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Aula 14

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27/11/2017
Variáveis Aleatórias
DISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADE DISCRETAS
É uma variável (normalmente representada por X) que assume um
único valor numérico, determinado pelo acaso, para cada resultado
de um experimento
Variável Aleatória Discreta → tem um número finito de
valores ou uma quantidade enumerável de valores
Variável Aleatória Contínua → tem infinitos valores, e
esses valores podem ser associados com medidas em uma
escala contínua
Gestão da Informação
Exemplo
Variável Aleatória Discreta
Seja X = número de ovos que uma galinha bota em um dia
A contagem do número de alunos de estatística presentes em
uma aula
Número de defeitos em sapatos
Número de acidentes numa semana
Distribuição de Probabilidade
É uma descrição que dá a probabilidade para cada valor da
variável aleatória X
Estatística descritiva
Distribuição de
probabilidade
Variável Aleatória Contínua
Seja X = quantidade de leite que uma vaca produz em um dia
A medida da tensão da bateria de um detector de fumaça
Pesos de caixas de laranjas
Duração de uma conversa telefônica
Distribuição de Probabilidade
A função de probabilidade de uma variável discreta é
definida para cada número x por p(x) = P(X = x)
Toda distribuição de probabilidade deve satisfazer cada um
dos dois requisitos:
Probabilidades
Exemplo
Distribuição para o número de interrupções, por dia, em uma grande
rede de computadores
É coletivamente exaustiva → estão incluídos todos os resultados
possíveis
∑p(x) = 1 → em que x assume todos os valores possíveis
0 ≤ p(x) ≤ 1 → para todo valor individual de x
1
27/11/2017
Média, Variância e Desvio Padrão
Média → Valor Esperado
E ( X ) = µ = Σ[ x ⋅ p ( x)]
2
2
Var ( X ) = σ = Σ[(x − µ ) ⋅ p( x)]
σ = σ2
Variância
Desvio Padrão
Exemplo
Exemplo
Para a distribuição de probabilidade do número de interrupções por
dia em uma grande rede de computadores, o valor esperado) é
E ( X ) = µ = Σ[ x ⋅ p ( x)]
= (0)(0,35) + (1)(0,25) + (2)(0,20) + (3)(0,10) + ( 4)(0,05) + (5)(0,05)
= 0 + 0,25 + 0,40 + 0,30 + 0,20 + 0,25
= 1,40
O valor esperado representa a média aritmética referente ao número
de interrupções em um determinado dia
Distribuições de Probabilidade Discretas
A variância e o desvio padrão para o número de interrupções por dia
2
Var ( X ) = σ 2 = Σ[( x − µ ) ⋅ p( x)]
Distribuição Binomial
Distribuição de Poisson
= (0 − 1,4) 2 (0,35) + (1 − 1,4) 2 (0,25) + (2 − 1,4) 2 (0,20) + (3 − 1,4) 2 (0,10) + (4 − 1,4) 2 (0,05) + (5 − 1,4) 2 (0,05)
= 0,686 + 0,040 + 0,072 + 0,256 + 0,338 + 0,648
= 2,04
σ = σ 2 = 2,04 = 1,4283
Distribuição Geométrica
Distribuição de Pascal
Distribuição Multinomial
Distribuição Binomial
Nos permite lidar com situações nos quais os resultados
pertencem a duas categorias → aceitável/duvidoso,
contratado/não contratado, sim/não, verdadeiro/falso.
É comum referir-se às duas categorias como “sucesso” ou
“fracasso”
É utilizada quando a variável discreta de interesse é o
número de sucessos em uma amostra de n observações =
tentativas
Requisitos
O experimento tem um número fixo de tentativas, n.
Cada tentativa é classificada como uma de duas categorias
(mutuamente excludentes) → sucesso e fracasso.
O resultado (sucesso ou fracasso) de qualquer tentativa é
independente do resultado de qualquer outra tentativa.
A probabilidade de sucesso permanece constante em todas
as tentativas.
2
27/11/2017
Tabela
Probabilidades Binomiais Individuais
Fórmula
P ( X = x) =
n!
p x q n− x
x!( n − x)!
n → número fixo de tentativas
x → número específico de sucessos em n tentativas (x pode ser
qualquer número inteiro entre 0 e n)
p → probabilidade de sucesso em qualquer tentativa
q → probabilidade de fracasso em qualquer tentativa (q=1-p)
Média, Variância e Desvio Padrão
Exemplo
Qual é a probabilidade de se obter exatamente 7 jurados
E ( X ) = µ = np
Valor Esperado → Média
V ( X ) = σ 2 = npq
Variância
σ = npq
mexicanos-americanos
quando
12
jurados
são
selecionados
aleatoriamente de uma população que é 80% mexicana-americana?
Desvio Padrão
Resposta = 0,05315
P( X = x) =
n!
p x q n−x
x!(n − x)!
Exercícios
3
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