Aula 1_3 Campo Elétrico Carga Distribuída Física Geral e Experimental III Prof. Cláudio Graça Capítulo 2 Campos Elétricos de distribuições contínuas de carga elétrica • Fundamentos: (Lei de Coulomb + Princípio da Superposição) Campos Elétricos de distribuições contínuas de carga elétrica • Fundamentos: (Lei de Coulomb + Princípio da Superposição) Tipos de distribuição contínua de carga: Campos Elétricos de distribuições contínuas de carga elétrica • Fundamentos: (Lei de Coulomb + Princípio da Superposição) • Exemplos: carga volumétrica; superficial; linear • Linha de carga infinita E(r) = ? r ++++++++++++++++++++++++++ Campos Elétricos de distribuições contínuas de carga elétrica • Fundamentos: (Lei de Coulomb + Princípio da Superposição) permanecem os mesmos. • Mudanças: ∑ ⇒ ∫ • Outro Exemplo: Anel de carga Densidade de Carga • Como representar uma carga “q” distríbuida em um objeto? Carga total q Elementos de carga dq • Linha de carga: λ = carga/m • Superfície de carga: σ = carga/m2 dq = λ dx dq = σ dA • Volume de carga: ρ = carga/m3 dq = ρ dV Geometria para o cálculo do campo dq = ρ( r )dv r r̂ dE = ρ( r ) r 2 dv r r r̂ E = ∫∫∫ k ρ( r ) r 2 dv r v r r r r = r ' − r '' r r r ' − r '' r̂ = r ' r '' r −r 1 1 = r 2 rr ' − rr '' 2 r r r r ' − r" E = ∫∫∫ k ρ ( r ) r r 3 dv r ' − r" v Geometria para o cálculo do campo r r̂ E = ∫∫∫ k ρ( r ) r 2 dv r v r r r ' − r '' r r ' r '' r = r − r ; r̂ = r ' r '' r −r 1 1 = r 2 r ' r '' r r −r 2 Substituindo teremos: 1 r ' r '' r −r 2 r ' r '' r ' r '' r −r r −r = r ' r '' r ' r '' 3 r −r r −r r ' r '' r r −r E = ∫∫∫ k ρ( r ) r' r'' 3 dv v r −r Exemplos: Distribuição contínua de carga Fundamentos: E(r) = ? principio da superposição r “somar o campo elétrico produzido ++++++++++++++++++++++++++ por cada elemento de carga, utilizando o principio a superposição para obter o campo final” Aplicar: • Utilizar a Lei de Coulomb para calcular o campo dE produzido por cada elemento de carga • Planeje a integracão ao longo da linha usando os limites… • x: {de -∞ a +∞} ou θ: {de - π/2 a +π/2} dE θ -∞ dq ++++++++++++++++++++++++++++ x +∞ • Procure as simetrias ? Isto pode ajudar com simplificações. Linha de carga y Densidade de carga = λ r r r r '− r " dE = k λ r r 3 dx r '− r " r r" = xî r ˆ r ' = Yj dE r ˆ r ' = Yj r k λdx( Yˆj − xî ) dE = 3 2 2 2 x +Y θ r ++++++++++++++++ x r r" = xî dx Devemos somar todas as contribuições dE de cada segmento dx para o campo total. Linha de carga y Densidade de carga = λ dE r k λdx( Yˆj − xî ) θ r r ˆ dE = 3 r ' = Yj 2 2 2 x +Y ++++++++++++++++ r r r" = xî dx k λxdx dEx = − x +Y 2 3 2 2 r k λYdx ˆ dE y = j 3 2 2 2 x +Y x î Devemos somar todas as contribuições dE de cada segmento dx para o campo total. Linha de carga r k λxdx dEx = − î 3 x2 + Y 2 2 r k λYdx ˆ dE y = j 3 x2 + Y 2 2 Ex = −kλ ∫ x E y = kλY ∫ x xdx (x 2 (x 2 +Y dx +Y ) 3 2 2 ) 3 2 2 r k λxdx Ex = ∫ dEx = ∫ − 3 2 2 x x x +Y 2 r k λYdx E y = ∫ dE y = ∫ 3 x x x2 + Y 2 2 Linha de carga u = x 2 + Y 2 , du = 2 xdx Fazendo ∫ x xdx (x 2 +Y ) 3 2 2 1 2 xdx 1 du 1 ⎡− 2 ⎤ ⎡ 1 ⎤ = ∫ = ∫ 3 = ⎢ 1 ⎥ = ⎢− 1 ⎥ = 3 2 x ( x 2 + Y 2 )2 2 u u 2 2 ⎣ u 2 ⎦ u ⎣ u 2 ⎦ u ⎡ ⎤ cosθ −1 =⎢ = 1 ⎥ 2 2 2 Y ⎢⎣ (x + Y ) ⎥⎦ x Fazendo ∫ x dx (x 2 +Y θ x d Ydθ = tanθ ; dx = Y tanθdθ = Y ( 1 + tan 2 θ )dθ = Y dθ cos 2 θ ) 3 2 2 Como senθ = Ydθ 1 1 senθ = 3∫ = 2 ∫ dθ cos θ = 2 3 − 2 2 2 Y θ cos θ (cos θ ) Y θ Y x x2 + Y 2 ∫ x dx (x 2 +Y ) 3 2 2 = x Y (x +Y ) 2 2 2 1 2 x Linha de carga ⎡ kλY ⎤ kλ = senθ θ Ex = ⎢ 1 ⎥ ⎢⎣ (x 2 + Y 2 ) 2 ⎥⎦ x Y Ey x = kλx Y( x + Y ) 2 2 1 2 x kλ = cosθ θ Y Linha de carga kλ θ Ex = senθ θ Y kλ θ E y = cosθ θ Y 2 Linha Infinita: 1 Semi-infinita 2 1 Linha Infinita: Semi-infinita finita finita ⎧ π π⎫ θ ⎨− ; ⎬ ⎩ 2 2⎭ ⎧ π⎫ θ ⎨0; ⎬ ⎩ 2⎭ θ {θ1 ;θ 2 } 2kλ E x = 0; E y = Y kλ kλ Ex = − ; E y = Y Y kλ kλ Ex = (senθ 2 − senθ1 ); E y = (cosθ 2 − cosθ1 ) Y Y Linha de carga 2kλ E x = 0; E y = Y kλ kλ Ex = − ; E y = Y Y Linha infinita: Semi-infinita y y E θ +++++++++++++++++++++++++ x r ++++++++++++++++ x dx Linha de carga infinita dE y Usamos a Lei de Coulomb para obter dE: 1 dq dE = 4 πε 0 x 2 + Y 2 Y θ r Carga dq em função de dx? dq = λ dx Posição r em função de x e Y? r = ( x 2 + Y 2 )1 / 2 = Y cos θ Portanto, dE = 1 λdx 4πε0 (Y / cos θ)2 1 λcos2 θdx dE= 4πε0 Y2 ++++++++++++++++ x x dx Mas x e θ não são independentes! x = Y tanθ dx = Ysec2θ dθ dE = 1 λdθ 4πε0 Y Linha de carga Infinita • Componentes: Ey y dE θ E x 1 λdθ sinθ dEx = − 4πε0 Y Y dE y = + 1 λdθ cos θ 4πε0 Y θ r ++++++++++++++++ x dx • Integração: 1 λdθ 1 λ cos θ E x = ∫ dE x = − ∫ senθ = 4πε o Y Y − π/ 2 4πε o + π/ 2 1 λdθ 1 λ E y = ∫ dE y = ∫ cos θ = senθ 4πε o Y Y − π/ 2 4πε o + π/ 2 +π 2 −π 2 +π 2 −π 2 Linha de carga infinita y • Solução: dE +π / 2 ∫sinθ dθ = 0 −π / 2 +π / 2 ∫cosθ dθ = 2 Ex = 0 1 2λ Ey = 4πε0 Y −π / 2 • Conclusão: Y θ r ++++++++++++++++++x dx O campo elétrico produzido por uma linha infinita de carga: – é perpendicular a todos os pontos da linha – é proporcional à densidade de carga – diminui com 1/r. Linha de carga infinita r +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ x • Conclusão: O campo elétrico produzido por uma linha infinita de carga: – é perpendicular a todos os pontos da linha – é proporcional à densidade de carga – diminui com 1/r. Campo de um plano infinito de carga ¾ O campo elétrico devido a uma linha Infinita de carga vale: dE = 2kλ 2kσdy = r r • λ é a densidade linear [C/m] e • σ é a densidade superficial [C/m2] r= Z = Z secθ ; cosθ y = Z tanθ ; dy = Z sec 2 θdθ 2kσZ sec 2 θdθ = 2kσ secθdθ ¾ Portanto: dE = Z secθ Utilizando os argumentos de simetria conclui-se que : Ex=0; Ey=0 dE z = dE cosθ = 2kσ secθdθ cosθ = 2kσdθ π 2 E z = 2kσ ∫ π − dθ = 2πkσ = 2 σ 2ε o Portanto o campo é constante e Independente de Z. Distribuição esférica de carga DISTRIBUIÇÃO ESFERICAMENTE SIMÉTRICA • Condutor • Isolante Modelo de Dalton Modelo de Thomson Modelo atômico de Rutherford Campo de uma distribuição casca esférica de carga q q = ; dq = σdA = σ ( 2πRsenθ )Rdθ A 4πR 2 = σ 2πR 2 senθdθ σ= kdq kσ 2πR 2 senθdθ dE x = 2 cos α = cos α 2 r r r 2 = x 2 + R 2 − 2 xR cos θ ∴ 2rdr = 2 xRsenθdθ rdr senθen = xR x2 + r 2 − R2 2 2 2 R = x + r − 2 xr cos α ∴ cos α = 2 xr x2 − R2 kσ 2πR 2 rdr x 2 + r 2 − R 2 kσπR )dr = 2 (1 + dE x = 2 xr r2 r2 xR x kσπR x + R x2 − R2 E x = 2 ∫x − R ( 1 + )dr x r2 x+ R kσπR ⎡ x2 − R2 ⎤ = 2 ⎢r − x ⎣ r ⎥⎦ x − R = kσπR ⎡ (x + R ) − (x − R ) − (x 2 − R 2 )⎛⎜ 1 − 1 ⎞⎟⎤⎥ 2 ⎢ x ⎣ ⎝ x + R x − R ⎠⎦ Campo de uma distribuição esférica de carga kσπR x + R x2 − R2 E x = 2 ∫x − R ( 1 + )dr 2 x r x+ R kσπR ⎡ x2 − R2 ⎤ = 2 ⎢r − x ⎣ r ⎥⎦ x − R kσπR ⎡ 1 1 ⎞⎤ 2 2 ⎛ ( ) ( ) ( ) = 2 ⎢ x+R − x−R − x −R ⎜ − ⎟⎥ x ⎣ x R x R + − ⎠⎦ ⎝ = kσπR ⎡ 2 2 ( r − R ) − ( r + R )⎤ ( ) R x R − − 2 2 ⎢ (x + R )(x − R ) ⎥⎦ x ⎣ kσπR = 2 (2 R + 2 R ) x kσ 4πR 2 q ; E k = = x x2 x2 Consequentemente o campo de uma casca é idêntico ao de uma carga pontual no centro da caca. Para o campo no interior da casca, deve-se alterar os limites de integração: x+ R x2 − R2 ⎤ kσπR ⎡ =0 E x = 2 ⎢r − x ⎣ r ⎥⎦ R − x Blindagem eletrostática Campo por uma esfera maciça de carga O campo de uma esfera, pode ser calculado pela soma dos campos de n cascas de espessura infinitesimal, portanto k kq Er = ∫ dq = 2 rn r Para campos no interior da esfera, a carga que entra no cálculo, é devida às cascas no interior do ponto: q 4 3 qr 3 4πr 3 qr = ρ r = 3 = 4 33 R 3 πR 3 kq kq E r < R = 2r = 3 r R r Resumo:Distribuições de campo elétrico 1/ r4 Quadrupolo ~ 1 / r3 Dipolo Carga pontual ou esférica Linha infinita de carga Plano infinito de carga ~ 1 / r2 ~1/r 1 / r0 constante Problema • Considere um anel circular com densidade uniforme de carga (λ C/m) . A carga total do anel é +Q. • Qual é o valor do campo elétrico na origem? (a) zero (b) 1 2πλ 4πε 0 R 1 πRλ (c) 4πε 0 R 2 + +++ + + + + + + + ++ R ++ + + + + + + + • Relembre que o campo total, na origem, é SOMA VETORIAL de todas as contribuições dos elementos de carga. • Se a soma fosse ALGÉBRICA o resultado correto seria a opção (b) faça esse exercício. • Cada contribuição de um elemento de carga é anulada pela contribuição do elemento oposto!! • Portanto, a SOMA VETORIAL, de todas as contribuições será ZERO! Campo criado por um anel de carga No ponto : P(0,0, z), por um anel de raio r" = a. r r r dq r '− r " E = k ∫ r r 2 dr̂ = kλ ∫ r r 3 dl c r '− r " c r '− r " r r ' = zk̂ r r " = x î + yĵ = a cos θî + asenθĵ r r r '− r " = (z 2 + a 2 )1/ 2 2π r zk̂ − a cos θî − asenθĵ E = kλ ∫ adθ 2 2 3/ 2 z +a 0 ( ) Ex = 0 Por simetria Ey = 0 r kqz k̂ Ez = 2 2 3/ 2 (z + a ) Campo criado por um anel de carga Ex = 0 Ey = 0 r kqz Ez = z2 + a 2 ( ) 3/ 2 k̂ = kqz ⎡ ⎛a⎞ z ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ z ⎠ 3 2 3/ 2 ⎤ ⎥ ⎥⎦ k̂ 3/ 2 ⎡ ⎛ a ⎞2 ⎤ 3 como, ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ≅ 1 − (a / z) 2 + ... 2 ⎢⎣ ⎝ z ⎠ ⎥⎦ kq , Ez ≅ 2 ⎤ ⎡ 3⎛a⎞ z 2 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ 2 ⎝ z ⎠ ⎥⎦ kq para z >> a; E z ≅ 2 . z O anel se comporta como um monopolo de carga Campo criado por um disco de carga Disco de carga com raio “a” dq = σdA onde dA = db.bdθ onde r" = b e dl = bdθ σdA σr" dθdb z dE z = k 2 cos α = k r r2 b θ = {0;2π }; b = {0; a} 2π bdb = 2 2 3/ 2 0 (z + b ) a E z = kσz ∫ dθ ∫ 0 ⎡ ⎤ z 2bdb = kπσa ∫ 2 = 2πσ k ⎢1 − 2 2 3/ 2 2 1/ 2 ⎥ 0 (z + b ) ⎣ (z + a ) ⎦ a para z = 0, E = 0; só pelos argumentos de simetria e para a → ∞, mantendo z finito, E → 2kπσ = O campo se torna constante σ 2ε o Limitações da Lei de Coulomb Ou seja o cálculo do campo não pode incluir o domínio da carga!!! Como se enfrenta este problema? Q E = k 2 ⇒ ∞ quando r → 0 r Exemplos: 2π • Campo no centro do disco: a E z = kσz ∫ dθ ∫ r ≠0 0 (z rdr 2 +r ) 2 3/ 2 = ⎧⎪⎡ ⎤ ⎡ z z = kπσa ∫ = πσ − − − 2 k 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎨ 1/ 2 2 2 3/ 2 z 2 + a 2 ⎥⎦ ⎢⎣ z2 + r2 ⎪⎩⎢⎣ r z +r cujo limite para r → o, agora é realmente zero! !! a ( 2rdr ) ( ) ( ⎤ ⎫⎪ 1/ 2 ⎥ ⎬ ⎥⎦ ⎪⎭ ) • Campo devido a uma linha de carga infinita: Ex = 0 Ey = 1 2λ 4πε0 Y As duas componentes para um ponto no infinito, tenderiam a zero, o que é uma incoerência pois existe carga lá, lembre-se a linha é infinita.... A lei de Coulomb não se aplica a pontos onde exista carga, pois E ⇒ ∞ Campo criado por um plano de carga para z = 0, E → 0 e para a → ∞, E → 2kπσ = σ 2ε o O campo se torna constante ++++++++++++++++++++++++++ E= σ 2ε o Campo criado por dois planos de carga para z = 0, E → 0 e para a → ∞, E → 2kπσ = σ 2ε o O campo se torna constante E=0 ++++++++++++++++++++++++++ σ E= εo -------------------------E=0 • Movimento de cargas elétricas em campos elétricos r r Relembre a definição do campo elétrico F = qE • Relembre da Física I r r F = ma r q r ⇒ a= E m • Considere partículas com carga e massa movendose no campo elétrico. Observe que uma partícula movendo-se num campo elétrico, é semelhante ao movimento de projéteis… ax = 0 vx = vox x = xo + voxt ay = constante vy = voy + at y = yo + voyt + 1/2 at2 Movimento de cargas elétricas em campos elétricos • Considere o seguinte campo elétrico, com um elétron colocado na posição indicada. ++++++++++++++++++++++++++ d e-------------------------Qual será a velocidade do elétron quando ele atingir a placa positiva? d = 10 cm, E = 100 N/C, e = 1.6 x 10-19 C, m = 9.1 x 10-31 kg Movimento de cargas elétricas em campos elétricos ++++++++++++++++++++++++++ vo = 0, yo = 0 vf2 – vo2 = 2aΔx ou, ⎛ qE ⎞ v 2f = 2⎜ ⎟Δx ⎝m⎠ e-------------------------- ⎡ (1.6 x10 −19 C )(100 N / C )⎤ (0.1m ) v = 2⎢ ⎥ −31 9.1x10 kg ⎦ ⎣ 2 f v f = 1.9 x10 6 m / s Movimento de cargas elétricas em campos elétricos ++++++++++++++++++++++++++ e+ Vox e+ e+ x Vox Vy -------------------------v ox = v o ; y o = 0; x 0 = 0 v y = at = eE + mg eE t = ( + g)t m m x = vo t at 2 eE t2 y= = −( + g ) 2 m 2 1 eE y=− ( + g)x 2 2 2vo m eE m 1 eE 2 eE 2 y=− x = x 2 4K 2v o m para g << y Aplicações Tecnológicas Precipitação Eletrostática Aplicações Tecnológicas: Jato de tinta Aplicações Tecnológicas: Máquina Copiadora Xerox 1. Carga: Material fotocondutor, é um semicondutor que fica condutor quando exposto à luz. 2. Exposição à luz; partes expostas à luz perdem a carga, e as não expostas permanecem com a carga.’ 3. Revelação da imagem: o toner positivo é atraído para as partes com carga do tambor. 4. Transferência de imagem: O toner é transferido para o papel com a carga negativa do tambor. Aplicações Tecnológicas: Motor Iônico O propulsor se ioniza na fonte de íons S e é expulso como feixe de íons positivos com uma velocidade que depende da diferença de potencial V existente entre S e o anel acelerador B. Para evitar que o foguete se carregue, são injetados elétrons no feixe mediante o filamento F. O feixe é focado mediante o anel A. A força de empuxo será dada por: dm dp F= =v dt dt