co-senos expressáveis com radicais reais

FAMAT em Revista - Número 10 - Abril de 2008
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CO-SENOS EXPRESSÁVEIS COM
RADICAIS REAIS
Rafael Afonso Barbosa
Bolsista do programa PETMAT - Faculdade de Matemática - Universidade Federal de Uberlândia
Antonio Carlos Nogueira
Professor Doutor da Faculdade de Matemática - Universidade Federal de Uberlândia
1. OBJETIVO:
Um dos principais temas que aprendemos ao estudar trigonometria é o valor numérico
do seno e do co-seno de alguns ângulos específicos, por exemplo:

 2
 1
 3
=0 ; cos =
; cos = ; cos =
; cos=−1
2
4 2
3 2
6 2

 2
 3
 1
sen 0=0 ; sen =1 ; sen =
; sen =
; sen = ; sen =0
2
4 2
3 2
6 2
cos0=1 ; cos
Com isso podemos ver imediatamente que há ângulos ( /2, /3, e  ) cujo co-seno é
um número racional, e ângulos ( /4 e /6 ) cujo co-seno não é um número racional,
mas pode se expressar partindo dos números racionais mediante alguma combinação de
somas, produtos e extração de raízes reais. Seja como for, há muitos ângulos da forma
2⋅⋅k
para os quais não conhecemos o valor do seno ou do co-seno. Existe alguma
n
expressão racional para o co-seno ou o seno de /5 ou /7 ? Podemos encontrar uma
fórmula na qual só apareçam somas, produtos, quocientes e radicas de números racionais, para
2⋅⋅k
o seno ou co-seno de qualquer ângulo do tipo
?
n
Então o objetivo principal deste trabalho é descobrir algum critério que nos diga
2⋅k⋅
quando um certo ângulo  do tipo =
com k , n ∈ ℕ , n ≠0 e  k , n =1 ,
n
possui o co-seno e o seno expressos apenas por combinações de números racionais e radicais
2. ALGUMAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
a) sen2 xcos2 x = 1  relação fundamental 
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

1cos x 
2
2
1−cos x 
x
c) sen   = ±
2
2
3
d) cos3x = 4⋅cos −3⋅cos x 
x
b) cos  = ±
e) sen 3x  = 3⋅sen  x −4⋅sen3  x 
f) cos x ± y  = cos x ⋅cos y ∓sen  x ⋅sen  y 
g) sen  x ± y  = sen  x ⋅cos y ±sen  y ⋅cos x 
●
Identidade de Bézout
Se d = mdc  m ,n  , então existem r , s ∈ℤ de modo que d = m⋅r  n⋅s .
Em particular quando m e n são primos entre si, ou seja, mdc  m , n  = 1 temos que
sempre existem r , s ∈ ℤ tais que 1 = m⋅r  n⋅s .
3. DESENVOLVIMENTO
Analisando a relação fundamental podemos perceber que sen x =± 1−cos2 x ,
daí vemos que se o co-seno de um ângulo qualquer pode ser expresso com números racionais
e radicais o seu seno também poderá. Assim reduzimos o caso do estudo do seno ao estudo de
co-seno. Vamos apresentar alguns casos particulares que ilustram tal afirmação:
4
1
=−
1) sabendo que o cos
substituindo na identidade acima teremos que,
3
2
4
4
−1 2
é um ângulo do terceiro quadrante sabemos que
sen
= ± 1−
 , como
3
3
2


4
−1 2
3 .
= − 1−
 =−
3
2
2
2   5−1
=
2) sabemos também que cos
substituindo novamente encontraremos
5
4
2
2
que, sen 2  =  1− 5−1  = 102  5 , positivo já que
é ângulo do
5
5
4
4
seu seno é negativo então sen

primeiro quadrante.
Podemos observar então dois casos em que o co-seno é expresso por radicais reais e
por conseguinte seu seno também é.
2
2
Sabemos também que cos 2x = cos x − sen x . logo, cos2x é
2⋅
 o
expresso por radicas se, e só se o cos x o for. Podemos deduzir do cos
n
2⋅
2⋅
2⋅
cos
⋅2 e cos
 . Mas, de maneira geral, o cos
 poderá se expressar
n
2⋅n
n
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com racionais e radicais se, e somente se, para todos m 0 , também for cos
15
2⋅
 .
n⋅2 m
2⋅
 pode ser expresso com
n
2⋅⋅k
 ?
racionais e radicais, o que podemos dizer de cos
n
Observando que,
Chegamos assim à seguinte questão, se o cos
2⋅⋅k
2⋅ 2⋅⋅ k −1
 = cos

=
n
n
n
2⋅
2⋅⋅ k −1
2⋅
2⋅⋅ k −1
= cos
⋅cos
 − sen 
⋅sen 

n
n
n
n
cos
2⋅
2⋅
 pode ser expresso por radicais e como o sen 

n
n
2⋅⋅ k −1
 também será , então
também poderá, supomos então que para k −1 o cos
n
2⋅⋅k
 também poderá ser
utilizando indução matemática chegamos a conclusão que cos
n
expresso satisfatoriamente para todo k 0 . Sendo assim o nosso estudo fica reduzido em
2⋅
 pode ser expresso mediante números racionais e raízes
analisar quais casos o cos
n
racionais.
Propomos então o estudo dos casos n = 5, n = 7, n =9 e os casos do tipo
2⋅
2⋅
2⋅
cos
 quando sabemos de antemão que cos
 e cos
 podem ser
n⋅m
n
m
expressos com radicais.
Sabendo que o cos
1. Estudando o caso n = 5 :
2
2
 i⋅sen
uma raiz quinta da unidade  w5 = 1
5
5
teremos que x 5−1 =  x−1⋅ x 4 x 3 x 2 x 1 . w é raiz da equação
x 5−1=0 , logo teremos que w é raiz de  x 4 x 3 x2  x1 = 0 , então
4
3
2
vem que  w  w  w w 1 = 0 , que é equivalente a
2
4
2
2
w
2⋅cos
1 = 0 , usando a
 w
  w  w 1 = 0 ⇒ 2⋅cos
5
5
identidade (b) temos,
2
4
2
2
2⋅cos
2⋅cos
= 2⋅cos
2⋅2⋅cos2
−11 = 0 ⇒
5
5
5
5
2
2
2⋅
4⋅cos2
2⋅cos
−1=0 , substituindo cos
por x teremos a
5
5
5
−1± 5
equação 4x 22x −1 = 0 . Resolvendo-a encontraremos x =
, como
4
Supondo w = cos
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cos
2⋅
2⋅  5−1
0 , teremos que cos
=
.
5
5
4
2. Estudando o caso n = 7 :
Supondo w = cos
2
2
 i⋅sen
uma raiz sétima da unidade  w7 = 1
7
7
teremos que
x 7−1 =  x−1⋅ x 6 x 5 x 4 x3 x 2 x 1 . w é raiz da equação
x 7−1=0 , logo teremos que w é raiz de  x 6 x 5 x4  x3 x 2 x 1 = 0 ,
então temos que
 w6 w 5 w4 w 3 w2 w 1 = 0 que é
w
 w
 2 w
 3 w3 w 2 w1 = 0 , realizando as somas necessárias teremos
2
4
6
2⋅cos
2⋅cos
2⋅cos
1=0 . Usando as identidades
7
7
7
2
2
2⋅
3 2
4⋅cos2
−4⋅cos
−1=0 . Logo, cos
trigonométricas, 8⋅cos
7
7
7
7
é raiz da equação cúbica acima.
3. Estudando o caso n = 9 :
Supondo w = cos
2
2
9
 i⋅sen
uma raiz sétima da unidade  w = 1
9
9
teremos que
x 9−1 =  x−1⋅ x 8 x 7 x6 x 5 x 4 x 3 x2 x 1 . w é raiz da equação
x 9−1=0 , logo teremos que w é raiz de,
 x 8 x 7 x6 x 5 x 4 x 3 x2 x 1 = 0 então temos que,
8
7
6
5
4
3
2
 w w  w w w  w w  w1 = 0 que é
2
3
4
4
3
2
w
 w
 w
 w
  w  w w  w1 = 0 , realizando as somas necessárias
2
4
6
8
2⋅cos
2⋅cos
2⋅cos
1=0 . Usando
teremos 2⋅cos
9
9
9
9
novamante as identidades trigonométricas teremos
2
2
2⋅
8⋅cos3
−6⋅cos2
1=0 . Logo, cos
é raiz da equação cúbica
9
9
9
acima.
2⋅
2⋅
Ao resolvermos as equações cúbicas dos casos cos
e cos
vemos que
9
7
aparecerão radicais de números negativos e não somente radicais reais, portanto não é claro
que tais co-senos possam ser expressos como queremos.
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Observação: Usando um racicínio análogo ao realizado para os ângulos acima
2⋅
podemos demonstrar que o cos
também pode ser expresso usando apenas somas,
17
produtos, quocientes e radicas de números racionais.
2⋅
2⋅
2⋅
 em que cos
 e cos
 podem
n⋅m
m
n
ser expressos com radicais, com m e n primos entre si.
4. Estudemos agora o caso do cos
Temos então da identidade de Bézout, que sempre existem r e s inteiros tais que
2⋅
2⋅
 = cos
⋅1 =
n⋅r m⋅s = 1 , já que MDC  m , n  = 1 . Visto que cos
n⋅m
n⋅m
2⋅
2⋅⋅r 2⋅⋅s
cos
⋅ nr ms  = cos

 usando o co-seno da soma teremos
n⋅m
m
n
2⋅⋅r 2⋅⋅s
2⋅⋅r
2⋅⋅s
2⋅⋅r
2⋅⋅s
cos

 = cos
⋅cos
−sen 
⋅sen 
 . Logo, o
m
n
m
n
m
n
2⋅
cos
 será expresso com racionais e radicais se, e somente se, também são o
n⋅m
2⋅
2⋅
cos
 e o cos
 .
m
n
2⋅
2⋅
2⋅
2⋅
Sabendo então que cos
, cos
, cos
e cos
são
2
3
5
17
expressáveis por radicais reais façamos todas as combinações possíveis para m⋅n com
m , n ∈{2,3,5 ,17} . Pensando assim construímos a tabela:
1
2
3
cos
2⋅
2
cos
2⋅
6
cos
2⋅
30
cos
2⋅
3
cos
2⋅
10
cos
2⋅
102
cos
2⋅
5
cos
2⋅
34
cos
2⋅
255
cos
2⋅
17
cos
2⋅
15
cos
2⋅
170
cos
2⋅
51
cos
2⋅
85
4
cos
2⋅
510
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Como provamos que se o cos
2⋅
 é expressável por radicais reais o
n
2⋅k⋅
 com k ∈ℕ também será, temos então que todos os ângulos da forma:
n
2⋅k⋅
2⋅k⋅
2⋅k⋅
cos
 , cos
 , ... , cos
 , k ∈ℕ .
2
3
510
também poderão ser expressos mediante alguma combinação de somas, produtos, quocientes,
raízes reais de números racionais.
cos
2⋅k⋅
 pode ser expresso através de somas,
3
produtos, quocientes, raízes reais de números racionais.
Teorema: Para todo n 1 o cos
Demonstraremos usando o princípio de indução matemática.
●
●
●
n=1
2⋅
cos
 = cos = −1
2
n=3
2⋅

2
cos 3  = cos  =
4
2
2
Assumindo agora que para n = k teremos que o cos
2⋅
 poderá ser expresso
2k
usando apenas radicais reais.
●
Provemos então que para n = k 1 o cos
2⋅
 também poderá ser expresso da
2 k1
mesma maneira. Temos então:
k

k
2⋅
2⋅/2 
cos2⋅/2 1
 = cos
 =±
k1
2
2
2
2⋅
Como cos k  pode ser expresso usando apenas radicais reais. Temos que o
2
2⋅
cos k1 
2
também poderá.
cos
É fácil observar que usando este teorema podemos criar mais uma infinidade de
ângulos que satisfarão as condições exigidas.
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4. Conclusão
Durante o desenvolvimento do trabalho percebemos que encontrar todos os ângulos
cujo co-seno pode ser expresso por radicais reais não é uma tarefa simples. Para isso é
necessário conhecer algumas complexas técnicas matemáticas que estão fora do nosso
alcance. No entanto, demonstramos aqui algumas condições interessantes que tais
ângulos devem satisfazer e apresentamos algumas maneiras de encontrá-los. Desta
forma, conseguimos apresentar em nosso estudo uma infinidade de ângulos cujo coseno pode se expressar partindo dos números racionais mediante alguma combinação
de somas, produtos e extração de raízes reais como havíamos proposto.
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