(2007)AnANCBA(2).16.Centenario Brouwer

CENTENARIO DE LA TESIS DOCTORAL
DE L. E. J. BROUWER
100 años de intuicionismo matemático
PARTICIPANTES
Jorge Molina: Matemática, ciencia y lenguaje
Javier Legris: Cálculo y lenguaje en el intuicionismo
matemático
Jorge Alfredo Roetti: ¿Por qué recordamos a Brouwer?
Luiz Carlos Pereira: Brouwer e a naturaleza da lógica
MATEMÁTICA, CIENCIA Y LENGUAJE
JORGE ALBERTO MOLINA
En el año 1928, en Viena, Brouwer dio una conferencia con el
título de Matemática, ciencia y lenguaje1, en la cual expuso su pensamiento sobre varias cuestiones que tradicionalmente habían sido el
objeto de trabajo de los filósofos. Los tópicos desarrollados en esa conferencia aparecen tratados de una manera más detallada en otro trabajo de Brouwer, Conciencia, Filosofía y Matemática2 que apareció en
las actas del 10º Congreso Internacional de Filosofía en Amsterdam
en 1948. Es conveniente decir que las inquietudes filosóficas de
Brouwer ya se habían manifestado en su trabajo del año 1905 Vida,
arte y mística que fue traducido al inglés y publicado en el número 37
del Notre Dame Journal of Formal Logic en el año 1996. Ese trabajo de Brouwer es anterior a su tesis de doctorado Sobre los fundamentos de la Matemática del año 1907, trabajo que también, en muchos
pasajes, desarrolla cuestiones filosóficas. Basaremos nuestra exposición sobre el texto de la conferencia de 1928 y sobre el trabajo de 1948.
La conferencia de 1928 fue proferida en un momento de enfriamiento del entusiasmo que el programa intuicionista de fundamentación de la matemática había suscitado en los comienzos de la década
de 1920. Brouwer había realizado una gran proeza al reconstruir sobre bases intuicionistas el continuo real. En una conferencia dada en
Viena, en el año 1930 con el título de la Estructura del continuo
Brouwer repasó sus logros en la construcción del Análisis y los comparó con los de sus adversarios. En su visión, las teorías formalistas
del continuo (Dedekind, Peano, Russell, Zermelo, Hilbert) abandonaban ‘‘toda intuición geométrica o aritmética, y confinaban su tema al
dominio del lenguaje matemático, que trataban de regular en una
1
L. E. J. Brouwer, Collected Works I, editados por A. Heyting North- Holland,
Amsterdam, 1975, pp. 417-428.
2
Ibidem, pp. 480-494.
927
forma tal que la figura de la contradicción fuera excluida’’3. Esos matemáticos y lógicos buscaban una teoría lingüística no contradictoria
para el continuo real, teoría que debía ser puesta en relación con el
lenguaje de la teoría de lo números naturales, para obtener así, una
prueba de consistencia relativa. Por otro lado, según Brouwer, los
intuicionistas franceses, a los que llamaba los viejos intuicionistas
(Poincaré, Borel), sostenían que la teoría de los números naturales es
una colección de juicios sintéticos a priori. Afirmaban ellos que las
pruebas formalistas de consistencia (no contradicción) presuponen el
principio de inducción completa y por consiguiente, la esencia de la
teoría de los números naturales. Sin embargo, al desarrollar ellos la
matemática fuera del ámbito de los números naturales, usaban la
lógica clásica. Pues por medio de los métodos de construcción que los
viejos intuicionistas aceptaban sólo podían ser construidas ‘‘subespecies (subconjuntos) numerables no terminados’’4. Brouwer definía
conjunto numerable no terminado como aquel que es tal que no podemos construir en forma bien definida más que subconjuntos numerables del mismo, pero de forma tal que, habiendo ya sido construido un
subconjunto de ese tipo, podemos deducir de él, siguiendo un procedimiento matemático previamente definido, nuevos elementos que
son considerados pertenecientes al conjunto original. Esas subespecies numerables no terminadas, construidas según los métodos de los
viejos intuicionistas, tienen medida cero. Por eso, decía Brouwer, para
conseguir construir el continuo, ellos debían atribuir a la lógica poderes creativos5. Una forma de construir el continuo de manera diferente, consistiría en identificar cada número real con el límite de una
secuencia convergente de números racionales, secuencia que estaría
dada por un algoritmo. Mas así, sólo se obtendría también un conjunto
numerable de medida cero.
La solución de Brouwer para construir el continuo, fue considerar secuencias de elección libre de números racionales, secuencias que
no están dadas por una ley, esto es por un algoritmo, y que pueden
ser continuadas de forma arbitraria. Como el valor de cualquier función, definida de modo intuicionista, sobre una secuencia de ese tipo
queda determinado a partir de la información contenida en un segmento finito de esa secuencia, éstas serían aptas, en principio, para
3
‘‘Die Struktur des Kontinuums’’, Viena, 1930. El texto de esta conferencia se
encuentra en la Antología de P. Mancosu, From Brouwer to Hilbert, The Debate on the
Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, 1998, pp. 54-63.
4
Mancosu, op. cit., p. 54.
5
Cf. Mancosu, op. cit., pp. 54-55.
928
servir al propósito de reconstruir sobre nuevas bases el análisis tradicional. Sobre esas nuevas nociones de función y de continuo, Brouwer
inició la reconstrucción del Análisis. Probó en 1924 que toda función
definida en sentido intuicionista sobre el intervalo cerrado [0 1] es
uniformemente continua6. Sin embargo, cuando Brouwer intentó continuar en la reconstrucción del Análisis el programa se estancó. Las
pruebas resultaban extremadamente difíciles.
Esa situación obligó a Brouwer a reconocer en 1928, en su trabajo
Reflexiones intuicionistas sobre el formalismo7, que el intuicionismo
no había vencido de forma categórica a los formalistas. Admitió ahí
que la disputa entre los intuicionistas y formalistas no podía ser decidida de forma concluyente y que era en gran medida una cuestión
de gusto seguir uno u otro de los programas de fundamentación de la
Matemática. La disputa contra los formalistas giraba alrededor de la
naturaleza de esa ciencia, si ella debía ser concebida como una teoría
de las construcciones mentales o como una teoría de las estructuras
(lenguajes) formales y en torno al rol del principio del tercero excluido dentro de las pruebas matemáticas. Siendo consciente de que esa
disputa no podía ser decidida, Brouwer acusaba, sin embargo, a los
formalistas de haber modificado sus posiciones originarias, y de haber tomado en préstamo varios principios intuicionistas. En resumen,
para el metalenguaje, para la metamatemática, los formalistas aceptarían solamente los principios de los intuicionistas.
En Reflexiones intuicionistas sobre el formalismo Brouwer afirmó que el intuicionismo matemático reposa en cuatro máximas: primero, la distinción entre la construcción de un depósito de fórmulas
matemáticas y la teoría intuitiva (con contenido, inhaltlich) de las
leyes de esa construcción, así como el reconocimiento de que para la
última, la teoría intuicionista de los números naturales es indispensable; segundo, el rechazo del uso irreflexivo del Principio del tercero excluido, así como el reconocimiento de que las investigaciones
sobre las razones que justifican ese principio y sobre su dominio de
validez constituyen una parte esencial de la investigación sobre los
fundamentos de la Matemática, y de que en la Matemática con contenido (intuitiva) ese uso está restricto a sistemas finitos; tercero, la
identificación del Principio del tercero excluido con el principio de la
solubilidad de todo problema matemático; cuarto, el reconocimiento
Cf. Mancosu, op. cit., pp. 36-37.
‘‘Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus’’. El texto se encuentra
traducido al inglés en Mancosu, op. cit., pp. 40-44.
6
7
929
de que la justificación (con contenido, inhaltlich) de la matemática
formalista por medio de una prueba de consistencia contiene un círculo vicioso, puesto que esa justificación está basada en la corrección
(con contenido) de la afirmación de que la corrección de una proposición se sigue del hecho de que no sea contradictoria, esto es, de la corrección (con contenido) del Principio del tercero excluido. Aquí
Brouwer percibía la estrecha ligación entre el Principio del Tercero
excluido y la regla de reducción al absurdo. Pues el hecho de que una
proposición no sea contradictoria, se expresa como la negación doble
de esa proposición.
Comentaremos brevemente cuál era la actitud de ambas escuelas
en relación a estas cuatro máximas en la época que Brouwer profirió
su conferencia Matemática, ciencia y lenguaje. La primera máxima
intuicionista ya había sido expresada por Brouwer en su tesis doctoral de 1907 Sobre los fundamentos de la Matemática, como la diferencia entre lenguaje matemático y lenguaje de segundo orden. Los
hombres, decía Brouwer en ese trabajo, tratan por medio de sonidos
y símbolos de causar en la mente de los otros, las construcciones y razonamientos matemáticos que ellos mismos hacen. Así surge, con ese
propósito, el lenguaje matemático, y como caso especial, el lenguaje
del razonamiento lógico en el cual nos restringimos a hablar sobre las
relaciones de todo y parte8. La relación de sucesor que forma la serie
de los números naturales no aparece en ese lenguaje del razonamiento lógico. Aquí Brouwer presentaba una concepción de la Lógica tradicional muy parecida a la que expresara Leon Brunschcvig en su
obra Les étapes de la philosophie matehamtique, autor que consideraba a esa disciplina apta para expresar razonamientos que envuelven clasificaciones y taxonomías mas incapaz para expresar el
razonamiento matemático. Aquellas personas interesadas en tener
una perspectiva matemática de todas las cosas, afirmaba Brouwer en
su tesis de 1907, aplican esa persepctiva al lenguaje del razonamiento
lógico. Surge así la Logística de Peano, Russell e Whitehead.
Esa distinción brouweriana entre el lenguaje matemático y el
lenguaje de segundo orden es reconocida por Hilbert en su trabajo del
año 1922 Neuebegründung der Mathematik (Nueva fundamentación
de la matemática), donde la matemática de segundo orden es llamada Metamatemática. La Metamatemática, afirmaba en ese trabajo
Hilbert, sirve para preservar a la matemática del error y del terror de
prohibiciones innecesarias, así como de la dificultad de las paradojas.
8
L. E. J. Brouwer, Collected Works, p. 73.
930
En la metamatemática, en contraste con los modos de inferencia propios de la matemática intuitiva, usamos inferencias (con contenido)
en particular en la prueba de consistencia de los axiomas.
La segunda máxima intuicionista, la que se refiere al principio
del tercero excluido se encuentra ya en el artículo de Brouwer La falta
de confianza de los principios lógicos del año 19089 y en los trabajos
posteriores de Brouwer. El valor de esta máxima es reconocido por
Hilbert en su artículo Die logischen Grundlagen der Mathematik (Los
fundamentos lógicos de la Matemática), de 1922, donde se reconoce la
validez limitada dentro de la matemática intuitiva de ese principio,
y en el artículo de Hilbert Über das Unendliche (Sobre lo infinito)
publicado en los Mathematische Annalen en 1926. En este último trabajo de Hilbert la discusión sobre el principio del tercero excluido es
introducida de la forma siguiente : el enunciado a+1= 1+a, no es desde
el punto de vista finito (finitario) pasible de negación. Eso queda claro, si consideramos que ese enunciado no debe ser interpretado como
una conjunción infinita de muchas ecuaciones numéricas mediante
‘‘y’’, sino como un juicio hipotético que afirma algo en caso que sea
exhibido un signo numérico. Cuando negamos ese enunciado, obtenemos un enunciado existencial que carece de contenido finitario. De
aquí –se sigue, sostenía Hilbert– que no podemos usar el principio del
tercero excluido, para decir que una ecuación como a+1=1+a, donde
aparece un signo numérico indeterminado, o bien es satisfecha por todos los signos numéricos, o bien es contradicha por un contraejemplo.
Esa alternativa descansa en el presupuesto de la afirmación de que
aquella ecuación es pasible de negación.
La tercera máxima, la que se refiere a la solubilidad de todo problema matemático, es interpretada también por los formalistas como
una convicción en la conferencia de Hilbert del año 1901
Mathematische probleme (Los problemas matemáticos). Sin embargo,
ya en Axiomatisches Denken (El pensamiento axiomático) del año
1926 Hilbert se refería a una solubilidad en principio y a una solubilidad por medio de un número finito de operaciones. No hay indicios
de reconocimiento por parte de los formalistas de la cuarta máxima
intuicionista que fue claramente expresada por Brouwer en un artículo del año 1927 en Mathematische Annalen, cuyo título es Über
Definitionsbereiche von Funktionen (Sobre los dominios de definición
de las funciones). Por el contrario frente a esa objeción intuicionista
en Uber das Unendliche, Hilbert responde: ‘‘Si la cuestión de justifi9
Brouwer, Collected Works, pp. 107-111.
931
car un proceder, un método, tiene algún sentido diferente de aquel de
probar su ausencia de contradicción sólo puede ser el de establecer si
ese proceder es exitoso en la producción de resultados’’10. Como se ve,
se trata aquí de un argumento pragmático.
Es en ese contexto, que Brouwer impartió en Viena, en 1928, su
conferencia Matemática, ciencia y lenguaje. Si fuera lícito dividir
aquellos que se ocupan del lenguaje, entre los que lo abordan a partir de una perspectiva estructural, y aquellos que lo abordan a partir
de su función en la comunicación, Brouwer se situaría dentro de estos últimos. Para Brouwer la función principal del lenguaje no es representar la realidad, sea ella la de los objetos físicos, o la de los
contenidos de la conciencia, sino trasmitir los deseos de nuestra voluntad. La descripción que nos da Brouwer sobre el origen del lenguaje aparece, en esa conferencia, situada dentro de un relato sobre la
formación de la conciencia. La conciencia surge por medio de lo que
Brouwer llama atención matemática (mathematische Betrachtung).
Esta última sirve para la preservación del individuo. La atención
matemática tiene dos fases: la conciencia del tiempo y la atención
causal (kausale Einstellung). La primera fase consiste en el reconocimiento de dos contenidos mentales distintos. Un contenido es percibido, mientras otro ya previamente percibido es retenido en la
memoria. La conciencia de la dualidad surge de la conciencia del tiempo. Es la intuición de la dualidad la que da origen al lenguaje, a la
Matemática y a la ciencia. Cada uno de esos elementos de esa dualidad originaria puede ser considerado como siendo él mismo una dualidad, y así sucesivamente, es generada la serie numérica. Si bien
Brouwer se apartó de la Filosofía de la Matemática de Kant en relación a la Geometría, alababa al filósofo alemán por haber afirmado,
por primera vez, que la Aritmética se basa en la intuición a priori del
tiempo.
La atención causal consiste en el acto de la voluntad que identifica secuencias temporales distintas de fenómenos que se extienden
hacia el pasado o hacia el futuro. Aparece así, para la conciencia, un
substrato común a todas las secuencias ya identificadas, substrato
conocido como secuencia causal. Observemos que las secuencias causales no son definidas por Brouwer por medio del dinamismo intrínseco a sus elementos mas por el sólo hecho de seguirse ellos uno
10
‘‘Über das Unendliche’’. Este texto se encuentra traducido al inglés en P.
Benacerraf y H. Putnam, Philosophy of Mathematics: Selected readings, Cambridge
University Press, 1983, pp. 183-201.
932
después del otro en la serie temporal. Un caso especial de la atención
causal consiste en la construcción de los objetos, esto es, de cosas persistentes (simples o compuestas) del mundo percibido. La atención
matemática no consiste en recepción sino en un acto de la voluntad.
La conciencia es caracterizada por Brouwer de forma leibniziana,
consistiendo en percepción y deseo. En este desarrollo suyo la conciencia se da cuenta de que unos estados mentales son medios para la
obtención de otros estados perceptivos deseados. Habiendo ya adquirido la noción de relación causal, la conciencia se da cuenta de la relación entre medios y fines. Estados perceptivos que parecen antes en
la serie temporal son considerados medios para la percepción de otros
estados mentales deseados. Sólo una vez que la relación causal ya está
constituida aparece el lenguaje como medio para trasmitir los deseos
de nuestra voluntad.
En Conciencia, Filosofía y Matemática11, conferencia proferida
veinte años después de su conferencia Matemática, Ciencia y Lenguaje en Viena, Brouwer nos habla del acto astuto (cunning act). El acto
astuto permite el desarrollo de la actividad conativa (atención al término) del sujeto. El acto astuto se manifiesta en que en una secuencia causal de eventos, un último elemento que es deseado pero que
no es accesible de forma inmediata, es realizado indirectamente produciendo un elemento anterior en el orden de la secuencia, elemento que en sí no es deseado, mas que es visto como medio para obtener
el elemento deseado. Así la conciencia produce una estructuración de
la realidad, percibida ahora como un sistema de relaciones de causaefecto, de medios y fines. Concebido de esa forma el mundo, podemos
proyectar sobre él las relaciones matemáticas constituidas a partir de
la conciencia de la dualidad. Surge entonces la ciencia. La ciencia,
para Brouwer, no tiene el carácter aristotélico de contemplación de la
realidad, mas el carácter baconiano de teoría destinada a dar al hombre el dominio y el control de la realidad circundante.
Tres cosas merecen ser destacadas. En primer lugar tanto el lenguaje como la ciencia empírica surgen de un acto de la voluntad. Se
originan a partir de la tendencia (conato) de ajustar el mundo a nuestros deseos. La matemática, por el contrario, surge de una contemplación desinteresada de los elementos de la conciencia. En segundo
lugar, Brouwer no nos da argumentos que sostengan esta ‘‘Fenomenología de la conciencia’’. Por argumentos, nos referimos a aquellos
que puedan ser parte de una teoría filosófica sobre el lenguaje o so11
L. E. J. Brouwer, Collected Works, Vol I, pp. 480-494.
933
bre el conocimiento. Brouwer va a buscar el apoyo para esta Fenomenología de la conciencia en sus concepciones sobre la Matemática que,
por otro lado, son consecuencia de sus objeciones al principio del tercero excluido y a la visión formalista de esa ciencia. Así, no hay en
Brouwer, como sí hay en Dummett, una teoría sobre el lenguaje que
fundamente su Filosofía de la Matemática. En Brouwer tenemos la
situación inversa: es su concepción sobre la Matemática la que tornaría plausibles sus concepciones sobre el lenguaje. En tercer lugar
en esta Fenomenología encontramos los temas tradicionales de la
Filosofía de la conciencia, precisamente en un momento en que la
Filosofía comienza a dejar de ser un discurso sobre las ideas para
transformarse en un discurso sobre el lenguaje.
Brouwer interpretaba sus diferencias con los formalistas como
teniendo su origen en visiones diferentes sobre las relaciones entre
matemática y lenguaje. Ya en su tesis del año 1907 Brouwer era consciente de eso. Para Brouwer la Matemática debía ser construida paso
a paso, y el lenguaje sólo puede indicar como realizar esas construcciones. Mas por otro lado, no hay exactitud ni certeza en la transmisión de los deseos de nuestra voluntad, en especial cuando se trata de
la construcción de entidades matemáticas, cuyas formas de producción deberían ser indicadas por el hablante por medio del lenguaje.
En su tesis de 1907, disertando sobre las Geometrías no arquimedianas estudiadas por Hilbert, Brouwer apuntaba para las consecuencias perturbadoras que surgen cuando el lenguaje, que es un medio,
aunque imperfecto, para comunicación de la Matemática, y que no
tiene que ver con ella como tal, excepto como acompañamiento, es
considerado como esencial para aquella ciencia, y cuando las leyes que
gobierna la sucesión de enunciados, las leyes lógicas, son vistas como
directivas para actos de construcción de entidades matemáticas12. En
consecuencia, no hay para la Matemática pura, afirmaba Brouwer en
Matemática, ciencia y lenguaje, ningún lenguaje cierto, esto es, ningún
lenguaje que en el intercambio de pensamientos excluya el malentendido y que como una ayuda para la memoria este libre de error13. Esas
limitaciones del lenguaje natural , pensaba Brouwer, no podían ser
resueltas como consideraba la escuela formalista, regimentando el
lenguaje natural y sometiéndolo a un abordaje matemática. Brouwer
era consciente de que el lenguaje que habla sobre las construcciones
matemáticas manifiesta ciertas regularidades en su sintaxis y en la
12
13
Brouwer, Collected Works, p. 79.
Ibidem, p. 421.
934
conexión que hay entre las proposiciones expresadas en él, y que por
eso puede ser abordado formalmente. Ese es el origen de la Lógica.
Con posterioridad la Lógica puede ser abordada matemáticamente,
tenemos entonces la Logística de Russell. Sin embargo, el uso de la
Logística no excluye la posibilidad del error.
Lo que debe ser notado aquí es que Brouwer innova en relación
a la tradición escéptica sobre el lenguaje. Esa tradición ya iniciada por
los sofistas, afirmaba la incapacidad del lenguaje para trasmitir nuestras representaciones mentales. Se trataba aquí de la imposibilidad
de trasmitir conocimientos, de que el hablante y el oyente asociaran
idénticos significados a las mismas palabras. En Brouwer, por el contrario, tenemos un escepticismo en relación a la capacidad del lenguaje para trasmitir nuestra voluntad.
Para los formalistas la relación entre Matemática y lenguaje es
otra. Si pudiera probarse que una teoría matemática no es contradictoria, eso nos aseguraría que ella se refiere a un dominio de entidades existentes. Porque a partir del descubrimiento de las geometrías
no euclidianas, la existencia matemática volvió a ser identificada de
manera leibniziana, con la ausencia de contradicción. Para demostrar
la no contradicción de la teoría en cuestión es preciso expresar de forma matemática (usando los símbolos y la sintaxis de la logística) el
lenguaje en el cual ella está formulada, y probar que dentro de ese
lenguaje no puede derivarse la figura de la contradicción .
En Matemática, ciencia y lenguaje Brouwer daba una explicación
del origen de la confianza de los formalistas en el lenguaje. En la
antigüedad, continuaba Brouwer, el hombre tenía a su disposición un
lenguaje perfecto, que excluía errores, lenguaje que se refería a grupos finitos de cosas en el espacio y en el tiempo, concebidas como
unidades y sustancias. Es probable que aquí Brouwer se estuviese
refiriendo al lenguaje en el que está expresada la ciencia y la filosofía de los griegos. Como es bien sabido la imagen del Universo de los
griegos era la de un Cosmos finito y jerarquizado, y su ciencia excluía
la consideración de lo infinito. En ese lenguaje –afirmaba Brouwer–
hay formas de pasar de afirmaciones correctas a otras afirmaciones
correctas, esas formas de inferencia son conocidas como las leyes de
Identidad, de Contradicción, del Tercero Excluido y del Silogismo. No
podemos dejar de señalar la exactitud del análisis de Brouwer al concebir la Lógica de los antigüos como un sistema de reglas de inferencia y no como un cuerpo de axiomas. Al razonar sobre sistemas finitos
el uso de esos principios lógicos se mostró correcto. Eso llevó a las
personas a creer en ellos, aun cuando, advertía Brouwer, las conclu935
siones obtenidas por esos principios no pudiesen ser verificadas directamente. Sobre todo se confió en el Principio del tercero excluido,
entendido también en su forma más general, que asume que un hecho aconteció, sólo sobre la base de la imposibilidad de encontrar una
explicación alternativa para la producción de otro hecho que le sigue
en la serie temporal (una especie de inferencia a la mejor hipótesis).
Es claro que a veces, afirmaba Brouwer, el uso de ese principio lleva
a conclusiones erróneas, pero las personas no abandonaron su fe en
el Principio del Tercero Excluido ajustando las experiencias de forma
a concordar con él.
Hay dos errores que están detrás de la confianza ingenua en los
principios lógicos. El primero es un error filosófico y se origina en una
concepción equivocada sobre el lenguaje. Los hombres, decía Brouwer,
no reconocieron que las palabras son en su esencia instrumentos para
trasmitir nuestra voluntad, y las trataron como etiquetas para conceptos14. Se pensó que esos conceptos y las relaciones entre ellos nos
llevarían a existencias independientes de la actitud causal del hombre, y se consideró que los principios lógicos representarían las leyes a priori que gobiernan esos conceptos y sus relaciones recíprocas.
El segundo error radica en la confusión entre los modelos matemáticos de la realidad percibida y esa misma realidad. La humanidad,
afirmaba Brouwer, han conseguido controlar los objetos observables
y los mecanismos del mundo perceptivo cuando se trata de complejos
extendidos de hechos y eventos, considerando y tratando el sistema
de esos objetos y mecanismos en el mundo espaciotemporal como
parte de un sistema finito y discreto de objetos cuyos elementos están
ligados por un número finito de relaciones15 .
La conferencia Conciencia, Filosofia y Matemática de 1948, vuelve a tocar los mismos tópicos que aquella dada en Viena veinte años
atrás. Pero aquí tenemos una acentuación de las características solipsistas del pensamiento de Brouwer. En esta conferencia Brouwer se
refiere al éxodo de la conciencia desde su más profunda morada. La
primera fase de ese éxodo, que Brouwer designa como ingenua, consiste en la formación de la conciencia del tiempo a través de la cual se
forma el mundo de las sensaciones. La segunda fase es la que se origina en la atención causal, a partir de la que se constituye el mundo
como una red de secuencias causales. La tercera fase es la fase social,
en la cual el yo se encuentra inmerso en la cooperación con otros indi14
15
L. E. J. Brouwer, Collected Works, p. 423.
Ibidem, p. 423.
936
viduos. La cuestión que Brouwer presentó en esa conferencia es saber si después del éxodo de la conciencia pueden ser encontradas la
belleza, el entendimiento mutuo, la sabiduría y la verdad.
En el pensamiento causal y su correlato, el mundo estructurado
como un sistema causal, no hay belleza, afirmaba Brouwer16. La sensación que experimentamos en la eficacia de nuestros actos causales,
o en el sistema de éstos, o en el descubrimiento de nuevas secuencias
causales, no es una sensación de belleza. Pero hay belleza en la primera fase del éxodo de la conciencia, en el libre juego de las sensaciones. También hay belleza en la construcción desinteresada de las
cosas. Belleza que Brouwer llamó constructiva. Mas la belleza constructiva máxima se consigue en la belleza introspectiva de la matemática, donde la intuición queda libre para desplegarse17.
No puede haber entendimiento mutuo entre los hombres porque
no hay intercambio de pensamientos. No podemos atribuir mentes
(conciencia) a los seres que aparecen en nuestro campo perceptivo. El
argumento es el siguiente: si fuéramos a atribuir mente (conciencia)
a los otros seres, seríamos entonces una mente de segundo grado, una
conciencia de la conciencia de los otros. Mas de la misma forma que
atribuimos una conciencia a ellos, una mente de primer grado, podríamos atribuirles también una mente de segundo grado, como la nuestra: seríamos así una conciencia de una conciencia de una conciencia
y así ad infinitum18. Usando terminología de la Filosofía de la Mente, nuestro yo no sería un lector de mentes sino un lector de conductas. Atribuimos a los otros seres conductas, no mentes. Puesto que no
hay una pluralidad de mentes –afirmaba Brouwer– no habría una
ciencia de ellas. Habría sólo una psicología del hombre y del animal,
que sería una extensión de la fisiología, que estudiaría autómatas que
serían organismos vivientes, sin mente y sin libre albedrío19. A esos
seres pertenecería nuestro yo, no obstante su rol especial de portador
de alegría y dolor, de emociones y de pensamientos. Pero cuando objetivamos de esa forma nuestro yo, cuando lo consideramos como constituido en el mundo y no como constituyente del mismo, no podemos
decir mucho sobre él. Al tomar contacto con estas afirmaciones de
Brouwer, no podemos dejar de recordar la forma como Descartes
resolvió la cuestión de atribuir mentes a otros seres, en la quinta
parte del Discurso del Método. ¿Qué es lo que nos justifica para atri16
17
18
19
L. E. J. Brouwer, Collected Works, p. 483.
Ibidem, p. 484.
Ibidem, pp. 484-485.
Ibidem, p. 485.
937
buir mentes a los otros seres? Para Descartes es la capacidad de hablar, la plasticidad de la conducta lingüística, la capacidad de formar
infinitas frases en circunstancias diferentes lo que nos permite distinguir entre una mente y un autómata. Es la desconfianza que Brouwer
tiene en relación al lenguaje lo que le impide ir por ese camino.
Para alcanzar la sabiduría debemos abandonar el pensamiento
causal. Buscando la sabiduría –decía Brouwer– podemos encontrarla, sabiendo que el pensamiento causal y la acción que corresponde a
ese tipo de pensamiento no es bella y es difícil de justificar, y que a largo
plazo trae decepción. Como corolario de esa actitud debemos aceptar el
mundo exterior tal como él es y nuestra posición en él. Cualquier actividad que hagamos con la intención de mudar la estructura de la
sociedad debe tener presente la máxima ‘‘la providencia no te colocó
en este mundo para mejorar su obra’’20. Hay que abdicar de toda responsabilidad por la expansión hipertrofiada de las organizaciones
sociales, cuyo objetivo es el confort de las masas y su seguridad, y no
pretender tener en ellas una posición destacada. Tampoco se debe
impedir la libertad de acción de las otras personas ni pretender dominar a los semejantes. Como ejemplo de la actitud que debemos tener
para buscar la sabiduría Brouwer citó en Conciencia, Filosofía y
Matemática unos pasajes del Bhagavad-Gita (canción de Dios), texto sánscrito, parte de épica Mahabharata21:
Un hombre no debe odiar ninguna criatura viviente. Dejad que él sea
amigable y compasivo con todas. Debe se liberar de la ilusión del Yo y de
lo mío. Aceptar placer y dolor con igual tranquilidad. Debe perdonar, estar siempre contento, autocontrolado y constantemente ser una unidad.
Sus resoluciones deben ser inmutables. Nunca debe molestar a su prójimo, ni permitir que el mundo lo perturbe. No debe estar jamás influenciado por la alegría o por la envidia, por la ansiedad o por el temor.
Él es puro e independiente del deseo del cuerpo. Es capaz de lidiar
con lo inesperado: preparado para toda las cosas, imperturbable. No está
ansioso en vano por el resultado de sus acciones.
No desea regocijarse en lo que es agradable. No es temeroso de lo
que es desagradable, ni se entristece por eso. Permanece inmutable ya
sea en la buena o en la mala suerte.
Su actitud es la misma en relación al amigo y al enemigo. Es indiferente a la alabanza y al insulto, al calor y al frío, al placer y al dolor.
Está libre de lazos. Valoriza la alabanza y el escarnio de igual manera.
Está contento con todo lo que sucede. Su casa está en todas y en ninguna
parte.
20
21
Brouwer, Collected Works, p. 486.
Ibidem, pp. 486-487.
938
A partir del rechazo de la hipótesis de la pluralidad de mentes
–afirmaba Brouwer– se sigue que la verdad está sólo en las experiencias presentes y pasadas de la conciencia individual. No está ni en el
lenguaje ni en una realidad objetiva fuera de nuestra conciencia.
Verdades son trasmitidas por las palabras o por complejos de palabras, generalmente tomadas en préstamo del lenguaje cooperativo
social, de forma tal que, para el sujeto una palabra o complejo de palabras, evoca una verdad. Además hay un sistema de reglas llamadas
reglas lógicas que permiten al sujeto deducir de un sistema de palabras que trasmiten verdades, otro sistema de palabras que también
trasmiten verdades. Esto no significa –según Brouwer– que esos sistemas de palabras trasmitan verdades antes de que esas verdades
hayan sido experimentadas, ni tampoco que esas supuestas verdades
puedan ser siempre experimentadas. En otras palabras –concluyó
Brouwer– la lógica no es instrumento confiable para descubrir verdades ni tampoco puede deducir verdades que no puedan ser accesibles
de otra forma. Encontramos aquí un eco de lo que Descartes sostenía
en la Regla X de las Reglas para la dirección del espíritu: ‘‘...omitamos todos los preceptos por los cuales los dialécticos creen deducir la
verdad humana, prescribiendo ciertas formas de razonamiento tan
necesariamente concluyentes, que aunque a la razón que confía en
ellas no le importe considerar atenta y evidentemente la inferencia
misma, pueda, sin embargo, a veces, sólo por la fuerza de la forma establecer conclusiones ciertas. En efecto, notamos que la verdad escapa
con frecuencia de estos lazos….’’22. Es probable que este rechazo cartesiano a la lógica le haya sido trasmitido a Brouwer a través de los
intuicionistas franceses.
El punto de vista de que la lógica no es instrumento confiable
para el descubrimiento de verdades ha encontrado una aceptación
tardía en la matemática, pensaba Brouwer. La matemática rigurosamente tratada consiste en construcciones dadas a través de la introspección. Esa matemática rigurosa se llama matemática intuicionista
y se distingue de la matemática clásica por cuatro razones: primero,
la matemática clásica usa la lógica para generar teoremas; segundo,
cree en la existencia de verdades desconocidas; tercero usa el principio del tercero excluido, expresando que toda aseveración matemática
(esto es toda asignación de una propiedad matemática a una entidad)
debe ser o verdadera o falsa; cuarto, considera solamente secuencias
22
R. Descartes, Obras escogidas, Traducción de Ezequiel de Olaso y Tomás
Zwanck, Buenos Aires, Sudamericana, 1967.
939
infinitas predeterminadas, en el sentido de que para todo número n
está determinado el n-ésimo término de la secuencia. Como consecuencia de eso, para definir el continuo, la matemática clásica tiene
a su disposición, para generar los números reales, solamente secuencias predeterminadas convergentes de números racionales. Eso obliga a que la matemática clásica para generar el continuo real necesite
algún proceso lógico comenzando por uno o más axiomas. El análisis
clásico, consideraba Brouwer, aunque apropiado para la técnica y la
ciencia tiene menos verdad que el análisis intuicionista.
El lenguaje de ambas escuelas diverge. Pero si quisiéramos situarnos dentro de un lenguaje neutral y dentro de él hablar de la divergencia entre ambas podríamos decir: hay modos de razonamientos
en la matemática clásica que el intuicionista rechaza, hay teoremas
que el intuicionista acepta, como por ejemplo aquel que afirma que
toda función definida sobre el intervalo unitario es uniformemente
continua y que el matemático clásico rechaza. Esta circunstancia se
originaba, para Brouwer, porque ‘‘para entidades matemáticas pertenecientes a una especie determinada, la posesión de una propiedad
determinada imprime un carácter especial sobre su desarrollo a partir
de la intuición básica’’23. Lo que quería decir Brouwer aquí es que
entidades matemáticas abiertas, no completadas, susceptibles de ser
completadas libremente a partir de nuestras elecciones, quedan determinadas a partir de un segmento finito de ellas.
La última parte de las dos conferencias está dedicada a la discusión del principio del tercero excluido. Ya en su tesis de 1907, Brouwer
nos advertía que ese principio sólo puede ser usado cuando razonamos
sobre sistemas finitos. Cuando razonamos sobre sistemas infinitos no
es más confiable. Sin embargo una aplicación particular de ese principio no nos lleva a una contradicción. Pues si fuera contradictoria una
aplicación particular, afirmaríamos al mismo tiempo que sería contradictorio afirmar que una construcción fue realizada y que es contradictorio que la construcción es contradictoria, violando así el principio
de no contradicción.
Son innumerables los casos que dio Brouwer de inaplicabilidad
del principio del tercero excluido. No se puede afirmar que todo número es finito o infinito, que hay o no en el desarrollo decimal de π un
dígito que ocurre más veces que los demás, que hay o no en el desarrollo decimal de π infinitos pares de dígitos iguales consecutivos, que
vale o no el principio del tercero excluido sin excepción
23
L. E. J. Brouwer, Collected Works, p. 489.
940
Las conclusiones de las dos conferencias se parecen mucho a
aquellas que Brouwer colocó en la sección III de su tesis doctoral ,titulada Lógica y Matemática24: En la sabiduría no hay lógica. En la
ciencia muchas veces la lógica lleva al resultado correcto pero no podemos confiar en ella, si es aplicada indefinidamente de una forma
repetida. En matemáticas es incierto si toda la lógica es admisible y
es incierto si el problema de la admisibilidad irrestricta de la lógica
es soluble. Y además: la ciencia nace del deseo de poder sobre la naturaleza.
Universidade de Santa Cruz do Sul (UNISC)
Universidade Estadual de Rio Grande do Sul (UERGS)
e-mail: [email protected]
24
Ibidem, pp. 480-494.
941
CÁLCULO Y LENGUAJE
EN EL INTUICIONISMO MATEMÁTICO*
JAVIER LEGRIS
La distinción entre cálculo y lenguaje ha originado un extenso y
variado debate en la filosofía de la lógica y la filosofía del lenguaje. A
partir de las ideas básicas de Jean van Heijenoort la distinción se ha
aplicado para comprender los orígenes de la lógica simbólica y Jaakko
Hintikka ha visto en ella un supuesto básico de la filosofía del siglo
XX. Este trabajo, presentado en ocasión del centenario de la tesis
doctoral de L. E. J. Brouwer, defendida en febrero de 1907, tiene por
objetivo explorar la aplicación de la distinción a las ideas del intuicionismo matemático sobre el lenguaje y su función en la matemática.
I
En un trabajo de 1967, Jean van Heijenoort introdujo la distinción entre lógica como cálculo y lógica como lenguaje con el objetivo
de delinear dos concepciones básicas, coexistentes en los orígenes de
la lógica simbólica durante la segunda mitad del siglo XIX (van
Heijenoort 1967). Los trabajos sobre el álgebra de la lógica, cuyo
abanderado era George Boole, representaban la primera concepción,
mientras que Frege, con su escritura conceptual o Begriffsschrift,
resultaba ser el caso paradigmático de la segunda concepción. Con
esta distinción, van Heijenoort ofrecía una clave para entender la
historia de la lógica simbólica, de modo que aspiraba a hacer una contribución esencialmente historiográfica. Además, la distinción posee
riqueza conceptual y marcaba dos posiciones filosóficas respecto del
* Este trabajo fue elaborado en el marco del proyecto Cálculo formal y conocimiento simbólico en la historia de la lógica moderna (PIP 5615), financiado por el
CONICET.
943
lenguaje formal. La distinción se difundió ampliamente en la comunidad de lógicos matemáticos y cobró gran celebridad, a punto tal que
ha sido considerada la concepción heredada de la historia de la lógica.
Para su distinción, van Heijenoort se basaba en la oposición expresada por el mismo Frege, quien recurría a términos de la tradición
leibniziana para responder a algunas críticas hechas a la escritura
conceptual que él había presentado en 1879. Así, Frege afirmaba:
‘‘De hecho, yo trataba de crear una ‘lingua characterica’ en el sentido
leibniziano y no un mero ‘calculus ratiocinator’ ’’ (Frege 1883, p. 89).
Dicho de una manera extremadamente simplificada, con la expresión ‘lingua characterica’, Frege se refería a un lenguaje con una
interpretación fija y universal, que servía para expresar un contenido.
Por el contrario, un calculus ratiocionator era un sistema simbólico
sin una interpretación predeterminada, construido con la finalidad de
resolver problemas lógicos.
Obviamente, pese a estas diferencias tan fundamentales, la distinción presuponía un terreno de discusión común, que era la presentación
simbólica o lingüística de la lógica (e incluso de los diferentes sistemas
matemáticos). En ambas concepciones, los sistemas simbólicos eran
esenciales para entender la naturaleza de la lógica, aunque la idea que
se tuviera de los sistemas simbólicos fuera diferente. Los sistemas respectivos permitían identificar claramente los conceptos lógicos y sus
propiedades, obteniéndose así una precisa caracterización de la deducción, libre de ambigüedades y vaguedades. La idea no era enteramente nueva, pero tanto en los algebristas de la lógica como en Frege,
estaba formulada de una manera explícita. Más aún, una filosofía del
simbolismo estaba en la base de la idea misma de lógica. Por lo tanto,
toda idea de la lógica que no asignara un lugar central al simbolismo,
o incluso al lenguaje en general, quedaba directamente fuera de esta
distinción y, de hecho, quedaba fuera de la lógica simbólica.
Es tema de discusión la adecuación histórica de la distinción hecha por van Heijenoort y no ha sido difícil advertir, tal como le han
hecho historiadores posteriores de la lógica, casos que no se encuadran en la distinción y casos en los que aparecen ambos aspectos de
la distinción. De todos modos, el mismo van Heijenoort consideraba
que la distinción comenzó a desdibujarse a partir de comienzos del
siglo XX y hacia 1920 tuvo lugar un dépassement (o sea, una superación) de ambas concepciones (vease van Heijenoort 1967).
Más tarde, Jaakko Hintikka retomó esa distinción y la aplicó no
sólo al desarrollo posterior de la lógica simbólica sino también a la fi944
losofía. En realidad, es más adecuado hablar de una reformulación de
la distinción de van Heijenoort, pues de hecho él va a hablar no sólo
de la lógica, sino del lenguaje como ‘‘cálculo’’ y como ‘‘medio universal’’. Hintikka llegó a considerar dicha distinción como la ‘‘presuposición más fundamental de la filosofía del siglo XX’’ (véase Hintikka
1997, p. IX). A continuación, voy a esbozar brevemente las razones
que ofrece Hintikka para hacer tal afirmación.
A diferencia de van Heijenoort, Hintikka aplica la distinción a la
lógica simbólica posterior a 1920. En realidad, comienza aplicándola
a las ideas que Wittgenstein expresó en el Tractatus y, en años posteriores, en sus conversaciones con miembros del Círculo de Viena,
luego a Tarski y los inicios de la teoría de modelos, Carnap, Quine y
C. S. Peirce, a Carnap a veces en forma sucesiva o en forma simultánea (véase sobre todo Hintikka 1997). Hintikka plantea la distinción
para el lenguaje antes que para la lógica en sentido estricto. Obviamente, la idea de lenguaje universal (lenguaje como medio universal,
como aparece en Hintikka 1988) es muy clara en Wittgenstein o en
Quine; Carnap resulta universalista en su primer período al menos,
Tarski debe adscribirse a la tradición del calculus y Peirce es adscripto a esta misma tradición, pese a constituir un caso bastante problemático. En este mismo contexto Hintikka esboza el problema de la
inefabilidad de la semántica, en el sentido de que la semántica del
lenguaje no puede expresarse en el lenguaje, y también ofrece una
serie de notas propias de cada una de las tradiciones (véase Hintikka
1990).
II
Esta distinción entre cálculo y lenguaje universal resulta ser un
marco general aplicable a muy variadas corrientes de pensamiento,
especialmente las que están ligadas a la naturaleza de la lógica y la
matemática. Un caso a considerar es el del intuicionismo matemático, la escuela instaurada por L. E. J. Brouwer y luego continuada por
Arendt Heyting, entre otros. La cuestión de ubicar a esta escuela en
la distinción tiene sentido prima facie, si se piensa que el intuicionismo tuvo un papel central en la discusión acerca de los fundamentos
de la matemática en el siglo XX, defendiendo posiciones ontológicas
y gnoseológicas bien definidas acerca de la matemática y criticando
sobre todo al programa de Hilbert. De estas posiciones surgió, como
es bien sabido, una lógica alternativa, crítica de principios lógicos
945
como el de tercero excluido o el de doble negación, y notablemente
influyente en la filosofía de la lógica. Un aspecto a tomar en cuenta
es que la distinción entre cálculo y lenguaje siempre se ha hecho en
relación con la lógica clásica y nunca se ha aplicado a lógicas no clásicas como la intuicionista. En realidad, el problema de la validez de
los principios lógicos clásicos no parece haber desempeñado papel
alguno en la discusión de esta distinción.
Brouwer tenía fuertes convicciones filosóficas ya en la época de
su tesis doctoral de 1907, y en definitiva estas convicciones fueron un
ingrediente esencial tanto en su trabajo en matemática como en la
justificación de su intuicionismo. Como es sabido, él concebía las entidades matemáticas como construcciones mentales en el tiempo:
‘‘El fenómeno primordial aquí no es más que la intuición del tiempo, en
la cual es posible la repetición de ‘cosa en el tiempo y de nuevo una cosa’,
y sobre cuya base momentos de vida pueden descomponerse en secuencias de cosas diferentes cualitativamente diferentes; éstas se concentran
subsiguientemente en el intelecto como secuencias matemáticas, no sentidas (sensed), sino percibidas’’ (Brouwer 1907, p. 81).
Estas convicciones filosóficas incluían una concepción del lenguaje y de su función en la matemática. Como expresó más tarde:
‘‘La matemática intuicionista es una estructura mental esencialmente
no lingüística’’ (Brouwer 1947, p. 339).
Esto quiere decir que el conocimiento matemático es obtenido por
la mente individual, y este conocimiento y sus resultados son registrados en un medio físico constituido por un sistema de símbolos únicamente con el fin de ayudar a la memoria. Así, la separación entre
pensamiento y lenguaje se basa en la forma de solipsismo que sostenía Brouwer, de modo que en la matemática entendida como la actividad constructiva intuitiva que tiene lugar en el interior del sujeto
cognoscente, el lenguaje no ocupa un papel sustantivo. Esta es la
posición que sostuvo en la influyente conferencia que ofreció en Viena
en marzo de 1928 (Brouwer 1929).
El lenguaje era para Brouwer una herramienta para la comunicación, que es esencialmente imperfecta y que nunca puede garantizar la evocación de las mismos estados subjetivos de conciencia (que
es lo que está en la base de la matemática) en los diferentes individuos, aunque en última instancia podía dirigir las acciones matemáticas de los oyentes en la dirección que el hablante desea. Esto se
advierte ya claramente en algunas partes de la primera versión de su
tesis doctoral que fueron rechazadas por su director de tesis, el ma946
temático Korteweg (quien las desestimó por su carácter especulativo;
véase detalles al respecto van Dalen 1999, p. 92).
Brouwer adhirió a las ideas del movimiento Significs, que tuvo en
Holanda un desarrollo importante y contó entre sus miembros al
matemático G. Mannoury (maestro de Brouwer), al periodista Henri
Borel y al escritor y psiquiatra Frederik van Eeden. El movimiento
había sido iniciado en Inglaterra por Victoria Lady Welby a comienzos del siglo XX y tenía puntos de contacto con la semiótica de Charles S. Peirce. Se presentaba como un estudio del significado en general
y aspiraba a una reforma del lenguaje con el fin de mejorar la vida en
sociedad. Toda forma de expresión es tenida en cuenta, desde las fórmulas matemáticas hasta la actuación teatral, centrándose en aspectos que podrían llamarse pragmáticos. Debido a sus aspiraciones
sociales, el movimiento veía en la educación el campo más promisorio
de aplicación de sus ideas. También debido a esta intención de promover cambios sociales, el movimiento tendía a sostener una concepción
imperativa del lenguaje humano: el fin del lenguaje es llegar a modificar la conducta del prójimo.
El principio básico que animaba a este movimiento decía que el
lenguaje no es capaz de representar adecuadamente parte alguna de
la realidad, sino que el significado de las palabras depende del efecto pretendido por el hablante o que el auditorio percibe (véase Vuysje
1951). Siguiendo estas ideas, Brouwer sostenía, por ejemplo, que el
lenguaje era esencialmente un instrumento para la ‘‘transmisión de
voluntad’’ (Brouwer 1933, p. 51).
El movimiento tuvo eco no sólo en Brouwer, sino que influyó en la
filosofía del lenguaje de algunos filósofos del lenguaje como Friedrich
Waismann e interactuó con el Círculo de Viena. E. W. Beth aplicó sus
principios para estudiar los aspectos pragmáticos de los lenguajes formales. Según Beth, y en sintonía con Brouwer y Heyting, los lenguajes formales no son capaces de representar los actos de construcción
propios de la actividad mental matemática (véase Beth 1936-7).
III
En el caso de Heyting, las observaciones sobre el lenguaje también están estrechamente vinculadas con las discusiones acerca de la
formalización de la lógica y matemática intuicionistas. Heyting presentó en 1929 el primer sistema axiomático formal para la lógica intuicionista, siguiendo –al menos parcialmente– los lineamientos del
947
programa de Hilbert, con lo cual abrió el camino para el estudio de las
propiedades de la lógica intuicionista.
Sin embargo, Heyting comenzaba su presentación con la siguiente observación:
‘‘La matemática intuicionista es una actividad del pensamiento [Denktätigkeit], y todo lenguaje, incluso el formalista, es para esta sólo un
medio auxiliar que sirve a los fines de la comunicación. Es fundamentalmente imposible, determinar un sistema de fórmulas que sea equivalente a la matemática intuicionista, pues las posibilidades del
pensamiento no se pueden reducir a un número finito de reglas establecidas de antemano. El intento de reproducir las partes más importantes de la matemática en un lenguaje formal se justifica exclusivamente
por la concisión y precisión de este último frente al lenguaje habitual.
Estas propiedades lo hacen apropiado para hacer más fácil el estudio
de los conceptos intuicionistas y su uso en investigaciones’’ (Heyting
1930, p. 42).
En este pasaje se encuentran las ideas básicas que Heyting tenía
acerca de la representación lingüística de la matemática intuicionista y de su formulación mediante sistemas formales. Estas ideas pueden resumirse del siguiente modo:
(i) La representación por medio de lenguajes formales es un importante auxilio para el estudio de propiedades de la matemática
intuicionista, pero no puede expresarla en su totalidad.
(ii) El lenguaje ordinario tiene la función de comunicar las actividades mentales mediante las cuales se desarrolla la matemática. Sin
embargo, la matemática no es de naturaleza lingüística.
Un poco después, en el simposio sobre fundamentos de la matemática que tuvo lugar en Königsberg en 1930, luego publicado en
Erkenntnis, Heyting afirmaba de manera consistente con lo anterior:
‘‘[El matemático intuicionista] emplea el lenguaje, tanto el natural como
el formalizado, únicamente para comunicar pensamientos, es decir, para
hacer que otros o él mismo sigan sus propias ideas matemáticas. Este
acompañamiento lingüïstico no es una imagen [Bild] de la matemática,
y mucho menos es la matemática misma’’ (Heyting 1931, p. 53).
Claramente, para Heyting el lenguaje no tiene una función
representacional, su estructura no representa estructuras de algún
tipo, en particular las estructuras que son las construcciones mentales (véase Heyting 1974, p. 89), sino que está ligada a la comunicación
948
y a la motivación de acciones en el oyente. La misma idea repetirá
años más tarde
‘‘Empleamos el lenguaje para influir sobre los pensamientos y las acciones de otras personas. Cuando un matemático escribe un artículo o un
libro, tiene la intención de sugerir construcciones matemáticas a otras
personas; cuando escribe notas para auxiliar su memoria, su futuro yo
juega el papel de otra persona’’ (Heyting 1974, p. 88).
Estas limitaciones del lenguaje para la representación son subrayados por Heyting en su libro sobre el intuicionismo de 1956:
‘‘Si adoptamos este punto de vista [el formalista], chocamos con el obstáculo de la ambigüedad fundamental del lenguaje. Dado que el significado de una palabra nunca puede ser fijado con suficiente precisión
para evitar toda posibilidad de malentendidos, nunca podemos estar
matemáticamente seguros de que el sistema formal expresa correctamente nuestros pensamientos matemáticos’’ (Heyting 1956, p. 4).
Como consecuencia,
‘‘Se ve claramente que semejante examen de la matemática intuicionista [la formalización] nunca producirá una descripción completa y definitiva de ésta’’ (Heyting 1956, p. 9).
‘‘Nunca se está seguro de que el sistema formal representa totalmente
cualquier dominio del pensamiento matemático; en cualquier momento el descubrimiento de nuevos métodos puede forzarnos a extender el
sistema formal’’ (Heyting 1956, p. 5).
Una de las razones de las limitaciones del formalismo para representar la matemática reside en su carácter incompleto, siempre abierto al futuro, a modificaciones en el tiempo. El sistema formal no puede
captar la matemática en su totalidad, porque, de acuerdo con una
creencia básica del intuicionismo, ésta puede progresar, incorporar
nuevos conceptos y teoremas.
De todos modos, la formalización, cumple una función auxiliar
importante:
‘‘Las formalizaciones pueden llevarse a cabo dentro de la matemática y
se convierten en una herramienta matemática poderosa’’ (Heyting 1956,
p. 5).
Por ejemplo, permite dar demostraciones de consistencia:
‘‘Desde el punto de vista que estoy esbozando, su importancia [la del método formalista] es principalmente práctica. Un sistema inconsistente,
949
en el cual toda fórmula sea derivable, no puede ser muy útil’’ (Heyting
1974, p. 89).
El estudio de la deducción, tal como es llevado a cabo en la lógica simbólica, es para Heyting matemática aplicada, una aplicación de
la matemática (y no su fundamento), ya que para su formulación se
requieren teorías matemáticas como, por ejemplo, la teoría de conjuntos. Así,
‘‘Los teoremas lógicos son teoremas matemáticos. La lógica no es el fundamento de la matemática; por el contrario, conceptualmente es una
parte complicada y sofisticada de la matemática’’ (Heyting 1974, p. 87).
Así, respecto al menos de los cálculos lógicos, esta posición tiene puntos en común con la tradición algebraica de la lógica como cálculo, pues
la lógica se construye mediante una teoría matemática, y para Heyting
(a diferencia de Brouwer) esto es de utilidad teórica. Como sucedía en
la tradición algebraica, la matemática es previa a la lógica.
IV
La posición del intuicionismo matemático respecto de la naturaleza del lenguaje, tanto ordinario como formal, queda así esbozada, al
menos en su versión más tradicional. Resta ubicarlo en la distinción
entre cálculo y lenguaje universal.
De un lado, debe notarse que van Heijenoort hacía referencia en
su artículo a una superación de la distinción hacia 1920, y que la obra
de Heyting, posterior a esa fecha, puede encuadrarse dentro de esa
superación. Heyting no descarta el interés que pueda tener la construcción de cálculos formales, pero para él estos no cumplen un papel
esencial en la caracterización de la lógica o la matemática intuicionistas. Tampoco puede esperarse que el examen del lenguaje ordinario
proporcione alguna comprensión decisiva de éstas. Por ejemplo, el lenguaje no juega papel alguno en la determinación de los principios lógicos, pues su validez se basa en la actividad mental del sujeto, en
construcciones subjetivas. Y esto es muy diferente de pensadores
como Frege o Wittgenstein para quienes el lenguaje sí cumplía un
papel semejante.
De otro lado, los intuicionistas tenían una concepción del lenguaje, si bien no siempre explicitada. Hintikka adoptó del filósofo de
la historia Robin George Collingwood la noción de ‘‘presuposición
más fundamental’’ (ultimate presupposition, véase Hintikka 1997).
950
Collingwood la usaba para referirse a aquellos supuestos tácitos que
se dan en los diferentes períodos de la historia de la filosofía y la historia intelectual y que son descubiertos únicamente gracias a una
reflexión posterior. En este caso la presuposición más fundamental es
la que surge al preguntar si el lenguaje, es decir nuestro lenguaje
ordinario, el ‘‘lenguaje coloquial’’ como decía Tarski, es universal. La
palabra ‘‘universal’’ debe tomarse en el sentido fuerte de que no es
posible salirse o evadirse de él. Este sentido abre una perspectiva
mucho más amplia. De hecho, Hintikka encuentra el problema también en filósofos como Husserl o Heidegger, o en la escuela hermenéutica, todos con un trasfondo filosófico claramente diferente al de los
iniciadores de la lógica simbólica. El intuicionismo puede ser ubicado en esta visión más amplia. La consideración del lenguaje ordinario exclusivamente como medio de comunicación de los pensamientos
matemáticos es afín a esta idea de universalidad. La afirmación de las
limitaciones del lenguaje para capturar la matemática refuerza este
hecho.
Finalmente, no debe pasarse por alto un importante punto de
coincidencia entre Brouwer y Frege. Para ambos la lógica y la matemática se ocupaban de objetos. Por supuesto, estos objetos eran de
naturaleza muy distinta en cada caso y también era muy distinto el
conocimiento de estos objetos y sus propiedades. Sin embargo, en
ambos casos todo discurso lógico y matemático tenía un contenido.
Para Brouwer ese discurso se daba de manera imperfecta en el lenguaje ordinario (y no podía ser de otro modo por las limitaciones de
todo lenguaje), mientras que para Frege fue esencial la presentación
en un simbolismo que, entre otras cosas, reflejaba la estructura de las
entidades matemáticas. Así, Brouwer y Frege compartían el rechazo
a las diferentes versiones de formalismo que sostenían algunos matemáticos de su tiempo y en este aspecto ambos se enrolaban en una
misma tradición.
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Universidad de Buenos Aires
y CEF/ANCBA - CONICET
[email protected]
952
¿POR QUÉ RECORDAMOS A BROUWER?
JORGE ALFREDO ROETTI
¿Por qué recordamos a Brouwer? Hay varias maneras de entender la pregunta. Para nosotros será la pregunta que se pueden hacer
quienes han cultivado la lógica por años y se han ocupado alguna vez
con temas relativos a la disputa de fundamentos entre lógicos ‘‘clásicos’’ e ‘‘intuicionistas’’. La lógica actual, en sus numerosas ramas, sigue siendo mayoritariamente ‘‘clásica’’. Sin embargo el intuicionismo
y su presunta superación, el ‘‘constructivismo’’, atraen cada vez más
adeptos. Hoy podemos recordar a Brouwer como quien inició hace un
siglo, en 1907, la forma moderna del estilo de fundamentación intuicionista. También podemos preguntarnos si lo recordaremos como
matemático, como lógico o como filósofo. La inspección de su obra facilita la respuesta: lo recordaremos simultáneamente como matemático, lógico y filósofo, porque su lógica pretendió fundarse en lo que
Brouwer consideraba el genuino modo de pensar matemático y eso
suponía una concepción de ese pensar y del conocimiento en general
y de su relación con el lenguaje. Esto lo llevó a elaborar una teoría
intuicionista del conocimiento y de la filosofía de la ciencia, especialmente de la matemática. Además, aunque no entremos en detalles, es
preciso recordar que los intereses filosóficos de Brouwer fueron mucho más amplios que los que atañen a la fundamentación de la lógica, la matemática y la teoría del conocimiento.
Luitzen Egbertus Jan Brouwer, matemático holandés, nació el 27
de febrero de 1881 en Overschie, localidad que desde la ocupación alemana de 1941 pasó a ser parte de Amsterdam, y murió el 2 de diciembre de 1966 en Blaricum, también Holanda, a los 85 de edad, luego de
que lo atropellara un automóvil a la puerta de su casa. Sus numerosos
trabajos sobresalieron en varios campos de la matemática, pero se ocuparon especialmente de topología –es decir, del estudio de las propiedades más básicas de las estructuras espaciales en sentido amplio–, de
teoría de la medida y de análisis matemático, especialmente análisis
953
de variable compleja. Demostró el famoso teorema del punto fijo en
1908, estableció la importancia de los espacios cartesianos en topología,
demostró el teorema de traslación plana, que caracteriza las transformaciones topológicas del plano cartesiano sobre sí mismo (1911), demostró que el número de dimensiones de un espacio cartesiano es
topológicamente invariante, generalizó el teorema de Jordan para n
dimensiones (1912), etc. A él se debe la primera definición estricta de
la noción de dimensión. Luego, entre 1928-1930, discutirá con Karl
Menger sobre la prioridad en dicha definición. Por la importancia y
cantidad de sus resultados muchos lo consideran el padre de la topología moderna, lo que no es poco decir. Sus trabajos más importantes en
esta disciplina los produjo en su juventud, entre los 28 y los 32 años.
El intuicionismo fue en sus comienzos muy conocido en el centro
y este de Europa, pero recién cobró notoriedad en el resto del mundo
luego de la Segunda Guerra Mundial. Brouwer fue un hombre de carácter fuerte. Estuvo envuelto en varias peleas con David Hilbert, a
partir de 19201. Se doctoró en la Universidad de Amsterdam en 1907
con la disertación Over de Grondslagen der Wiskunde, en la que se esboza el programa intuicionista y comienza su reconstrucción crítica de
la matemática y la lógica. El título completo de su tesis ya muestra un
espíritu combativo, pues traducido dice así: Sobre los principios de la
matemática, dirigida entre otras cosas contra la axiomatización de la
matemática, la teoría de conjuntos de G. Cantor y E. Zermelo, como
también contra la lógica simbólica de G. Peano y B. Russell. En efecto,
Brouwer fundó al intuicionismo matemático como antagónico al
logicismo y comenzó a considerar a una cierta intuición temporal
como el fundamento de la matemática. Para él la matemática era una
ciencia cuyos objetos son construcciones mentales que tornan evidentes las expresiones matemáticas que las describen. La lógica intuicionista era para Brouwer un subproducto de la matemática, lo que
contradecía la tesis del logicismo. Todo individuo nacería con una ‘‘visión’’ original de una infinitud de objetos, construida por la generación
recursiva de colecciones crecientes no acotadas. De hecho, esto explicaría la comprensión que tienen los niños de la secuencia de los números naturales, porque tienen la habilidad de ir añadiendo en la
imaginación un objeto por vez y así comprender que pueden proseguir
esa secuencia sin encontrar un último elemento de ella, pues no hay
ninguna regla que obligue a acotar el proceso.
1
Recordemos el famoso Mathematische-Annalen-Streit con Hilbert. Ver van
Dalen 1990.
954
Brouwer emprendió en 1918 la reconstrucción sistemática de la
matemática con su trabajo en alemán Begründung der Mengenlehre
unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster
Teil, Allgemeine Mengenlehre (Fundamentación de la teoría de conjuntos con independencia del principio de tercero excluido. Primera parte,
Teoría general de conjuntos), que completó en 1920 con Intuitionistische
Mengenlehre (Teoría intuicionista de conjuntos), el primer trabajo de
matemática intuicionista que apareció en una revista científica internacional de primera línea: el Jahresbericht des Deutschen MathematikerVereins (Informe anual de la Unión Matemática Alemana).
A consecuencia del teorema de Zermelo, que demostraba la equivalencia deductiva entre el principio de elección y el de buena ordenabilidad de todo conjunto, Brouwer se propuso reconstruir la teoría
de conjuntos y toda la matemática prescindiendo del sospechoso axioma de elección. Así comenzó la reconstrucción intuicionista de buena
parte de la matemática. No obstante, sin el axioma de elección, una
parte considerable de la matemática clásica desaparecía, por lo que
la escuela intuicionista fue firmemente resistida, especialmente por
Hilbert y su escuela formalista y los antiguos logicistas.
Algunos aspectos del intuicionismo
Como ya señaláramos, se deben a Brouwer muchos avances en
varios campos de la matemática, pero nosotros enfatizaremos la revolución que produjo en la lógica, provocada por sus ataques contra
el logicismo de Frege, Peano y sus seguidores, contra los infinitos
actuales de Cantor y sus adláteres, contra la admisión de tertium non
datur en dominios no finitos, contra la aserción no calificada de existencia, cuando no se puede dar una construcción del objeto del cual se
dice que ‘‘existe’’ matemáticamente, y contra el reconocimiento del
conjunto del continuo de todos los números reales. Como solución
propuso concebir al continuo como ‘‘un medio que deviene libremente’’. En virtud de las dificultades de fundamentación de la matemática clásica y de las entonces recientes antinomias de la teoría ingenua
de conjuntos de Cantor, Brouwer se propuso:
1. Utilizar sólo entes matemáticos ‘‘construidos’’ previamente a
partir de la secuencia de la ‘‘intuición originaria’’, o ‘‘UrIntuition’’ en alemán.
2. Utilizar una lógica oriunda del pensamiento matemático, que
será la lógica ‘‘intuicionista’’ adecuada para colecciones infini955
cas:
tas de objetos, y no una fundada en las reglas para el pensamiento finito, que será la lógica ‘‘clásica’’.
3. Admitir sólo los infinitos reducibles al infinito potencial, que
es el único construido en la secuencia de la ‘‘intuición originaria’’, y de este modo rechazar gran parte del ‘‘paraíso de Cantor’’, que defendían logicistas y formalistas.
4. Reconstruir la matemática clásica exclusivamente con métodos ‘‘constructivos’’ de definición y demostración.
Para ello su programa exigía que las demostraciones matemáti-
1. Tuvieran un número finito de pasos o utilizaran una forma de
inducción enumerable o reducible a ella, es decir reducible a
un proceso infinito potencial dado por un esquema metalingüístico finito.
2. Los entes que apareciesen en las demostraciones estuviesen
previamente definidos en forma constructiva, o se construyesen
a partir de los previamente definidos en un número finito de
pasos, o por definiciones esquemáticas recursivas enumerables
o reducibles a éstas.
3. No se admitiesen definiciones impredicativas.
4. No se admitiesen objetos infinitos actuales.
5. Las pruebas de existencia fuesen ‘‘constructivas’’, las que podrían ser a su vez ‘‘fuertes’’ o ‘‘débiles’’.
6. No se utilizasen el axioma de elección, ni ninguno de sus equivalentes.
7. Sólo se usase el tertium non datur en aquellos casos en que
uno de los extremos de la disyunción estuviese demostrado o
existiese un método efectivo para demostrarlo.
8. Las pruebas constructivas fuesen algorítmicas.
La matemática es según Brouwer la parte exacta del pensamiento. Si nos atenemos estrictamente a ello, todo lo que estuviese
suficientemente fundado sería matemática. Pero las demostraciones
matemáticas en sentido estricto se obtienen originariamente por
construcción en la intuición temporal, a partir de la sucesión fundamental de los números 1, 2, … Cuando Brouwer presentó su tesis ya
se sabía muy bien que la caracterización kantiana del espacio era
ambigua y no permitía determinar ninguna geometría métrica determinada. De allí que la pluralidad de geometrías relativamente
consistentes con métricas diversas fueran todas compatibles con la
filosofía kantiana. En cambio la intuición temporal se presentaba –
y se presenta– como única y determinada. Las construcciones rea956
lizadas en ella serían por lo tanto necesarias y serían además el fundamento intuitivo de la matemática como saber absolutamente fundado. La concepción intuicionista de la verdad matemática será
entonces la de una verdad por correspondencia. Por lo tanto la matemática será un saber no axiomático ni analítico, sino sintético
ampliativo, aunque a priori y monótono, en lo que se advierte la
influencia de Kant.
No discutiremos si su temporalidad fue descriptiva o empírica. De
todos modos su concepción sufrió acusaciones de psicologismo. Éste es
uno de los problemas que intentarán superar algunos constructivistas
posteriores. Especialmente el constructivismo de Paul Lorenzen
(1915-1995), fue una síntesis dialéctica entre el intuicionismo de
Brouwer y el formalismo de Hilbert, pues del intuicionismo aceptó los
ataques de arriba, con lo que se diferenció de la matemática clásica,
pero por otra parte rechazó los presuntos aspectos de psicologismo
empírico de las construcciones en el tiempo, que son difíciles de considerar públicas y que por lo tanto podrían ser intersubjetivamente
incontrolables. Por otra parte dicho constructivismo adoptó parcialmente el formalismo de Hilbert, por ejemplo aspectos de su ‘‘giro lingüístico’’ y su concepción de muchas teorías como sistemas de objetos
que se estudian desde una metamatemática, pero entre sus objetos no
aceptó, como sí lo hacía Hilbert, todo el ‘‘paraíso de Cantor’’. Por ejemplo limitó el universo de los transfinitos ordinales a los de la segunda clase numérica de los ordinales transfinitos enumerables. Los
procesos recursivos con orden transfinito era admisibles, pero bajo la
condición de que se encontrara un proceso de reducción a una
recursión finita. De los cardinales transfinitos sólo conservó ℵ0, pues
dio una prueba de que era posible construir funciones inyectivas de
ℵn sobre ℵ0. Esa demostración permitió, por una parte, tornar superflua una parte importante del paraíso cantoriano y, por otra, resolver
problemas como el primero de la lista de Hilbert, el de la hipótesis del
continuo. El continuo real R se mostró así como posiblemente enumerable2.
Para el filósofo es de interés saber que el lenguaje y el pensamiento
tenían orígenes diferentes para Brouwer. El lenguaje sería originariamente expresión de la subjetividad y se comprendía especialmente por su relación con la voluntad. Su función originaria sería la de
influir mediante sonidos sobre la conducta de los oyentes, es decir pro2
Para una explicación detallada del problema del continuo y su solución o disolución constructiva, véase por ejemplo Roetti 2000: ver bibliografía.
957
mover con órdenes o emociones las conductas de los otros miembros
del grupo. Naturalmente el lenguaje primitivo se desarrolló hasta
tornarse parcialmente descriptivo y sirvió de ese modo a los humanos
como importante ayudamemoria. No obstante el pensamiento no dependía esencialmente del lenguaje, sino de construcciones en la imaginación. Esto sería especialmente notorio en el pensamiento matemático, cuyos objetos se construirían sucesivamente a partir de la
secuencia dada por una ‘‘intuición originaria’’ temporal o Ur-Intuition.
A partir de esas construcciones imaginativas alcanzaríamos la existencia matemática, ligada así íntimamente a la conciencia individual.
La intersubjetividad del pensamiento matemático requerirá por su
parte de medios simbólicos compartidos de tipo adecuado, entre los
que naturalmente se cuenta un lenguaje ya altamente elaborado de
tipo descriptivo.
El intuicionismo de Brouwer reposaba sobre una filosofía de la
mente, que mucho debía a Kant y a Schopenhauer. La matemática
era una actividad libre del pensamiento exacto que se fundaba en la
intuición pura del tiempo interno de la conciencia. Los objetos externos y el lenguaje no jugarían un papel importante en ella. De este
modo intentó evitar el platonismo con sus problemas epistemológicos
y el formalismo con su pobreza de contenido. La verdad matemática
residía en la actividad del pensamiento. Un enunciado sobre ciertos
objetos matemáticos sólo era verdadero cuando el sujeto había experimentado su verdad a partir de la construcción mental de esos objetos
y sus relaciones, y era falso sólo cuando el sujeto había experimentado su falsedad o, lo que es lo mismo, había realizado una construcción
mental que mostraba su imposibilidad. Por ello para Brouwer no existían verdades no experimentadas.
Su filosofía de la mente no fue un aspecto anecdótico de su pensamiento, sino un componente esencial que él desarrollaría a lo largo de
toda su vida. Por ello no le interesó si la matemática reconstruida al
modo intuicionista era compatible o incompatible con la matemática
clásica. Esto no resultó problemático en el caso de la aritmética elemental, pues la aritmética intuicionista resultó ser un subsistema de
la aritmética clásica, y por lo tanto compatible con ésta. En cambio en
análisis matemático, que es la extensión de la aritmética a los dominios continuos real y complejo con operaciones de diferenciación, la
situación se tornó diferente, pues se dio la circunstancia de que ni todo
el análisis clásico era intuicionistamente aceptable, ni todo el análisis intuicionista era clásicamente aceptable.
958
Desarrollo del intuicionismo de Brouwer
Brouwer escribió en 1905 un pequeño libro titulado Vida, arte y
misticismo, donde todavía no desarrollaba su concepción de la matemática, pero donde dio la clave para la comprensión de los fundamentos en la forma en que se utilizaron luego en su disertación de 1907.
El librito reunió una variedad de temas, desde el de su concepción de
la sociedad y de las mujeres, hasta sus ideas básicas sobre la mente,
el lenguaje, la ontología y la epistemología. Los problemas fundamentales de la filosofía y no las novedosas paradojas y antinomias de esos
días son los que incitaron el desarrollo intuicionista de Brouwer. No
obstante, una vez que se hubiese desarrollado suficientemente el intuicionismo, surgieron de él soluciones adecuadas para esas paradojas y antinomias.
Brouwer sostuvo siempre que la matemática era una actividad
independiente del lenguaje y que éste sólo cumplía la función de describir la actividad matemática. Esto lo llevó a negar todo papel fundacional en matemática a los tratamientos axiomáticos. Por su parte
la lógica se convirtió en el estudio de las regularidades que se dan en
las traducciones lingüísticas de la actividad matemática y era por lo
tanto dependiente de la matemática, en tanto expresión de esas regularidades, y no a la inversa, como pretendía el logicismo. Eso lo movió a introducir la distinción entre matemática y metamatemática,
para la que usó la expresión ‘matemática de segundo orden’, como le
comenta a Hilbert en sus conversaciones de 1909. Hilbert adoptará
luego esa distinción, que se toma como de su invención, introduciendo el término ‘metamatemática’. No recuerdo que Hilbert se haya
acordado de Brouwer al considerar la idea.
El recurso del intuicionismo al sujeto creador, luego de la introducción de las secuencias de elección y la demostración del teorema
de barra, fue un nuevo paso en el uso de aspectos de la estructura
supuestamente necesaria del sujeto matemático, lo que lo aproximó
nuevamente a la concepción kantiana de la demostración matemática. Como el desarrollo de la matemática es un proceso infinito fundado en las construcciones que paulatinamente se van realizando en el
sujeto matemático, podemos esperar siempre nuevos instrumentos
demostrativos ligados a la descripción de la estructura de la subjetividad.
La noción clásica de secuencia es diferente en la matemática intuicionista, especialmente por su principio de elección continua (en
959
inglés principle of continuous choice o CC). Los teoremas fundamentales del análisis intuicionista –el teorema de barra, el teorema de
abanico y el teorema de continuidad– se encuentran en ‘Über
Definitionsbereiche von Funktionen’ (‘Sobre los dominios de la definición de funciones’) de 1927. Los dos primeros son teoremas estructurales sobre las ‘‘extensiones’’ o dispersiones; el tercero, que no se debe
confundir con el principio de continuidad para las secuencias de elección, dice que toda función total [0,1] → R es continua e incluso uniformemente continua. El teorema de abanico es un corolario del
teorema de barra y cuando se lo combina con el principio de continuidad, que por otra parte no es clásicamente válido, produce el teorema
de continuidad. Lo sorprendente es que en el análisis clásico ambas
partes de ese teorema serían falsas. El teorema de barra y el teorema de abanico, por su parte, son clásicamente válidos, aunque las demostraciones clásica e intuicionista para ellos no son intercambiables:
las demostraciones clásicas no son intuicionistamente aceptables por
depender del principio de tercero excluido y las demostraciones intuicionistas son clásicamente inaceptables por tener como aspectos inevitables de su demostración reflexiones sobre la estructura de las
demostraciones mentales. Una interesante demostración del teorema
de barra dio Michael Dummett en su libro Intuitionism.
La cuestión de la existencia en matemática
La cuestión de la cualidad de la existencia arriba indicada era
peculiarmente importante, pues obligaba a distinguir en matemática entre:
Existencia fuerte, que es la que se predica cuando se puede dar
una regla de construcción de un objeto tal que ⵫ fa, lo que por la regla de deducción admitida fa ⵫ Vx.fx nos permite deducir
⵫ Vx.fx,
y
Existencia débil, que predicamos cuando carecemos de la construcción de un objeto a tal que ⵫ fa, pero podemos demostrar que de
la negación de la existencia se deduce una expresión indemostrable
en la teoría, es decir ¬Vx.fx ⵫ f, lo que equivale a ⵫ ¬¬Vx.fx.
Muchísimos teoremas de existencia son sólo de existencia débil.
El propio teorema brouweriano sobre el punto fijo es un teorema de
existencia débil. Dicho teorema en una versión simple dice:
960
‘‘Si g es una función continua suryectiva g(x) tal queg(x)e[a, b]
para todo xe[a, b], entonces g tiene un punto fijo g(x) = x en [a, b].’’ Se
suele proponer demostraciones clásicas como la siguiente:
Dem. Por definición de la función g(a) ≥ a, g(b) ≤ b, por lo tanto
g(a) – a ≥ 0, g(b) – b ≤ 0
Puesto que g es continua el teorema del valor medio garantiza
que no es el caso que para todo ce[a, b] no se dé g(c) – c = 0. Es decir,
no es el caso que no exista al menos un ce[a, b] tal que g(c) = c. Esto
es lo que se afirma al decir que existe en sentido débil al menos un
punto fijo en el intervalo cerrado [a, b].
Como se advierte, recordando el teorema del valor medio o el teorema de Rolle, se deduce la existencia de al menos un punto fijo, pero
de ningún modo se puede determinar un punto tal para una función
continua y suryectiva cualquiera. Se trata pues de una demostración
de existencia débil.
Una versión más general diría por ejemplo: ‘‘Toda función continua suryectiva G:Bn → Bn tiene un punto fijo, donde
Bn = {xeR: x = x 21 + ... + x 2n ≤ 1} es la esfera n-dimensional unitaria cerrada de radio uno.’’
El tercero excluido
Brouwer rechazó la validez universal del principio de tercero
excluido o tertium non datur (tnd), aunque en los tiempos de su disertación todavía pensaba que dicho principio era correcto aunque
inútil, porque todavía interpretaba p∨¬p como clásicamente equivalente a ¬p → ¬p. En su trabajo de 1908 ‘De Onbetrouwbaarheid der
Logische Principes’ (‘La no fiabilidad de los principios lógicos’) formuló una crítica al tdn, diciendo que, aunque en su forma simple p∨¬p
dicho principio nunca llevaría a contradición, hay instancias del mismo en las que no es razonable considerarlo verdadero. A partir de allí
uno de los puntos centrales de la matemática intuicionista fue la negación de la validez universal de dicho principio. En su lugar se admitió un quintum non datur metamatemático irrestricto para las
proposiciones matemáticas que se expresa así:
⵫ A∨¬A∨¬¬A∨*A, donde *A es una fbf. matemática indecidida o
indecidible.
961
Un caso tradicional de fbf. matemática aún indecidida y tal vez
indecidible es la conjetura de Goldbach (1690-1764): ‘‘Todo número
natural par diferente de 2 es suma de al menos un par de números
primos’’. Los enunciados matemáticos de este tipo son importantes,
pues muestran lo inadecuado de la limitación de la lógica a enunciados ‘‘definidos respecto de la verdad’’, es decir ‘V’ o ‘F’, y justifican su
extensión modificada a enunciados indefinidos respecto de la verdad,
aunque definidos respecto de su procediminento de fundamentación,
es decir respecto del procediminto de ataque y defensa. Tanto el intuicionismo como el constructivismo no parten del prejuicio de ‘‘bivalencia’’ de las lógicas llamadas crisipianas de que todo enunciado sea
V o F, prejuicio cometido también por la concepción llamada ‘‘platónica’’ de la matemática, sino que admiten enunciados indefinidos respecto de verdad y falsedad. En la metamatemática esta tesis se
expresa del modo siguiente:
1. ‘⵫ A’ equivale a ‘A está demostrada’,
2. ‘A ⵫ f’ equivale a ‘⵫ ¬A’ o ‘¬A está demostrada’ (donde ‘f ’ es ‘una fbf.
necesariamente falsa en la teoría’),
3. ‘(A ⵫ f) ⵫ f’ equivale a ‘⵫ ¬¬A’ o a ‘¬¬A’ está demostrada’,
4. ‘*A’ equivale a ‘ni está demostrada A, ni está demostrada ¬A, ni
está demostrada ¬¬A’ pero:
4.1. o bien existe al menos un algoritmo que podría decidir la cuestión, aunque aún no hemos completado su utilización,
4.2. o no se conoce aún ningún algoritmo que permita decidir la
cuestión, pero puede existir,
4.3. o no puede existir ningún algoritmo que permita decidir la
cuestión.
Estas variantes de 4 son las que permitirían hablar, por ejemplo,
incluso de un septimum non datur.
De lo anterior se sigue que para el intuicionismo vale que: ‘‘A
implica la falsedad necesaria de la falsedad necesaria de A, pero la
falsedad necesaria de la falsedad necesaria de A no implica A’’, e. d.,
es teorema ⵫ A → ¬¬A, pero no es demostrable ¬¬A → A, con lo que
se conserva la introducción de la doble negación, pero cae su eliminabilidad. Esta asimetría es incompatible con el principio del tercero
excluido, pues en matemática puede demostrarse, respecto de esa fbf.,
o A, o ¬A, o ¬¬A, o nada de ello, es decir nuevamente quintum non
datur.
Brouwer se propuso reconstruir la teoría de conjuntos de Cantor
con estos instrumentos deductivos más débiles. En sus primeros trabajos de la época de su disertación había fracasado en el intento de
962
otorgarle un sentido intuitivo o constructivo a la segunda clase numérica de Cantor, es decir la clase de todos los ordinales infinitos enumerables, y a las clases de ordinales aún mayores. A partir de aquí
advirtió que no se puede realizar tal sentido intuitivo para las clases
superiores de números ordinales, por lo que conserva sólo los ordinales finitos y una colección abierta indefinida de ordinales infinitos
enumerables. En consecuencia no admitió una parte importante de la
matemática conjuntista generalmente aceptada en ese momento.
Para ello propuso ejemplos que, por no refutar estrictamente al tdn,
se conocen como los ‘‘contraejemplos débiles’’.
Contraejemplos débiles
La innovación que otorga al intuicionismo un alcance mucho
mayor que el de otras variedades de matemática constructiva, incluida la del propio Brouwer en su disertación, es la de sus secuencias de
elección. Estas secuencias potencialmente infinitas de números u
otros objetos matemáticos, elegidos uno tras otros, hicieron su aparición como objetos matemáticos en una reseña de libros de 1914. El
principio que las hacía matemáticamente admisibles fue el principio
de continuidad, que recién formuló Brouwer en 1916 en unas notas a
unas conferencias. La utilidad principal de las secuencias de elección
era la de permitir una reconstrucción del análisis clásico: los puntos
sobre el continuo (los números reales) se identificaron con secuencias
de elección que satisfacen ciertas condiciones. La secuencias de elección se reunen en un ‘‘artefacto’’ denominado ‘spread’ en inglés (es
decir ‘distribución’ o ‘extensión’), que cumple una función semejante
a la de los conjuntos de Cantor en el análisis clásico. Brouwer utilizó
al principio incluso la palabra alemana ‘Menge’ (‘conjunto’) para los
spreads y desarrolló una teoría de esas extensiones, y una teoría de
conjuntos de puntos basada en ella, en un artículo en alemán en dos
partes de 1918/1919 ‘Begründung der Mengenlehre unabhängig vom
Satz vom ausgeschlossenen Dritten’ (‘Fundamentación de la teoría de
conjuntos con independencia del principio de tercero excluido’). En
1921 se formuló en el título de un trabajo la pregunta de si cada número real tiene un desarrollo decimal. La respuesta que encontró fue
negativa. Para ello le bastó demostrar que se puede construir secuencias de elección, es decir números reales, que satisfacen la condición
de convergencia de Cauchy pero que para su desarrollo dependen de
un problema aún no resuelto. Por lo tanto no se podrá construir el
963
desarrollo decimal de esas secuencias hasta que el problema no haya
sido resuelto. Desde el punto de vista estrictamente constructivista
eso significa que no existirá ningún desarrollo decimal hasta que el
problema no haya sido resuelto. Por lo tanto se podrá decir que hay
–aunque sólo en sentido débil– números reales, es decir secuencias de
elección convergentes, que no tienen un desarrollo decimal. En su
trabajo de 1923 ‘Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen
Dritten in der Mathematik’ (‘Sobre el significado del principio de tercero excluído en la matemática’), usando nuevamente secuencias de
elección y problemas no resueltos, Brouwer presentó una técnica general para generar contraejemplos debiles a los principios clásicos.
Contraejemplos fuertes
En ‘Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus’
(‘Reflecciones intuicionistas sobre el Formalismo’) de 1928 discutió las
diferencias entre formalismo e intuicionismo relativas al tnd y a la
relación entre matemática y lenguaje, y enfatizó que el formalismo
presupone matemática con contenido en el metanivel. En ese trabajo presentó también su primer contraejemplo fuerte al tnd, mostrando que es falso que todo número real sea racional o irracional. Uno de
esos contraejemplos dice:
¬᭙xeR(Qx∨¬Qx),
donde R es el continuo intuicionista y Qx es el predicado ‘x es racional’ y los números reales en sentido intuicionista son secuencias de
elección convergentes. La verdad del contraejemplo parte de demostrar que el continuo no se puede dividir, es decir, no existen dispersiones no vacías A y B tales que A傼B = R and A傽B = Ø. Supongamos
por raa que existiesen esos A y B; entonces la función f: R → R definida por f(x) = 0, si xeA, y f(x) = 1, si xeB, es total y por lo tanto, por
el teorema de continuidad de Brouwer (generalizado de [0,1] a R), es
continuo. Pero entonces f debe ser constante. Pero entonces o bien A
es igual a R, o bien B lo es, y la otra dispersión es vacía. Pero esto contradice la hipótesis de que tanto A como B son no vacías. De que el
continuo no se pueda dividir se sigue que ᭙x僆R(Q(x)∨¬Q(x)) es falso.
Porque si fuese verdadero, podríamos obtener una división del continuo asignando, por f, 0 a los números reales racionales (A), y 1 a los
reales irracionales (B); pero esto es imposible, como hemos visto. Por
lo tanto ¬᭙x僆R(Q(x)∨¬Q(x)).
964
En las conferencias de Viena de 1928 ‘Mathematik, Wissenschaft
und Sprache’ (Matemática, ciencia y lenguaje) y ‘Die Struktur des
Kontinuums’ (La estructura del continuo), la primera más filosófica
y la segunda más matemática, Brouwer propuso en forma explícita
sus primeros comentarios sobre la noción del ‘‘sujeto creador’’ o ‘‘matemático idealizado’’ y en 1949 publicó nuevos contraejemplos fuertes
diferentes en los que la prueba depende esencialmente de la estructura temporal de la actividad matemática del sujeto creador. Esos
contraejemplos fuertes, por ejemplo
¬᭙x僆R(¬¬x < 0 → x < 0)
¬᭙x僆R(x ≠ 0 → x < 0∨x > 0)
y
,
se basan en el teorema de abanico y en la teoría matemática del ‘sujeto creador’. El primero demuestra que existe (en forma débil) un
caso donde la eliminación de la doble negación conduce a contradicción,
por lo que la eliminación de la doble negación no valdrá universalmente. En segundo que la ley de tricotomía no siempre es construible en
el dominio real. La publicación en inglés de esta nueva clase de contraejemplos fuertes, y en general de los contraejemplos para el tnd,
ocurrió recién en 1954 en el artículo traducido ‘An Example of
Contradictority in Classical Theory of Functions’. Alli se mostró cómo
al conservar la teoría clásica pero substituyendo en su interpretación
las nociones clásicas por sus correspondientes intuicionistas, se llega
a una contradicción. Por lo tanto no se trata de contraejemplos en
sentido estricto, sino de resultados de no-traducibilidad de un sistema a otro.
Conclusión
El intuicionismo significó un avance en la noción de fundamento en matemática. La matemática ya se había tornado mucho más
exigente luego de la reconstrucción formalista de Hilbert y más aún
luego de las críticas de Brouwer, de los intuicionistas y de sus epígonos constructivistas. Muchas demostraciones clásicas fueron criticadas
por estas escuelas, con lo que una parte importante de las doctrinas
matemáticas tradicionales pasaban a ser insuficientemente fundadas.
Por supuesto especialmente el formalismo de Hilbert participó de esa
discusión y de ella surgió una paulatina complementación en muchas
cuestiones. También hay que recordar que no sólo hubo críticas intuicionistas a demostraciones clásicas, sino además críticas formalistas
965
a demostraciones intuicionistas, precisamente a aquellas que dependían de la aceptación de la estructura del sujeto creador intuicionista. De modo que podemos decir que, si bien en el ámbito de la lógica
podemos considerar en primera aproximación a la lógica intuicionista como un fragmento de la lógica clásica –aunque éste no es un tema
definitivo–, en el dominio estrictamente matemático, si bien es cierto que la matemática intuicionista contiene sólo partes de la matemática clásica, también es cierto que la matemática clásica no contiene
toda la matemática intuicionista. Por ejemplo, el teorema de abanico es
un corolario del teorema de barra. Cuando se utiliza el principio de
continuidad, que no es clásicamente válido, se obtiene el teorema de
continuidad. Pero en el análisis clásico ambas partes de ese teorema
serían falsas. Por otra parte los teoremas de barra y de abanico son
clásicamente válidos, pero no así las demostraciones de Brouwer. Las
demostraciones clásicas no son intuicionistamente aceptables por
depender del principio de tercero excluido y las demostraciones intuicionistas son clásicamente inaceptables por depender de pasos que
apelan a la estructura de las construcciones mentales. Brouwer aceptó
incluso que dichas demostraciones, que identifica con objetos mentales del sujeto, son frecuentemente infinitas.
¿Cuál es el estado actual de la cuestión de fundamentos? Es fácil conjeturar que muchos problemas pendientes se resolverán alguna vez y que algunos problemas escaparán al alcance de los métodos
disponibles. ¿Serán verdaderamente irresolubles? No lo podemos saber de antemano. Pero la discusión entre las escuelas de fundamento, entre las que Brouwer y su escuela intuicionista jugaron un papel
central a lo largo de casi todo el siglo XX, ha realizado una tarea gigantesca, como ya lo había hecho previamente la escuela formalista.
Por ello podemos tener la esperanza de que el espíritu investigador no
desmaye.
Breve bibliografía
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(Contiene interesantes discusiones filosóficas y propone traducciones
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Weyl, Hermann ‘‘Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik’’,
Mathematische Zeitschrift 10 (1921), 39-79. (Hay traducción inglesa: ‘‘On
the New Foundational Crisis of Mathematics’’ en Mancosu 1998.)
UNS - CONICET
Argentina
968
BROUWER E A NATUREZA DA LÓGICA1
LUIZ CARLOS PEREIRA
1. Introdução
Nas duas primeiras páginas do terceiro capítulo da dissertação de
1907, Brouwer apresenta duas teses de caráter muito radical sobre a
natureza da matemática e da lógica, e sobre as relações de dependência que valem para essas disciplinas.
Tese 1: A matemática é independente da lógica.
We want to show that mathematics is independent of the so-called
logical laws (laws of reasoning or of human thought) ([1], p.72)
Tese 2: A lógica depende da matemática.
While thus mathematics is independent of logic, logic does depend
upon mathematics. ([1] p. 73)
Brouwer reconhece certo ar de paradoxo na primeira tese, isto é,
na proposta da independência da matemática com respeito à lógica,
pois, afinal de contas, ‘‘usually mathematics is expressed, oral or in
writing, in the form of argumentation, deduction of properties, by
means of a chain of syllogisms’’ ([1], p. 72). No entanto, segundo
Brouwer, tal aparência paradoxical rapidamente se desfaz quando
compreendemos adequadamente o real significado das palavras utilizadas na explicação citada acima:
But the conceptions which are evoked by the words used in such an
explanation, consist in the following: Where mathematical objects are
given by their relations to the basic or complex parts of a mathematical
1
Gostaria de agradecer as valiosas observações e sugestões dos professores
Javier Legris, Jorge Molina e Jorge Roetti, participantes do encontro ‘‘100 años de
intuicionismo matemático. El centenário de la tesis doctoral de L.E.J. Brouwer’’. Este
trabalho foi escrito com o apoio do CNPq.
969
structure, we transform these given relations by a sequence of
tautologies and thus gradually proceed to the relations of the object to
other components of the structure. ([1], p.72)
O que ocorre em uma demonstração matemática são construções
atuais (objetos dados em suas relações com partes, simples ou complexas, de estruturas matemáticas) e transformações sobre construções
atuais por meio de ‘‘tautologias’’. Parafraseando Heyting, diríamos
que não encontramos na inferência lógica o núcleo da demonstração
matemática, mas na própria construção do sistema matemático ([7],
p. 13). Mesmo nos casos de juízos hipotéticos e da redução ao absurdo o apelo a ‘‘figuras da lógica’’ é apenas aparente.
A lógica sim depende da matemática. A lógica é posterior à matemática, pois o que faz é descrever certas regularidades e padrões
nas construções mentais realizadas pelos matemáticos.
Gostaria de explorar nesta breve nota três vias que poderíamos
trilhar para inverter as relações entre a lógica e a matemática esposadas por Brouwer, e mostrar que, de fato e de direito, a matemática depende da lógica e a lógica não depende da matemática.
2. A lógica e os intuicionismos
O centenário da tese de Brouwer praticamente coincide com o
centenário do intuicionismo na matemática e na lógica. De certa forma, hoje soa estranho falar de intuicionismo no singular, pois nos encontramos em uma posição histórica privilegiada que nos permite
fazer certas distinções e reconhecer ao menos dois intuicionismos: o
intuicionismo original brouweriano e o intuicionismo pós 1973, ano de
publicação do artigo seminal de Michael Dummett, ‘‘The Philosophical
Basis of Intuitionism’’ [2]. Como já se tornou habitual, utilizarei as
expressões intuicionismo holandês, para me referir ao intuicionismo
original de Brouwer e Heyting, e intuicionismo semântico, para me
referir ao outro intuicionismo, o intuicionismo de Michael Dummett,
Dag Prawitz, Per Martin-Löf e outros. É óbvio que o intuicionismo
holandês e o intuicionismo semântico não diferem no que diz respeito à matemática e à lógica; a principal diferença encontra-se na atitude filosófica dessas posições com respeito à linguagem e à lógica:
enquanto para Brouwer o que realmente importa não está na linguagem, para Dummett e Prawitz o verdadeiro cenário, a verdadeira
arena da disputa entre, de um lado, a matemática e a lógica clássica
e, de outro lado, a matemática e a lógica intuicionista, é a arena das
970
teorias do significado. É nesse cenário semântico que nossas opções
lógico-semânticas serão feitas e a inspiração para o projeto semântico construtivista pode ser encontrada em uma famosa passagem em
que Gentzen associa, com todo cuidado e cautela, as regras de introdução de seu sistema de dedução natural à determinação do significado (das ‘‘definições’’) dos operadores lógicos.
The introduction rules represent, as it were, the «definitions» of the
symbols concerned, and the eliminations rules are no more, in the final
analysis, than the consequences of these definitions. This fact may be
expressed as follows: in eliminating a symbol, we may use the formula
with those terminal symbols we are dealing only ‘in the sense afforded
it by the introduction of that symbol’. ([4], p. 80)
O projeto semântico anti-realista dos anos setenta e oitenta era
bastante ambicioso: a semântica anti-realista não deveria ficar restrita aos domínios da lógica e da matemática, mas poderia e deveria ser
estendida à linguagem como um todo. Como sabemos hoje, esse projeto semântico mais ambicioso enfrenta vários impasses não triviais.
De qualquer forma, independentemente dos problemas que a fundamentação semântica do intuicionismo enfrenta, não resta dúvida alguma sobre o papel fundamental que a lógica (regras de inferência,
derivações, provas, subjuntivos, operadores) desempenha na própria
compreensão e constituição da posição intuicionista. O sentido de um
enunciado matemático depende de sua forma lógica e do que contaria como uma prova (canônica) de enunciados com essa forma.
Para o intuicionismo holandês, não há o problema de um revisionismo lógico independente: dado que para essa posição a lógica é
pensada como dependente da matemática, uma mudança na lógica é
uma conseqüência de uma mudança na matemática. Obviamente o
mesmo não ocorre com o intuicionismo semântico, para o qual o conflito pode ocorrer em um nível puramente lógico.
O matemático/lógico clássico pode até considerar a posição intuicionista bastante interessante, dado que provas intuicionistas, mesmo sendo comumente mais longas, são, em geral, mais informativas
que seus parentes clássicos. As provas intuicionistas satisfazem algumas propriedades que as provas clássicas não satisfazem, como, por
exemplo, a propriedade da disjunção e a propriedade do quantificador
existencial. Tal forma de ecletismo lógico-matemático não é uma atitude filosófica disponível para o intuicionista praticante (crente): ao
matemático/lógico intuicionista não resta alternativa que a de propor
um revisionismo na lógica e na matemática revogando a validade
971
universal de certos modos clássicos de raciocínio. Creio que podemos
formular esse ponto da seguinte maneira: para o matemático clássico, a proposta intuicionista, se levada a sério, significa uma mutilação
no corpus matemático; já para o intuicionista, trata-se simplesmente da única forma correta de fazer matemática – não se pode perder
o que não se tem! Uma forma padrão de se desqualificar o conflito
entre o clássico e o intuicionista baseia-se na idéia, até certo ponto
razoável, de que os litigantes estão falando sobre coisas distintas (ou
falando coisas distintas), e que, se estão falando sobre coisas distintas, não há uma mesma coisa, regras ou princípios, sobre a qual divergem e disputam. Segundo essa estratégia de desqualificação do
problema, é como se os participantes do (pseudo-)conflito falassem
duas línguas e não se dessem conta disso. Não é por outra razão que
alguns construtivistas buscaram e buscam um solo comum, uma língua mínima comum, onde a discussão e o conflito possam ocorrer.
Essa idéia de uma língua comum nos levará, como veremos mais
detalhadamente na próxima seção, à primeira metade do século passado, quando várias traduções e interpretações de sistemas e teorias
clássicos foram propostas.
3. A aritmética clássica é intuicionista
Comecei este texto reproduzindo uma das teses centrais da dissertação de Brouwer, a tese de que a matemática não depende da lógica. Gostaria de explorar nesta seção uma outra via para a negação
da tese brouweriana, a saber, uma via para a tese de que a matemática depende da lógica. Para esse fim, voltaremos ao final dos anos 20
e início dos anos 30, quando vários resultados, sob a forma de interpretações, traduções e imersões, estabeleceram conexões interessantes entre sistemas formais clássicos e intuicionistas, tais como os
resultados de Glivenko [5], Kolmogorov [8], Gödel [6] e Gentzen [3].
Glivenko, por exemplo, mostra que a negação de qualquer teorema proposicional clássico pode ser refutada construtivamente e
que não podemos distinguir a lógica proposicional clássica da lógica proposicional intuicionista com respeito aos teoremas da forma
¬A:
Glivenko 1: Se A é um teorema proposicional clássico, então ¬¬A
é um teorema proposicional intuicionista.
Glivenko 2: Se ¬A é um teorema proposicional clássico, então ¬A
é um teorema proposicional intuicionista.
972
Outras conexões foram estabelecidas, como dissemos acima, sob
a forma de traduções (ou interpretações) de sistemas clássicos para
(em) sistemas intuicionistas, tais como as interpretações propostas
por Gödel [6] e Gentzen [3] da aritmética de Peano na aritmética de
Heyting, até hoje marcos importantes dessa família de resultados.
Segundo Gentzen, a aritmética intuicionista difere da aritmética de um modo ‘‘puramente externo, aceitando apenas parte da lógica dos predicados clássica como válida’’.
By classical mathematics we mean the theory of the natural numbers
as it is built up from the axioms of Peano, together with classical
predicate logic (called ‘‘restricted predicate calculus’’ in HilbertAckermann), and the introduction of recursive definitions.
Intuitionist arithmetic differs from classical arithmetic, purely
externally, by accepting only part of classical predicate logic as
admissible. Intuitionist predicate logic may be extended to classical
predicate logic by including, for example, the law of the excluded middle
(A is true or A is false) or, alternatively, the law of double negation (if
A is not false, then, then A is true).
In the following we intend to show that the applications of the law of
double negation in proofs of classical arithmetic can in many instances
be eliminated. ([3], p. 53)
O que significa ‘‘externamente’’? Acredito que ‘‘externamente’’
significa ‘‘apenas do ponto de vista lógico, e não do ponto de vista
matemático’’! Temos aqui uma posição completamente diferente da de
Brouwer: a aritmética não impõe a lógica, mas, muito pelo contrário,
a aritmética intuicionista é obtida por uma restrição da lógica – mudamos a matemática mudando a lógica!
Os resultados de Gödel e de Gentzen podem ser formulados da seguinte maneira:
– Todo teorema da aritmética de Peano formulada na linguagem
{¬, ∧, →, ⊥, ᭙}, no caso de Gentzen, ou na linguagem {¬, ∧, ⊥, ᭙}, no
caso de Gödel, é um teorema intuicionista.
Como do ponto de vista clássico não perdemos nada ao trabalharmos com essas linguagens restritas, podemos agora fazer uma leitura
bastante interessante dos resultados de Gentzen e de Gödel: somos capazes de fazer aritmética clássica sem lógica clássica. De fato, podemos
obter uma formulação ainda mais geral desse tipo de resultado:
– Seja TC uma teoria clássica formulada em {¬, ∧, →, ⊥, ᭙}. Se TC
é atomicamente estável (A↔¬¬A, para A atômica) e os axiomas não
lógicos e regras de TC não ‘‘embutem’’ princípios clássicos, então, se
A é um teorema de TC, A possui uma prova intuicionista.
973
Esse é o real sentido das traduções de Gentzen e Gödel.
Um outro tema interessante, mas que não será aqui desenvolvido, é o das aritméticas intermediárias. Sabemos que a aritmética que
obtemos com a lógica intermediária de domínios constantes (a lógica
intuicionista acrescida do axioma (᭙x(A(x)∨B) → (᭙xA(x)∨B)) [x não
ocorre livre em B]) é a própria aritmética de Peano. Logo, podemos
usar uma lógica onde não vale o princípio do terceiro excluído e ainda assim obter a aritmética de Peano. Sabemos também que há aritméticas intermediárias, isto é, aritméticas entre a aritmética de
Heyting e a aritmética de Peano. Seria obviamente interessante buscar estabelecer algum tipo de medida nas lógicas intermediárias tal
que, a partir de um ponto determinado, todas as aritméticas colapsariam na aritmética de Peano
Para finalizar esta seção, gostaria de explorar um pouco mais a
função de interpretação definida por Gödel. A função de interpretação da aritmética de Peano na aritmética de Heyting definida por
Gödel, além de interpretar (eliminar) a disjunção e o quantificador
existencial, como faz a função de interpretação definida por Gentzen,
também elimina a implicação, interpretando, como é usual, expressões da forma (A → B) como ¬(A∧¬B). Essa diferença entre as interpretações de Gödel e de Gentzen tem uma conseqüência bastante
interessante: Gödel demonstra como resultado preparatório para a
definição de sua função de interpretação que o fragmento {¬, ∧} é incapaz de distinguir teoremas clássicos de teoremas intuicionistas.
If to the primitive notions of Heyting’s propositional calculus we let
correspond those notions of the classical propositional calculus that are
denoted by the same sign and if to absurdity (¬) we let correspond
negation (~), then the intuitionistic propositional calculus H turns out
to be a proper subsystem of the ordinary propositional calculus A. With
another correlation (translation) of the notions, however, the classical
propositional calculus is, conversely, a subsystem of the intuitionistic one.
For we have: Every formula built up solely by means of conjunctions (∧)
and negations (¬) that holds in A is provable in H as well. ([6], p.287)
O argumento de Gödel é bastante engenhoso: como todo teorema
clássico A no fragmento {¬, ∧} possui uma forma canônica ¬B1 ∧ . . .
∧¬Bn (para B1, . . . , Bn em {¬, ∧}), então, pelos resultados de Glivenko,
se A é um teorema clássico, então A é um teorema intuicionista.
A moral mais do que curiosa embutida nesse resultado de Gödel
é que, do ponto de vista de seus teoremas, realmente podemos fazer
lógica proposicional clássica sem usar lógica clássica! Nossos manuais de lógica econômicos, que reduzem os operadores ao fragmento
974
{¬, ∧}, poderiam, com respeito aos teoremas, utilizar apenas procedimentos intuicionistas de raciocínio.
Podemos obter muitos outros resultados construtivos para diferentes fragmentos da lógica clássica. Para mencionar apenas alguns:
Teorema 1 (involução da negação): Seja A ∈ {¬, ∧, ⊥, ᭙}. Se ⵫I ¬¬A,
então ⵫I A.
Teorema 2 (externalização): Seja A ∈ {¬, ∧, ⊥, ᭙}. Se ⵫I ᭙x¬¬A, então
⵫I ¬¬᭙xA.
Teorema 3: Seja A uma fórmula em {¬, ∧}. Logo, se ⵫C ¬᭙xA, então
⵫I ¬᭙xA.
Teorema 4 (Glivenko): Seja A uma sentença no fragmento {¬, ∧, ⊥, →, ∃}.
Se ⵫C ¬A, então ⵫I ¬A.
Teorema 5: Seja ∃xA uma sentença em {¬, ∧, ⊥, ∃} tal que A seja livre
de quantificadores. Se ⵫C ∃xA, então ⵫I ∃xA.
Teorema 6: Seja A uma sentença no fragmento {¬, ∧, ⊥, ∃} tal que
nenhum quantificador em A ocorre no escopo de outro quantificador. Nesse caso, se ⵫C A, então ⵫I A. Uma leitura interessante
desse resultado é que para obtermos a lógica clássica de primeira ordem, necessitamos da iteração de quantificadores!
4. Brouwer e os juízos hipotéticos
Na primeira página do terceiro capítulo da dissertação de 1907,
buscando mostrar que a matemática é independente a lógica,
Brouwer considera um possível contra-exemplo para sua tese:
In one particular case the chain of syllogisms is of a somewhat different
kind, which seems to come nearer to the usual logical figures and which
actually seems to presuppose the hypothetical judgment from logic. This
occurs when a structure is defined by some relation in another
structure, while it is not immediately clear how to effect its construction.
Here it seems that the construction is supposed to be effected, and that
starting from this hypothesis a chain of hypothetical judgments is
deduced. But this is no more than apparent; what actually happens is
the following: one starts by setting up a structure which fulfills part of
the required relations, thereupon one tries to deduce from these
relations, by means of tautologies, other relations, in such a way that
these new relations, combined with those that have not yet been used,
yield a system of conditions, suitable as a starting-point for the
constructions of the required structure. Only by this construction will it
be proved that the original conditions can be fulfilled. ([1], p. 72)
975
Podemos fazer as seguintes observações, ligeiras e impressionistas, é verdade, sobre essa interessante passagem:
1. Brouwer reconhece que há um caso especial (um tipo diferente) de ‘‘cadeia de silogismos’’.
2. Esse tipo especial de ‘‘cadeia de silogismos’’ parece aproximarse das ‘‘figuras lógicas usuais’’.
3. Neste caso especial, a ordem das disciplinas parece se inverter:
a matemática parece pressupor ‘‘o juízo hipotético da lógica’’.
4. Nessa cadeia especial de raciocínios parece ocorrer uma construção hipotética, isto é, uma construção não atual, ‘‘not
effected’’.
5. Brouwer não aceita construções ‘‘not effected’’.
6. A dependência, por parte da matemática, da lógica e de construções não atuais é meramente aparente.
Um excelente comentário sobre a posição de Brouwer com respeito aos juízos hipotéticos pode ser encontrado no texto ‘‘The
hypothetical judgment in the history of intuitionistic logic’’, de Mark
van Atten [16]. Para van Atten, a noção fundamental da qual necessitamos para uma compreensão adequada da posição de Brouwer com
respeito aos juízos hipotéticos é a noção de sistema de condições2. A
saída para a armadilha das construções não construídas, mas supostas,
é trabalhar com condições e transformações atuais. Em um raciocínio
hipotético partimos das condições especificadas pelo antecedente do
juízo hipotético correspondente e, através de transformações construtivamente legítimas (tautologias intuicionistas), transformamos essas
primeiras condições em condições para a construção do conseqüente.
Segundo van Atten, ‘‘necessary conditions on constructions described
by the antecedent are transformed into sufficient conditions on
constructions descrbed by the consequent’’ ([16], p.8). Essa leitura de
Brouwer não contém nada com natureza hipotética: temos condições
(atuais) e transformações (atuais) sobre condições.
Tomemos como exemplo um juízo hipotético da forma ((A ∧ B) →
(A ∨ B)).
a. Reconhecemos como imediatamente evidente que as condições
especificadas por (A ∧ B) incluem as condições especificadas
por A (no sentido de que qualquer construção que satisfaça a
condição (A ∧ B) também satisfaz a condição A).
2
Diferentemente do que se poderia inferir de nossas considerações na seção 2,
van Atten observa que as funções ‘‘técnicas’’ de tradução de sistemas clássicos em sistemas intuicionistas são de pouca ajuda para a discussão sobre a natureza dos juízos
hipotéticos.
976
b. Reconhecemos como imediatamente evidente que a condição
especificada por A inclui a condição especificada por (A ∨ B)
(no sentido de que qualquer construção que satisfaça a condição A também satisfaz a condição (A ∨ B)).
c. Essa cadeia de transformações legítimas do ponto de vista intuicionista (tautologias) nos leva das condições especificadas
pelo antecedente às condições especificadas pelo conseqüente.
Mesmo considerando, como disse acima, bastante interessante a
interpretação proposta por van Atten para a compreensão brouweriana dos juízos hipotéticos, gostaria de fazer algumas observações que
poderiam sugerir, uma vez mais, um redirecionamento na ordem de
prioridades.
i. A idéia de que uma condição inclui ou está incluída em outra
condição parece contrabandear para o interior da análise
novos juízos hipotéticos.
ii. Quando dizemos de uma construção arbitrária que se ela satisfaz a condição A, então ela também satisfaz a condição B,
estamos fazendo um juízo hipotético sobre construções.
iii. Quando falamos de ‘‘necessary conditions on constructions’’ e
‘‘sufficient conditions on constructions’’ estamos falando de
conseqüentes e antecedentes de novos juízos hipotéticos.
Sem dúvida alguma a idéia de van Atten pode nos ajudar a compreender o funcionamento de hipóteses em nossos raciocínios construtivos hipotéticos. Tomemos novamente o exemplo da expressão
(proposicional) ((A ∧ B) → (A ∨ B)). Ao partirmos de (A ∧ B), não partimos de uma construção atual, mas das condições que qualquer construção deveria satisfazer para ser uma construção de (A ∧ B). Uma
dessas condições necessárias é que toda construção (canônica) de
(A ∧ B) pode ser transformada em uma construção de A (as condições
para A formam parte das condições para (A ∧ B)). Por outro lado, toda
construção que satisfaz as condições especificadas por A também satisfazem as condições especificadas por (A ∨ B) (as condições para A
incluem as condições para B). É difícil não reconhecer aqui as regras
de introdução e eliminação de nossos sistemas de dedução natural, e
não reconhecer no processo descrito neste parágrafo a derivação
(A ∧ B)
_________
A
__________
(A ∨ B)
977
É a própria forma lógica dos juízos que nos autoriza a fazer as
transformações. Como sugeri acima, essa explicação não elimina a
aparência de uma dependência com respeito a noções lógicas, mas,
muito pelo contrário, a assume explicitamente.
É bem conhecida a distância que separa os ‘‘juízos hipotéticos’’ da
lógica de outras formas judicativas (conjunções e disjunções, por
exemplo). Correndo o risco de parecer um pouco exagerado, acredito
que podemos dizer que sem juízos hipotéticos não há lógica. Mesmo
do ponto de vista clássico, não há tautologias sem juízos hipotéticos
(com as restrições usuais envolvendo a negação e o verum T).
5. Conclusão
Há certamente vários pontos que poderiam ser contestados nas
considerações tecidas acima.
(a) A atitude do intuicionismo semântico poderia ser criticada por
trabalhar com um conceito equivocado de construção.
(b) Toda a discussão sobre logic-dependent arithmetics estaria baseada na idéia de que temos arithmetic-independent logics, e,
com isso, argumentaria o intuicionismo holandês, estaríamos
colocando a carroça na frente dos bois.
(c) A semântica dos juízos categóricos proposta pelo intuicionismo semântico parece pressupor os juízos problemáticos. As
condições de assertabilidade lançam mão, explicita ou implicitamente, de subjuntivos, contrafactuais e noções modais.
Ora, se o que está em questão é nossa compreensão dos condicionais e de nossas demonstrações a partir de hipóteses,
parece que estamos explicando algo obscuro por meio de algo
misterioso.
É claro o descompasso entre a pretensão do título e os resultados
alcançados. Certamente teríamos o direito de esperar muito mais de
um texto que assume como tema ‘‘a natureza da lógica’’, muito mais
do que as simples sugestões que aqui foram apresentadas. No entanto,
espero ter ao menos indicado nesta breve nota que a adoção do ponto de vista intuicionista na lógica e na matemática de forma alguma
nos compromete com as teses de Brouwer de que a matemática
independe da lógica e de que a lógica depende da matemática. De fato,
creio que temos boas razões para adotar as inversas dessas teses: a
matemática depende da lógica e a lógica não depende da matemática.
978
No fundo, creio que não podemos nos esquecer da máxima
tautológica que diz: pensar é pensar, calcular é calcular.
6. Referências bibliográficas
[1] Brouwer, L. E. J. Collected Works I, editados por A. Heyting NorthHolland, Amsterdam, 1975, pp. 417-428.
[2] Dummett, M. The Philosophical Basis of Intuitionistic Logic, in H. E.
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[3] Gentzen, Gerhard. On the relation between intuitionist and classical
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North-Holland, 1969, pp. 53 - 67 (1933).
[4] – Investigations into logical deduction, in The collected works of
Gerhard Gentzen, ed. M. Szabo, North-Holland, 1969, pp. 68 - 131
(1933).
[5] Glivenko, M.V. Sur quelques points de la logique de M. Brouwer, in
Académie Royale de Belgique, Bulletins de la classe de Sciencces, series
15, v.15, 1929, pp. 183 - 188.
[6] Gödel, Kurt. On intuitionistic arithmetic and number theory, in Kurt
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Mathématiquede Moscou), vol. 32, pp. 646 - 667, 1925. Tradução inglesa: On the principle of the excluded middle, in From Grege to Gödel: a
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Haward University Press, pp. 414 - 437, 1977.
[9] Medeiros, Maria da Paz N. Traduções via teoria da prova: aplicações à
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[10] Medeiros, Maria da Paz N., Sanz, W., Pereira, L.C. A trivial extension
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[11] Medeiros, Maria da Paz, Pereira, L. C., Hauesler, E. H. Alguns resultados sobre fragmentos da lógica clássica com negação. A ser publicado
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[12] Prawitz, Dag. Natural Deduction, Almqvist & Wiksel, Stockholm, 1965.
[13] Seldin, Jonathan. On the proof theory of the intermediate logic MH, in
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979
[16] van Dalen, D. Mystic, Geometer, and Intuitionist: The Life of L.E.J.
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PUC-Rio/UERJ
[email protected]
980