TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA
A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações
trigonométricas num triângulo retângulo.
Num triângulo ABC, retângulo em A, indicaremos por B̂ e por Ĉ as medidas dos ângulos
internos, respectivamente nos vértices B e C.
TEOREMA DE PITÁGORAS: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas
dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.
a2 ! b2
c2
Definições:
1. Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
sen B̂ !
cateto oposto ao ângulo B̂ b
!
hipotenusa
a
sen Ĉ !
cateto oposto ao ângulo Ĉ c
!
hipotenusa
a
2. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
cos B̂ !
cateto adjacente ao ângulo B̂ c
!
hipotenusa
a
cos Ĉ !
cateto adjacente ao ângulo Ĉ b
!
hipotenusa
a
3. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida dos
catetos oposto e adjacente a esse ângulo.
tg B̂ !
tg Ĉ !
cateto oposto ao ângulo B̂
cateto adjacente ao ângulo B̂
cateto oposto ao ângulo Ĉ
cateto adjacente ao ângulo Ĉ
!
b
c
!
c
b
Observação:
Note que tg B̂ !
b
b
sen B̂
! a!
.
c c
cos B̂
a
Em geral, utilizaremos tg x !
sen x
, para o ângulo x.
cos x
VALORES NOTÁVEIS
1) Considere o triângulo eqüilátero de medida de lado a.
a 3
a
sen(30 ) !
2!1
a
2
a 3
sen(60 ) !
a
2 !
cos(30 ) !
3
2
a
2 !
3
2
a
tg(30 ) !
a 3
a
cos(60 ) !
2!1
a
2
2 ! 1 ! 3
3
a 3
3
2
tg(60 ) !
a
2 ! 3
2
2) Considere o quadrado de medida de lado a.
sen( 45 ) !
a
a 2
!
1
2
!
2
2
cos( 45 ) !
a
a 2
1
!
2
!
2
2
tg( 45 ) !
a
!1
a
Resumindo:
Seno
Cosseno
Tangente
30o
45o
60o
1
2
2
3
3
2
3
2
2
2
1
3
2
1
2
3
ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA
Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes,
denominadas arcos, que indicaremos por
ou
.
As unidades usuais para arcos de circunferência são: grau e radiano.
MEDIDA DE ARCOS
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Definimos:
GRAU: é o arco unitário correspondente a
1
da circunferência que contém o arco a ser
360
medido.
RADIANO: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o
arco a ser medido. ( 1radiano " 57 o )
As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais,
possibilitando a obtenção da equação de conversão de unidades, através de uma regra de três
simples, em que # é a medida em graus e $ em radianos.
medida em graus
medida em radianos
#
%
180
&
#
$
!
180 %
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Imagine um ponto A se
deslocando sobre a circunferência.
Existe uma diferença muito importante para se graduar uma reta e uma circunferência: enquanto
que na reta cada ponto corresponde a um único número real, na circunferência cada ponto
corresponde a uma infinidade de números reais e todos diferem de múltiplos inteiros de 2 % .
A figura a seguir ilustra a graduação, em radianos, de uma circunferência de raio 1.
Ao marcarmos o ponto P na circunferência de raio 1, temos um triângulo retângulo
correspondente, de onde calculamos:
cos # !
xp
1
! x p ; sen# !
yp
1
! y p ; x p2
y p2 ! 1 obtendo-se cos 2 # sen 2 # ! 1
A figura acima mostra que no eixo x temos o valor do cosseno e no eixo y, temos o seno,
definindo o chamado ciclo trigonométrico.
Para os pontos A, B, C e D podemos obter os seguintes valores:
sen0 = yA = 0
cos0 =xA = 1
sen %
cos %
2
= yB = 1
2
=xB = 0
sen % = yC = 0
cos % =xC = -1
sen 3 %
cos 3 %
2
= yD = 1
sen2 % = yA = 0
2
=xD = 0
cos2 % =xA = 1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Estudaremos as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, nos ciclos
trigonométricos.
Veremos a periodicidade e os gráficos das funções seno cosseno e tangente.
O que é periodicidade?
Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, vamos exemplificar com os dias da
semana, de 7 em 7 dias eles se repetem, chamamos este fato de periódico, e o período é 7.
Estas três funções que serão apresentadas são ditas funções periódicas.
Definição: Uma função f é periódica se existir um número real p > 0 tal que f(x+p) = f(x),
(x ' Dom f . Neste caso, o menor valor de p que satisfaz tal condição é chamado período de f.
Observação: o gráfico de uma função periódica é caracterizado por ter seu “desenho” se
repetindo. Assim, para desenharmos a curva toda, basta desenharmos a parte correspondente a
um período e copiar à direita e à esquerda infinitas cópias da parte desenhada.
Vamos analisar a periodicidade destas três funções trigonométricas:
1) Seno
sen(x) = sen(x + 2 % ) = sen(x + 4 % ) =..... = sen(x + k2 % ), k ' Z.
Seno é função periódica de período 2 %
2) Cosseno
cos(x) = cos(x + 2 % ) = cos(x + 4 % ) =..... = cos(x + k2 % ), k ' Z.
Cosseno é função periódica de período 2 %
3) Tangente
tg(x) = tg(x + % ) = tg(x+ 2 % ) =..... = tg(x + k % ), k ' Z.
Tangente é função periódica de período %
Generalizando: y = a sen(kx) e y = a cos(kx)
p=
2%
k
Generalizando: y = a tg(kx)
p=
%
k
Exemplos:
1) Determine o período de cada função:
a). y = 3 sen(x)
p = 2%
b) y = 3 sen(2x)
p=
2%
!%
2
c). y = 2 sen(x/2)
p=
2%
! 4%
1/ 2
d) y = 3 cos(2x)
p=
2%
!%
2
e) y = cos(3x/5)
p=
2%
10%
!
3/5
3
2) Determine o período de cada função:
%
2
a). y = tg(2x)
p=
b). y = 2 tg(x)
p= %
a). y = tg(x/2)
p=
%
! 2%
1/ 2
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO
y = sen x
Propriedades
a) Dom = )
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2%
d) sen (-x) = - sen (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO
y = cos x
Propriedades
a) Dom = )
b) Img = [-1, 1]
c) Período = 2%
d) cos (-x) = cos (x)
GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
y = tg x
Propriedades
a) Dom = { x ' ) / x * % 2 k%}
b) Img = )
c) Período = %
d) tg (-x) = -tg (x)
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
tg x =
%
senx
k% com k ' Z
, para x *
cos x
2
cotg x =
sec x =
cos x
, para x * k% com k ' Z
senx
%
1
k% com k ' Z
, para x *
2
cos x
cossec x =
1
, para x * k% com k ' Z
senx
sen2x + cos2x = 1, para x ' R
sec2x = 1 + tg2x, para x *
%
k% com k ' Z
2
cossec2x = 1 + cotg2x, para x * k% com k ' Z
FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Sendo “a” e “b” dois números reais.
sen(a + b) = sena.cosb + cosa.senb
sen(a – b) = sena.cosb – cosa.senb
cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senb
cos(a – b) = cosa.cosb + sena.senb
tg(a + b) =
tga tgb
1 + tga.tgb
tg(a - b) =
tga + tgb
1 tga.tgb
Exemplos
1) Calcule
a) cos(15 )
Solução:
cos(15 ) ! cos( 45 + 30 ) ! cos( 45 ) , cos(30 ) sen( 45 ) , sen(30 ) !
!
2
3
,
2
2
2 1
, !
2 2
6
2
4
b) sen(15 )
Solução:
sen(15 ) ! sen( 45 + 30 ) ! sen( 45 ) , cos(30 ) + sen( 45 ) , cos(30 ) !
!
2
3
2 1
,
+
, !
2
2
2 2
6+ 2
4
b) tg(15 )
Solução:
3
3+ 3
3+ 3
3 !
3
!
tg(15 ) ! tg( 45 + 30 ) !
!
!
3
3 3
3
1 tg( 45 ) , tg(30 ) 1 1 , 3
3
3
tg( 45 ) + tg(30 )
!
- .
1+
-
.
2
3 + 3 3 + 3 32 + 2 , 3 3
3
9 + 6 3 3 12 + 6 3 6 2 + 3
,
!
!
!
!
! 2+ 3
2
9+3
6
6
2
3
3 3+ 3
3 + 3
- .
FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO: ARCO DUPLO (2a)
A partir das fórmulas de adição e subtração, podemos obter as seguintes fórmulas de
multiplicação:
cos(2a) = cos(a+a) = cos a cos a – sen a sen a = cos2a – sen2a =
=cos2a –(1- cos2a ) = 2 cos2a -1
sen(2a) = sen(a+a) = sen a cos a + sen a cos b = 2 sen a cos a
tg(2a) = tg (a+a) =
tga tga
2tga
!
1 + tga.tga 1 + tg 2 a
Ou seja,
cos 2a = cos 2 a + sen 2 a
cos 2a = 2 cos2a – 1
sen 2a = 2 sen a . cos a
tg 2a =
2tga
1 + tg2 a.
cos 2a= 1 – 2 sen2a
Exemplos
1) Sabendo que tg( x ) !
1
, calcule tg(2x).
3
Solução
1 2
3 ! 3 ! 2,9 ! 3
!
tg(2x) =
1 + tg 2 x. 1 + 1 8 3 8 4
9 9
2 tg x
2,
2) Resolva a equação cos( 2x ) ! 3 sen( x ) + 1 .
Solução
cos( 2x ) ! 3 sen( x ) + 1
cos 2 ( x ) + sen 2 ( x ) ! 3 sen( x ) + 1
1 + sen 2 ( x ) + sen 2 ( x ) ! 3 sen( x ) + 1
2 sen 2 ( x ) 3 sen( x ) + 2 ! 0
Resolvendo a equação de 2º grau em sen(x), temos:
/ ! 3 2 + 4 , 2 , ( +2) ! 9 16 ! 25
+315
sen( x ) !
!
4
5%
+3 5 1
%
2k% ou x !
! 0x!
6
4
2
6
ou
+3+5
! +2 0 não existe x
4
7
%
Conjunto solução: S ! 6x ' R x !
6
5
2k% ou x !
5%
6
2k%
4
2k% , k ' Z 3
2
FÓRMULAS DE BISSECÇÃO
As fórmulas de bissecção podem ser obtidas do seguinte modo:
cos( 2b) ! 1 + 2sen 2b 0 2sen 2 b ! 1 + cos( 2b) 0 sen 2 b !
obtemos sen 2
a
1 + cos( 2b)
e, se considerarmos b= ,
2
2
a 1 + cos a
!
.
2
2
Seguindo essa idéia, temos
sen 2
a 1 + cos a
!
2
2
cos 2
a 1 cos a
!
2
2
tg 2
a 1 + cos a
!
2 1 cos a
RELAÇÕES DE PROSTAFÉRESE
7
p q
88a ! 2
7a b ! p
e substituindo nas fórmulas de adição e subtração,
Fazendo 6
, ou seja, 6
p+q
5a + b ! q
8
b!
85
2
obtemos as relações de prostaférese dadas por
sen p + sen q = 2 , sen
sen p - sen q = 2 , sen
p q
p+q
, cos
2
2
p+q
p q
, cos
2
2
cos p + cos q = 2 , cos
p q
p+q
, cos
2
2
cos p - cos q = + 2 , sen
p q
p+q
, sen
2
2
tg p + tg q =
sen(p q)
cos(p ). cos( q)
tg p - tg q =
sen(p + q)
cos(p ). cos( q)
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Nosso problema agora é procurar, se existirem, valores de y para os quais sen y = x,
lembrando que + 1 9 x 9 1 .
Dado x, o valor de y correspondente tal que sen y = x determina uma função. Mas, para que o
valor de x determinado seja único, teremos que usar a restrição
+%
%
9y9 .
2
2
Para solucionarmos esta questão, temos que estudar as funções trigonométricas inversas.
1) Função arco-seno (arcsen)
?+ % % <
, : tais que sen y = x.
A cada x ' [–1,1] associa-se um único y ' =
> 2 2;
Assim, definimos a função
?+ % % <
, :
arcsen : [–1,1] @ =
> 2 2;
x ! y ! arcsen( x )
Exemplos
1) Calcule
a) y = arcsen(1/2)
Solução
?+ % % <
y = arcsen(1/2) A sen y = 1/2 . Lembrando que y ' =
, : , temos y = % /6, ou seja,
> 2 2;
G 1D %
arcsenE B ! .
F2C 6
b) y = arcsen(0)
Solução
?+ % % <
, : , temos y = 0, ou seja, arcsen-0 . ! 0 .
y = arcsen(0) A sen y = 0 . Lembrando que y ' =
> 2 2;
c) y = arcsen(-1/2)
Solução
?+ % % <
, : , temos y = + % /6, ou seja,
y = arcsen(-1/2) A sen y = -1/2 . Lembrando que y ' =
> 2 2;
%
G 1D
arcsenE + B ! + .
6
F 2C
d) y = arcsen(1)
Solução
%
?+ % % <
, : , temos y = % /2, ou seja, arcsen-1. ! .
y = arcsen(1) A sen y = 1 . Lembrando que y ' =
2
> 2 2;
2) Função arco-cosseno (arccos)
A cada x ' [–1,1] associa-se um único y ' H0, % I tais que cos y = x.
Assim, definimos a função
arccos : [–1,1] @ H0, % I
x ! y ! arccos( x )
Exemplos
1) Calcule
a) y = arccos(1/2)
Solução
G 1D %
y = arccos(1/2) A cos y = 1/2 . Lembrando que y ' H0, % I , temos y = % /3, ou seja, arccosE B ! .
F2C 3
b) y = arccos(0)
Solução
y = arccos(0) A cos y = 0 . Lembrando que y ' H0, % I , temos y = % /2, ou seja, arccos-0 . !
%
.
2
c) y = arccos(-1/2)
Solução
y = arccos(-1/2) A cos y = -1/2. Lembrando que y ' H0, % I temos y = 2% /3, ou seja,
G 1 D 2%
arccosE + B !
.
F 2C 3
d) y = arccos(1)
Solução
y = arccos(1) A cos y = 1 . Lembrando que y ' H0, % I temos y = % , ou seja, arccos-1. ! % .
3) Função arco-tangente (arctg)
G+% %D
, B tais que tg y = x.
A cada x ' [–1,1] associa-se um único y ' E
F 2 2C
Assim, definimos a função
G+% % D
, B
arcsen : [–1,1] @ E
F 2 2C
x ! y ! arctg( x )
Exemplos
1) Calcule
a) y = arctg(1)
Solução
%
G+% %D
y = arctg(1) A tg y = 1 . Lembrando que y ' E
, B , temos y = % /4, ou seja, arctg-1. ! .
4
F 2 2C
b) y = arcsen( 3 )
Solução
y = arctg( 3 ) A tg y =
G+% %D
, B , temos y = % /3, ou seja,
3 . Lembrando que y ' E
F 2 2C
- 3 . ! 3% .
arctg
c) y = arctg(-1)
Solução
%
G+% %D
y = arctg(-1) A tg y = -1 . Lembrando que y ' E
, B , temos y = + % /4, ou seja, arctg-+ 1. ! + .
2
2
4
C
F
EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA
1) Em cada um dos casos, calcule o seno, o cosseno, a tangente do ângulo agudo assinalado:
2) Um barco deveria sair do porto da cidade A e ir até o porto da cidade B em uma linha reta, (no
sentido norte-sul). Entretanto, uma correnteza fez com que o barco sofresse um desvio de na
direção leste. Ultrapassando o trecho de correnteza o capitão necessitou efetuar uma correção no
rumo no barco de 45º para a esquerda, de tal forma que ao reencontrar a rota original é possível
traçar um triângulo retângulo.
(norte) A
Se o barco percorreu 5 milhas na direção
5 milhas
leste, quanto ele teve que andar para
(leste)
retornar á rota original?
(sul) B
3) A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28
dias.
a) De quantos radianos é o movimento da lua em um dia?
b) Qual a distância percorrida pela lua em uma revolução completa? (adote a distância da terra à
lua de 385.000km).
4) Reduza os arcos à primeira volta, represente-os graficamente e calcule o valor de seu seno,
cosseno e tangente.
a)1470º
b) –1020º
c)
25%
4
d) +
5%
2
5) Determine o valor de
(a) sen 1620º
(b) sen (-990º)
6) Sendo sen a = 1/2 e cos b = -1/2, sabendo que a e b são arcos do 2º quadrante, calcule:
a) sen (a+b)
b) cos(a-b)
c) tg (a+b)
7) Resolva a expressão matemática
a) x = sen (%/6)- cos (2%/3)-3*sen(%)
b) y = tg(%/4)+2*sen(5%/6) – [sen (%/3)-cos(%/6)]
8) (MACK) O valor se sen 55º.cos35º+sen35º.cos55º é:
a) –1
b) -0,5
c) zero
d)0,5
e) 1,0
9) Simplifique as expressões:
a) sen(9% + x )
sen (5% + x )
b) sen (x-900º) + cos (x-540º)
10) Construa o gráfico (dois períodos completos) das seguintes funções, explicitando o domínio, a
imagem e o período:
a) y = 4 sen x
b) y=1 - sen x
c) y = 2 sen x/4
11) Calcule :
a) sen (9%/4) e cos (9%/4)
b) sen (-2%/3) e
sen (-2%/3)
c) sen 8% e cos8%
12. Encontre os valores do ângulo no intervalo [0, 2%) que satisfaça as equações:
a) sen $ =1;
cos $ =-1;
tg $ =1;
sec $ =1;
b) sen $ =0;
cos $ =0;
tg $ =0;
sec $ =0;
c) sen $ = -1/2;
cos $ = 1/2;
tg $ = -1;
sec $ =2.
13. Determine o período das funções:
a) y = sen (8$)
b) z= 4 sen (8$)
c) x = cos (4J/7)
d) p=3 cos($/4+%/2)
14. Simplifique a expressão sen( +$)
sen( %
D
G%
$) + senE + $ B
C
F2
cos $ .
15. Sabendo-se que sen $ = -1/3, calcule:
a) sen ( % - $)
b) sen ( % + $)
c) cos (%/2 - $)
16. Usando as fórmulas de adição, calcule:
a) sen (%+%/2)
b) cos75º
17. Mostre que sen 2J ! 2 sen J cos J .
18. Mostre que cos 2 # !
1
2
cos 2#
.
2
c) cos (5%/6), (sugestão 5%/6 = %/2+%/3)
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DO CÁLCULO ZERO - TRIGONOMETRIA
5
2 5
1
, cos K !
, tg K !
5
5
2
1) a) sen K !
b) sen J !
3
4
3
, cos J ! , tg K !
4
5
5
2) 5 2
3) a) %/14 rad
b) 770.000 % km
4) a) 1470º equivale a 30º portando sen 30º = ½; cos 30º =
b) – 920 º equivale a 60º portando sen 60º =
c) 25%/4 equivale a %/4 portando sen %/4 =
3 /2 e tg 30º =
3 /3
3 /2 , cos 60º =1/2 e tg 60º =
2 /2 , cos %/4 =
3
2 /2 e tg %/4 = 1
d) -5%/2 equivale a 3%/2 portando sen 3%/2 = -1 , cos 3%/2 = 0 e tg 3%/2 = indefinida
5) a) zero
b) 1
6) a) 1
b)
3 /2
c)indefinido
7) a) -1
b) 2
8) e
9) a) 2 sen x
b) -sen x - cos x
10) a) Dom = ) , Im = [-4, 4], p=2%
b) ) Dom = ) , Im = [0, 1], p=2%
c) Dom = ) , Im = [-2, 2], p=8%
11) a)
2 /2 e
12) a) %/2,
%,
b) 0 e %,
2 /2
%/4 e 5/4,
c) 0 e 1
0
%/2 e 3%/2,
c) 7%/6 e 11%/6,
13) a) %/4
b) - 3 /2 e -1/2
0 e %,
%/3 e 5%/3,
%/2 e 3%/2
3%/4 e 7%/4,
b) %/4
c) 7%/2
15) a) – 1/3
b) 1/3
c) -1/2
16) a) - 3 /2
b)
%/3 e 5%/3
d) 8%
14) –2sen$
-
.
6 + 2 /4
c) - 3 /2