Aula 27 - Derivadas de Funções Trigonométricas

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Derivadas de Funções Trigonométricas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Derivadas de Funções Trigonométricas
1.Derivadas de funções trigonométricas
2.Extremos relativos de funções trigonométricas
3.Aplicações
1. Derivadas de funções trigonométricas
Na aula
importantes:
anterior,
sen ∆x
lim
=1 e
∆x →0
∆x
vimos
dois
limites
1 − cos ∆x
lim
=0
∆x →0
∆x
3
1.1. Derivada da função seno
Esses dois limites são utilizados na dedução da
derivada da função seno:
d
sen ( x + ∆x ) − sen x
sen x cos ∆x + sen ∆x cos x − sen x
sen x ] = lim
= lim
[
∆x →0
∆x →0
dx
∆x
∆x
sen ∆x cos x − sen x (1 − cos ∆x )
sen ∆x cos x
sen x (1 − cos ∆x )
= lim
= lim
− lim
∆x →0
∆x →0
∆x →0
∆x
∆x
∆x
sen ∆x
(1 − cos ∆x )
= lim cos x ⋅ lim
− lim sen x ⋅ lim
∆x →0
∆x →0
∆x →0
∆x →0
∆x
∆x
= cos x ⋅ 1 − sen x ⋅ 0 = cos x
Portanto:
d
sen x ] = cos x
[
dx
4
1.2.
Derivada
cosseno
da
função
Esses dois limites também são utilizados na
dedução da derivada da função cosseno:
d
cos ( x + ∆x ) − cos x
cos x cos ∆x − sen ∆x sen x − cos x
cos x ] = lim
= lim
[
∆x →0
∆x →0
∆x
∆x
dx
cos x [cos ∆x − 1]
cos x cos ∆x − cos x − sen ∆x sen x
sen x sen ∆x
= lim
= lim
− lim
∆x →0
∆x →0
∆x →0
∆x
∆x
∆x
1 − cos ∆x
sen ∆x
= − lim
⋅ lim cos x − lim sen x ⋅ lim
∆x →0
∆x →0
∆x →0
∆x →0
∆x
∆x
= −0 ⋅ cos x − sen x ⋅ 1 = −sen x
Portanto:
d
cos x ] = −sen x
[
dx
5
1.3.
Derivada
tangente
da
função
Lembrando que tg x = sen x/cos x e utilizando a
regra do quociente, teremos
d
d  sen x 
tg x ] =
=
[


dx
dx  cos x 
=
=
cos x ⋅
d
d
( sen x ) − sen x ⋅ ( cos x )
dx
dx
2
( cos x )
cos x ⋅ cos x − sen x ⋅ ( −sen x )
cos2 x
cos2 x + sen2 x
=
cos2 x
1
2
=
sec
x
2
cos x
Portanto:
d
tg x ] = sec 2 x
[
dx
6
1.4. Derivada da função cotangente
Lembrando que cotg x = cos x/sen x e utilizando a regra do quociente, teremos
d
d  cos x 
=
cotg x ] =
[


dx
dx  sen x 
=
=
sen x ⋅
sen x ⋅ ( −sen x ) − cos x ⋅ ( cos x )
sen2 x
(
− sen2 x + cos2 x
sen2 x
)=−
d
d
cos
x
cos
x
−
⋅
(
)
( sen x )
dx
dx
2
( sen x )
−sen2 x − cos2 x
=
sen2 x
1
2
=
−
cossec
x
sen2 x
Portanto:
d
cotg x ] = −cossec 2 x
[
dx
7
1.5.
Derivada
secante
da
função
Lembrando que sec x = 1/cos x e utilizando a
regra do cadeia, teremos
d
d  1  d
−1
−2
[sec x ] = dx  cos x  = dx [cos x ] = −1⋅ [cos x ] ⋅ [ −sen x ]
dx


1
1
sen x
=
⋅
sen
x
=
⋅
= sec x ⋅ tg x
2
cos x
cos x cos x
Portanto:
d
sec x ] = sec x tg x
[
dx
8
1.6.
Derivada
cossecante
da
função
Lembrando que cossec x = 1/sen x e utilizando
a regra do cadeia, teremos
d
d  1  d
−1
−2
cossec
x
sen
x
1
sen
x
=
=
=
−
⋅
⋅ [cos x ]
[
]
[
]
[
]


dx
dx  sen x  dx
1
1
cos x
=−
⋅
cos
x
=
−
⋅
= −cossec x ⋅ cotg x
2
sen x
sen x sen x
Portanto:
d
cossec x ] = −cossec x cotg x
[
dx
9
1.7. Resumo das derivadas das
funções trigonométricas
A seguir, são apresentadas as versões da Regra
da Cadeia para as regras de diferenciação de todas as
seis funções trigonométricas.
d
du
sen u ] = cos u
[
dx
dx
d
du
cotg u ] = −cossec 2 u
[
dx
dx
d
du
cos
u
=
−
sen
u
[
]
dx
dx
d
du
sec u ] = sec u tg u
[
dx
dx
d
du
2
tg
u
=
sec
u
[ ]
dx
dx
d
du
cossec
u
=
−
cossec
u
cotg
u
[
]
dx
dx
10
1.8. Exemplos
Exemplo 1: Diferencie as funções: (a) y = sen (2x),
(b) y = cos (x - 1) e (c) y = tg (3x).
(a ) Fazendo u = 2 x, temos que u ' = 2
dy
du
d
= cos u
= cos (2 x )
2 x ] = cos (2 x ) (2) = 2cos(2 x )
[
dx
dx
dx
(b ) Fazendo u = x − 1, temos que u ' = 1
dy
du
d
= −sen u
= −sen ( x − 1)
x − 1] = −sen ( x − 1) (1) = −sen ( x − 1)
[
dx
dx
dx
(c ) Fazendo u = 3 x, temos que u ' = 3
d
dy
du
3 x ] = sec 2 (3 x ) (3) = 3 sec 2 (3 x )
= sec 2 u
= sec 2 (3 x )
[
dx
dx
dx
11
1.8. Exemplos
Exemplo 2: Diferencie f(x) = cos (3x2).
(a ) Fazendo u = 3 x 2 , temos que u ' = 6 x
dy
du
d
3 x 2 
= −sen u
= −sen (3 x 2 )
dx
dx
dx
= −sen (3 x 2 ) (6 x ) = −6 x sen (3 x 2 )
12
1.8. Exemplos
Exemplo 3: Diferencie f(x) = tg4 (3x).
Pela Regra da Potência, podemos escrever
d 
4
3 d

tg (3 x )] = 4 [ tg (3 x )]
tg (3 x )]
[
[


dx
dx
= 4 [ tg (3 x )] sec 2 (3 x ) (3)
3
= 12 tg3 (3 x ) sec 2 (3 x )
13
1.8. Exemplos
Exemplo 4: Diferencie y = cossec (x/2).
dy
x
x d x
= −cossec   cotg  
 
dx
2
 2  dx  2 
1
dy
x
x
= − cossec   cotg  
2
dx
2
2
14
1.8. Exemplos
Exemplo 5: Diferencie f (t ) = sen 4t .
f (t ) = ( sen 4t )
1
2
−1 d
 1
f (t ) =   ( sen 4t ) 2
( sen 4t )
dt
2
−1
 1
'
f (t ) =   ( sen 4t ) 2 ( 4cos 4t )
2
2cos 4t
f ' (t ) =
1
( sen 4t ) 2
'
f ' (t ) =
2cos 4t
sen 4t
15
1.8. Exemplos
Exemplo 6: Diferencie y = x sen x.
dy
d
d
= x ⋅ [ sen x ] + sen x ⋅ [ x ]
dx
dx
dx
dy
= x ⋅ cos x + sen x ⋅ 1
dx
dy
= x ⋅ cos x + sen x
dx
16
2. Extremos
relativos
funções trigonométricas
de
Exemplo 7: Determine os extremos relativos de
y=
x
− sen x
2
no intervalo de (0, 2π).
Para achar os extremos relativos da função,
determinemos inicialmente seus pontos críticos.
A derivada de y é:
dy 1
= − cos x
dx 2
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2. Extremos
relativos
funções trigonométricas
de
Igualando a derivada a zero, obtemos cos x =
1/2. Portanto, no intervalo (0, 2π), os pontos críticos
são x = π/3 e x = 5π/3. Aplicando o Teste da
Derivada Primeira, concluímos que π/3 dá um mínimo
relativo e 5π/3 dá um máximo relativo, conforme a
figura acima.
18
2. Extremos
relativos
funções trigonométricas
de
Exemplo 8: Ache os extremos relativos
f(x) = 2 sen x – cos 2x no intervalo de (0, 2π).
de
f ( x ) = 2sen x − cos 2 x
f ' ( x ) = 2cos x + 2sen 2 x
2cos x + 2sen 2 x = 0
2cos x + 2 ⋅ 2sen x cos x = 0
4sen x cos x + 2cos x = 0
2cos x (2sen x + 1) = 0
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2. Extremos
relativos
funções trigonométricas
de
Por aí vemos que os pontos críticos ocorrem
quando cos x = 0 e quando sen x = -1/2. Assim, no
intervalo (0, 2π) os pontos críticos são x = π/2, 3π/2,
7π/6 e 11π/6.
Aplicando o Teste da Derivada Primeira,
determinamos os máximos relativos, (π/2, 3) e
(3π/2, -1), e os mínimos relativos (7π/6, -3/2) e
(11π/6, -3/2), conforme a figura a seguir.
20
2. Extremos
relativos
funções trigonométricas
de
21
3. Aplicações
Exemplo 9: Um fabricante de fertilizantes acha que
as vendas de um de seus produtos segue um padrão
sazonal que admite o modelo
2π (t − 60) 

F = 100.000 1 + sen
365 

onde F é a quantidade vendida (em libras) e t é o
tempo (em dias), com t = 1 representando 1o de
janeiro, conforme a figura a seguir. Em que dia do ano
ocorre o máximo de venda de fertilizantes?
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3. Aplicações
A derivada do modelo é
dF
2π (t − 60)
 2π 
= 100.000 
cos

dt
365
 365 
Igualando a zero esta derivada, vem:
2π (t − 60)
cos
=0
365
Como o cosseno é zero em π/2 e 3π/2,
obtemos:
23
3. Aplicações
2 π (t − 60) π
=
2
365
365
t − 60 =
4
365
t=
+ 60
4
t ≈ 151
2 π (t − 60) 3 π
=
365
2
3 ⋅ 365
t − 60 =
4
3 ⋅ 365
t=
+ 60
4
t ≈ 334
O 151o dia do ano é 31 de maio e o 334o dia do
ano é 30 de novembro. Pelo gráfico seguinte, vemos
que, de acordo com o modelo, a venda máxima ocorre
em 31 de maio.
24
3. Aplicações
sen
25
3. Aplicações
Exemplo 10: A temperatura T (em graus Fahrenheit)
durante certo período de 24 horas tem como modelo
T = 70 + 15sen
π (t − 8)
12
onde t é o tempo (em horas), com t = 0 correspondendo à meia-noite, conforme a figura seguinte.
Determine a taxa de variação da temperatura às 6
horas da manhã.
26
3. Aplicações
27
3. Aplicações
A taxa de variação da temperatura é dada pela
derivada
dT 15π
π (t − 8)
=
cos
12
12
dt
Como 6 da manhã corresponde a t = 6, a taxa
de variação a essa hora é
dT 15π
 2π  5π
 π  5π  3 
o
=
=
−
=
≈
cos  −
cos
3,4
F por hora







dt
12
 12  4
 6 4  2 
28