2ª Lista de exercícios

2ª Lista de exercícios
1) A densidade conjunta de X e Y é dada por:
0<x<1 e 0<y<1
E zero caso contrário.
a) Encontre a densidade conjunta de Z = XY e W=X/Y. Resp :
b) Encontre a densidade marginal de W.
2) A densidade conjunta de X e Y é dada por:
a) Pelo método do Jacobiano, obtenha a densidade conjunta de Z=XY e W=X/Y
Resposta:
b) Encontre as densidades marginais de Z e W
Resposta:
3) Seja X1, X2,...,Xn um vetor independente e identicamente distribuído. Seja R a
amplitude amostral e T o ponto médio da amplitude, ou seja:
Usando o método do jacobiano, mostre que a expressão geral para a função densidade
conjunta de R e T é dada por:
4) Seja X1, X2,...,Xn um vetor independente e identicamente distribuído de uma
distribuição uniforme com parâmetros .
.
a) Com base no resultado do exercício anterior, encontre a função densidade conjunta
de R e T. Resp:
b) Encontre a distribuição de R. Resp: f R (r ) 
n(n  1)
2
3

n

r n 2 2 3  r

5) Seja X1, X2 e X3 uma vetor com a seguinte distribuição discreta de probabilidades
conjunta:
(x1,x2,x3) P(X1=x1,X2=x2=X3=x3)
(0,0,0)
1/8
(0,0,1)
3/8
(0,1,1)
1/8
(1,0,1)
1/8
(1,1,0)
1/8
(1,1,1)
1/8
Encontre a distribuição conjunta de Z = X1+X2 +X3 e W= |X3 -X2|
6) Seja X1,X2,...,X5 um vetor independente e identicamente distribuído de uma
distribuição uniforme com parâmetros (0,1). Encontre a densidade condicional de X(1)
dado X(5). Utilize-a para calcular a probabilidade do mínimo ser menor que 0,25
sabendo-se que o máximo é igual a 0,5. Resp: 0,9375
6) Seja X1,X2,...,X10 um vetor i.i.d. de uma distribuição normal com parâmetros (10,2).
Por simulação calcule:
a) P(min{X1,X2,...,X10} < 6) R: 0,20
b) P(max{X1,X2,...,X10} >12) R: 0,82
c) P(Mediana{X1,X2,...,X10}<7) R:0,09
d) P(X(3)<9, X(8) >12) R: 0,64
e) O primeiro e o segundo momento do min{X1,X2,...,X10} e do máx{X1,X2,...,X10}
R: E(X(1))= 6,9 e E(X(1)²)=49,39 E(X(10))= 13,08 e E(X(10)²)=172,61
f) A variância do mín{X1,X2,...,X10} e do max{X1,X2,...,X10}
7) Seja X1,X2,X3 um vetor independente. Encontre P(X1 = mín(X1,X2,X3)) para os
seguintes casos:
a) Quando as variáveis possuem distribuição uniforme no intervalo (0,1).
Resposta: 1/3.
b) Quando as variáveis possuem distribuição exponencial com parâmetros λ1, λ2 e
λ3 respectivamente. Resposta: λ1/ (λ1+λ2 +λ3).