e SC.
Na figura acima, estamos dizendo que PD e PA medem p. Estamos dizendo que QA e
QB medem s. E assim por diante.
Vamos agora somar as medidas dos lados opostos.
PQ e SR são opostos. Somando-os, temos:
( p + s) + (q + r )
= p+q+r+s
PS e QR são opostos. Somando suas medidas, temos:
81 ( p + q) + (s + r )
= p+q+r+s
Disto, concluímos que a soma dos lados opostos é constante. Isto vale sempre.
Em outras palavras: sempre que um quadrilátero for circunscrito a uma circunferência,
as somas de seus lados opostos serão iguais entre si.
Nesta questão da CGU, os lados que medem a e b são opostos entre si.
Consequentemente, c e d também são opostos entre si. Vamos somar os lados
opostos.
a + b = ( 4 x − 9) + (3 x + 3) = 7 x − 6
c + d = 3x + 2 x = 5 x
Como este quadrilátero está circunscrito a uma circunferência, as duas somas acima
são iguais entre si.
7 x − 6 = 5x ⇒ x = 3
O perímetro do quadrilátero fica:
a + b + c + d = 12 x − 6 = 36 − 6 = 30
Letra B
II.
Relações entre cordas e secantes Vejamos a relação entre cordas que existe em uma circunferência e a relação que
existe entre os segmentos que cortam uma circunferência a partir de um ponto
exterior.
“Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam, então o produto das
medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da
outra”.
Em suma,
.
82 “Se por um ponto (P) exterior a uma circunferência conduzimos dois “segmentos
secantes” (PB e PD), então o produto da medida do primeiro (PB) pela de sua parte
exterior (PA) é igual ao produto do segundo (PD) pela de sua parte exterior (PD).”
Em suma,
·
·
.
EC 46. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na circunferência abaixo:
Determine a medida x indicada.
a) 3
b) 6
c) 7
d) 10
e) 12
Resolução
Pela teoria exposta,
6·
5·
2
83 6
5
10
10
Letra D
11.
Triângulos, circunferências e áreas Já falamos sobre as áreas dos quadriláteros e do círculo. Neste tópico, vamos falar
sobre área de triângulos.
Podemos expressar a área do triângulo em função dos lados e suas respectivas
alturas (os segmentos tracejados na figura abaixo são as alturas do triângulo).
c b
ha a
Pois bem, a área do triângulo é igual a:
·
2
A área do triângulo é igual à metade do produto do lado tomado como base pela altura
referente a esta base.
Há uma fórmula conhecida como Fórmula de Heron (ou Herão) que fornece a área de
um triângulo conhecendo-se apenas os seus lados.
No início da aula, falamos que o perímetro de um polígono, em geometria, é
representado por 2 . O semi-perímetro, ou seja, a soma dos lados dividido por 2 é
representado por .
Se os lados de um triângulo são iguais a , , , então:
2
A fórmula de Heron afirma que a área do triângulo é dada por:
·
·
·
84 Há também uma importante fórmula da área do triângulo que expressa a sua área em
função do raio da circunferência inscrita. E o que é uma circunferência inscrita?
É uma circunferência que fica dentro do triângulo de forma que os lados do triângulo
sejam tangentes à circunferência. Bem parecido com aquele quadrilátero que
mostramos anteriormente.
Pois bem, a fórmula da área do triângulo em função do raio da circunferência inscrita é
a seguinte:
·
Onde p é o semi-perímetro e r é o raio da circunferência inscrita.
EC 47. (Secretaria de Administração – Balneário Camboriú – FEPESE/2007) Um
terreno tem a forma triangular, e seus lados medem 40 m, 90 m e 110 m. A área desse
terreno, em metros quadrados, é:
a) 1800√2
b) 2200
c) 1950
d) 1200√2
e) 240
Resolução
Existem diversas formas para calcular a área de um triângulo, a depender dos dados
fornecidos. Já vimos duas: i) A metade do produto da base pela altura. ii) Produto do
semiperímetro pelo raio da circunferência inscrita. Vejamos outra maneira: quando
forem dados os três lados, calculamos a área utilizando a fórmula de Heron.
Denotemos por “p” o semiperímetro. A área é dada por:
·
·
·
O semiperímetro é a semi-soma dos lados.
40
90
2
110
120
A área é igual a
120 · 120
40 · 120
90 · 120
√120 · 80 · 30 · 10
√12 · 8 · 3 · 10000
110
85 √288 · 10000
√2 · 144 · 10000
12 · 100√2
1200√2
Letra D
EC 48. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Se em um triângulo os lados medem
12 cm, 16 cm e 20 cm, então a altura relativa ao maior lado mede:
a) 10,3 cm.
b) 6,0 cm.
c) 7,2 cm.
d) 5,6 cm.
e) 9,6 cm.
Resolução
Sabemos que quando são dados os três lados de um triângulo, podemos calcular a
área pela fórmula de Heron. Sabemos também que a área é a metade do produto da
base pela altura (qualquer lado pode ser a base, e utilizamos a altura relativa a esse
lado). O semiperímetro é dado por
12
16
2
20
24
A área é igual a
24 · 24
12 · 24
16 · 24
20
√24 · 12 · 8 · 4
Como 24 = 12 x 2,
√12 · 2 · 12 · 8 · 4
E 2 x 8 = 16,
√12 · 12 · 16 · 4
√144 · 16 · 4
12 · 4 · 2
96
A área é igual a 96 e pode ser calculada como a metade do produto da base pela
altura. Como queremos calcular a altura relativa ao maior lado, tomaremos o lado de
comprimento 20 como base.
·
2
96
86 20 ·
2
96
10 ·
96
9,6
Letra E
EC 49. (SUSEP 2010/ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de
base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo.
a) 1,50
b) 1,25
c) 1,00
d) 1,75
e) 2,00
Resolução
Pelo Teorema de Pitágoras, os lados congruentes do triângulo isósceles medem 5.
Pois, se os lados congruentes medem x, então
3
4
25
5
A área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura.
Assim,
·
2
6·4
2
12
A área do triângulo pode ser expressa como o produto do semiperímetro (p) pelo raio
da circunferência inscrita ao triângulo. Assim,
·
12
5
8·
5
2
6
·
12
Letra A
12
1,50
87 12.
Relação das questões comentadas EC 1. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são
suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor,
assinale a alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos:
a) 25º
b) 36º
c) 43º
d) 65º
e) 137º
EC 2. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura
abaixo, as duas aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o
valor da medida do ângulo X?
(A) 100º 45’
(B) 106º 37’
(C) 98º 99’
(D) 360º
(E) 111º 11’
EC 3. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são
paralelas.
Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é:
a) 100°.
b) 55°30’.
c) 60°.
d) 44°30”.
e) 80°.
88 EC 4. (CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão
2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:
a) 40°
b) 70°
c) 75°
d) 80°
e) 90°
EC 5. (Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo
interno de vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos
internos de vértices B e C mede:
a) 45º
b) 60º
c) 90º
d) 120º
e) 150º
EC 6. (Prefeitura Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Calcule o perímetro de
um terreno retangular de medida 94 m e 36 m.
(A) 320 m
(B) 280 m
(C) 260 m
(D) 270 m
(E) 300 m
EC 7. (Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu
um muro ao redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O
comprimento desse terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse
terreno valem
(A) 12 m por 36 m.
(B) 25 m por 50 m.
(C) 1 km por 12 km.
(D) 15 m por 32 m.
(E) 18 m por 36 m.
EC 8. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Assinale a
alternativa que corresponde ao número de diagonais de um icoságono.
a) 340
b) 190.
c) 170.
d) 380.
e) 95.
EC 9. (AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais
determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um
hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11
b) 12
c) 10
89 d) 15
e) 18
EC 10. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral
2006/CETRO) Um joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O
comprador exige que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo
assim, o joalheiro deve produzir uma jóia
(A) triangular.
(B) quadrangular.
(C) pentagonal.
(D) hexagonal.
(E) decagonal.
EC 11. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S1 dos ângulos internos de um polígono convexo
de n lados, com n ≥ 3, é dada por Si=(n-2).1800. O número de lados de três polígonos
convexos, P1 , P2 , e P3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3).
Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a
32400, então o número de lados do polígono P2 e o total de diagonais do polígono P3
são, respectivamente, iguais a:
a) 5 e 5
b) 5 e 44
c) 11 e 44
d) 5 e 11
e) 11 e 5
EC 12. (APO-MPOG 2008/ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem,
respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A
excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de
lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a:
a) 9 e 8
b) 8 e 9
c) 9 e 10
d) 10 e 11
e) 10 e 12
EC 13. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos
regulares colados.
O valor do ângulo ABC é:
A) 18o
B) 20o
C) 22o
D) 24o
E) 26o
90 EC 14. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada
número pode ser usado apenas uma vez.
Coluna 1
4.
5.
6.
Triângulo retângulo
Triângulo acutângulo
Triângulo obtusângulo
Coluna 2
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo.
a) 1, 2, 3
b) 3, 2, 1
c) 2, 3, 1
d) 3, 1, 2
e) 2, 1, 3
EC 15. (Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui
(A) os três lados com medidas diferentes.
(B) dois lados com medidas iguais.
(C) os três lados com medidas iguais.
(D) um ângulo reto.
(E) dois ângulos obtusos.
EC 16. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os
três lados com a mesma medida, é chamado de triângulo
(A) isósceles
(B) retângulo
(C) equilátero
(D) normal
(E) escaleno
EC 17. (EPPGG – MPOG 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem,
respectivamente,
e
, onde ,
, são números reais. Sabendo que o
ângulo oposto ao cateto que mede
é igual a 45º, segue-se que:
a)
2
b)
3
c)
d)
e)
2
3
2
EC 18. (Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO) Na figura abaixo, as retas R, S e T são
paralelas. Então o valor de X será de:
91 (A) 6
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) 2
EC 19. (Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um
grande matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso
Teorema de Tales poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura,
sendo que as retas r, s e t são paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a
21.
Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y.
a) 36.
b) 42.
c) 49.
d) 96.
e) 98.
EC 20. (AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta
transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse
mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três
segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira
92 e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos
segmentos sobre a transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54
b) 6, 34 e 50
c) 10, 30 e 50
d) 14, 26 e 50
e) 14, 20 e 56
(EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Os catetos de um
EC 21.
triângulo retângulo medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual
a:
a) 36 cm
b) 38 cm
c) 40 cm
d) 42 cm
e) 44 cm
EC 22. (ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de
90º uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um
carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se
encontra na segunda estrada, a 4 km do cruzamento?
a) 5 km
b) 4 km
c) 4 2 km
d) 3 km
e) 5 2 km
EC 23. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral
2006/CETRO) Durante um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura
quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura,
inclinou-se, e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 12
metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo quebrou-se o poste.
(A) 6
(B) 5
(C) 4
(D) 3
(E) 2
EC 24. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que
a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36
metros, então a altura e a base medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m.
b) 12 m e 10 m.
c) 6 m e 8 m.
d) 14 m e 12 m.
e) 16 m e 14 m.
EC 25. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B
e C são retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m.
93 Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os
pontos A e D é:
a)
b)
c)
d)
e)
15m
16m
17m
19m
21m
EC 26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano.
Certo dia, o fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em
seguida, andou 6 km para o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a
distância do fazendeiro à sua casa é de, aproximadamente:
a) 7 km
b) 8 km
c) 9 km
d) 10 km
e) 11 km
EC 27. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral
2006/CETRO) Em um terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do
dia, mede 15m. Próximo ao prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura,
produz uma sombra que mede 3m. A altura do prédio, em metros, é:
(A) 75
(B) 45
(C) 30
(D) 29
(E) 25
EC 28. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de
um poste. Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4
metros. Se a sombra da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de
(A) 6,2 metros.
(B) 6,6 metros.
(C) 6,8 metros.
(D) 7,0 metros.
(E) 7,2 metros.
94 (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura
EC 29.
tem no alto uma forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura
ficou parada a uma distância de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa
criança no chão era de:
a) 1,5m
b) 1,6m
c) 1,75m
d) 1,92m
e) 2,00m
EC 30. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é
igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do
triângulo T2 é igual a
a) 4 m2.
b) 16 m2.
c) 32 m2.
d) 64 m2.
e) 2 m2.
EC 31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem
catetos AB = 8 e AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento
MN perpendicular a BC. O segmento AN mede:
a) 7/4
b) 2
c) 9/4
d) 5/2
e) 11/4
EC 32. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um
jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que
ocupar uma área de 36m2, perímetro de 26m e
formato retangular. As dimensões desse jardim são de:
(A) 2m e 18m
(B) 20m e 6m
(C) 4m e 9m
(D) 3m e 12m
(E) 10m e 16m
95 EC 33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas
de dois quadrados é de 25 m2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto,
as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente:
Obs.:Figuras fora de escala.
(A) 3m e 4m
(B) 3,5m e 3,5m
(C) 5m e 2m
(D) 7m e 7m
(E) 20m e 8m
EC 34. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo
abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:
Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo
ABCD é:
a) 15.
b) 24.
c) 30.
d) 32.
e) 40.
EC 35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos
medem 16m e 44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m2,
é:
(A) 600.
(B) 550.
(C) 500.
(D) 450.
(E) 400
96 (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra
EC 36.
três circunferências com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas.
As distâncias entre os centros são conhecidas: AB = 34, BC = 18 e CA = 30. O
raio da circunferência de centro A é:
a) 24
b) 23
c) 22
d) 21
e) 20
EC 37. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um
quadrado. O perímetro do quadrado é igual a:
a) 32
b) 28
c) 24
d) 20
e) 16
EC 38. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado
6m “cortado” por um arco de circunferência.
Considerando =3,14, a área da região pintada de preto é
de
(A) 7,74m²
(B) 7,98m²
(C) 8,42m²
(D) 8,86m²
(E) 9,12m²
97 (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco
EC 39.
quadrado com 8 cm de lado tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de
raio.
A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é,
aproximadamente:
a) 11%
b) 14%
c) 17%
d) 20%
e) 24%
EC 40.
(BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está
inscrita em um quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são
pontos em que a circunferência toca o quadrado.
Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir:
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a
metade da área total do quadrado.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do
quadrado.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do
que o feito por sobre os lados do quadrado. Assinale:
(A) se somente a afirmativa I estiver correta.
(B) se somente a afirmativa II estiver correta.
(C) se somente a afirmativa III estiver correta.
(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
98 (E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
EC 41. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de
diâmetros AB e AC.
Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura
é:
A) 0,5
B) 0,6
C) 0,8
D) 1
E) 1,2
EC 42. (ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm
de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5
cm de altura. De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto
onde a esfera toca na superfície?
a) 5
b) 7,5
c) 5 + 5 2 / 2
d) 5 2
e) 10.
EC 43. (MPOG 2005/ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois
segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos
determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabese que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a
hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perímetro será igual a:
a) 40 cm
b) 35 cm
c) 23 cm
d) 42 cm
e) 45 cm
EC 44. (Enap 2006/ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC
medem, em metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste
triângulo é tangenciada pelos lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R,
respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR , BP e CQ medem x, y e z metros,
respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC é igual a 36
metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a
99 a) 18 - c.
b) 18 - x.
c) 36 - a.
d) 36 - c.
e) 36 - x.
EC 45. (CGU 2008/ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência
possui os lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente.
Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é
igual a:
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40
e) 50
EC 46. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na circunferência abaixo:
Determine a medida x indicada.
a) 3
b) 6
c) 7
d) 10
e) 12
EC 47. (Secretaria de Administração – Balneário Camboriú – FEPESE/2007) Um
terreno tem a forma triangular, e seus lados medem 40 m, 90 m e 110 m. A área desse
terreno, em metros quadrados, é:
a) 1800√2
b) 2200
c) 1950
d) 1200√2
e) 240
100 EC 48. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Se em um triângulo os lados medem
12 cm, 16 cm e 20 cm, então a altura relativa ao maior lado mede:
a) 10,3 cm.
b) 6,0 cm.
c) 7,2 cm.
d) 5,6 cm.
e) 9,6 cm.
EC 49. (SUSEP 2010/ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de
base 6 e altura 4. Calcule o raio desse círculo.
a) 1,50
b) 1,25
c) 1,00
d) 1,75
e) 2,00
101 13.
Gabaritos 01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
C B A D D C A C B C ANULADA ANULADA A E C C D B B A A A B B C C E E A E A C A D D B A A D D C D 102 43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
D A B D D E A