Matrizes e Determinantes

TÓPICOS DE REVISÃO
MATEMÁTICA I
MATRIZES E DETERMINANTES
Prof. Rogério Rodrigues
0
MATRIZES
1) Conceito e Apresentação Genérica:
Uma tabela, como a seguinte, dispõe os dados numéricos que objetiva apresentar em
linhas (horizontais) e colunas (verticais):
ETAPAS
DISCIPLINAS
1a
2a
3a
MATEMÁTICA
25
22
27
LÍNGUA PORTUGUESA
28
19
26
BIOLOGIA
29
16
18
QUÍMICA
12
26
22
As notas nas disciplinas (dispostas em linhas) correspondentes a cada uma das etapas do
ano letivo (dispostas em colunas) formam o núcleo objetivo da tabela; esse núcleo é uma
matriz, que deverá ser representada assim:
25
28
29
12
22
19
16
26
25
28
29
12
27
26
ou assim
18
22
22
19
16
26
27
26
18
22
Se designarmos essa matriz por A, teremos, por exemplos :
-Nota de Matemática da 2a etapa ⇒ a12 = 22
-Nota de Língua Portuguesa da 3a etapa ⇒ a23 = 26
-Nota de Biologia da 2a etapa ⇒ a32 = 16
-Nota de Química da 1a etapa ⇒ a41 = 12
Genericamente, essa matriz seria assim definida:
A= (aij)4x3 , em que aij é a nota da disciplina i na etapa j.
número de linhas
número de colunas
1
Outros exemplos :
a) Matriz B = (bij)2x2 , em que bij = i2 – j.
Neste caso, o formato da matriz é B =
e de acordo com a expressão de bij,
temos:
b11 = 12 – 1 = 0 , b12 = 12 – 2 = -1 ,
a matriz é B =
1
3
1
.
2
b21 = 22 – 1 = 3
e
b22 = 22 – 2 = 2. Logo,
b) Matriz C = (cij)2x3, em que cij = hipotenusa do triângulo retângulo de catetos medindo i
e j.
e de acordo com a descrição de
Neste caso, o formato da matriz é C =
, pelo Teorema de Pitágoras. Exemplo: c11 = √1
√5 √10
A matriz é C = √2
!.
√5 2√2 √13
bij, temos: cij =
1 = √2 .
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE:
Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn são iguais, se, e somente se, aij = bij , para
todo i e j.
Exemplo : Calcule x e y de modo que "
#
5 =
2" 1
3 "
5
!.
#
Pela definição anterior, temos x2 = y2 , 2x +1 = -3 ⇒ x = -2 , x = -y ⇒ y = 2
2) Alguns tipos especiais de matrizes:
2.1) Matriz linha: Toda matriz que só possui uma linha.
Exemplo: A = [-1 2 6 0 8] ⇒ matriz 1x5
2
2.2) Matriz coluna: Toda matriz que só possui uma coluna.
Exemplo: B =
0
1 ⇒ matriz 4x1
8
4
2,3) Matriz quadrada: Toda matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas.
0 2
Exemplo: C =%7 1
4 4
6
1& ⇒ matriz 3x3 (matriz quadrada de ordem 3)
9
Elementos da diagonal principal (i = j)
Elementos da diagonal secundária
1 , )* + 2.4) Matriz Identidade: Matriz quadrada In =(iij), em que iij = '
.
0, )* ,
Exemplos:
a) I2 =
1 0
⇒ matriz identidade de ordem 2.
0 1
1
b) I3 = %0
0
0 0
1 0& ⇒ matriz identidade de ordem 3.
0 1
Exemplos:
0
⇒ matriz triangular de ordem 2.
1
2.5) Matriz triangular: Matriz quadrada cujos elementos situados acima ou abaixo da
diagonal principal são iguais a zero.
a) M=
1
9
1
b) N= %0
0
7 6
1 6& ⇒ matriz triangular de ordem 3.
0 1
2.6) Matriz diagonal: Matriz quadrada de elementos dij, tais que dij = 0, se i ≠ j.
Exemplo:
8 0 0
D= %0 1 0& ⇒ matriz diagonal de ordem 3.
0 0 4
3
2.7) Matriz nula: Qualquer matriz que possui todos os elementos iguais a zero.
Exemplo:
0 0 0
N = %0 0 0& ⇒ matriz nula de ordem 3.
0 0 0
3) Operações elementares:
3.1) Adição:
Dadas duas matrizes de mesma ordem (número de linhas e número de colunas) A= (aij) e
B=(bij) , a matriz A + B será C, tal que cij = aij + bij , para todo valor de i e de j naturais e
diferentes de zero.
Exemplos:
a)
0
2 5
+
1
1 3
3
b) . 2
1
2
2
=
2
1
0 5
1 3
3 7 1
1
7 4
=
/
.
/
.
2 0 4
4
0 2
8 2
5
1 8 5
2
2
=
2
2
3
1
4
4
+
/
.
2
2
9
2
3
2/
3
3.2) Multiplicação por número real:
Dado um número real k, k≠ 0 e uma matriz M = (mij), o produto de k por M é a matriz P
=
=(pij) , tal que pij = k. mij , para todo i e todo j, naturais não nulos.
Exemplo:
(3).
1
3
1
3.1 31 12
3
=
=
2
9
3.3
3. 2
3
6
3.3) Matriz transposta:
Dada uma matriz A = (aij)mxn, chama-se Transposta de A, indica-se At, a matriz B =
(bij)nxm
4
tal que bij = aji, para todo i e todo j da matriz A.
Exemplo:
4 1
4 3 3
Se A = %3 0& ⇒ At =
. Observe que os elementos da 1a linha transpostos
1 0 5
3 5
a
viraram elementos da 1 coluna. O mesmo ocorreu com os elementos da 2a linha.
Observações:
a) Se uma matriz quadrada é igual à sua transposta, então essa matriz é uma Matriz
simétrica .
8 6 0
8 6 0
t
Exemplo: S = %6 1 5& e S == %6 1 5& ⇒ S é simétrica.
0 5 4
0 5 4
b) Se uma matriz quadrada é igual ao oposto da sua transposta, então essa matriz é uma
Matriz Antissimétrica .
0
Exemplo: S = % 6
7
6 7
0
t
0 5& e - S = % 6
5 4
7
6 7
0 5&
5 4
4) Multiplicação e Inversão de matrizes;
⇒ S é antissimétrica.
4.1) Multiplicação de matrizes:
Exemplo introdutório : Um técnico monta computadores equipados com componentes
em três modelos diferenciados; veja a tabela seguinte:
HD de 30 gb
Unid. Remov.
MODELO A
1
2
MODELO B
2
3
MODELO C
3
4
Como a demanda por esses pc’s é grande, o técnico deve prover seu estoque de
componentes de modo a atender as encomendas. Nos meses de janeiro, fevereiro e
março, as encomendas foram as da tabela abaixo:
MODELO A
MODELO B
Janeiro
5
2
fevereiro
4
2
5
março
2
3
MODELO C
1
2
4
Como montar uma tabela que indique os números de componentes necessários para
atender as encomendas? Veja a tabela abaixo:
HD de 30 gb
Unid. Remov.
Janeiro
fevereiro
1.5 + 2.2 + 3.1 1.4 + 2.2 + 3.2
2.5 + 3.2 + 4.1 2.4 + 3.2 + 4.2
março
1.2 + 2.3 + 3.4
2.2 + 3.3 + 4.4
E os números pedidos serão os da tabela:
HD de 30 gb
Unid. Remov.
Janeiro
12
20
fevereiro
14
22
março
20
29
Observe que:
1o) as três tabelas são associadas às matrizes
A=
1 2 3
⇒ matriz 2x3 com formato componentes x modelos
2 3 4
5
B = %2
1
C
C=
3. 5
4. 5
4 2
2 3& ⇒ matriz 3x3 com formato modelos x meses
2 4
4. 2
5. 2
5. 1
6. 1
3. 4
4. 4
4. 2
5. 2
5. 2
6. 2
3. 2
4. 2
12 14 20
⇒ matriz 2x3 com formato componentes x meses
20 22 29
2o) De fato, temos:
1 2
A.B = C , ou seja,
2 3
5 4
3
. %2 2
4
1 2
2
12 14 20
3& =
20 22 29
4
6
4. 3
5. 3
5. 4
6. 4
=
No cálculo da matriz C, os primeiros fatores das multiplicações, em negrito, são os
elementos das linhas de A e os segundos fatores são os elementos das colunas de B.
Então, multiplica-se respectivamente, os elementos de cada linha da primeira matriz
pelos elementos de cada coluna da segunda matriz. Daí, tem-se, por exemplo,
c11 = (linha 1 de A) x (coluna 1 de B) = a11. b11 + a12. b21 + a13. b31 = 12
c12 = (linha 1 de A) x (coluna 2 de B) = a11. b12 + a12. b22 + a13. b32 = 14
3o) A multiplicação só foi possível porque o número de colunas da matriz A é igual ao
número de linhas da matriz B.
4o) A matriz produto (C) ficou com o número de linhas da primeira (A) e com o número
de colunas da segunda(B).
5o) A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A.B ≠ B.A.
Outro exemplo :
1,1
1 0
1 1
= %2,1
%2 4&.
3 4
1.1
1 3
0,3 1.1
4.3 2.1
3.3 1.1
0.4
1
1
4.4& = %14 18&
3.4
10 13
4.2) Inversão de matrizes:
A matriz identidade In , definida no item 2.4, página 03, é também chamada de Matriz
unidade, uma vez que ela é o elemento neutro na multiplicação de matrizes. Observe:
7
a) %
*
7
1
0
8& .
=%
0
1
9
*
1 0
b) %0 1
0 0
0 7
0&.%8
1 :
*
;
8&
9
7
9 & = %8
:
e
*
;
7
1 0
.%
0 1 *
7
9 & e %8
:
8 & = não existe
9
*
;
1
9&. %0
0
7
0 0
1 0& = % 8
:
0 1
*
;
9&
No conjunto dos números reais, o inverso de um número x não nulo, é o número y, tal
que x.y = y.x = 1 (elemento neutro na multiplicação de reais). Do mesmo modo, pode-se
definir:
A inversa de uma matriz quadrada de ordem n A é A-1 , também de ordem n, tais que
A. A-1 = A-1.A = In (matriz unidade de ordem n)
7
Exemplo: Determine, se existir, a inversa da matriz < +
Seja M-1 =
0 2 7
.
5 1
7
0 2
.
5 1
, caso ela exista. Então, pela definição anterior, tem-se:
8
0 2
1 0
5
27
1 0
7
==
.
+
⇒
=
0 1
58 2
8
0 1
8
8 5 1
E daí, tem-se 5b = 1 ⇒ b = 1/5 , 5d = 0 ⇒ d = 0 , 2a +b = 0 ⇒ 2a + 1/5 = 0 ⇒ a = -1/10
1/10
1/5
e 2c + d = 1 ⇒ 2c + 0 = 1 ⇒ c = 1/2. A inversa pedida é A-1 =
!.
1/2
0
5) COMPLEMENTO: Propriedades das operações:
5.1) Para a adição de matrizes valem as seguintes propriedades:
►Comutativa : A + B = B+A , sendo A e B matrizes de mesma ordem.
►Associativa : A + (B + C) = (A + B) + C , sendo A, B e C matrizes de mesma ordem.
►Elemento Neutro: A + N = A , sendo N a matriz nula com a mesma ordem de A.
►Elemento Simétrico : A + (A’) = N, sendo N a matriz nula com a mesma ordem de A.
5.2) Para a multiplicação de número real por matriz valem as seguintes propriedades:
►Associativa : a . (b . A) = (a . b).A, sendo A uma matriz e a e b números reais.
►Distributiva : a.(A + B) = a.A + a.B e (a + b). A = a.A + b.A , sendo A uma matriz e
a e b números reais.
5.3) Para a multiplicação de matrizes valem as seguintes propriedades:
►Associativa : A.(BC) = (AB).C
►Distributiva à direita em relação à adição: (A + B).C = AC + BC.
►Distributiva à esquerda em relação à adição: C(A + B) = CA + CB.
►Associativa com número real : k.AB = AkB = ABk.
***********************************************************************
*
Exercícios Propostos:
1) Determine cada matriz definida a seguir:
a) A = (aij)2X2 , em que aij = 2i – j2 .
8
b) B = (bij)3X2 , em que bij = i + 2j .
c) C = (cij)3X3 , em que cij = i2 - j.
d) D = (dij)2X3 , em que dij = i2 - j2.
e) E = (eij)3X2 , em que eij = i + 2j, se i - j < 0 e eij = i – 2j, se i – j ≥ 0.
f) F = (fij)3X3 , em que fij = 2 + i.j , se i < j e eij = 2 – i.j , se i ≥ j.
g) G = (gij)2X3 , em que gij = i2 + 1, se i < 1 - j e gij = j2 - 1, se i ≥ 1 - j.
h) H = (hij)2X2 , em que hij = gij .
i) K = (kij)2X2 , em que kij = gji .
j) L = (lij)3X2 , em que lij = gij - 1 .
j) M = (mij)3X2 , em que mji = lji + 2 .
j) N = (nij)3X3 , em que nij= mij - lij .
2) Montar a matriz P = (pij)3X3, em que pij é o perímetro do retângulo de base i e altura j.
Qual e a soma dos elementos da diagonal principal?
3) Montar a matriz S = (sij)3X2, em que sij é a área do retângulo de base i e altura j.
4) Montar a matriz R = (rij)2X5, em que rij é o segundo termo da PA, cujo primeiro termo
é i e a razão é j.
5) Montar a matriz T = (tij)2X2, em que tij é o quarto termo da PG, cujo segundo termo é i
e a razão é j.
6) Montar a matriz V = (vij)4X4, em que vij é a soma dos 20 termos da PA cujo primeiro
termo é i e o vigésimo é j.
6 8 10
, uij é a quantidade de chip’s do tipo j utilizados na
5 7 9
montagem do computados modelo i. Quantos chip’s do tipo 3 serão necessários para
montar, em determinado dia, 5 computadores modelo 1 e 6 computadores modelo 2?
7) Na matriz U =
2 3 2
8) Na matriz Y = %1 5 4&, yij é o número de faltas de um determinado aluno na
0 2 6
disciplina i e na etapa j. Montar uma matriz Z = (zij) , em que zij seja o total de faltas i na
disciplina j.
9
9) Uma tabela de preços de uma pizzaria é uma matriz que tem nas linhas, em ordem
crescente, os sabores presunto, calabreza, frango, marguerita, vegetariana e rúcula com
mussarela. Nas colunas, em ordem crescente, a tabela traz os tamanhos brotinho, média,
grande e gigante. Sabe-se que os preços de todas as pizzas brotinho formam uma PA de
razão igual a R$ 4,00 a partir do primeiro sabor, que custa R$ 12,00, e os preços por cada
tamanho em cada sabor formam uma PA de razão igual a R$ 9,00. Considere a matriz W
= =(wij) associada a essa tabela de preços. Se numa noite o dinheiro arrecadado com as
vendas é dado pela expressão 12w11 + 8w23 + 6w34 + 5w42, determine
a) a lista de pizzas vendidas;
b) O total de dinheiro arrecadado.
10) Considere apenas as matrizes definidas no exercício 1. Determine a matriz X e/ou a
matriz Y tais que
a)X = 2A – H + 3K
b)X = -B – 3L – 5M
c) C – X = N – 2F
d) 3X – G = 5D
e) X = 2A – 3HT
f) X = -BT + 2GT
g) C – 2X = 3NT
h) (L – M) + 2X = L - DT
i) 2(3A – K + X) = - HT
j) '
2>
? + 2@ > – ? + 2B C
11) Multiplique, se possível, as matrizes dadas em cada caso a seguir:
10
1
a) % 2
1
1
d) %2
1
4
5
0& .
1
2
8
2
1
1 0
1 1
b)
0 1 0
4 &.%0 1&
1 1 2
3 2 5 5
.
4 1
2 4
3
0 1 3
e) %2&.
1 1 4
4
12) Resolva, se possível, cada equação a seguir:
a)
1
1
.
1
3 "
"
5
3
7 7
=
1
20 8
1
0
c) D E . F4 2G
2
3
b) A =
"
2
0 2 1
4
1
2
4
f)
. % 1&
2 0 1
2
1 3 1
7
1
e A2 =
3
0
"
11
3
13) Determine, se possível, o(s) par(es) ordenado(s) do tipo (x , y) que soluciona(m)
cada
Equação a seguir:
12
8
a)
3
1
2
d) %1
3
2 "
.
=
5 #
1
5
2
1
4
b)
3 "
9
2& . .#/ + % 3&
3 H
8
5
3
1
e) ) %5
2
1. " =
2 #
1
2
1
3
1
3 "
0
2& . .#/ + % 7 &
3 H
1
c)
9
6
6 "
.
=
4 #
Questões Abertas de Vestibulares :
1) (UFMG) - Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos
fertilizantes X, Y e Z. A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por
região e a matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em
cada cultura:
Milho Soja Feijão
A=
50 20 20
40 10 30
X Y Z
2
B = %1
0
3 2
5 4&
2 6
P
Q
Milho
Soja
Feijão
11
1. CALCULE a matriz C = AB.
2. EXPLIQUE o significado de C23 , o elemento da segunda linha e terceira coluna da
matriz C.
2) (CEFET - MG) – Se a matriz A =
diferença (x – y).
2 5
é a inversa de B =
1 "
3
1
#
, calcule a
2
3) (UFV – Viçosa) –
4) (Unicamp – SP) – Uma matriz real quadrada P é dita Ortogonal se Pt = P-1, ou seja, se
sua transposta é igual a sua inversa.
a) Considere a matriz P abaixo, Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal.
Dica: você pode usar o fato de que P-1P = I em que I é a matriz identidade.
1/3
P = % 2/3
2/3
2/3
7
2/3
1/3&
2/3
12
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R as matrizes
abaixo.Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema Ax = b, para o vetor
b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica: lembre-se de que x = A-1b.
K
J
Q=J
J√
I
√
√
N
2
√ M
M, R = % 0
0
M
0 L
0
2
0
0
6
0 & , b = % 2&
0
√2
5) (UFRS) – Considere o quadrado da figura I e o paralelogramo da figura II.
Figura I
Figura II
y
v
3
2
1
0
x
0
1
u
-1
-1
7
"
O
. # =
P
8
7
8
.
1
=
1
1
2
Se as coordenadas cartesianas (u , v) dos vértices do paralelogramo são obtidas das
coordenadas cartesianas (x , y) dos vértices do quadrado pelo produto matricial anterior,
calcule os valores de a, b, c e d.
6) (PUC – GO) – Calcule x tal que a matriz A=
1
0
2
seja igual à sua inversa.
"
1 2
3
1
7) (UFBA) – Considere as matrizes A = %1 1& e B = = %2 0 &. Sabendo que X é uma
3 1
2 1
matriz simétrica e que AX = B, determine 12y11 - 4y12, sendo Y = (yij) = X-1.
8) (ITA – SP) – Determine a∈R, de modo que o produto das matrizes reais 2x2 A =
Q
1 e B = 7QR
8QR seja uma matriz inversível.
= 3
1
3Q
7
2R
13
1
0
2
9) (Unifesp – SP) – Considere a matriz A = %2 )*S"
0 &, onde x varia no conjunto
0
2
T)"
dos reais. Calcule
a) o determinante de A;
b) o valor máximo e o valor mínimo desse determinante.
Questões Fechadas de Vestibulares :
1) (ITA – SP) – Seja A uma matriz real 2x2. Suponha que α e β sejam dois números
reais distintos e V e W duas matrizes reais 2x1 não nulas, tais que AV = αV e AW =
= βW. Se a,b ∈ R são tais que aV + bW é igual à matriz nula 2x1, então a + b vale
a) 0
b) 1
c) -1
d) 1/2
e) -1/2
2) (UFOP – MG) - Considere a matriz
 0
M = sen 75 o
cos 75 o

0
sen 15
o
cos 15 o
2

1 
1 
Então , podemos afirmar que :
a) M é inversível e det M =
3
.
2
b) M é inversível e de t M = 3 .
c) M é inversível e det M = 0 .
e) M é inversível e det M =
d) M é inversível e det M =
1
.
2
3) (UFJF – MG) - Considerando a equação matricial
 a 2  1

.
 - 3 5  b
4  4 -6 
 = 
 em
c  12 - 7 
que
a , b e c são números reais , pode mos afirmar que :
a) c + b = 4 .
b) a é um número positivo .
c) não existem a , b e c que satisfazem à equação matricial dada .
d) c não é um número inteiro.
1 0
2
-1
4) (UFSJ –São João Del Rey) – Se A = %2 1 3 & é a inversa da matriz A e Se b =
4 2 5
2
=%1&, então a soma de todas as entradas da matriz X, tal que AX = b, é
3
14
a) 25
b) 35
c) 55
d)45
5) (UFV – Viçosa) – Conforme J. L. Pastore Mello (Folha de São Paulo, 01 de Janeiro
de 2004), uma forma alternativa de definir o conjunto dos números complexos consiste
na utilização do conceito de matriz e suas operações, da forma abaixo:
1 0
7
Dada uma matriz quadrada
, em que a e b são números reais, I =
0 1
7
0 1
representa a unidade e U =
representa a unidade imaginária. Assim, podemos
1 0
identificar o número complexo z = a + bi pela matriz Z= aI + bU. Utilizando essa
2
3
identificação, é CORRETO afirmar que o produto das matrizes
e
3 2
5
6
representa o seguinte número complexo:
6 5
a) 28 + 3i.
b) 3 + 28i.
c) 3 = 28i.
"
1 2
e
1
2 6
números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto x y é:
6) (UFV – Viçosa) - Sejam as matrizes A =
a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
a) 1/2
b) – 3/2
d) 28 – 3i.
1
!, onde x e y são
#
d) 3/4
"
1 2
1 0
7) (UFV – Viçosa) – Considere as matrizes A =
,I=
,X= # e
6 8
0 1
"
O = # . O conjunto solução da equação (A − 4I ).X = O é formado por pontos de
uma reta de coeficiente angular igual a:
c) – 1/2
8) (UFOP – MG) – Dadas as matrizes A =
3 4
A.Bt =
. O valor de a + b é
2 1
a) 3
7
1 1
b) 7
d) 5/2
1
1
eB=
0
7
c) 10
1
1
e) 1/4
e) 3/2
0
, sabe-se que
0
d) 11
9) (ITA – SP) - Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA =
B. Então, [(A + B)t]2 é igual a
a) (A + B)2
b) 2(At.Bt)
c) 2(At + Bt)
d) At + Bt
e) At.Bt
10) (UFV – Viçosa) – Considerando - se a matriz A3x3 cujo termo geral é dado axy =
= (-1) x+y , é correto afirmar que
15
a) A = -At
d) axy = cos(x + y)π
b) A é inversível
e) a11 + a21 + a331
c) a11 + a22 + a33
DETERMINANTES
1) Determinantes e Sistemas Lineares (conceito empírico) :
A resolução de sistemas lineares com duas incógnitas com o uso de matrizes tem
registros históricos milenares, que remontam aos chineses das mais antigas dinastias,
mas a Teoria dos Determinantes teve sua origem em meados do século XVII.
7"
Considere o sistema '
8"
equação:
x=
U R VW
Q
# + . Explicitando-se a incógnita x na primeira
*# + 9
e substituindo esse resultado na segunda equação :
QZ R VX
UZ R VY
⇒ dc – dby + eay = af ⇒ y(ae – bd) = af – cd ⇒ y =
resultado na primeira equação, tem – se x =
QY R UX
XU R XVW
QZ R VX
Q
*# + 9 ⇒
. Substituindo-se esse
.
Observe que o sistema está associado às seguintes estruturas matriciais:
7
► D = [
[ ⇒ coeficientes das incógnitas. O produto dos elementos da diagonal
8 *
principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária é o denominador dos
resultados de x e y anteriores.
► Dx = \
\ ⇒ Na estrutura anterior, substitui-se a coluna relativa aos coeficientes
9 *
de x pela coluna de termos independentes de x e y. O produto dos elementos da diagonal
principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária é o numerador do
resultado de x anterior.
7
► Dy = [8 9[ ⇒ Na estrutura anterior, substitui-se a coluna relativa aos coeficientes
de y pela coluna de termos independentes de x e y. O produto dos elementos da diagonal
principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária é o numerador do
resultado de y anterior.
16
Pode-se registrar o que é conhecido como Regra de Cramer :
7"
Dado o sistema '
8"
S = ]1
►x =
*
7*
_`
_
9 -79
,
8 7*
e y=
_a
_
# + , em que a,b,c,d,e, f ∈R, tem-se como conjunto solução
*# + 9
8
- que ae – bd ≠ 0. De modo mais funcional, temos
2^ em
8
, em que
7
D=[
8
*
9
*
5 +
11 , Dx = [
8
7
2"
Exemplo: Resolver o sistema '
"
Temos D = [
2
Dy = [
1
2
1
5
[ +
3
6
[, Dx = \
5# + 8 .
3# + 7
_`
8
[ = -14- 8 = - 22 . Logo, x = =
7
_ R
S = {(-1 , 2)}
+
7
\ * Dy = [8
5
[+
3
9[ , sendo D ≠ 0.
24
1 e y=
_a
_
35 + 11 *
+
22
11
+2
As estruturas matriciais D , Dx e Dy são chamadas de determinantes 2x2.
Operacionalmente, temos para uma matriz 2x2 :
7
Se A = 7
7
7
7
⇒ det A = [7
7
7 [ = a11.a22 – a12.a21
2) Definição de determinante para matrizes de ordem n < 4 :
Consideremos o conjunto de todas as matrizes reais quadradas A de ordem n, n = 1, 2, 3.
Chama-se Determinante de A, indica-se det A, o número real resultante de operações
com os elementos de A, assim determinadas:
1o) Se n = 1 ⇒ A = [a11] ⇒ det A = |7 | = a11 ;
7
2o) Se n = 2 ⇒ A = 7
7
3 ) Se n = 3 ⇒ A = %7
7
o
7
7
7
7
7
7
⇒ det A = [7
7
7 [ = a11.a22 – a12.a21
7
7
7 & ⇒ det A = c7
7
7
7
7
7
7
7 c = (a11.a22.a33 +
7
+ a12.a23.a31 + a13.a21.a32) – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a11.a21.a33)
17
Observação : Essa última regra, conhecida como Regra de Sarrus, pode ser memorizada
através do seguinte dispositivo:
a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas:
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
b) No primeiro par de parênteses da expressão estão os produtos dos elementos situados
nas posições paralelas à diagonal principal, assinaladas em azul e no segundo par de
parênteses, os produtos dos elementos situados nas posições paralelas à diagonal
secundária, assinalados em vermelho:
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
Exemplo :
2 1
Calcule o determinante 8 + c0 3
1 1
Então, temos:
1
1c.
2
3
1
-2 0
2
1
0
3 -1
0
3
1
1
1
1
2
2 1
12
-1
0
18
d = (12 – 1 + o) – (3 – 2 + 0) = 11 = 1 = 10.
Observação : Ao invés de repetir as duas primeiras colunas à direita, pode-se repetir as
duas primeiras linhas em baixo e seguir o mesmo procedimento.
3) Cofator de um elemento numa matriz quadrada:
Dada uma matriz quadrada A= (aij) de ordem n , chama-se Cofator de uma entrada aij o
número real
Cof (aij) = (-1)i
+j
.Dij
Em que Dij é o determinante gerado pela supressão da linha e da coluna do elemento aij.
0
2 1
Exemplo : Considere as matrizes A =
e B = %1
7 5
3
a) Cof (a22);
Cof (a22) = (-1)2+2|2| = 1.2 = 2.
b) Cof (b32);
Cof (b32) = (-1)3+2[
0
1
2
[= -1.(0 + 2) = -2.
4
3
5
4
2
4 &. Calcule
2
c) O valor da expressão D = a11. Cof (a11) + a12. Cof (a12)
matriz A;
e o determinante da
1o) D = 2.(-1)1+1.|5| + 1. .(-1)1+2.|7| = 10 – 7 =3
2o) D = 2.5 – 1.7 = 10 – 7 = 3
d) O valor da expressão D = b11. Cof (b11) + b12. Cof (b12) + b13. Cof (b13) e o
determinante da matriz B.
1 4
5 4
1 5
[ + 3.(-1)1+2.[
[ - 2.(-1)1+3.[
[ = 1.(10 – 16) -3.(2 – 12) –
3 2
3 4
4 2
- 2(4 – 15) = 30 + 22 = 52.
1o) D = 0.(-1)1+1.[
1o) D = 0 + 36 – 8 + 30 - 0 – 6 = 52
19
Observação :
Nos itens c e d do exemplo anterior, antecipamos um resultado importantíssimo, por seu
grau de generalidade : trata-se do Teorema de Laplace , usado para calcular
determinantes de qualquer ordem.
4) O Teorema de Laplace :
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n é a soma dos produtos parciais
de cada elemento de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Exemplos :
4
1) Calcule o determinante c3
3
0
1
4
2
5c com o Teorema de Laplace.
1
Vamos escolher uma fila a primeira coluna. Então, temos
:
6
0 2
3
1 5
3 5
1+1
[ + 0.(-1)1+2[
[ + 2. (-1)1+3[
c5
1 5c + 4.(-1) [
3
3 1
4 1
5
4 1
1
[ = 4(-1 – 20) –
4
- 0(3 – 15) +2(12 + 3) = -84 + 12 + 30 = -42.
É claro que a melhor escolha de fila aponta para a linha ou coluna que tiver mais zeros;
Para elementos nulos, não é preciso calcular cofator.
3
1
2) Use o Teorema de Laplace para calcular o determinante d = d
0
2
0
02
1
3
1
4
3
Aplicando o Teorema de Laplace à segunda coluna do determinante, temos:
3
d = 0 + 0 + 2.(-1) c1
2
3
1
- 6) = 2 + 4 = 6.
3+2
3 2
3
4+2
1 1c+(-1),(-1) c1
3 0
0
3 2
3 3
1 1
1 1
5) Processos Complementares:
20
2
1
d.
2
0
3 2
1 1c= -2(0+6+6-4-9-0)-1(6+8+0-124 2
2
1
5.1) Determinante da Matriz de Vandermonde: Uma matriz quadrada é chamada de
Matriz de Vandermonde se:
1o) Todos os elementos da primeira linha são iguais a 1;
2o) Todas as colunas têm seus elementos em progressão geométrica na ordem crescente
das linhas.
Exemplos :
1 1
a) A = %2 4
4 16
1
3
b) B = D
9
27
1
1&
1
1
11
1
1
2
4
8
1
1
E
1
1
O determinante da Matriz de Vandermonde é o produto das diferenças estabelecidas da
direita para a esquerda na segunda linha da matriz.
Vejamos os determinantes das matrizes acima:
a) det A = (-1 – 4)(-1 – 2)(4 – 2) = (-5)(-3)(2) = 30.
b) det B = (-1- 2)(-1 -1)(-1 – 3)(2 – 1)(2 – 3)(1 – 3) = (-3)(-2)(-4)(1)(-1)(-2) = -48.
5.2) Regra de Chió:
Se numa matriz quadrada A o elemento a11 é igual a 1, pode-se reduzir a ordem do
determinante e calculá-lo mais facilmente com o seguinte procedimento:
10) Exclui-se a linha e a coluna do elemento a11;
2o) De cada elemento restante, subtrai-se o produto dos elementos das filas excluídas
que estão em posições perpendiculares a ele.
Exemplos :
1
a) c2
4
1
4
16
=[
5
19
1
3
b) D
9
27
1
41
1
1
4 2,1
1c = [
16 4,1
1
1
2
4
8
8
26
1 2,1
2
[=[
1 4,1
12
1
4 3.1
2 3.1
1
E = c 1 9.1
4 9.1
1
1 27.1 8 27.1
1
8
28
13
32
[=[
45
104
3
[ = - 6+36 = 30.
3
1 3.1
1
1 9.1 c = c 8
1 27.1
26
40
[ = 1.716 – 1800 = - 84.
132
21
1
5
19
4
8 c=
28
6) Propriedades dos determinantes :
a) O valor de um determinante é zero se ele possui
- uma fila (linha ou coluna) de zeros;
- duas filas do mesmo tipo iguais (duas linhas ou duas colunas);
- duas filas, do mesmo tipo, tais que uma é múltipla da outra.
b) Se uma única fila de um determinante é multiplicada por um real k não nulo, então, o
valor do determinante fica multiplicado também por k.
c) Se duas filas do mesmo tipo são trocadas de posição entre si num determinante, então,
o
sinal desse determinante se inverte.
d) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
e) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes
dessas matrizes, ou seja, det(A.B) = det(A).det(B)
f) Se A-1 é a inversa da matriz A, então, det (A-1) = 1/det A.
g) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal
prtincipal.
h) O determinante de uma matriz não se altera quando uma fila é multiplicada por um
real k, não nulo, e o resultado é somado com outra fila do mesmo tipo.
i) Se um determinante tem uma fila que é combinação linear de outras duas do mesmo
tipo, então esse determinante é igual a zero.
Exercícios Propostos :
1) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir:
a) Determinante da matriz A = (aij)2X2, em que aij = -i2- j.
b) Determinante da matriz B = (bij)2X2, em que bij = ( i – j)2.
c) Determinante da matriz C = (cij)2X2, em que cij = i – j , se i for par e cij = i + j, se i for
ímpar.
d) Determinante da matriz I2 (identidade de ordem 2).
e) Determinante da matriz D =
2) Se m = [
2 4
3
[e n=[
1 5
4
"
3) Se p = [
"
4
3
[ e q=[
"
3
3
5
4
.
3
0
[, calcule o valor da expressão m2 – n2.
4
4
[ , calcule x tal que p = q.
3
22
2 7
2 1
2 4
[,b=[
[ec=[
[ , resolva a equação ax2 + bx + c = 0.5) Se p
1 0
1 5
1 5
4
3
[ e q=e
e , calcule log q p.
4
5 1
4) Se a = [
8
=[
4
5) Use a Regra de Cramer para resolver cada sistema a seguir:
3" – # + 5 a) '
2"
5# + 9
b) '
c) '
5" + 2#
" 5# +
717
3" – 7 + # d) '
"
5# + 6
" – 4# + 3 2"
2# + 4
6) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir:
a) Num quintal há porcos e patos, num total de 56 animais e 156 pés. Quantos são os
patos e quantos são os porcos?
b) Num estacionamento há 48 veículos (somente motos e carros) num total de 118 rodas.
Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento?
c) Um caixa eletrônico só trabalha com notas de 10 e de 25 reais. Se alguém saca 260
reais e leva 11 notas, quantas notas de cada espécie ele leva?
d) Um grupo de amigos foi comemorar o aniversário de um deles em um bar. Entre
salgados e sucos, foram consumidos 96 itens e a conta ficou por R4 176,00. Se cada suco
custa R$ 1,50 e cada salgado custa R$ 2,00, quantos sucos e quantos salgados foram
consumidos?
7) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir:
a) Determinante da matriz A = (aij)3X3, em que aij = -2i2+ j.
b) Determinante da matriz B = (bij)3X3, em que bij = - ( i + j)2.
c) Determinante da matriz C = (cij)3X3, em que cij = 2i – j , se i for par e cij = i +2 j, se i
for ímpar.
d) Determinante da matriz I3 (identidade de ordem 3).
2
e) Determinante da matriz %0
4
1
5
4
2
1&.
1
23
3
8) Se m = %1
1
3 2
5 1
e
n
=
%4 5
0 1&.
4 1
0 4
1
10) Se a = %0
4
bx + c = 0.
0 0
1
5 1& , b = %0
4 1
4
"
9) Se p = % 0
4
"
0
4
6
2
" &. e q = %0
4
4
2
2
1&., calcule o valor da expressão m + n .
1
1 2
5 1&. , calcule x tal que p = q.
2 4
1 0
1
1 1& e c = % 0
5
1 2
1
5
2
2
2
1& , resolva a equação ax +
9
11) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir:
a) Num cofre há apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos totalizando 16 moedas e R$
4,45. Se o número de moedas de 50 centavos é o dobro do número de moedas de 25
centavos, quantas moedas de cada espécie há no cofre?
b) Num estacionamento, há 22 veículos, contando apenas com motos, triciclos e carros.
Contando-se o número de rodas, encontra-se 69. Sabe-se ainda que o número de rodas de
carros é o triplo do número de rodas de motos. Quantos veículos de cada tipo há no
estacionamento?
12) No plano cartesiano, três pontos A(xA , yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) estarão
alinhados, ou seja, serão de uma mesma reta, se, e somente se
"f
c"g
"h
#f
#g
#h
1
1c = 0
1
a) Verifique se os pontos A(1, -3), B(5, 1) e C(0, -4) estão alinhados.
b) Determine a coordenada k de modo que os pontos P(k, 3), Q(1, 5) e C(0, 1)
pertençam a uma mesma reta.
c) Determine o real m de modo que os pontos R(m, 5), S(-1, -2m) e T(0, -1) sejam
vértices de um triângulo.
7
13) Se c8
:
*
;
9c = 2, determine o valor de cada determinante a seguir:
24
7 2
a) c8 2* 9 c
: 2;
2
2
27
9
8c
c *
3; 3
3:
b) c9
*
;
7
14) Sabendo que m = c8
:
" 11
tais que m = =[
[.
" "
*
;
7
8c
:
3:
c) c 8
7
3;
*
3
9c
7
d) c
8
*
9
:
; c
9 c, d = 2a , e = 2b e f = 2c, determine os valores de x
1 1 1
15) Calcule o valor do determinante a seguir: c2 3 5 c .
4 9 25
x
0
1
16) Para quais valores de x o determinante 0
x
0
0 é positivo?
1
1
17) Calcule cada determinante a seguir:
1 2
0 -1
a)
2 1
4
2
3
1
3
1
2
0 1 -3
3 3 2
1 -1 1
b)
0 -1 3
2
1
2
2
1
1
c)
1
0 1 -3
1
1
2
4
1
3
9
1 1 2 3 -1
1 2 2 1 -2
1
-1
1
d) 0 0 0 3 1
1 2 3 0 -2
8 27 - 1
2 2 1 1 0
18) Resolva cada equação a seguir:
1
a) x
x
2
1
1
x2
3=0
x
4
b)
9
1
19) Calcule o determinante da matriz M = c
f
c
e
f
h
e)
= 2 e cg - fd = -3.
25
a
d
g
1
1
1
1
2
3
x
x
4
9
3x
x2
8
27 3x 2
b
d
e  , sabendo que
g
h 
=0
x4
e
h
=4,
x
20) Calcule os valores reais de x tais que
3
0 -1
0 0
0 0
2
1
x+3
0
1
2
= 0.
2
2-x
Questões Abertas de Vestibulares:
1) (UFRN) – Na equação a seguir, envolvendo determinantes, encontre os valores reais
de x.
2
1
0 -1
0 0
0
0 x
1
3 + 1 3x 0 = 14
x
-2 x 2
 2
2) (UFPR) – Dadas as matrizes A = - 2
 0
- 1
− 1 2 3
2  e B = 
, e sendo N = 50 + Det
2 1 1 

1
(A.B), encontre o valor de N.
1 , se i + j ≠ 4
e B = (bij)4X3 , com bij =
- 1 , se i + j = 4
3) (UFOP – MG) – A = (aij)3X4,com aij = 
1 , se i + j ≠ 4
.

- 1 , se i + j = 4
Calcule o determinante de A.B.
4) (UFOP – MG) – Considere a matriz A = (aij)2x2, em que aij = tg2 [(π/6)i]+cot2[(π/6)j.
a) Calcule o determinante de A.
2 0
b) Calcule AB, sendo B =
.
0 2
0
5) (UFOP – MG) – Considere a matriz M = %)*S5"
T)5"
Então, resolva a equação det M = 0.
)
6) (UFOP – MG) – Considere a matriz S = %)
)
26
)
)
)
0
)*S"
T)"
2
3&, com x ∈ [0 , 2π].
4
)
) & dada pela expressão
)
0 )* j
)* + - . Então, resolva a inequação det S > 3x2 .
sij = i
– )* k
Questões Fechadas de Vestibulares :
1
1) (CEFET –MG) - O(s) valor(es) de x para que c"
"
a) -1
b) 1
c) 3
2
0
2
"
1c = -8 é (são)
3
d) -1 e 1
e) -1 e 3
2) (CEFET –MG) - Sendo A = (aij), uma matriz quadrada de ordem 3 onde aij = i2 – 2ij
+ + j2, então, o determinante de A é
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
3) (UFOP – MG) - Considere a matriz
 0
M = sen 75 o
cos 75 o

0
sen 15 o
cos 15 o
2

1 
1 
Então , podemos afirmar que :
a) M é inversível e det M =
b) M é inversível e de t M =
c) M é inversível e det M = 0 .
d) M é inversível e det M = 1 .
e) M é inversível e det M =
3
.
2
3 .
1
.
2
1
"
3
4) (UFOP – MG) - Considere a matriz M = c "
3 " 1c. A equação det M = 0
" 1 1
"
tem como solução:
a) três raízes racionais.
b) duas raízes irracionais e uma racional.
27
c) apenas uma raiz racional.
d) duas raízes racionais e uma irracional.
e) três raízes irracionais
5) (UFOP – MG) - A matriz A, dada a seguir, é igual à oposta da sua transposta, ou seja,
A = −At .
"
A = .1
2
#
"
0
H
l/
"
Seu determinante vale:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
6) (UFV – Viçosa) - Na matriz quadrada A = (aij ) de ordem 2, os elementos a11, a12 , a21
e a22 , nesta ordem, apresentam a seguinte propriedade: “Os três primeiros estão em
progressão aritmética e os três últimos em progressão geométrica, ambas de mesma
razão”. Se a12 = 2, o determinante de A vale:
a) 4
b) – 4
c) 0
d) 8
7) (UFV – Viçosa) -Seja f: R→R definida por f(x) = det
valor de f é
a) – 11
b) – 10
c) – 13
2"
3
e) – 8
5 . Então, o maior
2mn
d) – 12
8) (UFSJ – São João Del Rey- MG) – Analise as afirmações abaixo.
e) – 15
0 0 1
I – O determinante da matriz %0 1 0& é igual a 1.
1 0 0
2
3 1/5G é uma matriz identidade.
II – O produto matricial % 1/3& . F1/2
5
7 "
7 #
7 H +0
#
H + 0 - poderá não ter
III – O sistema linear de incógnitas x. y e z o "
"
#
H +0
solução, dependendo dos valores de seus coeficientes.
IV - Uma matriz identidade e uma matriz quadrada nula são matrizes simétricas.
Com base nessa análise, é CORRETO o que se afirma
28
a) apenas em IV.
b) apenas em I e IV.
c) apenas em I e II.
d) em I, II, III e IV.
1 1
9) (CEFET –MG) – A soma das raízes da equação %2 "
2 1
a) -5
b) -4
c) 1
3
1 &=0 é
"
d) 3
e) 5
10) (UFV – Viçosa) – Seja A uma matriz inversível de ordem 2. Se det (2a) = det (A2),
então o valor de det A
a) 3
b) 4
c) 2
29
d) 0
e) 1
30
31
32