27/11/2017 Variáveis Aleatórias DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISCRETAS É uma variável (normalmente representada por X) que assume um único valor numérico, determinado pelo acaso, para cada resultado de um experimento Variável Aleatória Discreta → tem um número finito de valores ou uma quantidade enumerável de valores Variável Aleatória Contínua → tem infinitos valores, e esses valores podem ser associados com medidas em uma escala contínua Gestão da Informação Exemplo Variável Aleatória Discreta Seja X = número de ovos que uma galinha bota em um dia A contagem do número de alunos de estatística presentes em uma aula Número de defeitos em sapatos Número de acidentes numa semana Distribuição de Probabilidade É uma descrição que dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória X Estatística descritiva Distribuição de probabilidade Variável Aleatória Contínua Seja X = quantidade de leite que uma vaca produz em um dia A medida da tensão da bateria de um detector de fumaça Pesos de caixas de laranjas Duração de uma conversa telefônica Distribuição de Probabilidade A função de probabilidade de uma variável discreta é definida para cada número x por p(x) = P(X = x) Toda distribuição de probabilidade deve satisfazer cada um dos dois requisitos: Probabilidades Exemplo Distribuição para o número de interrupções, por dia, em uma grande rede de computadores É coletivamente exaustiva → estão incluídos todos os resultados possíveis ∑p(x) = 1 → em que x assume todos os valores possíveis 0 ≤ p(x) ≤ 1 → para todo valor individual de x 1 27/11/2017 Média, Variância e Desvio Padrão Média → Valor Esperado E ( X ) = µ = Σ[ x ⋅ p ( x)] 2 2 Var ( X ) = σ = Σ[(x − µ ) ⋅ p( x)] σ = σ2 Variância Desvio Padrão Exemplo Exemplo Para a distribuição de probabilidade do número de interrupções por dia em uma grande rede de computadores, o valor esperado) é E ( X ) = µ = Σ[ x ⋅ p ( x)] = (0)(0,35) + (1)(0,25) + (2)(0,20) + (3)(0,10) + ( 4)(0,05) + (5)(0,05) = 0 + 0,25 + 0,40 + 0,30 + 0,20 + 0,25 = 1,40 O valor esperado representa a média aritmética referente ao número de interrupções em um determinado dia Distribuições de Probabilidade Discretas A variância e o desvio padrão para o número de interrupções por dia 2 Var ( X ) = σ 2 = Σ[( x − µ ) ⋅ p( x)] Distribuição Binomial Distribuição de Poisson = (0 − 1,4) 2 (0,35) + (1 − 1,4) 2 (0,25) + (2 − 1,4) 2 (0,20) + (3 − 1,4) 2 (0,10) + (4 − 1,4) 2 (0,05) + (5 − 1,4) 2 (0,05) = 0,686 + 0,040 + 0,072 + 0,256 + 0,338 + 0,648 = 2,04 σ = σ 2 = 2,04 = 1,4283 Distribuição Geométrica Distribuição de Pascal Distribuição Multinomial Distribuição Binomial Nos permite lidar com situações nos quais os resultados pertencem a duas categorias → aceitável/duvidoso, contratado/não contratado, sim/não, verdadeiro/falso. É comum referir-se às duas categorias como “sucesso” ou “fracasso” É utilizada quando a variável discreta de interesse é o número de sucessos em uma amostra de n observações = tentativas Requisitos O experimento tem um número fixo de tentativas, n. Cada tentativa é classificada como uma de duas categorias (mutuamente excludentes) → sucesso e fracasso. O resultado (sucesso ou fracasso) de qualquer tentativa é independente do resultado de qualquer outra tentativa. A probabilidade de sucesso permanece constante em todas as tentativas. 2 27/11/2017 Tabela Probabilidades Binomiais Individuais Fórmula P ( X = x) = n! p x q n− x x!( n − x)! n → número fixo de tentativas x → número específico de sucessos em n tentativas (x pode ser qualquer número inteiro entre 0 e n) p → probabilidade de sucesso em qualquer tentativa q → probabilidade de fracasso em qualquer tentativa (q=1-p) Média, Variância e Desvio Padrão Exemplo Qual é a probabilidade de se obter exatamente 7 jurados E ( X ) = µ = np Valor Esperado → Média V ( X ) = σ 2 = npq Variância σ = npq mexicanos-americanos quando 12 jurados são selecionados aleatoriamente de uma população que é 80% mexicana-americana? Desvio Padrão Resposta = 0,05315 P( X = x) = n! p x q n−x x!(n − x)! Exercícios 3
