Lista – 1

Universidade Federal do Vale do São Francisco
Colegiado de Engenharia Elétrica
Prof. Pedro Macário de Moura
[email protected]
Lista – 1: Introdução ao Estudo de Limites 09.03.2015
Parte I Introdução
Problema 01
e) ax  a  bx  b
k) x3  x 2 y  xy  y 2
Fatore os polinômios:
f) 64 y 2  80 y  25
l)
a) x 2  5 x
3 2
2 3
g) a b  a b
b) 4 x 2  12 x  9
m) a 2bc  ab2 c  abc2
6
5
3
h) a  5a  6a
c) x3  2 x 2  4 x  8
i) 4a x  4abx  b
d) 4 x  9
j) 12a b  18a
2 2
2
x  12  9
n)
2
o) Determinar o limite para qual tende a
2
fração decimal 0,12121212...
Problema 02 Os biólogos descobriram que a velocidade do sangue em uma artéria é função
da distância entre o sangue e o eixo central da artéria. De acordo com a lei de Poiseluille, a
velocidade (em centímetros por segundo) do sangue que estar a
de uma artéria e dado pela função
onde
centímetros do eixo central
é uma constante e R o raio da
artéria. Suponha que, para uma certa artéria,
e
. Determine a velocidade do sangue no eixo central da artéria.
Problema 03 Em algumas espécies de animais, a ingestão de alimentos é afetada pelo grau de
vigilância que o animal precisa manter enquanto está comendo. Em outras palavras, é difícil
de alimentar adequadamente se você tem que estar em guarda o tempo todo para não ser
comido por um predador. Em um modelo proposto recentemente por (A.W.Willius e
C.Fitzgibbon), se o animal se alimenta de plantas que permite uma mordida de tamanho , a
ingestão de alimentos
é dada por uma função da forma.
constantes positivas. O que acontece com a ingestão
Onde
e
são
se o tamanho da mordida aumentar
indefinidamente? Interprete o resultado
Problema 04 A função
representa a potência de um
processador de computador em função do tempo. Calcule e interprete fisicamente o
resultado
Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes
1
Problema 05 A massa
Ou seja
do coração de um mamífero é proporcional à massa
. Um ser humano com 70 quilos tem um coração de
informação para encontrar a constante de proporcionalidade
de seu corpo.
quilos. Use essa
, encontrada a constante de
proporcionalidade estime a massa do coração de um cavalo cuja massa é de 650 quilos.
Problema 06 A área de superfície
de um mamífero satisfaz a equação
é a massa do corpo e a constante de proporcionalidade
, onde
depende da forma do corpo do
mamífero. Um humano com massa de 70 quilos tem uma área de superfície de 18.600
.
Encontre a constante de proporcionalidade para os humanos. Encontre a área de superfície de
um humano com 60 quilos.
Problema 07 Seja c a velocidade da luz (aproximadamente
m/s, o u 300.00km/s).
Pela teoria de Einstein, a fórmula de contração de Lorentz
, especifica a
relação entre o comprimento
com respeito a
de um objeto que se move a uma velocidade
um observador e seu comprimento
em repouso. A fórmula implica que o comprimento do
objeto medido pelo observador é menor quando o objeto está em movimento do que quando
está em repouso. Determine e interprete
. E explique por que é necessário um limite
lateral esquerdo.
Problema 08 O custo em dólares para remover p% dos poluentes da água de um pequeno
lago é dado por
em que c é o custo e p é a porcentagem de
poluentes.
a) Determine o custo para remover 50% dos poluentes.
b) Qual a porcentagem de poluentes que pode ser removida por $ 100.000?
c) Calcule
e explique sua conclusão.
Problema 09 A taxa de produção
, onde
e
na fotossíntese e ligada à intensidade I da luz pela função
são constantes positivas. Calcule
e esboce o gráfico se
.
Problema 10 Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função
e esboce o seu
gráfico.
Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes
2
Problema 11 A Marcenaria Macambira fabrica uma alinha de mesas para executivos. Estimase que o custo total da fabricação de
mesas de certo modelo é de
reais por ano. Determine o custo médio quando
.
Problema 12
Suponha que um peixe nadando uma distância
corrente de
m/s
em metros/libra e
metro a uma velocidade
tem um gasto total de energia de
m/s contra a
onde
é medido
é a constante. Calcule e interprete cada resultado
Problema 13 Um gás (tal como vapor d’água ou
oxigênio) é mantido a temperatura constante no pistão
da figura ao lado. À medida que o gás é comprimido, o
volume
decresce até que atinja uma certa pressão
crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma
líquida. Use o gráfico para achar e interpretar.
Problema 14 Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade
Onde
é
é a massa da partícula no repouso e c é a velocidade da luz. O que acontece se
Problema 15 Para estudar o aprendizado em animais, um estudante de psicologia realizou um
experimento no qual um rato teve que percorrer várias vezes o mesmo labirinto. Suponha que
o tempo que o rato levou para atravessar o labirinto na enésima tentativa tenha sido da ordem
de
, minutos. O que acontece com esse tempo quando o número
de
tentativas aumentar indefinidamente? Interprete este o resultado.
Problema 16 O custo por disco em reais que a Quixajuba gravações têm ao fabricar
dado pela função custo total
, calcule o custo médio quando
DVD é
tende ao
infinito e interprete o resultado.
Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes
3
Problema 17 Se uma cultura é plantada em um solo cujo teor de nitrogênio é
produtividade
Onde
e
, a
pode ser modelada pela função de Michaelis-Menten
são constantes positivas. O que acontece com a produtividade se o teor de
nitrogênio aumentar indefinidamente?
Noção Intuitiva de Limite
Seja a função
. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita
(valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor
correspondente de y:
x
y = 2x + 1
x
y = 2x + 1
1,5
4
0,5
2
1,3
3,6
0,7
2,4
1,1
3,2
0,9
2,8
1,05
3,1
0,95
2,9
1,02
3,04
0,98
2,96
1,01
3,02
0,99
2,98
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende
para 1, x
1, y tende para 3, y
3, ou seja:
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o
estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1, x
o valor 1. Se f(x) tende para 3, f(x)
1. Nem é preciso que x assuma
3, dizemos que o limite de f(x) quando x
1 é 3,
embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
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De forma geral, escrevemos:
Definição formal de limite
Exemplo: Seja
. Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:
Podemos notar que quando x se aproxima de 1, x
1, f(x) se aproxima de 3, embora para x=1
tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x
caso, y
1. E, no
3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Escrevemos:
Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes
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Se g: IR
IR e g(x) = x + 2,
g(x) =
(x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)
f(x) em x = 1.
No entanto, ambas têm o mesmo limite.
Limites Laterais
Propriedades operatórias dos limites
1ª Propriedade: Limite de uma função constante
f ( x)  k ,
lim
x a
f(x) = k
55
lim
x2
Exemplo: f(x) = 5,
2ª Propriedade: Limite de uma soma (ou diferença) algébrica
 f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  b  c
lim
x a
x a
x a
Exemplo: lim x 4  x 2  x  lim x 4  lim x 2  lim x  16  4  2  18
x2
x2
x2
x2
3ª Propriedade: Limite de um produto
 f ( x) . g ( x)  lim f ( x) . lim g ( x)  b . c
lim
x a
x a
x a
Exemplo:
4 x  lim 4 . lim x  4 . 2  8
lim
x 2
x 2
x 2
Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes
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4ª Propriedade: Limite de um quociente
lim
xa
f ( x)

g ( x)
f ( x)
lim
xs

lim g ( x)
b
c
xa
x2  3

lim
x 1 x  1
Exemplo:
x
lim
x 1
2
3
x 1
lim
x 1

x
lim
x 1
2
 lim 3
x 1
x  lim1
lim
x 1
x 1
5ª Propriedade: Limite de uma potência
n
 f ( x)
lim
xa


 lim f ( x)  b n
 x  a

Exemplo:


x  lim x   32  9
lim
x 3
 x  3 
n
2
2
6ª Propriedade: Limite de um radical
n
lim
xa
f ( x)  n lim f ( x)  n b
xa
Exemplo: lim 2  x  lim 2  x  5
x 3
x 3
7ª Propriedade: Limite de um logarítmo




log c f x  log c lim f ( x)  log c b
lim
x a
x a


 x 3

Exemplo: lim log 2 x   log  lim 2 x   log 6
x 3
8ª Propriedade: Limite de uma função polinomial
f ( x)  f (a)
lim
x a
Exemplo: lim ( x3  2 x 2  x  1)  (8  8  2  1)  1
x2
FORMAS INDETERMINADAS
As sete formas clássicas de indeterminação são:
0
,
0

,

  ,
0  ,
00 ,
1
,
0
Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes
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Continuidade
Propriedade das Funções contínuas
Dizemos que uma função f(x) é contínua
Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:
num ponto a do seu domínio se as
f(x)
seguintes condições são satisfeitas:
f(x) . g(x) é contínua em a;
g(x) é contínua em a;
é contínua em a
.
Limites envolvendo infinito
Conforme sabemos, a expressão x
(x tende para infinito) significa que x assume valores
superiores a qualquer número real e x
(x tende para menos infinitos), da mesma
forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.
Exemplo:
a)
, ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.
b)
, ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.
c)
, ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero
ou por
valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
d)
, ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que
zero, y tende para menos infinito
Parte II Praticando
Problema 18
Determine os seguintes limites, se possível.
Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes
8
Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes
9
2

66. lim 1  
x 
x
x 1
1 

75. lim 1  
x 
5x 
x
Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes
10
101. lim
x 1
x5 1
x6 1
102.
103.
104.
Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes
11
Problema 19
f (x  h)  f (x)
Para cada um dos casos abaixo:
h 0
h
Calcule o limite: lim
a) f ( x )  2
b) f ( x )  3x
c) f (x)  3x  2
Problema 20 Determine o valor da constante
d) f (x)  5x 2
e) f (x)  5x 2  3x  2
para que o limite a seguir exista.
Parte III Gráficos
Problema 21 A figura 1.7 mostra a quantidade de
nicotina
em miligramas, no fluxo sanguíneo
de uma pessoa em função do tempo , em horas, desde
o instante em que essa pessoa terminou de fumar um
cigarro.
a) Estime
e interprete esse valor em termos de
nicotina
b) Se essa pessoa não voltar a fumar mais o que acontece com
. Interprete o
resultado.
Problema 22 Esboce o gráfico da função
e determine se existe
ou não os limites.
Problema 23 Dada uma função , definida por
os valores de
e
para que função seja contínua para todo
Problema 24 Calcule o
Problema 25 Seja
, Determine
Se
.Determine
para que a
seja contínua em
.
Não me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos,
razão e intelecto, pretenda que não os utilizemos.Galileu
12
Problema 26 No gráfico abaixo está esboçado o gráfico de uma função
Complete
as igualdades e responda às questões:
a) Determine se existirem as assíntotas verticais e horizontais.
b) Para que valores de
é descontínua?
Problema 27 Seja
. Encontre:
Problema 28 Esboce o gráfico da função
e
e calcule os limites se existe.
.
Problema 29 Seja
verifique se
é continua em
Problema 30 Calcular:
Problema 31 Determine a constante
tal que a seguinte função seja contínua:
Não me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos,
razão e intelecto, pretenda que não os utilizemos.Galileu
13
Problema 32 Determine os seguintes limites, se existe ou sua tendência.
Seja
, verificar se
Problema 33 Esboce o gráfico da função
é continua em
e calcule os limites se existe.
a)
b)
Parte IV Revar
Problema 34 Calcule os limites
a)
k)
.
b)
l)
.
: 11/4
: 108/7
c)
m)
d)
.
-1/48
Resp: 1/10
n)
e)
.
Resp: -1/6
Resp: -6
o)
f)
.
Resp: 27
Resp: -3/4
p)
g)
.
Resp: 4/3
: 27
q)
.
Resp: 5/3
h)
r)
i)
Resp: 0
s)
.
Resp: 4
.
Problema 37
j)
.
Resp: 2
Não me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos,
razão e intelecto, pretenda que não os utilizemos.Galileu
14
t)
.
u)
.
não existe limite
Problema 35 Calcule e justifique os limites abaixo.
Parte V Limite pela Definição
Problema 36 Determine um número  para o  dado tal que |f(x) – L| <  sempre que
0 < |x – a| < .
a) lim (2 x  4)  10 ;  = 0,01
x 3
d) lim (2  5 x)  8 ;  = 0, 002
x 2
b) lim (4 x  5)  3 ;  = 0, 001
x 2
c) lim (3  4 x)  7 ;  = 0,02d)
x  1
e) lim x 2  9 ;  = 0, 005
x 3
Não me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos,
razão e intelecto, pretenda que não os utilizemos.Galileu
15
Problema 37 Usando a definição, isto é, para qualquer  > 0 encontre um  > 0 tal que |f(x) –
L| <  sempre que 0 < |x – a| < .
b) lim (7  2 x)  11
a) lim(5 x  3)  2
x 1
c) lim x 2  1
x 2
x 1
d) lim( x 2  3x)  10
x 5
Problema 38 Calcule:
x
3
d) lim   =
x   4
 
1
f) lim   =
x  1 2
 
g) lim log 3x
h) lim log 7x
j) lim log x1 =
k) lim
b) lim 2 x =
e) lim 2 x =
i) lim log x1 =
x  
x
1
c) lim   =
x   3
 
a) lim 2 x =
x  
x
x 2
x 0 
2
x 0 
2
x  
x2
x 0 
x 2
=
x2
Seja bem vindo ao curso!
Bom estudo!
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
1.
ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo Vol. 1, 10ª ed. Porto Alegre:
Bookman, 2014.
2.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, Vol. 01. 5ª ed. [Reimp.]. Rio de
Janeiro: LTC, 2011.
3.
STEWART, James. Cálculo, Vol. 1. 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
4.
THOMAS, George Brinton, [et al]. Cálculo, Vol. 1. 12ª ed. São Paulo: Pearson
Education do Brasil, 2012.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
1.
BOULOS, Paulo. Calculo Diferencial e Integral, Vol. 1. São Paulo: Pearson Makron
Books, 1999.
2.
FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite,
3.
UNIVASF
Derivação, Integração. Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2006.
LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. 3ª ed. São Paulo:
Harbra, 1994.
4.
ROGAWSKI, Jon. Cálculo vol. 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.
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