Apostila - Milton Procópio de Borba

MATEMÁTICA BÁSICA
Prof. Dr Rogério de Aguiar
Chefe do Departamento de Matemática
CCT - UDESC - JOINVILLE
Email: [email protected]
Home Page: www.joinville.udesc.br/dmat/rogerio
Julho de 2007
Sumário
1 Teoria dos Conjuntos
1.1 Definição de conjunto . .
1.2 Operações entre conjuntos
1.3 Propriedades . . . . . . .
1.4 Exercicios Resolvidos . . .
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3
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2 Números
2.1 Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . .
2.1.1 Naturais . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Inteiros . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Racionais . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Irracionais . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Reais . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ordenação dos números reais . . . . .
2.2.1 Propriedades das desigualdades
2.3 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . .
2.5 Exercícios de Fixação . . . . . . . . .
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7
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3 Módulo
3.1 Introdução . . . . . . . .
3.2 Propriedades do módulo
3.3 Inequações modulares .
3.4 Exercícios resolvidos . .
3.5 Exercícios de Fixação .
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4 Expressões Algébricas
4.1 Introdução . . . . . . . .
4.2 Exercícios Resolvidos 1
4.3 Produtos Notáveis: . . .
4.4 Exercícios Resolvidos 2 .
4.5 Exercícios de Fixação .
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5 Funções
5.1 Introdução . . . . . . . . . . .
5.2 Sistema Cartesiano Ortogonal
5.3 Função Afim . . . . . . . . .
5.4 Função Modular . . . . . . .
5.5 Função quadrática . . . . . .
5.6 Função Raiz n-ésima de x . .
5.7 Função Exponencial . . . . .
5.8 Função Logarítmica . . . . .
5.9 Tipos importantes de funções
5.10 Construção de Gráficos . . . .
5.11 Exercícios Resolvidos . . . . .
5.12 Exercícios de Fixação . . . .
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6 Geometria Plana
6.1 Reta . . . . . . . . . . .
6.2 Exercicios Resolvidos 1 .
6.3 Distância . . . . . . . .
6.4 Exercicios Resolvidos 2 .
6.5 Circunferência . . . . . .
6.6 Exercícios Resolvidos 3 .
6.7 Exercícios de Fixação .
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7 Trigonometria
7.1 Ângulos e Arcos . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Trigonometria Básica no Triângulo Retângulo
7.3 Relações Trigonométricas: . . . . . . . . . . .
7.4 Trigonometria Básica no Triângulo Qualquer
7.5 Ciclo Trigonométrico . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . .
7.7 Identidades trigonométricas . . . . . . . . . .
7.8 Exercícios de Fixação . . . . . . . . . . . . .
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8 Revisão Geral
9 Respostas
9.1 Do Capítulo
9.2 Do Capítulo
9.3 Do Capítulo
9.4 Do Capítulo
9.5 Do Capítulo
9.6 Do Capítulo
9.7 Do Capitulo
9.8 Do Capítulo
55
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8,
Teoria de Conjuntos .
Números . . . . . . . .
Módulo . . . . . . . . .
Expressões Algébricas .
Funções . . . . . . . .
Geometria Plana . . .
Trigonometria . . . . .
Revisão Geral . . . . .
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81
Capítulo 1
Teoria dos Conjuntos
1.1
Definição de conjunto
Conjunto: representa uma coleção de objetos:
Ex. 1: O conjunto de todos os brasileiros.
Ex. 2 : O conjunto de todos os números reais tal que x2 -4=0.
Notação: Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do
alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Elemento: É um dos componentes de um conjunto. Em geral, um elemento
de um conjunto é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..,z
Pertinência: É a característica associada a um elemento que faz parte de um
conjunto.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos
o símbolo ∈ que se lê: "pertence". Se um elemento não pertence a um conjunto
utilizamos o simbolo ∈
/ que se lê "não pertence". Exemplo 1 ∈ N e −1 ∈
/N
Algumas notações para conjuntos
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves {}
A = {a, e, i, o, u} , M = {João, M aria, José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
A = {x Á x é uma vogal}, M = {x Á x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler: Os conjuntos são mostrados graficamente.
Alguns conjuntos especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado
por {} ou por ∅. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
3
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse
contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência
não mais usaremos o conjunto universo.
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por
A ⊂ B, se todos os elementos de A também estão em B. O conjunto A é
denominado subconjunto de B.
1.2
Operações entre conjuntos
União de conjuntos
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A ∪ B = {xÁx ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo: Se A = {a, e, i, o} e B = {3, 4} então A ∪ B = {a, e, i, o, 3, 4}.
Propriedades
a) A ∪ A = A
b) A ∪ ∅ = A
c) A ∪ B = B ∪ A
d) A ∪ U = U ( onde U é o conjunto universo)
Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que
pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A ∩ B = {xÁx ∈ A e x ∈ B}
Exemplo: Se A = {a, e, i, o, u} e B = {1, 2, 3, 4} então A ∩ B = ∅.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos
que estes conjuntos são disjuntos.
Propriedades
a) A ∩ A = A
b) A ∩ ∅ = ∅
c) A ∩ B = B ∩ A
d) A ∩ U = A ( onde U é o conjunto universo)
Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A − B = {xÁx ∈ A e x ∈
/ B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
4
Propriedades
a) A − ∅ = A
c) A −A = ∅
b) ∅ −A = ∅
d) A − B 6= B − A (a diferença não é comutativa)
Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CA B, é
a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos
que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
CA B = A − B = {x Áx ∈ A e
1.3
a)
b)
c)
d)
x∈
/ B}
Propriedades
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⇒ Propriedade distributiva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⇒ Propriedade distributiva
A ∩ (A ∪ B) = A ⇒ Lei da absorção
A ∪ (A ∩ B) = A ⇒ Lei da absorção
1.4
Exercicios Resolvidos
a) Em uma cidade existem dois clubes A e B, que tẽm juntos 6000 sócios. O
clube A tem 4000 sócios e os dois clubes têm 500 sócios comuns. Quantos sócios
tẽm o clube B? Quantos são os sócios do clube B que não são sócios do clube
A?
b) Seja A = {a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {d, e, f, 3, 7, 8} . Determinar A − B, A ∩
B, A ∪ B, B − A
c) Em uma cidade existem tres cavalos X, Y, Z que participam de um páreo
em uma corrida de cavalos. X e Y tẽm 400 apostadores em comum. Os cavalos
Y e Z têm 300 apostadores em comum. Os cavalos X e Z não têm apostadores
em comum. X e Y têm juntos 9000 apostadores e Y e Z têm juntos 8000
apostadores. Sabendo que Z tem 3000 apostadores determinar o número de
apostadores dos cavalos X e Y.
5
Capítulo 2
Números
2.1
2.1.1
Conjuntos Numéricos
Naturais
Definimos o conjunto do números naturais por, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}
Convém destacar um subconjunto: N∗ = N − {0} = {1, 2, 3, 4, 5...}
2.1.2
Inteiros
Definimos o conjunto do números inteiros por, Z = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...}
No conjunto dos inteiros destacamos os seguintes subconjuntos:
Z∗ = Z − {0} = {... − 3, −2, −1, 1, 2, 3...}
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4...} (inteiros não negativos)
Z− = {0, −1, −2, −3, −4...} (inteiros não positivos)
Z∗+ = {1, 2, 3, 4...}(inteiros positivos)
Z∗− = {−1, −2, −3, −4...}(inteiros negativos)
2.1.3
Racionais
Q = {x Á x =
p
, p ∈ Z, q ∈ Z, q 6= 0}.
q
Obs: Um número racional pode aparecer em forma de dízima periódica,
isto é, um numeral decimal, com a parte decimal formada por infinitos algarismos que se repetem periodicamente, como por exemplo: 4, 5555 (período 5) ,
10, 878787 (período 87) e 9, 8545454... (período 54, parte não periódica 8)
No conjunto dos racionais adotamos as seguintes definições:
a) ab = dc ⇐⇒ ad = bc
b) ab + dc = ad+bc
bd
c) ab · dc = ac
bd
No conjunto dos racionais destacamos os seguintes subconjuntos:
Q+ = {x ∈ QÁx ≥ 0}(racionais não negativos)
6
Q− = {x ∈ QÁx ≤ 0}(racionais não negativos)
Q∗ = Q − {0}(racionais não nulos)
2.1.4
Irracionais
É todo número decimal não-exato e não periódico, bem como toda raiz nãoexata. Ou seja todo número que não pode ser expresso como o quociente de
dois números racionais.
- raiz quadrada de dois = 1, 414...;
- raiz quadrada de três= 1, 73...;
- número pi= 3, 141516
Notação: Denotaremos o conjunto dos irracionais por I
2.1.5
Reais
Definimos o conjunto dos números reais como a união entre os conjuntos dos
racionais e irracionais.: R = Q ∪ I
Diante do exposto acima concluímos que
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I ⊂ R e Q ∩ I = ∅
No conjunto dos reais destacamos os seguintes subconjuntos:
R∗ = R − {0} (reais não nulos)
R∗+ = {x ∈ R Á x > 0} (reais positivos)
R∗− = {x ∈ R Á x < 0} ( reais negativos)
Existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos de
um eixo ordenado
2.2
Ordenação dos números reais
Na reta real os números estão ordenados, um número a é menor que qualquer
número colocado à sua direita.
Exprimimos este fato da seguinte maneira: a é menor que b, ou equivalentemente, que b é maior que a.
Se a e b são números reais então dizemos que a > b (a é maior que b), se
a − b é um número positivo. A este fato damos o nome de desigualdade. Outros
tipos de desigualdade são a < b, a ≤ b, a ≥ b.
7
2.2.1
Propriedades das desigualdades
a) Se a > b e b > c então a > c, Ex: 10 > 0 > −10 ⇒ 10 > −10
b) Se a > b então a ± c > b ± c, Ex: 10 ± 5 > −10 ± 5 ⇒ 15 > −5 e 5 > −15
c) Se a > b e c > 0 então ac > bc, Ex: 10.5 > −10.5 ⇒ 50 > −50
d) Se a > b e c < 0 então ac < bc, Ex: 10. − 3 < −10. − 3 ⇒ −30 < 30
2.3
Intervalos
Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de
R chamados intervalos.
Intervalo aberto:
(a, b) = {x ∈ R Á a < x < b}
Intervalo fechado:
[a, b] = {x ∈ R Á a ≤ x ≤ b}
Intervalo semi-aberto à direita:
[a, b) = {x ∈ R Á a ≤ x < b}
Intervalo semi-aberto à esqueda:
(a, b] = {x ∈ R Á a < x ≤ b}
Intervalo infinitos
(−∞, +∞) = {x ∈ RÁ − ∞ < x < +∞} = R
[a, +∞) = {x ∈ R Á a ≤ x < +∞}
(−a, +∞) = {x ∈ R Á a < x < +∞}
8
(−∞, a] = {x ∈ R Á − ∞ < x ≤ a}
(−∞, a) = {x ∈ R Á − ∞ < x < a}
2.4
1)
a)
2)
a)
3)
a)
4)
a)
5)
a)
c)
Exercicios Resolvidos
Usando a notação de conjunto
√ ¤ os intervalos
£√ escrever
(−3, 6)
b) (π, 6] c)
2, 3
d) [−1, 0)
e) (−∞, 0)
Se A = {x ∈ R Á 2 < x < 5} e B = {x ∈ RÁ3 ≤ x < 8} determinar
A∩B
b) A − B
c) B − A
Representar os seguintes intervalos:
[−1, 1]
b) [0, 10) c) (−3, 1] d) (4, 6) e) (5, +∞)
Resolver graficamente
£√ √ ¤ £ 1 ¤
(π, 6] ∪ [−1, 1)
b)
2, 3 ∩ 2 , 3
Resolver as inequações
3 + 7x ≤ 2x + 9
b) 7 ≤ 2 − 5x < 9
x2 − 3x < 10
d) 2x−5
x−2 < 1
2.5
Exercícios de Fixação
01) Quais das alternativas abaixo é falsa
a) Q ∪ N ⊂ R b) Q ∩ N ⊂ R c) Q ∪ N = R d) Q ∩ R 6= ∅
02) Escrever usando o sinal de desigualdade
a) a é um número positivo b) b é um número negativo c) a é maior que b
03) Representar na reta real os seguintes intervalos
a) [−10, 11]
b) [0, 3) c) (−3, 0] d) (3, 7) e) (0, +∞)
04) Representar graficamente
√
√os intervalos dados pelas desigualdades
a) 2 ≤ x ≤ 7 b) 3 ≤ x ≤ 5 c) 0 ≤ x < 2 d) −∞ < x < −1
05) Deternimar graficamente
a) (5, 7] ∩ [6, 9] b) (−∞, 7] ∩ [8, 10] c) (−3, 0] ∪ (0, 8) d) (0, 7] − (5, 7)
06) Sejam M = {x ∈ RÁ2 ≤ x < 10}, N = {x ∈ R Á 3 < x < 8} e P =
{x ∈ RÁ2 ≤ x ≤ 9} . Determinar o conjunto P − (M − N ).
07) Resolva as inequações e exprima a solução em termos de intervalos quando
possível:
a) 2x + 5 < 3x − 7
b) x − 8 < 5x + 3
x+1
c) −2 ≤ 2x−3
<
7
d) 2x−3
>2
5
9
Capítulo 3
Módulo
3.1
Introdução
Definição: O módulo , ou valor absoluto, de um número real ”x” é denotado
por |x| e definido por
½
x, se x ≥ 0
|x| =
−x, se x < 0
¯ 1¯ 1
¯− ¯ = , |0| = 0
Exemplos |9| = 9,
5
5
Da definição de módulo podemos concluir que o módulo de um número é
sempre um número não negativo, ou seja, |x| ≥ 0.
3.2
Propriedades do módulo
i) |x| = |−x| ;
|x + y| ≤ |x| + |y|
3.3
ii) |x.y| = |x| |y| ;
¯ ¯
¯ ¯
iii) ¯ xy ¯ =
Inequações modulares
Notemos que se a > 0 valem as seguintes conclusões
|x| > a se e somente se x < a ou x > a
|x| < a se e somente se −a < x < a
10
|x|
|y|
iv)
|x| ≥ 0
v)
3.4
Exercícios resolvidos
1) Completar as implicações abaixo
a) Se |x| = 5 então x =
b) Se |x| = 0 então x =
c) Se |x| < 3 então
< x <3
d) Se |x| > 7 então
x>
ou x <
2) Representar na reta real os pontos que satisfazem as seguintes relações
a) |x| = 3
b) |x| < 3 c) |x| > 1 |x − 3| = 5
3) Resolver as inequações
1
a) |x − 3| < 4
b) |2x−3|
>5
c) |3x − 4| > 2
d) |3x − 2| = |5x + 4|
e) |x + 4| ≥ 2
3.5
Exercícios de Fixação
1 ) Reescreva sem usar o símbolo de valor absoluto
a) (−5) |3 − 6| b) |−6|
c) |−7| + |4| d) |4 − π|
2
2) Complete as afirmações
a) se x < 3 então |x + 3| =
b) se x > 5 então |5 − x| =
3) Resolver as equações em R
a) |5x − 3| = 12
b) ¯|2x −¯ 3| = |7x − 5|
¯ x+2 ¯
c) ¯ x−2
¯=5
d) |3x + 2| = 5 − x
e) 2x − 7 = |x| + 1
4) Resolva a desigualdade e exprima a solução em termos de intervalos,
quando possível
a) |x + 3| < 0, 01
b) |2x + 5| < 4
c) |3x − 7| ≥ 5
d) |−11 − 7x| > 6
e) 3 ≤ |x − 2| ≤ 7
2
f) |x+3|
<1
g) |x
¯ + 4|¯ ≤ |2x − 6|
¯ 1
¯
h) ¯ 7−2x
5+3x ¯ ≤ 2
i) |x
¯ − 1|¯ + |x
¯ + 2|
¯ ≥4
¯ 5 ¯ ¯ 1 ¯
j) ¯ 2x−1 ¯ ≥ ¯ x−2 ¯
k)
1
|x+1||x−3|
≥
1
5
11
Capítulo 4
Expressões Algébricas
4.1
Introdução
As expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam letras e
podem conter números. São também denominadas expressões literais. As letras
nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra
pode ser substituída por um valor numérico.
Para resolver ou simplificar uma expressão algébrica devemos utilizar as
propriedades da potenciação e radiciação, fatoração e os produtos notáveis.
Como as propriedades mais utilizadas são as propriedades da potenciação
damos a seguir a lista dessas propriedades
P ropriedades
Alguns Exemplos
xo = 1(x não nulo)
5o = 1
m n
m+n
x x =x
62 63 = 62+3 = 65 = 7776
m
m m
73 53 = (35)3 = 42 875
x y = (xy)
m
x
76
m−n
4
xn = x
72 = 7 = 2401
³ ´
xm
ym =
m n
m
x
y
mn
(x ) = x
1
m
x n = (xm ) n
x−m = x1m
m
x− n = 1m
=
n
x
1
1
(xm ) n
52 ÷ 32 = ( 53 )2
(53 )2 = 56 = 15625
√
¡ ¢1 √
3
6 2 = 63 2 = 216 = 6 6
1
3−4 = 314 = 81
1
1
√
3 =
6 6
62
Podemos escrever a potenciação como uma radiciação da seguinte forma
1
xn =
√
n
x
e
1
m
x n = (xm ) n =
√
n
xm
Dada uma expressão algébrica qualquer, podemos transformá-la, se possível,
no produto de duas ou mais outras expressões algébricas. A este procedimento
damos o nome de fatoração.
Fator comum: A expressão ax + bx tem como fator comum o x, neste caso
podemos colocar o x em evidência e obter ax + bx = (a + b)x
12
Agrupamento: Podemos utilizar a fatoração diversas vezes na mesma expressão: Exemplo
ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a + b)y = (a + b) (x + y)
4.2
Exercícios Resolvidos 1
1) 10m + 10n
2) 6xy 5 + 12x2 y 2
3) 4bx − 32b + 4by
4) 4x + 4z − bx − bz
5) x + x2 + x3 + 1
4.3
Produtos Notáveis:
Os produtos notáveis são aqueles produtos entre expressões algébrica que são
freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem
algumas fórmulas que convém serem memorizadas:
1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
(a + b).(a − b) = a2 − b2
2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro
pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro
pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Existem outras outras fórmulas como por exemplo
(a + b)3
(a − b)3
4.4
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
= a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
Exercícios Resolvidos 2
1) Reescreva usando produtos notáveis:
a) (a + 2)(a − 2)
b) (xy + 3z)(xy − 3z)
c) (x2 − 4y)(x2 + 4y)
e) (x + 3)2
13
f) (2a − 5)2
g) (2xy + 4)2
i) (x + 4)3
j) (2a + b)3
l) (a − 1)3
m) Calcule 41.39 usando um produto notável.
n) Calcule 101.99 usando um produto notável.
4.5
Exercícios de Fixação
1 ) A soma de dois números é igual a 10 e a soma dos seus cubos é igual a 100.
Qual o valor do produto desses números?
2) Calcule o valor de M na expressão abaixo, para: a = −700, b = −33, x =
23, 48 e y = 9, 14345.
M=
(ax + by)2 + (ay − bx)2
(ay + bx)2 + (ax − by)2
1) Desenvolva:
a)
(3x + y)2
b)
( 12 + x2 )2
3 2
c)
(( 2x
3 ) + 4y )
3
d)
(2x + 3y)
e)
(x4 + ( x12 ))3
2) Efetue as multiplicações:
a)
(x − 2)(x − 3)
b)
(x + 5)(x − 4)
3) Simplifique as expressões:
a)
(x + y)2 − x2 − y 2
b)
(x + 2)(x − 7) + (x − 5)(x + 3)
c)
(2x − y)2 − 4x(x − y)
4) Simplifique as frações algébricas
2
−x
a) xx−1
x+2
b) x2 +4x+4
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
a2 −9
a−3
x−y
x2 −y2
2
x +6x+9
3x+9
6xy−3x2
4y2 −2xy
ax+ay
x2 +2xy+y2
x2 −4
x+2
ax2 −ay2
x2 −2xy+y2
14
5) Simplifique a expressão
x+z
x+y
y+z
+
+
(x − y)(x − z) (y − x)((y − z) (z − x)(z − y)
6) Desenvolver as expressões e simplificar se possível
a) (2a − 3b)2 =
b) (a − b)2 + (a + b)2 =
c) (a − b)2 − (a + b)2 =
d) (3z − y)2 − (z − 2y)2 =
e) (a − b)(a + b)(a2 + b2 ) =
7) A expressão que deve ser somada a 4x2 y 2 + 10xy para obter o quadrado
de 4x − 2xy é:
8) Calcular 6789592 − 6789582
9) Simplicar a expressão, considerando que a 6= ±b
a2 + 2ab + b2 a − b
÷
a2 − b2
a+b
10) Se m + n + p = 6, mnp = 2 e mn + mp + np = 1 então o valor de
m2 + n2 + p2
mnp
é:
11) Calcule o valor da expressão
1
1
1
+
+
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + xz
quando xyz = 1
15
Capítulo 5
Funções
5.1
Introdução
Definição: Dados dois conjuntos A e B e uma relação f de A em B,
dizemos que f é uma função ou aplicação se, e somente se, para todo elemento x
de A existe, em correspondência, um único elemento y de B tal que o par (x,y)
pertença a relação f. Uma função geralmente é dada por uma expressão que
estabelece a correspondência entre os conjuntos A e B.
Qualquer função possui sempre os seguintes três elementos básicos:
a) Um conjunto de "saída"chamado Domínio
b) Um conjunto de "chegada"chamado Contradomíno
c)) Uma lei ou regra que permite associar os elementos do Domínio
com o s elementos do contradomínio
Notação: Se A é o domíno, B o contradomínio e f é uma função de A
em B, denotamos
f
: A→B
x → f (x)
Domínio: O Domínio da função é o conjunto dos pontos para os quais
faz sentido a aplicação da regra de correspondência entre os conjuntos A e B.
Nesse estudo inicial de funções usaremos sempre como domínio um subconjunto
A ⊂ R e o contradomínio será sempre B = R. Notação: O domínio de uma
funação f será denotado por Dom(f )
Imagem: A imagem de uma função f : A → R, A ⊂ R, é definido
como sendo o conjunto dos pontos y ∈ R tais que existe x ∈ A tal que f (x) = y.
Observe que a imagem de uma função f está contida no contradmínio da função
f. Denotamos o conjunto imagem da função f por Im(f ).
16
Gráfico: O gráfico de uma função é um subconjunto do produto
cartesiano R × R. Definimos o gráfico de uma função, denotado por Graf(f), o
seguinte conjunto Graf (f ) = {(x, y) ∈ R × R Á y = f (x)} . O gráfico de uma
função f pode ser visualizado geometricamente usando-se o sistema cartesiano
ortogonal onde podem ser vistos o conjunto de pontos da forma (x, f (x))
Função Crescente e Decrescente: Uma função é chamada de função
crescente se x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ). Uma função é chamada de função
decrescente se x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ).
√
Exemplo: Considere
√ a função f cuja regra é dada por f (x) = x − 1.
Neste caso a expressão x − 1 só tem sentido para x ≥ 1, portando o domínio da
função, denotado por D(f ), é D(f ) = {x ∈ RÁx ≥ 1} . Logo podemos escrever
f
: [1, +∞) → R√
x → f (x) = x − 1
√
Como x ≥ 1 ⇒ f (x) = x − 1 ≥ 0 ⇒ Im(f
√ ) = R+ . √
Como x1 < x2 ⇒ x1 − 1 < x2 − 1 =⇒ x1 − 1 < x2 − 1 (Note que isto
vale porque x1 − 1 ≥ 0 e x2 − 1 ≥ 0) portanto f (x1 ) < f (x2 ).
Logo f é uma função
√ crescente.
Gráfico de f (x) = x − 1
y
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x
17
5.2
Sistema Cartesiano Ortogonal
Na conceituação de abcissa de um ponto, baseamo-nos na correspondência biunívoca entre os pontos de um eixo e os números reais. Analogamente, o conceito
de sistema cartesiano surgiu para estabelecer-se uma correspondência biunívoca
entre os pontos do plano e o conjunto dos pares ordenados de números reais
18
5.3
Função Afim
Função afim: Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim
é uma função f : R → R que a cada x ∈ R associa f (x) = ax + b. O gráfico
de uma função afim é uma reta. O número a representa o coeficiente angular
da reta e o número b representa o coeficiente linear. Se a > 0 a função afim é
crecente e se a < 0 a função afim é decrescente
Exemplo : f (x) = 4x + 5
Função linear: Sejam a um número real, sendo a não nulo. Uma função
linear é uma função f : R → R que para cada x ∈ R associa f (x) = ax. Este
é um caso particular da função afim, neste caso o coeficiente linear é zero, ou
seja, o gráfico da função linear sempre passa pela origem
Exemplo: f (x) = x
19
Função constante: Sejam a um número real, sendo a não nulo. Uma
função linear é uma função f : R → R que para cada x ∈ R associa f (x) = b.
Neste caso o coeficiente angular é zero, ou seja, o gráfico da função constate é
sempre paralelo ao eixo x e cruza o eixo y no ponto (0, b).
Exemplo: f (x) = 2
20
RESUMO: Função Afim f (x) = ax + b, a é o coeficiente angular e b é
21
5.4
Função Modular
Função Modular: Definimos função modular a f : R → R definida por f (x) =
|x|
Da definição de módulo a função modular pode ser escrita como
½
x, x ≥ 0
f (x) =
−x, x < 0
Observe que a função modular só assume valores positivos, ou seja, f (x) =
|x| ≥ 0, para todo x ∈ R.
Gráfico:
y = |x|
5.5
Função quadrática
Função quadrática: Sejam a,b e c números reais, sendo a não nulo. Uma
função quadrática é uma função f : R → R que para cada x ∈ R associa
f (x) = ax2 + bx + c. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Exemplo: f (x) = x2 − 3x + 2
22
Concavidade: No gráfico da párabola f (x) = ax2 + bx + c :
i) Se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima e
ii) Se a < 0 a concavidade é voltada para baixo.
Zeros: Os valores de x para os quais temos f (x) = 0 são chamados os
zeros da função quadrática. Os zeros são as abcissas dos pontos onde o gráfico
da parábola intercepta o eixo dos x. Para encontrarmos os zeros da função
quadrática devemos resolver a equação ax2 + bx + c = 0. Uma das formas mais
comuns de resolver essa equação é usando a famosa fórmula de Baskara:
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Fazendo ∆ = b2 − 4ac, ∆ é chamado de discriminante, podemos escrever a
fórmula de Baskara da seguinte forma:
√
−b ± ∆
x=
2a
Se ∆ > 0 os zeros são reais e ddistintos. Se ∆ < 0 a equação não possui
zeros reais e se ∆ = 0 a equação possui zeros reais e iguais
Vértices da parábola: As coordenadas dos vértices da parábola são dados
por
b
∆
xv = −
e
yv = −
2a
4a
23
Gráficos: Portanto Dependendo do valor de ∆ e do sinal de a temos os
seguintes casos:
24
5.6
Função Raiz n-ésima de x
Definimos função raiz n-ésima de x a função f : Domf (f ) → R definida por
√
1
f (x) = n x = x n .
Se n é um número par então Dom(f ) = [0, +∞) e Im(f ) = [0, +∞)
Se n é um número impar então Dom(f ) = R e Im(f ) = R
Exemplos
Função raiz quadrada de x
, f (x) =
y
√
x
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x
25
Função √
raiz quarta de x
f (x) = 4 x
y
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x
Função √
raiz cúbica de x
f (x) = 3 x
y
2
0
-4
-2
0
2
4
x
-2
26
Função √
raiz quinta de x
f (x) = 5 x
y
3
2
1
0
-4
-2
0
-1
2
4
x
-2
-3
5.7
Função Exponencial
Função Exponencial: Dado um número real a > 0, a 6= 1, definimos função
exponencial de base a à função f : R → R definida por f (x) = ax .
Se a > 1 a função f (x) = ax é uma função crescente, ou seja, x1 < x2 se e
somente se f (x1 ) < f (x2 ). Isto quer dizer que se x1 < x2 então ax1 < ax2 .Se
a < 1 a função f (x) = ax é uma função decrescente, ou seja, x1 < x2 se e
somente se f (x1 ) > f (x2 ). Isto quer dizer que se x1 < x2 então ax1 > ax2 .
Observe que:
a) O domínio da função exponencial é R
b) A função exponencial só assume valores positivos, isto é, f (x) = ax > 0
para todo x ∈ R
c) O gráfico da função exponencial sempre passa pelo ponto (0, 1).
Gráficos: Dependendo do valor de a temos as seguintes situações
27
Um caso particular da função exponencial e que é muito usado em aplicações
práticas é a função exponencial de base e = 2. 718 3.. definida por f (x) = ex .
O gráfico de y = ex tem a seguinte forma:
28
5.8
Função Logarítmica
Logarítmo: Dado a > 0, a 6= 1, e um número real positivo b denominamos de
logarítmo de b na base a ao expoente que se deve elevar à base a de modo que
o resultado obtido seja igual a b. Matematicamente escrevemos
loga b = x ⇐⇒ ax = b
Propriedades dos logarítmos:
a) loga 1 = 0
b) loga a = 1
c) loga am = m
d) loga b = loga c ⇐⇒ b = c
e) aloga b = b
f) loga (b.c) = loga b + loga c
g) loga cb = loga b − loga c
h) loga bm = m. loga b
logc b
i) loga b = log
ca
Função Logarítmica: Dado um número real a, a > 0 e a 6= 1, definimos
função logarítmica à função f : R∗+ → R definida por f (x) = loga x.
Se a > 1 a função f (x) = loga x é uma função crescente, ou seja, x1 < x2 se e
somente se f (x1 ) < f (x2 ). Isto quer dizer que se x1 < x2 então loga x1 < loga x2 .
Se 0 < a < 1 a função f (x) = loga x é uma função decrescente, ou seja,
x1 < x2 se e somente se f (x1 ) > f (x2 ). Isto quer dizer que se x1 < x2 então
loga x1 > loga x2 .
Observe que:
a) O domínio da função logarítmica é R∗+
b) A função logarítmica assume todos os valores reais
c) O gráfico da função logarítmica sempre passa pelo ponto (1, 0).
Gráficos: Dependendo do valor de a temos as seguintes situações:
29
Um caso particular da função logarítmica e que é muito usado em aplicações
práticas é a função logarítmica de base e = 2. 718 3 definida por f (x) =
loge x.Para loge x usamos a notação ln x. Portanto f (x) = ln x = loge x.
Quando a base do logarítmo é 10 não precisamos escrever a base, ou seja,
para log10 x usamos a notação log x. Portanto f (x) = log x = log10 x
30
O gráfico de y = ln x tem a seguinte forma:
O gráfico de y = log x tem a seguinte forma:
5.9
Tipos importantes de funções
Função par: Se f (x) = f (x), para todo x ∈ Dom(f ) então dizemos que a
função f é uma função par. (note que o gráfico é uma curva simétrica pelo eixo
y).
31
Exemplos:
f (x) = x2 é uma função par pois f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x)
g(x) = cos(x) é uma função par, já que f (−x) = cos(−x) =
cos x = f (x)
Função ímpar: Se f (−x) = f (x), para todo x ∈ Dom(f ) então dizemos
que a função f é uma
função ímpar. (note que o gráfico é uma curva simétrica pela origem).
Exemplos: f (x) = x3 é uma função impar pois f (−x) = (−x)3 = −x3 =
−f (x).
Função injetora: Se para quaisquer x1 e x2 no domínio de f, x1 6= x2 =⇒ f
(x1 ) 6= f (x2 ), então
dizemos que f é uma função injetora.
Exemplos: f (x) = x3 é uma função injetora já que x1 6= x2 ⇒ x31 6= x32 ⇒
f (x1 ) 6= f (x2 )
f (x) = x2 não é injetora pois tomando x1 = 3 e x2 = −3 temos
x1 6= x2 mas f (x1 ) = 9 e f (x2 ) = 9 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )
Geometricamente, para uma função f : R → R, se qualquer reta paralela ao
eixo dos x cortar o gráfico de f ´em apenas um ponto a função f é uma função
injetora.
Função sobrejetora: é aquela em que sua imagem coincide com seu contradomínio.
Função bijetora: é aquela que é ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora.
Função composta: Sejam g : A → B e f : Im(g) → C. A função f ◦ g :
A → C dada por
(f ◦ g) (x) = f (g(x)) é a função composta da função f com a função g.
Exemplos: g(x) = x−3 e f (x) = |x| então (f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (x−3) =
|x − 3|
h(x) = ex e v(x) = sin x então (v ◦ h) (x) = v(h(x)) = v(ex ) =
x
sin(e )
Observação: Note que em geral (f ◦ g) (x) 6= (g ◦ f ) (x).No exemplo acima
(g ◦ f ) (x) = g(f (x)) = g(|x|) = |x| − 3
⇒ (g ◦ f ) (x) = |x| − 3 6= |x − 3| = (f ◦ g) (x)
Função inversa: Seja y = f (x) uma função onde f : A → B. Se, para
cada y ∈ B, existir exatamente um valor de x ∈ A tal que y = f (x), então
podemos definir uma função g : B → A tal que x = g(y). A função g definida
desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por f −1 .
Observação :a) Pela definição podemos concluir que para existir a função
inversa a função f deve ser bijetora.
−1
então
¡
¢b) Se a função f possui uma inversa f
¢
¡ −1
−1
f ◦f
(y) = y e f ◦ f (x) = x
Exemplos: A função f : [0, +∞) → [0, +∞) , definida por f (x)√= x2 tem
como inversa a função f −1 : [0, +∞) → [0, +∞) dada por f −1 (x) = x
A função f : R → R, definida
por f (x) = x3 tem como inversa
√
−1
−1
3
a função f : R → R dada por f (x) = x
Geometricamente o gráfico da função inversa f −1 e o gráfico da função f
são simétricos em relação ao eixo Ox :
f (x) = x2
32
y
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
x
5.10
Construção de Gráficos
Se c é um número real positivo então:
O gráfico de f (x+c) é o gráfico de f (x) deslocado c unidades para a esquerda.
O gráfico de f (x− c) é o gráfico de f (x) deslocado c unidades para a direita.·
O gráfico de f (x) + c é o gráfico de f (x) deslocado c unidades para cima.
O gráfico de f (x) − c é o gráfico de f (x) deslocado c unidades para baixo.
O gráfico de |f (x)| é igual ao gráfico de f (x) se x é positivo e é o gráfico de
f (x) refletido através do eixo Ox se x é negativo
33
34
5.11
Exercícios Resolvidos
1) Encontre os zeros da seguintes funções:
a) f (x) = 2x2 − 3x − 5
b) f (x) = −3x2 + 2x
c) f (x) = (7x − 1)(2x − 3)
2) Resolver as inequações:
a) x2 − 4x + 3 > 0
b) 3x2 − 4x < 0
c) −2x2 + 7x − 3 ≤ 0
d) x2 + x + 1 > 0
e) −2x2 + 5x − 4 ≥ 0
3) Resolver as inequações exponenciais
a) 4x > 14
¡ ¢2x ¡ 1 ¢3x−1
b) 12
< 2
x2
c) 3 > 3x
4) Resolver as inequações logaritmicas
a) log3 (x2 − x + 3) > 2
b) 0 < log2 (2x − 1) ≤ 1
c) log 12 (x + 2) + log 12 (x − 3) > 2
√
5) Determinar o domínio da função definida por y = 3x+2 − 3−x
5.12
Exercícios de Fixação
1) Sendo f (x) = 3x − 1
a) Calcular f (0)
b) Calcular f (− 13 )
c) Para que valor de x, temos f (x) = 0.
d) Sendo f (x) = ax + b uma função afim e sendo p e q números reais e
(q)
distintos, calcular f (p), f (q) e mostrar que f (p)−f
=a
p−q
2) Resolver as inequações
a) (2x − 3)(x − 1) > 0
b) (x − 2)(3x + 1) < 0
c) x2 ≥ 5
d) x2 + 1 < 2x2 − 3 ≤ −5x
e) 0 < x2 + x + 1 < 1
f) 4 < x2 − 12 ≤ 4x
g) 2x + 1 ≤ x2 < 2x + 3
h) ¡−1 ≤ x2 − 3¢≤ 1
i) ¯ x2 + 4x + 3 ¯(2x + 5) < 0
j) ¯2x2 + 3x + 3¯ ≤ 3
k) x3 − x2 − x − 2 > 0
3) Resolver as inequações quocientes
2
a) 2xx2 +x−6
+3x−2 ≥ 0
35
b)
(x−2)4
x2 −2x−15 ≤ 0
−6x2 −x+2
6x2 −5x+1 > 0
x
2
x−1 − x+1 ≤ 0
x−1
x−3
x−2 < x−4
2
2
2x+3 ≥ x−5
x−2
3x+5 ≤ 4
x+1
2x−3 > 2
x+1
x
2−x < 3+x
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
4) Resolver as equações exponenciais
a) 2x−3 + 2x−1 + 2x = 52
³√
´x−2
3
b)
2x+4
=1
5) Resolver as inequações exponenciais
¡√ ¢2x+4 ¡√ ¢3x
a)
3
>
3
x2 −8x−20
b) 5
<1
2
c) (0, 3)4x −2x−2 ≥ (0, 3)2x−3
6) Resolver as inequações logarítmicas
a) log2 (x − 2) − log 12 (x − 3) < 1 =⇒ S = {x ∈ RÁ3 < x < 4}
q
q
n
√
√ o
b) log 12 (x2 − 32 ) ≥ 1 =⇒ S = x ∈ RÁ − 2 ≤ x < − 32 ou 32 < x < 2
c) x(loga x)+1 > a2 x para 0 < a < 1. p
d) Dar o domínio da função f (x) = log(x2 − 2x)
7) Se uma bola é atirada para cima com uma velocidade inicial de 32 m/s,
então, após t segundos, a distância s acima do ponto de partida, em metros, é
dada por s = 32t − 16t2 . Em que instante a bola estará no ponto mais alto e
qual será esta altura? (Faça um esboço do gráfico da equação).
8) A energia potencial elástica W armazenada numa mola esticada é dada
pela expressão W = 12 kx2 onde k é a constante elástica da mola e x é o quanto
a mola está alongada
Para uma constante elástica igual a 10 unidades
i) Qual o número que exprime o valor de sua energia potencial W ,
para um alongamento de 2 unidades
ii) De quanto está esticada a mola quando sua energia potencial é de
80 unidades.
9) Desenhar o gráfico das seguintes funções
i) f (x) = |x|
√
ii) f (x) = x
iii) f (x) = ¯|2x − 6| ¯
iv) f (x) = ¯x2 + x − 6¯
10) Especifique o domínio e faça um esboço do gráfico de cada uma das
funções:
a) y = log10 (x + 5)
b) y = − ln x
c) y = ln(−x)
36
d) y = ln |x|
11) Resolva cada equação em x
a) ln x = −1
b) ln(2x − 1) = 3
c) e3x−4 = 2
d) eax = Cebx , onde C é uma constante e a 6= b
ln(ln x) = 1
12) Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas,
t
então o número de bactérias após t horas é n = f (t) = 100.2 3 :
a) Encontre a função inversa de f e explique seu significado.
b) Quando a população atingirá 50.000 bactérias?
13) Após acionado o Flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa
a recarregar o capacitor do flash, o qual armazena uma carga elétrica dada por
t
Q(t) = Q0 (1 − e− a ) (A capacidade máxima de carga é Q0 , e t é medido em
segundos.)
a) Encontre a função inversa de Q e explique seu significado.
b) Quanto tempo levará para o capacitor recarregar 90% da capacidade se
a = 2?
14) Se f (x) = ln x e g(x) = x2 − 9, encontre as funções f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g
15) Expresse a função F (x) = √ 1 √ como uma composta de três funções.
x+ x
1
x
16) Faça o gráfico da função y =
½
0, se t < 0
. Essa
1, se t ≥ 0
função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento
repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada:
a) Faça o gráfico da função de heaviside
b) Faça um esboço da função rampa y = tH(t)
17) A função de Heaviside H é definida por H(t) =
37
Capítulo 6
Geometria Plana
6.1
Reta
A toda reta r do plano cartesiano está associada uma equação da forma ax +
by + c = 0, onde a, b, c são números reais, a 6= 0 ou b 6= 0 e o ponto (x, y)
representa um ponto genérico de r
A equação da reta pode se apresentar de várias outras formas
1) Sejam Q(x1 , y1 ), R(x2 , y2 ), Q 6= R e r a reta definida por Q e R ( graficamente isto quer dizer que a reta passa pelos pontos Q e R). Se P (x, y) é um
ponto pertencente a reta r, então os pontos P, Q e R são colineares. A condição
de colinearidade dos tres pontos no plano é dada por:
¯
¯
¯ x y 1 ¯
¯
¯
¯ x1 y1 1 ¯ = 0
¯
¯
¯ x2 y2 1 ¯
Calculando o determinante obtemos
x(y1 − y2 ) + y(x2 − x1 ) + (x1 y2 − x2 y1 ) = 0
y(x2 − x1 ) = −x(y1 − y2 ) − (x1 y2 − x2 y1 )
y=
(y2 − y1 )
x2 y1 − x1 y2
x+
(x2 − x1 )
(x2 − x1 )
(y2 −y1 )
1 y2
2) Fazendo m = (x
(m é o coeficiente angular da reta) e q = x2(xy12 −x
−x1 )
2 −x1 )
(q é o coeficiente linear da reta) podemos escrever a equação da reta na forma
y = mx + q
3) Se m é o coeficiente angular da reta e a reta passa pelo ponto R(x2 , y2 )
temos
38
y
y
y
x2 y1 − x1 y2
(x2 − x1 )
x2 y1 − x1 y2 − y2 x2 + y2 x2
= mx +
(x2 − x1 )
− (y2 − y1 ) x2 + (x2 − x1 )y2
= mx +
(x2 − x1 )
= mx +
y − y2 = m(x − x2 )
4) Considere uma reta r que intercepta os eixos nos pontos Q(0, q) e P (p, 0)
distintos. A equação dessa reta é
¯
¯
¯ x y 1 ¯
¯
¯
¯ 0 q 1 ¯ = 0 =⇒ qx + py − pq = 0
¯
¯
¯ p 0 1 ¯
x y
+ =1
p
q
5) Se na equação y = mx + q fazemos x = f (t), onde f é uma função afim,
então y = mf (t) + q, onde t ∈ R é um parâmetro. Chamando g(t) = mf (t) + q
temos que y = g(t). Portanto as coordenadas x e y de um ponto da reta podem
ser dadas em função de parâmetro real t :
½
x = f (t)
, t ∈ R, f (t) e g(t) são funções afins
y = g(t)
Resumo:
Forma Geral:
ax + by + c = 0
¯
¯
¯ x y 1 ¯
¯
¯
Se a reta passa por Q(x1 , y1 ), R(x2 , y2 ), Q 6= R : ¯¯ x1 y1 1 ¯¯ = 0
¯ x2 y2 1 ¯
Forma reduzida : y = mx + q
Equação da reta dados um ponto e uma direção:
y − y0 = m(x − x0 )
x y
Forma Segmentária :
+ =1
p
q
Forma Paramétrica :
½
x = f (t)
t ∈ R,
,
y = g(t)
f (t) e g(t) são funções afins
Condição de Paralelismo: Duas retas são paralelas quando m1 = m2
Condição de perpendicularismo: Duas retas são perpendiculares quando:
m1 = − m12
39
6.2
Exercicios Resolvidos 1
1) Encontre a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(1, −1) e
B(−1, 5).
2) Trace a reta que passa pelos pontos A(1, 1) e B(−2, 2).
3) Obter a reta que s passa por P (3, −2) e é perpendicular a reta r: 3x +
14y − 17 = 0.
6.3
Distância
Distância entre dois pontos no plano: A distância entre os pontos P1 (x1 , y1 ) e
P2 (x2 , y2 ) em um plano cartesiano é dada por:
p
d(P1 , P2 ) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Fórmula do ponto médio: Dados os pontos P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y2 ) no plano
seja M (x, y) o ponto médio do segmento que une os ¡pontos P1 e P2 então x ¢=
1
1
1
1
2 (x1 +x2 ) e y = 2 (y1 +y2 ), ou seja, o ponto médio é M ( 2 (x1 + x2 ), 2 (y1 + y2 ) .
6.4
Exercicios Resolvidos 2
1) Calcular a distância entre os pontos A(−3, 7) e B(5, 1).
2) Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento que une os pontos
A(1, 2) e B(9, 14).
6.5
Circunferência
Forma Padrão
Se C(x0 , y0 ) é um ponto fixo do plano, então a circunferência de raio r e
centro em C é o conjunto dos pontos P (x, y) do plano cuja distância de C(x0 , y0 )
é r. Assim um ponto P (x, y) estará situado nesta circunferência se d(P, C) = r,
ou seja
q
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r
ou
2
(x − x0 ) + (y − y0 )2 = r2
que é a forma padrão da equação da circunferência de raio r e centro C(x0 , y0 ).
Se o centro da circunferência for a origem do sistema cartesiano temos:
x2 + y 2 = r2
Forma geral
40
Uma equação completa do segundo grau é do tipo Ax2 + By 2 + Cxy + Dx +
Ey + F = 0. Ela representa uma circunferência se tivermos:
1o ) A = B 6= 0
2o ) C = 0
3o ) D2 + E 2 − 4AF > 0. Neste caso
r
µ
¶
D
E
D2 + E 2 − 4AF
O centro é C =
− ,−
e o raio é r =
2A 2A
4A2
Se D2 + E 2 − 4AF
Se D2 + E 2 − 4AF
= 0 temos um ponto
< 0 temos uma circunferência imaginária
Conclusão: A forma geral da circuferência é Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0
com D2 + E 2 − 4AF > 0.
6.6
Exercícios Resolvidos 3
1) Obter a equação da circunferência de centro C(1, −2) que passa pelo ponto
P (4, 2).
2) Quais das equações abaixo representam uma circunferência:
a) 2x2 + 2y 2 + xy − 1.
b) x2 + y 2 + 2x + 3y + 4 = 0.
c) 2x2 + 2y 2 − 3x − 3y + 2 = 0.
d) x2 + y 2 − 2x − 2y + 2 = 0.
3) Representar
graficamente os conjuntos:
©
ª
a) A = n(x, y) Á x2 + y 2 − 2x − 2yo+ 1 ≤ 0 .
p
b) B = (x, y) Á x = 2 − 9 − y 2 .
6.7
Exercícios de Fixação
1) Encontre a distância entre A e B e determine o ponto médio deste segmento
de reta
a) A(2, 5) e B(−1, 1).
b) A(7, 1) e B(1, 9).
2) Prove que é isósceles o triângulo de vértices V1 (5, −2), V2 (6, 5) e V3 (2, 2).
3) Prove que os pontos P (0, −2), Q(−4, 8) e R(3, 1) estão sobre um círculo
de centro C(−2, 3).
4) Prove que a distância d do ponto P (x0 , y0 ) à reta Ax + By + c = 0 é:
d=
|Ax0 + By0 + C|
√
A2 + B 2
6) Obter o ponto de interseção das retas 3x + 4y − 12 = 0 e 2x − 4y + 7 = 0.
7) Mostrar que as retas r: 2x + 3 = 0 e s: y − 11 = 0 são perpendiculares.
8) Calcular a distância entre as retas r: 7x+24y−1 = 0 e s: 7x+24y+49 = 0.
9) Encontre o centro e o raio de cada circunferência
a) x2 + y 2 + 8x − 6y + 20 = 0.
41
b) 4x2 + 4y 2 − 8x + 12y + 1 = 0.
c) x2 + y 2 − 4x + 3 = 0.
d) 3x2 + 3y 2 − 7y = 0.
10) Obter a interseção das circunferências: x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0 e
2
x + y 2 − 8x − 2y + 13 = 0.
11) Obter a equação da reta que passa pelas interseções das circunferências
x2 + y 2 + 3x − y = 0 e 3x2 + 3y 2 + 2x + y = 0.
12) Considere a função cujo gráfico é dado pela figura a seguir
y = 12 x + 1
y
5
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
a) Determine a expressão análitica da função f
b) Seja g(x) = |f (x)| , desenhe o gráfico de g(x)
c) Seja h(x) = g(x − 1), desenhe o gráfico de h(x)
d) Seja l(x) = (h ◦ g)(x), desenhe o gráfico de l(x)
42
4
5
x
Capítulo 7
Trigonometria
7.1
Ângulos e Arcos
Ângulo: Ângulo é o espaço contido entre dois segmentos de reta orientados (ou
duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum.
O Grau
Definimos como 1 grau, que denotamos por 1◦ , o arco equivalente a 1/360
da circunferência, isto é, em uma circunferência cabem 360◦ .
Exemplos:
O grau comporta ainda os submúltiplos, minuto(´) e segundo(”), de forma
que:
1o =60’ e 1’=60"
43
O Grado
É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na
qual estamos medindo o arco.
O Radiano
Definimos 1 radiano como o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência onde tal arco foi determinado.
Lembramos que o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por
2πr. Utilizando a relação apresentada acima, para calcularmos em radianos a
medida a de um arco de uma volta, fazemos:
Dado um arco cujo comprimento é L unidades de comprimento, dizemos
que sua medida, em radianos, é igual a Lr . Assim, se a circunferência do arco
considerado tem raio unitário, a medida do arco, em radianos, é numericamente
igual ao comprimento do arco.
Comprimento de um arco
Sabemos que a medida de um arco em radianos é o número que indica
quantas vezes um arco, de comprimento igual ao raio, cabe no arco medido, isto
é:
α=
L
=⇒ L = α.r
r
Área do setor circular
A área sombreada abaixo e chamada de setor circular. É evidente qaue
as razões das áreas do círculo e do setor circular são as mesmas que as razões
entre os respectivos ângulos centrais. Assim, se os ângulos centrais estiverem
em radianos, temos
44
θ
r2 θ
A
=
=⇒
A
=
πr2
2π
2
7.2
Trigonometria Básica no Triângulo Retângulo
1)
2)
3)
4)
b2 = a.m
5)
c2 = a.n
2
6) a = b2 + c2
a=m+n
h2 = m.n
a.h = b.c
Exemplo: Em um triângulo retângulo as medidas dos catetos sâo 8 cm e 6
cm. Determine a altura do triângulo relativamente à hipotenusa.
7.3
Relações Trigonométricas:
45
Razão seno: O seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é
definido por:
cateto oposto
seno α =
hipotenusa
Razão cosseno: O seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é
definido por:
cosseno α =
cateto adjacente
hipotenusa
Razão tangente: A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é definido por:
tangente α =
cateto oposto
cateto adjacente
A partir destas definições são definidas também
cotangente α =
secante α =
1
tangente α
1
cosseno α
1
seno α
Sejam α e β ângulos tais que α +β = 90◦ conforme a figura
cossecante α =
46
então valem as relações
sin α = ab
cos α = ac
tan α = cb
sin β = ac
cos β = ab
tan β = cb
Exemplo: Mostre que vale a relação
sin2 x + cos2 x = 1,qualquer x ∈ R.
Exemplo: Obtenha o comprimento d da diagonal do quadrado em função do
lado L.
Exemplo: Calcule a área de um exágono inscrito em circunferência de raio
r.
7.4
Trigonometria Básica no Triângulo Qualquer
Considere o triângulo qualquer conforme a figura:
Lei dos senos
Se os lados de um triângulo tiverem comprimentos a, b e c e se α for o ângulo
entre os lados b e c, β entre os lados c e a, γ entre os lados a e b então vale a
relação
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
Observação: Usa-se a lei dos senos quando são conhecidos dois ângulos e um
lado
47
Lei dos Cossenos
Se os lados de um triângulo tiverem comprimentos a, b e c e se θ for o ângulo
entre os lados com comprimento a e b, então
c2 = a2 + b2 − 2.a.b. cos θ
Observação: Usa-se a lei dos cossenos quando são são conhecidos dois lados
e o ângulo formado por eles
7.5
Ciclo Trigonométrico
As razões seno, cosseno, tangente e as demais razões dependem apenas do ângulo que é considerado pois no triângulo retângulo existe a proporcionalidade
entre os seus lados quando consideramos um ângulo fixo. Como o cálculo das
razões trigonométricas não depende do tamamho da hipotenusa podemos determinar todas as razões considerando o comprimento da hipotenusa igual a
1 (é claro que para cada ângulo e triângulo retângulo com hipotenusa igual
a um teremos catetos diferentes) e isto pode ser visualizado mais facilmente
no ciclo trigonométrico, que uma circunferência de raio um, onde para cada ângulo medido no sentido anti-horário determinamos as razões para cada triângulo
retângulo com hipotenusa de comprimento igual a um.
48
49
7.6
Funções Trigonométricas
Função Seno:
f : R → R, f (x) = sen(x), Dom(f ) = R, Im(f ) = [−1, 1]
Função Cosseno: f : R → R,
[−1, 1]
f (x) = cos(x), Dom(f ) = R, Im(f ) =
©
ª
: R − nπ
2 Án ∈ Z → R,
© Função tangente:f
ª
x ∈ RÁx 6= nπ
2 , n ∈ Z , Im(f ) = R
50
f (x) = tan(x), Dom(f ) =
7.7
Identidades trigonométricas
Identidades fundamentais:
sin2 x + cos2 x = 1
sec2 x = 1 + tan2 x
csc2 x = 1 + cot2 x
sin x
tan x = cos
x
cos x
cot x = sin x
cot x = tan1 x
sec x = cos1 x
csc x = sin1 x
sec x
csc x = tan x
Valores das razões mais empregados em aplicações práticas
0◦
sin
0
cos
1
tan
0
30◦
1
√2
3
√2
3
3
◦
45
√
2
2
√
2
2
1
Outras Identidades Trigonométricas
51
◦
60
√
3
2
1
2
√
3
90◦
1
0
@
a)
sin(π − θ) = sin θ.
b) cos(π − θ) = − cos θ.
c) tan(π − θ) = − tan θ.
sin(π + θ) = − sin θ
cos(π + θ) = − cos θ.
tan(π + θ) = tan θ
d) sin θ = sin(θ + 2π)
sin θ = sin(θ − 2π).
e) cos θ = cos(θ + 2π)
cos θ = cos(θ − 2π).
f ) tan θ = tan(θ + 2π) = tan(θ − 2π) = tan(θ + π)
g) sin θ = sin(θ ± 2nπ), n = 0, 1, 2,
h) cos θ = cos(θ ± 2nπ), n = 0, 1, 2,
i) tan θ = tan(θ ± nπ), n = 0, 1, 2, ...
Ângulos Complementares
j) sin θ = cos( π2 − θ)
k) cos θ = sin( π2 − θ)
cos( π −θ)
l) tan θ = sin( π2 −θ) = = cot( π2 − θ)
2
m) cot θ = tan( π2 − θ)
Fórmulas de adição e subtração:
a) sin(α + β) = sin α. cos β + sin β. cos α
b)
sin(α − β) = sin α. cos β − sin β. cos α
c) cos(α + β) = cos α. cos β − sin α. sin β
d)
cos(α − β) = cos α. cos β + sin α. sin β
tan α+tan β
e)
tan(α + β) = 1−tan
α. tan β
tan α−tan β
f)
tan(α − β) = 1+tan
α. tan β
Fórmulas de ângulo duplo:
a) sin 2Φ = 2. sin Φ. cos Φ
b) cos 2Φ = cos2 Φ − sin2 Φ
2. tan Φ
c)
tan 2Φ = 1−tan
2Φ
Fórmulas do ângulo metade:
ϕ
a) sin2 ϕ2 = 1−cos
2
ϕ
b) cos2 ϕ2 = 1+cos
2
Formulas de produto em soma:
a) sin α. cos β = 12 [sin(α − β) + sin(α + β)]
b) sin α. sin β = 12 [cos(α − β) − cos(α + β)]
c) cos α. cos β = 12 [cos(α − β) + cos(α + β)]
Fórmulas de soma em produto:
α−β
a)
sin α + sin β = 2. sin α+β
2 . cos 2
α+β
b)
cos α + cos β = 2. cos 2 . cos α−β
2
α−β
c)
sin α − sin β = 2. cos α+β
.
sin
2
2
α−β
d) cos α − cos β = −2. sin α+β
2 . sin 2
7.8
Exercícios de Fixação
1) Exprimir em radianos
a) 36◦
b) 135◦
2) Exprimir em graus
c) 300◦
52
sin(−θ) = − sin θ.
cos(−θ) = cos θ
tan(−θ) = − tan θ.
sin(θ + 2π) = sin(θ − 2π)
cos(θ + 2π) = cos(θ − 2π).
tan θ = tan(θ − π).
a) π6 rad
b) π4 rad
c) π3 rad d) 7π
4 rad
3) Quanto mede, em radianos,
a) um arco de 22◦ 30‘
b) um arco de 56◦ 15‘
4) Mostre que um arco de 1 rad mede aproximadamente 57◦
5) Um móvel faz um percurso de meio quilômetro sobre uma circunferência
de diâmetro 200 metros. Qual a medida do ângulo central correspondente ao
percurso?
6) Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio nos seguintes
instantes
a) 10h 30min b) 2h 15 min c) 13h 35 min
7) Determine a fórmula para a área A de um setor circular em termos de seu
raio e do comprimento de arco L
8) Determine a área lateral S de um cone circular reto de raio r e de geratriz
L
9) Encontre os valores de x e y na figura abaixo:
Dados: P Q = 10m, T R = 2, 3m, P T = x, QS = y
10) Encontre os valores de sin α, cos α, tan α onde α é o menor dos ângulos
de um triângulo retângulo de catetos 3 e 1.
11) Um carro sobe uma via em forma de plano inclindado, com inclinação
de 20◦ em relação à horizontal. Em que altura, em relação à horizontal, o carro
estará se percorrer 1 km na via. Dado: sin 20 = 0, 34
12) Se θ é um ângulo agudo, use identidades fundamentais para escrever a
primeira expressão em função da segunda:
a) cot θ; sin θ
b) sec θ; sin θ
c) tan θ; cos θ
d) csc θ; cos θ
e) tan θ; sec θ
13) Fazendo a substituição trigonométrica x = a sin θ para - π2 ≤ θ ≤ π2 ,
√
escreva a2 − x2 em termos de uma função trigonométrica de θ.
14) Usando a substituição indicada simplifique os radicais:
53
a)
b)
c)
√
16 − x2 ; x = 4 sin θ para - π2 ≤ θ ≤ π2
2
√x
; x = 3 sin θ para - π2 ≤ θ ≤ π2
9−x2
x
√
; x = 5 tan θ para - π2 ≤ θ ≤ π2
25+x2
√
2
d) xx2+4 ; x = 2 tan θ para - π2 ≤ θ ≤ π2
√
2
e) xx−9 ; x = 3 sec θ para 0 ≤ θ ≤ π2
15) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento para a função
f (x) = cos x definida para x ∈ [0, 2π]
1
1
1
1
16) 1+sin
2 + 1+cos2 x + 1+sec2 x + 1+cos sec2 x é igual a:
17) Os valores que m pode assumir para que exista um arco x satisfazendo
a igualdade sin x = m − 4 são:
2
2
2
18) A expressão cos2 x + cos
q x tan x + tan x é igual a:
2
19) Sabendo que sin x =
3 e que x está no segundo quadrante, então o
valor de tan x é:
20) Determine as soluções das equações em [0, 2π)
a) 2 sin2 u = 1 − sin u
b) cos λ − sin λ = 1
c) 2 tan − sec2 = 0
d) sin x + cos x cot x = csc x
e) sin 2t + sin t = 0
f) cos µ + cos 2µ = 0
g) tan 2x = tan x
h) sin u2 + cos u = 1
21)
√ Mostre que o comprimento da diagonal maior de um paralelogramo é
d = a2 + b2 + 2ab cos θ
22) Desenhe o gráfico das seguintes funções:
a) y = sin(3x)
b) y = 1 − ¡sin¢x
c) y = |cos x|
y = cos x2
¡ π d)
¢
23) Dada a função f : − 2 , π2 → R, f (x) = 1 + tan x
a) Desenhe o gráfico de f
b) Determine a inversa de f e desenhe o seu gráfico
54
Capítulo 8
Revisão Geral
Lista de Exercícios de Matemática Básica
1. Resolva as inequações em R
(a) 1 − x − 2x2 ≥ 0
(b) 2x − 5 <
(c)
x+1
2−x
<
1
3
+
3x
4
+
1−x
3
x
3+x
(d) |5 − 6x| ≥ 9
¯ 1¯
¯ x− ¯
(e) ¯ x+ 12 ¯ < 1
2
(f)
(g)
(x−4)6
(x−2)(x+1)
3
2
x +x −x−1
x2 +x−2
>0
<0
2. Resolva as equações em R
(a) |5x − 3| = 12
(b) (x − 3)(x + 1)(x + 4) = 0
¯
¯
¯ 3x+8 ¯
(c) ¯ 2x−3
¯=4
(d) 2x − 7 = |x| + 1
3. Dados os conjuntos: A = {x ∈ R | −10 < x < 8}, B = (−3, 5]
C = {x ∈ R | x ≥ 2} determine:
(a) A ∪ B ∪ C
(b) B ∩ (A ∪ C)
(c) A ∪ (B ∩ C)
(d) A − B
55
e
(e) C − (A ∩ C)
4. O consumo C de água em m3 , pela população de uma cidade em função
do tempo t, em segundos, é dado pela equação C = 2000t.
(a) Qual o consumo de água dessa população em 10 segundos?
(b) Qual é o consumo de água dessa população em 10 horas?
(c) Em quantos segundos essa população consome 48.000m3 de água?
5. Dada a função f (x) = 3x + 4 determine:
(a) f (−1)
(b) o valor de x tal que f (x) = 10
(c) Faça a representação gráfica dessa função.
6. Determine os zeros das funções reais:
(a) f (x) = x2 − 4x + 3
(b) f (x) = x3 − 6x2 + 8x
(c) y =
x+1
2
−
5x+3
4
7. Determine o domínio das funções:
(a) f (x) =
x+1
x−2
√
(b) g(x) = (x + 1) x − 4
(c) h(x) =
√
x+2
x−3
(d) l(x) = ln(x + 5)
8. Sabe-se que, sob um certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala,
em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = −20t2 +
200t.
(a) Qual a altura máxima atingida pela bala?
(b) Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima?
(c) faça uma representação gráfica dessa situação.
9. Em uma pista de atletismo circular com quatro raias, a medida do raio
da circunferência até a metade da primeira raia (onde o atleta corre considerando a primeira raia, a raia mais interna) é 100 metros e a largura de
cada raia é de 2 metros. Se todos os atletas corressem até completar uma
volta inteira, quantos metros cada um dos atletas correria?
56
10. Um engenheiro deve medir a largura de um rio. Para isso, fixa um ponto A
na margem em que se encontra e um ponto B na margem oposta. A seguir
desloca-se 40m perpendicularmente à reta AB até o ponto C e mede o
ˆ
ângulo ACB, obtendo 44o . Qual é a largura do rio? (dados: sin 44 = 0, 69,
cos 44 = 0, 71 )
11. Calcule o valor da expressão: E =
9π
sin( 11π
2 )−sin( 2 )
cos 48π−cos 33π
12. Resolver a equação sec2 x + tan x = 1 para 0 ≤ x ≤ 2π
13. Determine o valor de x sabendo que( logx b) (logb c) (logc d) (logd 729) = 6
½
2 log2 x + log2 y = 5
14. Resolva o sistema de equações
log2 x − 2 log2 y = −1
½ 2x+y
2
=4
15. Determine o conjunto solução do sistema de equações
1
2x−y = 2− 2
16. Determinar a solução da equação exponencial : 5x+2 − 9 · 5x = 2x+9 +
113 · 2x
17. Determine a equação da reta que é tangente à parábola de equação y =
2x2 + 3 e que é paralela à reta de equação y = 8x + 3.
Resposta:
y = 8x − 5.
18. Para que valores de a e b a parábola y = ax2 + b tangencia a reta y = x.
Resposta: ab = 14 .
19. Resolva cada equação em x.
(a) ln x + ln x2 = −1
(b) ln(2x − 1) − ln( x+2
e3 ) = 3
(c) e3x−2 = 4
(d) eax = Cebx , onde C é uma constante e a 6= b
(e)
ln( ln(ln x2 ) = 1.
20. Se a população de bactérias começa com 200 e dobra a cada 4 horas,
t
então o número de bactérias após t horas é n = f (t) = 200.2 4 :
(a) Encontre a funçõa inversa e explique seu significado
(b) Quando a população atingirá 200.000 bactérias?
21. Após acionado o Flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a
recarregar o capacitor do flash, o qual armazena uma carga elétrica dada
t
por Q(t) = 10(1 − e− 4 )
(a) Encontre a função inversa e explique seu significado.
57
(b) Quanto tempo levará para o capacitor recarregar 50% da sua capacidade?
22. Se f (x) = ln x e g(x) = x, encontre as funções f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g.
23. Expresse a função F (x) =
√ 1 x
x+e
24. Faça o gráfico da função y =
como uma composta de três funções.
1
x−2
½
0, se t < 0
. Essa
1, se t ≥ 0
função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é
instantaneamente ligada:
25. A função de Heaviside H é definida por H(t) =
(a) Faça o gráfico g(x) = |H(x)|
(b) Faça um esboço da função y = t2 H(t).
26. Mostre que a função f (x) = cos(x) é uma função par e que g(x) = sin(x)
é uma função impar
27. Mostre que h(x) = tan x é uma função impar
28. Dada uma função f : R → R determine duas funções g, h : R → R onde g
é par e h é impar tais que f (x) = g(x) + h(x)
29. Se f é uma função par e g é uma função impar o que podemos dizer a
respeito das funções:
(a) l(x) = f (x) + g(x)
(b) h(x) = (f ◦ g) (x)
(c) m(x) = f (x).g(x)
(d) v(x) = |f (x)| |g(x)|
58
Capítulo 9
Respostas
9.1
Do Capítulo 1, Teoria de Conjuntos
Exercicios Resolvidos do Capítulo 1
a) Em uma cidade existem dois clubes A e B, que tẽm juntos 6000 sócios.
O clube A tem 4000 sócios e os dois clubes têm 500 sócios comuns. Quantos
sócios tẽm o clube B? Quantos são os sócios do clube B que não são sócios do
clube A?
Solução #B = 2000, #(A ∩ B) = 500, #(B − A) = 2000
b) Seja A = {a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {d, e, f, 3, 7, 8} . Determinar
A − B, A ∩ B, A ∪ B, B − A
Solução: A − B = {a, b, c, 1, 2, 4, 5} , A ∩ B = {3},
A ∪ B = {a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5, d, e, f, 7, 8} , B − A = {d, e, f, 7, 8}
c) Em uma cidade existem tres cavalos X, Y, Z que participam de um páreo
em uma corrida de cavalos. X e Y tẽm 400 apostadores em comum. Os cavalos
Y e Z têm 300 apostadores em comum. Os cavalos X e Z não têm apostadores
em comum. X e Y têm juntos 9000 apostadores e Y e Z têm juntos 8000
apostadores. Sabendo que Z tem 3000 apostadores determinar o número de
apostadores dos cavalos X e Y.
Solução: X = 4100 e Y = 5300
9.2
Do Capítulo 2, Números
Exercicios Resolvidos do Capítulo 2
1) Usando a notação© de conjunto escrever
os intervalos
ª
a) (−3, 6) ⇒ S = x ∈ RÁx ≤ −11
4
b)£√(π, √
6] ¤ ⇒ S = {x© ∈ RÁπ √
< x ≤ 6} √ ª
c)
2, 3 ⇒ S = x ∈ RÁ 2 ≤ x ≤ 3
d) [−1, 0) ⇒ S = {x ∈ RÁ − 1 ≤ x < 0}
e) (−∞, 0) ⇒ S = {x ∈ RÁ − ∞ < x < 0}
2) Se A = {x ∈ R Á 2 < x < 5} e B = {x ∈ RÁ3 ≤ x < 8} determinar
59
a) A ∩ B = {x ∈ R Á 3 ≤ x < 5}
b) A − B = {x ∈ R Á 2 < x < 3}
c) B − A = {x ∈ R Á 5 ≤ x < 8}
3) Representar os seguintes intervalos:
a) [−1, 1]
b) [0, 10) c) (−3, 1] d) (4, 6) e) (5, +∞)
4) Resolver graficamente
£√ √ ¤ £ 1 ¤
a) (π, 6] ∪ [−1, 1)
b)
2, 3 ∩ 2 , 3
5) Resolver as inequações
©
ª
a) 3 + 7x ≤ 2x + 9 ⇒ S =© x ∈ RÁx ≤ 65
ª
b) 7 ≤ 2 − 5x < 9 ⇒ S = x ∈ RÁ −7
5 < x ≤ −1
c) x2 − 3x < 10 ⇒ S = {x ∈ RÁ − 2 < x < 5}
d) 2x−5
x−2 < 1 ⇒ S = {x ∈ RÁ2 < x < 3}
Exercicios de Fixação do Capítulo 2
01) Quais das alternativas abaixo é falsa
a) Q ∪ N ⊂ R ⇒ V
b) Q ∩ N ⊂ R ⇒ V
c) Q ∪ N = R ⇒ F
d) Q ∩ R 6= ∅ ⇒ V
02) Escrever usando o sinal de desigualdade
a) a é um número positivo ⇒ a ≥ 0
b) b é um número negativo ⇒ b < 0
c) a é maior que b ⇒ a > b
03) Representar na reta real os seguintes intervalos
a) [−10, 11]
b) [0, 3) c) (−3, 0] d) (3, 7) e) (0, +∞)
04) Representar graficamente
√
√os intervalos dados pelas desigualdades
a) 2 ≤ x ≤ 7 b) 3 ≤ x ≤ 5 c) 0 ≤ x < 2 d) −∞ < x < −1
05) Deternimar graficamente
a) (5, 7] ∩ [6, 9] b) (−∞, 7] ∩ [8, 10] c) (−3, 0] ∪ (0, 8) d) (0, 7] − (5, 7)
06) Sejam M = {x ∈ RÁ2 ≤ x < 10}, N = {x ∈ R Á 3 < x < 8} e P =
{x ∈ RÁ2 ≤ x ≤ 9} . Determinar o conjunto P − (M − N ).
Solução: P − (M − N ) = (3, 8)
07) Resolva as inequações e exprima a solução em termos de intervalos
quando possível:
a) 2x + 5 < 3x − 7 ⇒ S = ¡(12, +∞)
¢
b) x − 8 < 5x + 3 ⇒ S = −11
4 ,∞
c) −2 ≤ 2x−3
< 7 ⇒ S = [ −7
5
2 , 19)
x+1
d) 2x−3 > 2 ⇒ S = ( 32 , 73 )
9.3
Do Capítulo 3, Módulo
Exercícios resolvidos do Capítulo 3
1) Completar as implicações abaixo
a) Se |x| = 5 então x = 5 ou x = −5
b) Se |x| = 0 então x = 0
c) Se |x| < 3 então −3 < x < 3
60
d) Se |x| > 7 então x > 7 ou x < −7
2) Representar na reta real os pontos que satisfazem as seguintes relações
a) |x| = 3
b) |x| < 3 c) |x| > 1 |x − 3| = 5
3) Resolver
a) |x − 3| < 4 ⇒ S =
¡ (−1,
¢ 7)© ª ©
ª
1
b) |2x−3|
> 5 ⇒ S = 75 , 85 − 32 = x ∈ RÁ 75 < x < 85 e x 6= 32
ª
©
c) |3x − 4| > 2 ⇒ S = x ∈ RÁx < 23 ou x > 2
d) |3x − 2| = |5x + 4| ⇒ x = −3 ou x = − 14
e) |x + 4| ≥ 2 ⇒ S = (−∞, −6) ∪ (−2, +∞)
Exercícios de Fixação do Capítulo 3
1) Reescreva sem usar o símbolo de valor absoluto
a) (−5) |3 − 6| = −15
b) |−6|
2 =3
c) |−7| + |4| = 11
d) |4 − π| = 4 − π
2) Use a definição de módulo para reescrever sem usar o símbolo de módulo
a) se x < 3 então |x + 3| = −x − 3
b) se x > 5 então |5 − x| = x − 5
3) Resolver as equações em R
a) |5x − 3| = 12 ⇒ x = 3; x = 95
b) ¯|2x −¯ 3| = |7x − 5| ⇒ x = 25 ; x = 89
¯ x+2 ¯
c) ¯ x−2
¯ = 5 ⇒ x = 3; x = 43
d) |3x + 2| = 5 − x ⇒ x = 34 ; x = − 72
e) 2x − 7 = |x| + 1 ⇒ x = 8
4) Resolva a desigualdade e exprima a solução em termos de intervalos,
quando possível
a) |x + 3| < 0, 01 ⇒ S =
¡ (−3.01,¢ −2.99)
b) |2x + 5| < 4 ⇒ S = ¡− 92 , − 12
¢
2
c) |3x − 7| ≥ 5 ⇒ S = −∞,
[4, +∞
¡ 3 ] ∪ 17
¢
d) |−11 − 7x| > 6 ⇒ S = −∞, − 7 ) ∪ [−5, 7
e) 3 ≤ |x − 2| ≤ 7 ⇒ S = [−5, −1] ∪ [5, 9]
2
f) |x+3|
< 1 ⇒ S = (−∞, −5) ∪ (−1, +∞)
2
g) |x
¯ + 4|¯ ≤ |2x − 6| ⇒£ S = ¤(−∞, 3 ] ∪ [10, +∞)
¯
¯ 1
9
h) ¯ 7−2x
5+3x ¯ ≤ 2 ⇒ S = 7 , 19
5
3
i) |x
¯ − 1|¯ + |x
¯ + 2|
¯ ≥ 4 ⇒ S = (−∞, − 2 ) ∪ ( 2 , +∞)
©1ª
¯ 5 ¯ ¯ 1 ¯
j) ¯ 2x−1
¯ ≥ ¯ x−2 ¯ ⇒ S = (−∞, 11
7 ) ∪ (3, +∞) − 2
k)
1
|x+1||x−3|
≥
1
5
⇒ S = [−2, 4] − {−1, 3}
61
9.4
Do Capítulo 4, Expressões Algébricas
Exercicios Resolvidos 1 do Capítulo 4
1) 10m + 10n = 10(m + n)
2) 6xy 5 + 12x2 y 2 = 6xy 2 (2x + y 3 )
3) 4bx − 32b + 4by = 4b(x + y − 8)
4) 4x + 4z − bx − bz ¡= 4(x +
¢ z) − b(x + z)
5) x + x2 + x3 + 1 = x2 + 1 (x + 1)
Exercicios Resolvidos 2 do Capítulo 4
1) Reescreva usando produtos notáveis:
a) (a + 2)(a − 2) = a2 − 4
b) (xy + 3z)(xy − 3z) = x2 y 2 − 9z 2
c) (x2 − 4y)(x2 + 4y) = x4 − 16y 2
e) (x + 3)2 = 6x + x2 + 9
f) (2a − 5)2 = 4a2 − 20a + 25
g) (2xy + 4)2 = 16xy + 4x2 y 2 + 16
i) (x + 4)3 = x3 + 12x2 + 48x + 64
j) (2a + b)3 = 8a3 + b3 + 6ab2 + 12a2 b
l) (a − 1)3 = 3a − 3a2 + a3 − 1
m) Calcule 41.39 usando um produto notável: (40 + 1)(40 − 1) = 402 − 12 =
1.599
n) Calcule 101.99 usando um produto notável: (100 + 1) (100 − 1) = 1002 −
1 = 9999.
Exercícios de Fixação do Capítulo 4
1 ) A soma de dois números é igual a 10 e a soma dos seus cubos é igual a
100. Qual o valor do produto desses números?
Sugestão Expandir (a+b)3 . Efetuar a multiplicação de ab (a + b) . Comparar
os dois resultados e usar os dados do problema para calcular o valor de ab.
Solução: ab = 30
2) Calcule o valor de M na expressão abaixo, para: a = −700, b = −33, x =
23, 48ey = 9, 14345.
M=
(ax + by)2 + (ay − bx)2
(ay + bx)2 + (ax − by)2
Sugestão: usar produtos notáveis para desenvolver os quadrados. Se você
observar CUIDADOSAMENTE a expressão acima, verá que o numerador e o
denominador da fração são IGUAIS, e, portanto, M = 1, INDEPENDENTE
dos valores de a, b, x e y.
1)
Desenvolva:
a)
(3x + y)2 = 9x2 + 6xy + y 2
b)
( 12 + x2 )2 = ( 14 ) + x2 + x4
4
16
3 2
2
3
6
c)
(( 2x
3 ) + 4y ) = ( 9 )x − ( 3 )xy + 16y
3
3
2
2
d)
(2x + 3y) = 8x + 36x y + 54xy + 27y 3
e)
(x4 + ( x12 ))3 = x12 + 3x6 + 3 + x16
2)
Efetue as multiplicações:
62
a)
(x − 2)(x − 3) = x2 − 5x + 6
b)
(x + 5)(x − 4) = x2 + x − 20
3)
Simplifique as expressões:
a)
(x + y)2 − x2 − y 2 = 2xy
b)
(x + 2)(x − 7) + (x − 5)(x + 3) = 2x2 − 7x − 29
c)
(2x − y)2 − 4x(x − y) = y 2
4) Simplifique as frações algébricas
x2 −x
a)
x−1 = x
x+2
1
b)
2
x +4x+4 = x+2
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a2 −9
a−3 = a + 3d
x−y
x−y
1
x2 −y 2 = (x+y)(x−y) = x+y
x2 +6x+9
= x3 + 1 = 13 x + 1
3x+9
6xy−3x2
3x
4y 2 −2xy = 2y
ax+ay
a
x2 +2xy+y 2 = x+y
2
x −4
x+2 = x − 2
a(x+y)
ax2 −ay2
x2 −2xy+y2 = (x−y)
i)
5) Simplificando a expressão
x+z
x+y
y+z
+
+
=0
(x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y)
6) Desenvolver as expressões e simplificar se possível
a) (2a − 3b)2 = 4a2 − 12ab + 9b2
b) (a − b)2 + (a + b)2 = 2a2 + 2b2
c) (a − b)2 − (a + b)2 = −4ab
2
d) (3z − y) − (z − 2y)2 = 8z 2 − 3y 2 − 2yz
e) (a − b)(a + b)(a2 + b2 ) = a4 − b4
7) A expressão que deve ser somada a 4x2 y 2 + 10xy para obter o quadrado
de 4x − 2xy é: 16x2 − 16x2 y − 10xy.
8) Calcular 6789592 − 6789582 = 1357 917.
Sugestao : Faça x = 678959 e use produtos notáveis.
9) Simplicar a expressão, considerando que a 6= ±b
a2 + 2ab + b2 a − b
÷
=
a2 − b2
a+b
µ
a+b
a−b
¶2
10) Se m + n + p = 6, mnp = 2 e mn + mp + np = 1 então o valor de
m2 + n2 + p2
mnp
é:
17
63
11) Calcule o valor da expressão
1
1
1
+
+
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + xz
quando xyz = 1. Solução: O valor da expressão é 1.
9.5
Do Capítulo 5, Funções
Exercícios Resolvidos do Capítulo 5
1) Encontre os zeros da seguintes funções:
a) f (x) = 2x2 − 3x − 5 ⇒ 2x2 − 3x − 5 = 0, Solução é: −1, 52
b) f (x) = −3x2 + 2x ⇒ −3x2 + 2x = 0, Solução é: 0, 23
c) f (x) = (7x − 1)(2x − 3) ⇒ (7x − 1)(2x − 3) = 0, Solução é: 32 , 17
2) Resolver as inequações:
a) x2 − 4x + 3 > 0 ⇒ S©= {x ∈ RÁx < 1 ou
ª x > 3}
4
b) 3x2 − 4x < 0 ⇒ S = x ∈ RÁ
0
<
x
<
3
©
ª
c) −2x2 + 7x − 3 ≤ 0 ⇒ S = x ∈ RÁ x ≤ 12 ou x ≥ 3
d) x2 + x + 1 > 0 ⇒ S = R
e) −2x2 + 5x − 4 ≥ 0 ⇒ S = ∅
3) Resolver as inequações exponenciais
a) 4x > 14 ⇒ S = (−1, +∞)
¡ ¢2x ¡ 1 ¢3x−1
b) 12
< 2
⇒ S = (−∞, 1)
x2
x
c) 3 > 3 ⇒ S = (−∞, 0) ∪ (1, +∞)
4) Resolver as inequações logaritmicas
a) log3 (x2 − x + 3) > 2 ⇒ S = ©{x ∈ RÁx < −2 ou
ª x > 3}
3
b) 0 < log2 (2x − 1) ≤ 1 ⇒ S = x ∈ RÁ1
<
x
<
2
n
o
√
c) log 12 (x + 2) + log 12 (x − 3) > 2 ⇒ S = x ∈ RÁ3 < x < 1+2 26
√
5) Determinar o domínio da função definida por y = 3x+2 − 3−x
Solução: Dom(y) = {x ∈ RÁx ≥ −1}
Exercícios de Fixação do Capítulo 5
1) Sendo f (x) = 3x − 1 =⇒ f (0) = −1; f (− 13 ) = −2
c) para que valor de x, temos f (x) = 0. Solução: x = 13
d) Sendo f (x) = ax + b uma função afim e sendo p e q números reais e
(q)
=a
distintos, calcular f (p), f (q) e mostrar que f (p)−f
p−q
Solução: Basta substituir p e q na função ( no lugar de x) e efetuar os
cálculos
2) Resolver as inequações
©
ª
a) (2x − 3)(x − 1) > 0 ⇒ S = ©
x ∈ RÁx < 1 ou x > 32ª
b) (x − 2)(3x + 1) < 0 ⇒ S = x ∈ RÁ − 13 < x < 2
√
√ ª
©
c) x2 ≥ 5 ⇒ S = x ∈ RÁx ≤ − 5 ou x ≥ 5
d) x2 + 1 < 2x2 − 3 ≤ −5x ⇒ S = {x ∈ RÁ − 3 ≤ x < −2}
e) 0 < x2 + x + 1 < 1 ⇒ S = {x ∈ RÁ − 1 < x < 0}
f) 4 < x2 − 12 ≤ 4x ⇒ S = {x ∈ RÁ4 < x ≤ 6}
64
√
√
©
ª
g) 2x+1 ≤ x2 < 2x+3 ⇒ S = x ∈ RÁ − 1 < x ≤ 1 − 2 ou 1 + 2 ≤ x < 3
√
√
©
ª
h) ¡−1 ≤ x2 − 3¢≤ 1 ⇒ S = x ∈ RÁ − 2 ≤ x ≤ −
2 ou ¢ 2 ≤ x ≤ 2
¡
i) ¯ x2 + 4x + 3 ¯(2x + 5) < 0 £⇒ S =¤ (−∞, −1) ∪ − 52 , −3
j) ¯2x2 + 3x + 3¯ ≤ 3 ⇒ S = − 32 , 0
k) x3 − x2 − x − 2 > 0 ⇒ S = (2, +∞)
3) Resolver as inequações quocientes
©
2
a) 2xx2 +x−6
+3x−2 ≥ 0 ⇒ S = x ∈ RÁx ≤ −3 ou − 2 < x <
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(x−2)4
x2 −2x−15 ≤ 0 ⇒ S = {x ∈ RÁ − 3 < x < 5}
©
ª
−6x2 −x+2
2
1
6x2 −5x+1 > 0 ⇒ S = x ∈ RÁ − 3 < x < 3
x
2
x−1 − x+1 ≤ 0 ⇒ S = {x ∈ RÁ − 1 < x < 1}
x−1
x−3
x−2 < x−4 ⇒ S = {x ∈ RÁx < ¡2 ou x¢> 4}
2
2
3
2x+3 ≥ x−5 ⇒ S = (−∞, −8]¡∪ − 2 , 5 ¢
x−2
5
−2] ∪ − 3 , +∞
3x+5 ≤ 4 ⇒ S = (−∞,
¡3 7¢
x+1
>
2
⇒
S
=
,
2x−3
2 3
x+1
x
<
⇒
S
=
(−∞, −3) ∪ (2, +∞)
2−x
3+x
1
2
ª
ou x ≥ 2
4) Resolver as equações exponenciais
a) 2x−3 + 2x−1 + 2x = 52 ⇒ x = 5
³√
´x−2
3
b)
2x+4
= 1 ⇒ x = −4 e x = 2
5) Resolver as inequações exponenciais
¡√ ¢2x+4 ¡√ ¢3x
a)
3
>
3
⇒ S = (−∞, 4)
x2 −8x−20
b) 5
< 1 ⇒ S = (−2, 10)
© ª
2
c) (0, 3)4x −2x−2 ≥ (0, 3)2x−3 ⇒ S = 12
6) Resolver as inequações logarítmicas
a) log2 (x − 2) − log 12 (x − 3) < 1 =⇒ S = {x ∈ RÁ3 < x < 4}
q
q
n
√
√ o
b) log 12 (x2 − 32 ) ≥ 1 =⇒ S = x ∈ RÁ − 2 ≤ x < − 32 ou 32 < x < 2
n
√ o
√
c) x(loga x)+1 > a2 x para 0 < a < 1 =⇒ S = x ∈ RÁa− 2 < x < a 2
p
d) Dar o domínio da função f (x) = √ log(x2 − 2x) √
ª
©
Solução: D (f ) = x ∈ RÁx ≤ 1 − 2 ou x ≥ 1 + 2
7) Se uma bola é atirada para cima com uma velocidade inicial de 32 m/s,
então, após t segundos, a distância s acima do ponto de partida, em metros, é
dada por s = 32t − 16t2 . Em que instante a bola estará no ponto mais alto e
qual será esta altura? Faça um esboço do gráfico da equação. Solução t = 1s
e s = 16m
8) A energia potencial elástica W armazenada numa mola esticada é dada
pela expressão W = 12 kx2 onde k é a constante elástica da mola e x é o quanto
a mola está alongada
Para uma constante elástica igual a 10 unidades
a) Qual o número que exprime o valor de sua energia potencial W , para um
alongamento de 2 unidades
65
b) De quanto está esticada a mola quando sua energia potencial é de 80
unidades
Solução a) W = 20
b) x = 4 unidades.
9) Desenhar o gráfico das seguintes funções
i) f (x) = |x|
y
5
2.5
-5
-2.5
0
2.5
5
x
ii) f (x) =
√
x
y
5
3.75
2.5
1.25
0
0
1.25
2.5
3.75
5
x
iii) f (x) = |2x − 6|
66
y
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10
x
¯
¯
iv) f (x) = ¯x2 + x − 6¯
y
15
12.5
10
7.5
5
2.5
-5
-2.5
0
2.5
5
x
10) Especifique o domínio e faça um esboço do gráfico de cada uma das
funções:
a) y = log10 (x + 5) ⇒ Dom(y) = {x ∈ RÁx > −5} = (−5, +∞]
67
y
5
2.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-2.5
-5
b) y = − ln x ⇒ Dom(y) = {x ∈ RÁx > 0} = (0, +∞]
y
4
2
0
0
2
4
x
-2
c) y = ln(−x) ⇒ Dom(y) = {x ∈ RÁx < 0} = (−∞, 0)
y = ln(−x)
68
5
y
2.5
0
-7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-2.5
-5
d) y = ln |x| ⇒ Dom(y) = {x ∈ RÁx 6= 0} = R − {0} = R∗
y
4
2
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-2
-4
11) Resolva cada equação em x
a) ln x = −1 ⇒ x = 1e
69
3
b) ln(2x − 1) = 3 ⇒ x = e 2+1
c) e3x−4 = 2 ⇒ x = ln 2+4
3
C
d) eax = Cebx , onde C é uma constante e a 6= b ⇒ x = ln
a−b
e
e) ln(ln x) = 1 ⇒ x = e
12) Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas,
t
então o número de bactérias após t horas é n = f (t) = 100.2 3
a) Encontre a função inversa e explique seu significado
b) Quando a população atingirá 50.000 bactérias?
Solução:
³ 3´
a) t = f −1 (x) = log2 x3 . A função f −1 (x) indica o tempo necessário para
que haja um crescimento de x bactérias.
b) Conforma item a) t = f −1 (50000) = 45, 24 horas
13) Após acionado o Flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa
a recarregar o capacitor do flash, o qual armazena uma carga elétrica dada por
t
Q(t) = Q0 (1 − e− a ) (A capacidade máxima de carga é Q0 , e t é medido em
segundos.)
a) Encontre a função inversa e explique seu significado.
b) Quanto tempo levará para o capacitor recarregar 90% da capacidade se
a = 2?
Solução:
³
´a
a) t = f −1 (q) = − ln 1 − Qq0 . A função inversa indica o tempo necessário,
em segundos, para que o capacitor adquira uma carga q
b) Observe que 90% da carga quer dizer uma carga de q = 0.9Q0 .Conforme
³
´2
0
item a), t = f −1 (0.9Q0 ) = − ln 1 − 0,9Q
,
Q0
t = − ln(0.1) = 2.302 6 segundos.
14) Se f (x) = ln x e g(x) = x2¡− 9, encontre
as funções f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g
¢
(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = ln x2 − 9
2
(g ◦ f ) (x) = g(f (x) = (ln x) − 9
(f ◦ f ) (x) = f (f (x)) = ln (ln x)
¡
¢2
(g ◦ g) (x) = g(g(x) = x2 − 9 − 9 = x4 − 18x2 + 72
15) Expresse a função F (x) = √ 1 √ como uma composta de três funções.
x+ x
√
Solução F (x) = (f ◦ g ◦ h) (x), onde f (x) = √1x , g(x) = x2 + x e h(x) = x
16) Faça o gráfico da função y = x1
70
y
5
2.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-2.5
-5
½
0, se t < 0
. Essa
1, se t ≥ 0
função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento
repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada:
a) Faça o gráfico da função de heaviside
b) Faça um esboço da função rampa y = tH(t)
Solução
a)
17) A função de Heaviside H é definida por H(t) =
71
y
2
1
0
-2
-1
0
1
2
x
-1
-2
b)
y
2
1
0
-2
-1
0
1
2
x
-1
-2
9.6
Do Capítulo 6, Geometria Plana
Exercícios Resolvidos 1 do Capítulo 6
72
1) Encontre a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(1, −1) e
B(−1, 5). Solução: y = −3x + 2
2) Trace a reta que passa pelos pontos A(1, 1) e B(−2, 2).Solução: y = − x3 + 43
3) Obter a reta que s que passa por P (3, −2) e é perpendicular à reta r:
3x + 14y − 17 = 0. Solução 14x − 3y − 48 = 0.
Exercicios Resolvidos 2 do Capítulo 6
1) Calcular a distância entre os pontos A(−3, 7) e B(5, 1). Solução d (A, B) =
10
2) Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento que une os pontos
A(1, 2) e B(9, 14). Solução M (5, 8)
Exercícios Resolvidos 3 do Capítulo 3
1) Obter a equação da circunferência de centro C(1, −2) que passa pelo ponto
P (4, 2). Solução (x − 1)2 + (y + 2)2 = 25
2) Quais das equações abaixo representam uma circunferência:
a) 2x2 + 2y 2 + xy − 1. Solução: Não
b) x2 + y 2 + 2x + 3y + 4 = 0. Solução: Circuferência imaginária
c) 2x2 + 2y 2 − 3x − 3y + 2 = 0. Solução: Sim
d) x2 + y 2 − 2x − 2y + 2 = 0. Solução: Um ponto
3) Representar
graficamente os conjuntos:
©
ª
a) A = (x, y) Á x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 ≤ 0 . Solução: A é o círculo de
centro C(1, 1) ne raio 1
o
p
b) B = (x, y) Á x = 2 − 9 − y 2 . Solução: C é o arco da circunferência de centro C(2, 0) e raio 3 onde figuram os pontos de abcissas x ≤ 2.
Exercícios de Fixação do capítulo 6
1) Encontre a distância entre A e B e determine o ponto médio deste segmento de reta
¡
¢
a) A(2, 5) e B(1, −1). Solução: d = 5, M = 12 , 3
b) A(7, 1) e B(1, 9). Solução: d = 10; M (4, 5)
2) Prove que é isósceles o triângulo de vértices V1 (5, −2), V2 (6, 5) e V3 (2, 2).
Sugestão: Calcular distâncias entre vértices e comparar
3) Prove que os pontos P (0, −2), Q(−4, 8) e R(3, 1) estão sobre um círculo
de centro C(−2, 3).Sugestão: Com um dos pontos e o centro encontre o raio.
4) Prove que a distância d do ponto P (x0 , y0 ) à reta (r) Ax + By + c = 0 é:
d=
|Ax0 + By0 + C|
√
A2 + B 2
Sugestão: a) Encontre a reta perpendicular (s) perpendicular a reta r passando pelo ponto P
b) Determine o ponto (Q) de interseção da reta r com a reta s
c) Determine a distância do ponto P ao ponto Q
6) Obter o ponto de interseção das retas 3x + 4y − 12 = 0 e 2x − 4y + 7 = 0.
Solução: P (1, 94 )
7) Mostrar que as retas r: 2x + 3 = 0 e s: y − 11 = 0 são perpendiculares.
Solução r k y e s k x ⇒ r ⊥s
73
8) Calcular a distância entre as retas r: 7x+24y−1 = 0 e s: 7x+24y+49 = 0.
Solução: d = 2
9) Encontre o centro e o raio de cada circunferência
√
a) x2 + y 2 + 8x − 6y + 20 = 0. Solução C(−4, 3), r = 5√
b) 4x2 + 4y 2 − 8x + 12y + 1 = 0. Solução C(1, − 32 ), r = 3
c) x2 + y 2 − 4x + 3 = 0. Solução C(2, 0), r = 1
d) 3x2 + 3y 2 − 7y = 0. Solução C(0, 76 ), r = 76
10) Obter a interseção das circunferências: x2 + y 2 − 2x − 2y + 1 = 0 e
2
x + y 2 − 8x − 2y + 13 = 0. Solução: P (2, 1)
11) Obter a equação da reta que passa pelas interseções das circunferências
x2 + y 2 + 3x − y = 0 e 3x2 + 3y 2 + 2x + y = 0. Solução:7x − 4y = 0.
9.7
Do Capitulo 7, Trigonometria
Exercicios de Fixação do Capitulo 7
1) Exprimir em radianos
a) 36◦ =⇒ π5
b) 135◦ =⇒ 3π
c) 300◦ =⇒ 5π
4
3
2) Exprimir em graus
◦
a) π6 rad ⇒ 30◦ b) π4 rad ⇒ 45◦ c) π3 rad ⇒ 60◦ d) 7π
4 rad ⇒ 315
3) Quanto mede, em radianos,
a) um arco de 22◦ 30‘ ⇒ π8 rad
b) um arco de 56◦ 15‘ ⇒ 5π
16 rad
4) Mostre que um arco de 1 rad mede aproximadamente 57◦
5) Um móvel faz um percurso de meio quilômetro sobre uma circunferência
de diâmetro 200 metros. Qual a medida do ângulo central correspondente ao
percurso? Solução: 5 rad
6) Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio nos seguintes
instantes
a) 10h 30min ⇒ 135◦ b) 2h 15 min ⇒ 22◦ c) 13h 35 min ⇒ 162◦ 30´
7) Determine a fórmula para a área A de um setor circular em termos de seu
raio e do comprimento de arco L. Solução A = 12 Lr
8) Determine a área lateral S de um cone circular reto de raio r e de geratriz
L. Solução: S = πrL
9) Encontre os valores de x e y na figura abaixo:
74
Dados: P Q = 10m, T R = 2, 3m, P T = x, QS = y
Solução: x = 4,6m
y = 2,7m
10) Encontre os valores de sin α, cos α, tan α onde α é o menor dos ângulos
de um triângulo retângulo de catetos 3 e 1.
Solução sin α = √110 , cos α = √310 , tan α = 13
11) Um carro numa via plana inclindada de 20◦ em relação à horizontal
quanto sobe verticalmente ao percorrer 1 km. Dado: sin 20 = 0, 34
Solução:340m
12) Se θ é um ângulo agudo, use identidades fundamentais para escrever a
primeira expressão em função da√segunda:
1−sin2 θ
sin θ
1
1−sin2 θ
√
2θ
c) tan θ; cos θ =⇒ tan θ = 1−cos
cos θ
1
d) csc θ; cos π =⇒ csc θ = √1−cos
2θ
√
e) tan θ; sec θ =⇒ tan θ = sec2 θ − 1
a) cot θ; sin θ =⇒ cot θ =
b) sec θ; sin θ =⇒ sec θ = √
13) Fazendo a substituição trigonométrica x = a sin θ para - π2 ≤ θ ≤
√
π
a2 − x2 em termos de uma função trigonométrica de θ. Solução:
2 , escreva
√
a2 − x2 = a cos θ
14) Usando a substituição indicada simplifique os radicais:
Solução: Em caso de dúvida chame o professor
15) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento para a função
f (x) = cos x definida para x ∈ [0, 2π]
1
1
1
1
16) 1+sin
2 x + 1+cos2 x + 1+sec2 x + 1+cos sec2 x é igual a: 2
17) Os valores que m pode assumir para que exista um arco x satisfazendo
a igualdade sin x = m − 4 são: 3 ≤ m ≤ 5
2
2
2
2
18) A expressão cos2 x + cos
q x tan x + tan x é igual a: sec x
2
19) Sabendo que sin x =
3 e que x está no segundo quadrante, então o
√
valor de tan x é: − 2
20) Determine as soluções das equações em [0, 2π)
3π
a) 2 sin2 u = 1 − sin u ⇒ u = π6 , 5π
6 , 2
3π
b) cos λ − sin λ = 1 ⇒ λ = 0, 2
c) 2 tan − sec2 = 0 ⇒ = π4 , 5π
4
d) sin x + cos x cot x = csc x ⇒ x ∈ R
4π
e) sin 2t + sin t = 0 =⇒ t = 0, 2π
3 , π, 3
π 5π
f) cos µ + cos 2µ = 0 =⇒ µ = π, 3 , 3
g) tan 2x = tan x =⇒ x = 0 e x = π
h) sin u2 + cos u = 1 =⇒ u = 0, π3 , 5π
3 .
21) Sugestão: Use a lei dos cossenos ou calcule diretamente usando relações
trigonométricas
22) Desenhe o gráfico das seguintes funções:
a) y = sin(3x)
75
3.0
2.0
1.0
−π
−3π/4
−π/2
−π/4
π/4
−1.0
−2.0
b) y = 1 − sin x
76
π/2
3π/4
π
3.0
2.0
1.0
−π
−3π/4
−π/2
−π/4
π/4
−1.0
−2.0
−3.0
c) y = |cos x|
77
π/2
3π/4
π
3.0
2.0
1.0
−π
−3π/4
−π/2
−π/4
π/4
−1.0
−2.0
−3.0
d) y = cos
¡x¢
2
78
π/2
3π/4
π
3.0
2.0
1.0
−π
−3π/4
−π/2
−π/4
π/4
π/2
−1.0
−2.0
−3.0
¡
¢
23) Dada a função f : − π2 , π2 → R, f (x) = 1 + tan x
a) Desenhe o gráfico de f
79
3π/4
π
4.0
3.0
2.0
1.0
−3π/2 −5π/4
−π
−3π/4 −π/2
−π/4
π/4
π/2
3π/4
−1.0
−2.0
−3.0
−4.0
b) Determine a inversa de f e desenhe o seu gráfico
f −1 (x) = arctan(x − 1)
80
π
5π/4
3π/2
π
3π/4
π/2
π/4
−3.00
−2.00
−1.00
1.00
2.00
3.00
−π/4
−π/2
−3π/4
−π
9.8
Do Capítulo 8, Revisão Geral
Lista de Exercícios- Matemática Básica
1. Resolva as inequações em R
(a) 1 − x − 2x2 ≥ 0
(b) 2x − 5 <
1
3
(c)
x+1
2−x
(f)
(x−4)6
(x−2)(x+1)
<
x
3+x
+
3x
4
©
ª
⇒ S = x ∈ RÁ − 1 ≤ x ≤ 12
©
ª
68
+ 1−x
3 ⇒ S = x ∈ RÁx < 19
=⇒ S = {x ∈ RÁx < −3 ou x > 2}
ª
©
(d) |5 − 6x| ≥ 9 =⇒ S = x ∈ RÁx ≤ − 32 ou x ≥ 73
¯ 1¯
¯ x− ¯
(e) ¯ x+ 12 ¯ < 1 =⇒ S = {x ∈ RÁx > 0}
2
(g)
3
2
x +x −x−1
x2 +x−2
> 0 =⇒ S = {x ∈ RÁx > 2 ou x < −1 } − {4}
< 0 =⇒ S = {x ∈ RÁx > −2 }
81
4.00
2. Resolva as equações em R
(a) |5x − 3| = 12 ⇒ x = 3 e x = − 95
(b) (x − 3)(x + 1)(x + 4) = 0 ⇒ x = 3 , x = −1 e x = −4
¯
¯
¯ 3x+8 ¯
4
(c) ¯ 2x−3
¯ = 4 ⇒ x = 4 e x = 11
(d) 2x − 7 = |x| + 1 ⇒ x = 8
3. Dados os conjuntos: A = {x ∈ R | −10 < x < 8}, B = (−3, 5]
C = {x ∈ R | x ≥ 2} determine:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
e
A ∪ B ∪ C = (−10, +∞)
B ∩ (A ∪ C) = (−3, 5]
A ∪ (B ∩ C) = (−10, 8)
A − B = (−10, −3] ∪ (5, 8)
C − (A ∩ C) = [8, +∞)
4. O consumo C de água em m3 , pela população de uma cidade em função
do tempo t, em segundos, é dado pela equação C = 2000t.
(a) Qual o consumo de água dessa população em 10 segundos? C = 2.104
m3
(b) Qual é o consumo de água dessa população em 10 horas? C = 72.106
m3
(c) Em quantos segundos essa população consome 48.000m3 de água?
t = 24s
5. Dada a função f (x) = 3x + 4 determine:
(a) f (−1) = 1
(b) o valor de x tal que f (x) = 10 ⇒ x = 2
(c) Faça a representação gráfica dessa função
y
15
10
5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-5
-10
82
6. Determine os zeros das funções reais:
(a) f (x) = x2 − 4x + 3 ⇒ x = 1; x = 3
(b) f (x) = x3 − 6x2 + 8x ⇒ x = 0; x = 2; x = 4
(c) y =
x+1
2
−
5x+3
4
⇒ x = − 13
7. Determine o domínio das funções:
(a) f (x) =
x+1
x−2
(c) h(x) =
√
x+2
x−3
⇒ D = R − {2}
√
(b) g(x) = (x + 1) x − 4 ⇒ D = {x ∈ RÁx ≥ 4} = [4, +∞)
⇒ D = {x ∈ RÁx ≥ −2 e x 6= 3}
(d) l(x) = ln(x + 5) ⇒ D = {x ∈ RÁx > −5 } = (−5, +∞)
8. Sabe-se que, sob um certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala,
em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = −20t2 +
200t.
(a) Qual a altura máxima atingida pela bala? h = 500m
(b) Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima? t = 5s
(c) faça uma representação gráfica dessa situação.
y
500
375
250
125
0
0
2.5
5
7.5
10
x
9. Em uma pista de atletismo circular com quatro raias, a medida do raio
da circunferência até o meio da primeira raia (onde o atleta corre) é 100
metros e a distância entre cada raia é de 2 metros. Se todos os atletas
corressem até completar uma volta inteira, quantos metros cada um dos
atletas correria? A1 = 2π100m, A2 = 2π10m, A3 = 2π104m, A4 =
2π106m
83
10. Um engenheiro deve medir a largura de um rio. Para isso, fixa um ponto A
na margem em que se encontra e um ponto B na margem oposta. A seguir
desloca-se 40m perpendicularmente à reta AB até o ponto C e mede o
ˆ
ângulo ACB, obtendo 44o . Qual é a largura do rio? (dados: sin 44 = 0, 69,
cos 44 = 0, 71 ). Solução: l = 38, 87m
11. Calcule o valor da expressão: E =
9π
sin( 11π
2 )−sin( 2 )
cos 48π−cos 33π
= −1
7π
12. Resolver a equação sec2 x + tan x = 1 para 0 ≤ x ≤ 2π ⇒ x = 0, 3π
4 , π, 4 .
13. Determine o valor de x sabendo que( logx b) (logb c) (logc d) (logd 729) = 6.
Resposta x = 3
½
2 log2 x + log2 y = 5
14. Resolva o sistema de equações
. Resposta:
log2 x − 2 log2 y = −1
9
7
x5 e y = 25
½ 2x+y
2
=4
15. Determine o conjunto solução do sistema de equações
.
1
2x−y = 2− 2
Resposta:x = 12 e y = 1
16. Determinar a solução da equação exponencial : 5x+2 −95x = 2x+9 +1132x .
Resposta: x = 4
17. Determine a equação da reta que é tangente à parábola de equação y =
2x2 + 3 e que é paralela à reta de equação y = 8x + 3.
Resposta:
y = 8x − 5
18. Para que valores de a e b a parábola y = ax2 + b tangencia a reta y = x.
Resposta: ab = 14 .
19. Resolva cada equação em x
(a) ln x + ln x2 = −1 ⇒ x =
√
3
e
(b) ln(2x − 1) − ln( x+2
e3 ) = 3 ⇒ x = 3
(c) e3x−2 = 4 ⇒ x =
2+ln 4
3
(d) eax = Cebx , onde C é uma constante e a 6= b ⇒ x =
√
(e) ln( ln(ln x2 ) = 1 ⇒ x = e(e2 )
ln C
a−b
20. Se a população de bactérias começa com 200 e dobra a cada 4 horas,
t
então o número de bactérias após t horas é n = f (t) = 200.2 4 :
(a) Encontre a função inversa e explique seu significado. A função in¡ x ¢4
, ela indica o tempo necessário para
versa é ´f −1 (x) = log2 200
se ter x bactérias
(b) Quando a população atingirá 200.000 bactérias? Solução: t = log2 10004
84
21. Após acionado o Flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a
recarregar o capacitor do flash, o qual armazena uma carga elétrica dada
t
por Q(t) = 10(1 − e− 4 )
(a) Encontre a função inversa e explique seu significado.
(b) Quanto tempo levará para o capacitor recarregar 50% da sua capacidade?
22. Se f (x) = ln x e g(x) = x, encontre as funções f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g.
1
23. Expresse a função F (x) = √x+e
uma composta de três funções.
x como
√
1
Solução: Considere f (x) = x , g(x) = x, h(x) = x + ex ⇒ F (x) =
(f ◦ g ◦ h) (x)
24. Faça o gráfico da função y =
1
x−2
y
4
2
0
-4
-2
0
2
4
6
x
-2
-4
½
0, se t < 0
. Essa
1, se t ≥ 0
função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é
instantaneamente ligada:
25. A função de Heaviside H é definida por H(t) =
(a) Faça o gráfico g(x) = |H(x)| . Solução g(x) = |H(x)| = H(x) e veja
Ex 17 da lista Exercícios de Fixação do Capítulo 5
(b) Faça um esboço da função y = t2 H(t)
85
y
25
20
15
10
5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
26. Mostre que a função f (x) = cos(x) é uma função par e que g(x) = sin(x)
é uma função impar.
27. Solução:
cos(−x) = cos(0 − x) = cos 0 cos x + sin 0 sin x = cos x ⇒ f é par;
sin(−x) = sin(0 − x) = cos x sin 0 − cos 0 sin x = − sin x ⇒ gépar.
28. Mostre que h(x) = tan x é uma função impar. Solução tan(−x) =
− sin(x)
cos(x)
sin(−x)
cos(−x)
=
= − tan(x)
29. Dada uma função f : R → R determine duas funções g, h : R → R onde g
é par e h é impar tais que f (x) = g(x) + h(x).
Solução:
g(x) =
f (x) + f (−x)
2
e h(x) =
f (x) − f (−x)
2
30. Se f é uma função par e g é uma função impar o que podemos dizer a
respeito das funções
(a)
(b)
(c)
(d)
l(x) = f (x) + g(x) ⇒ nada se pode afirmar sobre a paridade de l
h(x) = (f ◦ g) (x) ⇒ h é uma função par
m(x) = f (x).g(x) ⇒ h é uma função impar
v(x) = |f (x)| |g(x)| ⇒ h é uma função par
86