1 Variável Aleatória Discreta e Função de Probabilidade

Universidade Federal de Mato Grosso
Aula 3 - Disciplina: Probabilidade III
Profa Eveliny - 2016 - Curso: Estatística
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Variável Aleatória Discreta e Função de Probabilidade
Uma variável aleatória é classificada como discreta, se assume somente um número enumerável de valores (finito
ou infinito). A função de probabilidade de uma variável discreta é uma função que atribui probabilidade a cada um dos
possíveis valores assumidos pela variável. Isto é, sendo X uma variável com valores x1 , x2 , . . . , tem-se para i = 1, 2, . . . ,
IP (xi ) = IP (X = xi ) = IP ({ω ∈ Ω : X(ω) = xi }),
ou ainda,
X
IP (X = xi )
x1
p1
x2
p2
x3
p3
···
···
Proposição 1.1 Propriedades da Função de Probabilidade
A função de probabilidade de X em (Ω, A, IP ) satisfaz:
1. 0 ≤ IP (xi ) ≤ 1, ∀i = 1, 2, . . . ;
P
2.
i IP (xi ) = 1;
com a soma percorrendo todos os possíveis valores (eventualmente infinitos).
Exemplo 1:
E: lançamento de duas moedas;
X: no de caras obtidas nas duas moedas;
c = sair cara e k = sair coroa;
Ω = {(c,c), (c,k), (k,c),(k,k)}
Valores que X pode assumir: X = 0, 1 ou 2.
X = 0: corresponde ao evento (k,k) com probabilidade IP (k ∩ k) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
X = 1: corresponde ao evento (c,k), (k,c) com probabilidade IP (c ∩ k) + IP (k ∩ c) = 1/2 × 1/2 + 1/2 × 1/2 = 2/4.
X = 2: corresponde ao evento (c,c) com probabilidade IP (c ∩ c) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
A função de probabilidade é dada por:
X
IP (X = xi )
0
1/4
1
2/4
2
1/4
Figura 1: Representação gráfica da dist. de probabilidade do Exemplo 1.
Exercício 1: Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, sem reposição, e
defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.
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Variável Aleatória Contínua e Função Densidade
Uma variável aleatória X em (Ω, A, IP ), com função de distribuição FX , será classificada como contínua, se existir
uma função não negativa fX tal que:
Z
x
fX (w)dw, ∀x ∈ IR.
FX (x) =
−∞
A função fX é denominada função densidade.
Proposição 2.1 Propriedades da Função Densidade
A função densidade de X em (Ω, A, IP ) satisfaz:
1. fX (x) ≥ 0, ∀x ∈ IR;
R∞
2. −∞ fX (w)dw = 1.
Para se obter a probabilidade da variável estar num certo intervalo (a, b], faz-se a integral da função densidade nesse
intervalo, ou seja,
Z b
IP (a < X ≤ b) =
fX (x)dx = FX (b) − FX (a).
a
Exemplo 2: A duração, em anos, de uma certa lâmpada especial é uma variável aleatória contínua com densidade
dada por:
(
fX (x) =
2e−2x ,
0,
x ≥ 0;
caso contrário.
A densidade acima também pode ser escrita da seguinte forma:
fX (x) = 2e−2x I(0,∞) (x)
.
Para se obter a função de distribuição FX (x) =
Rx
−∞
fX (w)dw, analisa-se dois casos.
• Para x < 0, FX (x) = 0, pois a função densidade é nula nesse intervalo.
• Para x ≥ 0, temos
Z
x
FX (x) =
x
Z
2e−2w dw = 1 − e−2x .
fX (w)dw =
−∞
0
Se desejamos saber a probabilidade da lâmpada durar até 2 anos, calcula-se FX (x) no ponto 2, ou seja, FX (2) =
1 − e = 0, 98.
−4
3
Função de Distribuição Condicional
Seja X definida em (Ω, A, IP ) e considere um evento A ∈ A, tal que IP (A) > 0. A função de distribuição
condicional de X dado que A ocorreu, é definida por:
FX (x|A) = IP (X ≤ x|A) =
2
IP ([X ≤ x] ∩ A)
IP (A)
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Exemplo 3: O desempenho diário, de um certo conjunto de ações, pode ser medido como a porcentagem de
crescimento do preço de venda em relação ao dia anterior. Suponha que este desempenho é uma variável aleatória
contínua X com função densidade dada por:
fX (x) =









x
12
0,
+ 41 ,
x
4,
1
16 ,
se x ≤ −3 ou x > 4;
se −3 < x ≤ 0;
se 0 < x ≤ 2;
se 2 < x ≤ 4;
a) O desempenho negativo indica que as ações perderam valor de um dia para o outro. Qual seria a probabilidade de
se ter um dia com desempenho excepcional, isto é, superior a 3%, dado que o desempenho foi positivo?
b) Seja agora o evento B, desempenho regular, definido por não haver alteração superior a 1% em relação ao dia
anterior. Supondo que tivemos um desempenho não positivo, qual a probabilidade de termos, ao menos, um dia
regular?
4
Vetores Aleatórios
Quando uma coleta de dados é realizada, quase sempre, ela envolve várias variáveis. Trabalhar conjuntamente com
duas ou mais variáveis é, assim, um caminho natural para responder muitas perguntas práticas.
Definição 4.1 Vetor Aleatório
Seja (Ω, A, IP ) um espaço de probabilidade e X uma função de Ω em IRm . Definimos como vetor aleatório, variável aleatória multidimensional ou variável aleatória multivariada a função representada por X(ω) = (X1 (ω), X2 (ω), · · · , Xm (ω))
tal que para todo i = 1, 2, . . . , m e todo Ii ⊂ IR, temos Xi−1 (Ii ) ∈ A.
Definição 4.2 Função de Distribuição Conjunta
A função distribuição conjunta de X é definida por
F (x) = F (x1 , x2 , . . . , xm ) = IP (X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 , . . . , Xm ≤ xm ),
para qualquer x = (x1 , x2 , . . . , xm ) ∈ IRm .
Proposição 4.1 Propriedades da Função de Distribuição Conjunta
Seja X um vetor aleatório em (Ω, A, IP ) então para qualquer x ∈ IRm , F (x) satisfaz as seguintes propriedades:
1. F (x) é não decrescente em cada uma de suas coordenadas;
2. F (x) é contínua à direita em cada uma de suas coordenadas;
3. Se para algum j, xj → −∞, então F (x) → 0 e, ainda, se para todo j, xj → ∞, então F (x) → 1;
4. F (x) é tal que, ∀ai , bi ∈ IR, ai < bi , i = 1, . . . , m, temos
IP (a1 < X1 ≤ b1 , a2 < X2 ≤ b2 , . . . , am < Xm ≤ bm ) ≥ 0.
Definição 4.3 Vetor Discreto, Probabilidade Conjunta e Marginal
Se as variáveis do vetor aleatório são discretas, temos um vetor aleatório discreto. Sua função de probabilidade
conjunta é definida da seguinte forma:
IP (x) = IP (x1 , x2 , . . . , xm ) = IP (X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xm = xm ).
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A função de probabilidade marginal de Xk , k = 1, 2, . . . , m é dada por:
IP (xk ) = IP (Xk = xk ) =
X
X
IP (x) =
xi ,∀i6=k
IP (X1 = x1 , X2 = x2 , . . . , Xm = xm );
xi ,∀i6=k
ou seja, a marginal vem da soma em todas as coordenadas, exceto k.
Para o caso bidimensional a função de probabilidade conjunta é dada por:
IP (x) = IP (x1 , x2 ) = IP [(X1 = x1 ) ∩ (X2 = x2 )] = IP (X1 = x1 , X2 = x2 ).
A partir da função de probabilidade conjunta é possível obter as funções marginais de X1 e X2 , através da soma de uma
P
P
das coordenadas. Assim, IP (X1 = x1 ) = x2 IP (x1 , x2 ) e IP (X2 = x2 ) = x1 IP (x1 , x2 ).
Proposição 4.2 Propriedades da Função de Probabilidade Conjunta
Seja X um vetor aleatório discreto em (Ω, A, IP ). Então sua função de probabilidade conjunta satisfaz as propriedades:
1. IP (x) ≥ 0, ∀x ∈ IRm ;
P
2.
x IP (x) = 1.
Exemplo: Duas moedas equilibradas são lançadas de forma independente e definiu-se as variáveis aleatórias X e
Y da seguinte forma:
X : número de caras nos dois lançamentos;
Y : função indicadora de faces iguais nos dois lançamentos.
O espaço de probabilidade associado a esse experimento é dado pela trinca (Ω, A, IP ) em que
Ω = {(c,c), (c,k), (k,c),(k,k)}; c = sair cara e k = sair coroa;
A = {Ω, ∅, {c}, {k}} é a σ-álgebra do conjunto das partes de Ω.
A função de probabilidade IP atribui igual probabilidade aos elementos de Ω.
Baseado nos resultados do experimento temos:
Eventos
(c,c)
(c,k)
(k,c)
(k,k)
Probabilidades
1/4
1/4
1/4
1/4
X
2
1
1
0
Y
1
0
0
1
A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
X \Y
0
1
2
IP (Y = y)
0
0
1/2
0
1/2
1
1/4
0
1/4
1/2
IP (X = x)
1/4
1/2
1/4
1
Para calcular a probabilidade de X = 0, temos:
IP (X = 0) = IP (X = 0, Y = 0) + IP (X = 0, Y = 1) = 0 +
1
1
= .
4
4
Analogamente, para calcular a probabilidade de Y = 0, temos:
IP (Y = 0) = IP (X = 0, Y = 0) + IP (X = 1, Y = 0) + IP (X = 2, Y = 0) = 0 +
4
1
1
+0= .
2
2
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Tabela 1: Funções de probabilidade marginais
X
0
1
2
Y
0
1
IP (X = x)
1/4
1/2
1/4
IP (Y = y)
1/2
1/2
Definição 4.4 Vetor Contínuo, Densidade Conjunta e Marginal
Denominamos vetor aleatório contínuo o vetor aleatório cujas componentes são variáveis aleatórias contínuas. Em
outras palavras, um vetor aleatório é contínuo se, dada a função de distribuição F , existe uma função f : IRm → IR+ ,
denominada função densidade conjunta, tal que
Z
x1
F (x) =
xm
Z
...
−∞
f (y)dy1 . . . dym .
−∞
A função densidade marginal é dada pela expressão:
Z
fXk (xk ) =
Z
f (x)dx1 . . . dxm , ∀i 6= k.
...
x1
xm
Proposição 4.3 Propriedades da Função Densidade Conjunta
Seja X um vetor aleatório contínuo em (Ω, A, IP ). Então sua função densidade conjunta satisfaz as propriedades:
1. f (x) ≥ 0, ∀x ∈ IRm ;
R∞
R∞
2. −∞ . . . −∞ f (x)dx1 . . . dxm = 1.
Exemplo 1: Obtenha o valor de k, de modo que a função abaixo seja a densidade conjunta de três variáveis
aleatórias contínuas X, Y e Z.
(
√
kxy 2 z, se 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2;
f (x, y, z) =
0,
caso contrário.
a) Dado o valor de k obtenha as marginais de X, Y e Z.
Exemplo 2: A função mista de probabilidade conjunta de X e Y é dada por:
(
f (x, y) =
xy x−1
3 ,
0,
se x = 1, 2, 3 e 0 ≤ y ≤ 1;
caso contrário.
a) Verifique se essa função poderá gerar probabilidades;
b) Calcule a probabilidade conjunta de X ≥ 2 e Y ≥ 1/2.
Definição 4.5 Função de Distribuição Condicional
Caso 1 - X e Y variáveis contínuas:
A função de distribuição condicional de X dado Y = y é dada por:
FX|Y (x|y) = IP (X ≤ x|Y ≤ y) =
5
IP ([X ≤ x] ∩ [Y ≤ y])
.
IP (Y ≤ y)
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Caso 2 - X contínua e Y discreta:
A função de distribuição condicional de X dado Y = y (Y uma variável aleatória discreta) é dada por:
IP ([X ≤ x] ∩ [Y = y])
.
IP (Y = y)
FX|Y (x|Y = y) =
Como consequência temos:
FX (x) =
X
IP (Y = y)FX|Y (x|Y = y).
y
Função de Probabilidade Condicional
IPX|Y (x|y) =
IPX,Y (x, y)
.
IPY (y)
fX|Y (x|y) =
fX,Y (x, y)
.
fY (y)
Função de Densidade Condicional
Exemplo 3: As variáveis X e Y têm densidade dada por
fX,Y (x, y) = (x + y),
0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ 1.
Obtenha a densidade condicional fX|Y (x|y).
Definição 4.6 Independência entre Variáveis
Duas variáveis aleatórias, X e Y em (Ω, A, IP ), são independentes se a informação sobre uma delas não altera a
probabilidade de ocorrência da outra. Em termos de função distribuição temos:
X, Y independentes ⇔ FX,Y (x, y) = FX (x)FY (y), ∀(x, y) ∈ IR2 .
Para as discretas, podemos escrever uma definição equivalente com o uso de funções de probabilidade:
X, Y independentes ⇔ IPX,Y (x, y) = IPX (x)IPY (y), ∀(x, y) ∈ IR2 .
Para as contínuas, a condição de independência usa as densidades:
X, Y independentes ⇔ fX,Y (x, y) = fX (x)fY (y), ∀(x, y) ∈ IR2 .
Exemplo 4: Com base em resultados do posto de saúde do bairro, estabeleceu-se a função de probabilidade
conjunta entre os números diários de crianças atendidas com alergia (X) e com pneumonia (Y ). Na tabela abaixo,
apresentamos a conjunta e as marginais para essas variáveis.
X \Y
0
1
2
3
IP (Y = y)
0
1/16
1/8
1/16
0
1/4
1
1/16
1/8
1/8
1/8
7/16
2
1/8
0
1/8
1/16
5/16
IP (X = x)
1/4
1/4
5/16
3/16
1
a) Verifique se as variáveis X e Y são independentes.
b) Condicionado a ocorrência ou não de casos de pneumonia, qual a probabilidade de não haver crianças alérgicas?
6