2. Limite e Continuidade

1
Matemática Licenciatura - Semestre 2010.1
Curso: Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Robson Sousa
Limite e Continuidade
Neste capítulo apresentaremos as idéias básicas sobre limites e continuidade de uma
função real.
Limites
Seja f : R ! R uma função de…nida por 2x + 1, isto é, f (x) = 2x + 1. O grá…co de f
é uma reta que intercepta o eixo dos y no ponto (0; 1) e intercepta o eixo dos x no ponto
( 12 ; 0) (con…ra Figura 1).
Figura 1: Grá…co da função f (x) = 2x + 1.
Vamos considerar as tabelas
x
0; 5 0; 9
f (x) 2 2; 8
0; 99 0; 999
2; 98 2; 998
0; 9999
2; 9998
e
x
1; 5 1; 1 1; 01 1; 001
f (x) 4 3; 2 3; 02 3; 002
1; 0001
:
3; 0002
2
Pelas tabelas, notamos que, quando x se aproxima de 1, notação x ! 1, tanto pela
esquerda quanto pela direita temos que f (x) se aproxima de 3. Neste caso, dizemos que
f (x) tende ao limite 3 quando x se aproxima de 1, neste caso usamos a seguinte simbologia:
lim f (x) = 3:
x!1
Mais geralmente, temos a seguinte de…nição.
De…nição 0.1 Seja f uma função qualquer. Se f aproxima-se de uma constante L,
quando x se aproxima de um número x0 tanto pela esquerda quanto pela direita, dizemos
que f tende ao limite L. Neste caso, escreveremos
lim f (x) = L:
x!x0
O número real L é chamado de limite de f no ponto x0 (con…ra Figura abaixo). A notação
x ! x0 signi…ca que x está muito próximo de x0 mas x 6= x0 .
Figura 2: Representação grá…ca de limx!x0 f (x) = L.
Exemplo 0.2 Se f (x) = c é a função constante, então
lim f (x) = c:
x!x0
Solução. Pelo grá…co de f (con…ra Figura 3 abaixo), temos que o limite de f é igual a c,
em qualquer ponto x0 , pois a medida que nos aproximamos tanto pela esquerda, quanto
pela direita de qualquer ponto x0 , f (x) se aproxima de c.
3
Figura 3: Grá…co da função f (x) = c.
Exemplo 0.3 Se f (x) = x é a função identidade, então
lim f (x) = x0 :
x!x0
Solução. Pelo grá…co de f (con…ra Figura 4),
Figura 4: Grá…co função f (x) = x.
temos que o limite de f é igual a x0 , em qualquer ponto x0 , pois a medida que nos
aproximamos tanto pela esquerda, quanto pela direita de qualquer ponto x0 , f (x) se
aproxima de c.
Exemplo 0.4 Se f é a função de…nida por
(
x + 1 se x 1;
f (x) =
x
se x > 1;
então limx!1 f (x) não existe.
4
Figura 5: Grá…co da função f (x) =
(
x + 1 se x 1;
x
se x > 1:
Solução. Pelo grá…co de f (con…ra Figura 5),
temos que o limite de f é igual a 1 quando x se aproxima de 1 pela direita e é igual
a 2 quando x se aproxima de 1 pela esquerda. Assim, o limite de f não existe no ponto
x0 = 1, pois ele depende de como x se aproxima de x0 = 1.
Propriedade 0.5 (Propriedades do limite de uma função) Sejam f , g funções quaisquer e c uma constante. Se limx!x0 f (x) = L e limx!x0 g(x) = M , então:
1. limx!x0 (f + g)(x) = L + M ;
2. limx!x0 (f
g)(x) = L
M;
3. limx!x0 (cf )(x) = cL;
4. limx!x0 (f g)(x) = LM ;
5. limx!x0 ( fg )(x) =
L
,
M
com M 6= 0;
6. limx!x0 jf (x)j = jLj ;
7. limx!x0 [f (x)]n = Ln , 8 n 2 Z e L 6= 0;
Exemplo 0.6 Calcular o limite limx!x0 (ax + b).
Solução. Pelos Exemplos acima e as Propriedades 1 e 3, temos que
lim (ax + b) = lim (ax) + lim b = a lim x + b = ax0 + b:
x!x0
x!x0
x!x0
x!x0
Mais geralmente,
lim (an xn +
x!x0
+ a1 x + a0 ) = an xn0 +
+ a1 x 0 + a0 :
5
Exemplo 0.7 Calcular o limite
2x2 + x + 1
:
x!1
3x + 2
lim
Solução. Pelas Propriedades e o Exemplo anterior, temos que
2x2 + x + 1
limx!1 (2x2 + x + 1)
4
=
= :
x!1
3x + 2
limx!1 (3x + 2)
5
lim
Mais geralmente,
lim
x!x0
se bm xm
0 +
an x n +
bm x m +
+ a1 x + a0
an xn0 +
=
+ b1 x + b0
bm x m
0 +
+ a1 x 0 + a0
+ b1 x 0 + b0
+ b1 x0 + b0 6= 0.
Exemplo 0.8 Calcular o limite
lim
x2
x!2 x2
4
:
3x + 2
Solução. Note que não podemos aplicar diretamente as propriedades, pois
lim
x!2
x2
x2
limx!2 (x2 4)
0
4
=
= ;
2
3x + 2
limx!2 (x
3x + 2)
0
o que é uma “forma indeterminada.”Neste caso, devemos primeiro manipular algebricamente a expressão
x2 4
:
x2 3x + 2
Como
x2 4 = (x 2)(x + 2) e x2 3x + 2 = (x 2)(x 1)
temos que
lim
x!2 x2
x2
4
(x
= lim
3x + 2 x!2 (x
2)(x + 2)
(x + 2)
limx!2 (x + 2)
4
= lim
=
= = 4;
2)(x 1) x!2 (x 1)
limx!2 (x 1)
1
pois x ! 2 signi…ca que (x 2) 6= 0. Note que, esse exemplo mostra que, para uma função
ter limite L quando x tende x0 , não é necessário que seja de…nida em x0 .
Exemplo 0.9 Calcular o limite
x3
x!1 x
lim
1
:
1
Solução. Note que não podemos aplicar diretamente as propriedades, pois
x3
x!1 x
lim
1
limx!1 (x3
=
1
limx!1 (x
1)
13
=
1)
1
1
0
= ;
1
0
6
o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos primeiro manipular algebricamente a
expressão
x3 1
:
x 1
Como
x3 1 = (x 1)(x2 + x + 1)
temos que
x3
x!1 x
1
(x
= lim
x!1
1
lim
pois x ! 1 signi…ca que (x
Mais geralmente,
1)(x2 + x + 1)
= lim (x2 + x + 1) = 1 + 1 + 1 = 3;
x!1
(x 1)
1) 6= 0.
xn
x!1 x
1
= n:
1
lim
Exemplo 0.10 Calcular o limite
lim
x!1
p
3
x 1
:
x 1
Solução. Note que não podemos aplicar diretamente as propriedades, pois
p
p
p
3
3
x 1
limx!1 ( 3 x 1)
1 1
0
lim
=
=
= ;
x!1 x
1
limx!1 (x 1)
1 1
0
o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos primeiro manipular algebricamente a
expressão
p
3
x 1
:
x 1
Como
a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2 )
p
fazendo a = 3 x e b = 1, que
p
3
x
3
13 = x
p
1=(3x
p
p
p
3
1)( x2 + 3 x + 1); ou ainda; 3 x
1= p
3
x
1
:
p
x2 + 3 x + 1
Portanto,
lim
x!1
p
3
x 1
= lim
x!1 (x
x 1
x 1
1
p
= lim p
p
p
3
3
3
1)( x2 + x + 1) x!1 x2 + 3 x + 1
1
1
1
p
p
=
=
=
;
p
p
3
3
3
3
limx!1 ( x2 + 3 x + 1)
12 + 1 + 1
pois x ! 1 signi…ca que (x
Mais geralmente,
1) 6= 0.
lim
x!1
p
n
x 1
1
= :
x 1
n
7
Observação 0.11 Se limx!x0 f (x) = L, L 6= 0 e limx!x0 g(x) = 0, então limx!x0
não existe.
Exemplo 0.12 Mostrar que
x2 + x + 1
x!1
x2 1
lim
não existe.
Solução. Como
lim (x2 + x + 1) = 3 6= 0 e lim (x2
x!1
x!1
1) = 0
temos, pela Observação anterior, que
x2 + x + 1
x!1
x2 1
lim
não existe.
Exemplo 0.13 Mostrar que
lim
x!1
s
4
x+3
(x 1)2
não existe.
Solução. Como
lim (x + 3) = 4 6= 0 e lim (x
x!1
x!1
temos, pelo Observação, que
lim
x!1
não existe.
s
4
x+3
(x 1)2
1)2 = 0
f (x)
g(x)
8
De…nição Formal de Limite
Formalmente, dizemos que
lim f (x) = L;
x!x0
se dado um número real " > 0, arbitrariamente pequeno, existe em correspondência um
> 0 tal que
8 x 2 R; 0 < jx x0 j < ) jf (x) Lj < ":
Figura 6: Representação grá…ca de limx!x0 f (x) = L.
Uma vez que jx x0 j é a distância de x a x0 e jf (x) Lj é a distância de f (x) a
L, e como " pode ser arbitrariamente pequeno, a de…nição de limite pode ser escrita em
palavras da seguinte forma:
limx!x0 f (x) = L signi…ca que a distância entre f (x) e L …ca arbitrariamente pequena
tomando-se a distância de x a a su…cientemente pequena (mais não 0). Ou ainda,
limx!x0 f (x) = L signi…ca que os valores de f (x) podem ser tornados tão próximos de L
quanto desejarmos, tomando-se x su…cientemente próximo de a (mas não igual a a).
Exemplo 0.14 Mostrar, usando a de…nição formal de limite, que
lim (2x
x!2
3) = 1
Solução. Devemos mostrar que, para todo " > 0, dado arbitrariamente, podemos encontrar um > 0 tal que
x 2 R; 0 < jx
2j <
) j(2x
3)
1j < ":
Na resolução deste tipo de desigualdade podemos, em geral, obter
a…rmação envolvendo ". De fato,
j(2x
3)
1j = j2x
4j = 2 jx
2j < " ) jx
> 0 desenvolvendo a
"
2j < :
2
9
"
2
Assim, dado " > 0, existe
0 < jx
tal que
2j <
) j(2x
3)
1j < ";
pois
jx
2j <
) jx
2j <
"
) 2 jx
2
2j < " ) j(2x
3)
1j = 2 jx
2j < ":
Limites Laterais
Seja f : R
f0g ! R a função de…nida por
(
x 1 se x > 0;
f (x) =
x + 1 se x < 0:
O grá…co de f é mostrado na Figura 7.
Figura 7: Grá…co da função f (x) =
(
x 1 se x > 0;
x + 1 se x < 0:
Vamos considerar as tabelas
x
f (x)
0; 5
0; 5
0; 1
0; 9
0; 01
0; 99
0; 001
0; 999
0; 0001
0; 9999
x
f (x)
0; 5
0; 5
0; 1
0; 9
0; 01
0; 99
0; 001
0; 999
0; 0001
:
0; 9999
e
Pelas tabelas, notamos que, quando x se aproxima de 0 pela esquerda, notação x ! 0 ,
f (x) se aproxima de 1 e quando x se aproxima de 0 pela direita, notação x ! 0+ , f (x)
se aproxima de 1. Logo,
lim f (x) = 1 e lim+ f (x) =
x!0
x!0
1:
10
As notações
lim f (x) = L e lim+ f (x) = L
x!x0
x!x0
signi…ca que: f aproxima-se do limite L, quando x se aproxima pela esquerda e pela
direita de x0 respectivamente. O número real L é chamado de limite lateral à esquerda
(ou a direita) de f (con…ra Figura 8).
Figura 8: Grá…co da função f .
Observação 0.15 limx!x0 f (x) = L se, e somente se,
lim f (x) = lim+ f (x) = L;
x!x0
x!x0
ou seja, o limite de uma função em um ponto só existe, se os limites laterais existirem
e forem iguais. Essa observação garante que todas as propriedades de limite continuam
válidas para limites laterais.
Exemplo 0.16 Seja f a função de…nida por
(
5x + 5
f (x) =
x2 1
x2 +4x+3
Determinar limx!
1
f (x) e limx!
1+
se x
se x >
1;
1:
f (x).
Solução. Como x ! 1 signi…ca que x < 1, logo f (x) = 5x + 5 e, pelas propriedades
de limites (que, pela Observação anterior, continuam válidas para limites laterais), obtemos
lim (5x + 5) = 5( 1) + 5 = 0:
x! 1
Como x !
1+ signi…ca que x >
1, temos que
f (x) =
x2 1
:
x2 + 4x + 3
11
Note que não podemos aplicar diretamente as propriedades, pois
lim +
x! 1
limx! 1+ (x2 1)
0
x2 1
=
= ;
2
2
x + 4x + 3
limx! 1+ (x + 4x + 3)
0
o que é uma indeterminação. Neste caso, devemos primeiro manipular algebricamente a
expressão
x2 1
:
x2 + 4x + 3
Como
x2 1 = (x 1)(x + 1) e x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
temos que
x2 1
(x 1)(x + 1)
x 1
lim + 2
= lim +
= lim +
=
x! 1 x + 4x + 3
x! 1 (x + 1)(x + 3)
x! 1 x + 3
1:
Note que
lim f (x) 6= lim + f (x):
x! 1
Portanto, limx!
1
x! 1
f (x) não existe.
Exemplo 0.17 Seja f uma função de…nida por
jxj
:
x
Determine se possível, lim f (x), lim+ f (x) e lim f (x):
f (x) =
x!0
x!0
x!0
Solução. A função f não é de…nida em x = 0, pois f (x) = j0j
= 00 o que é uma
0
indeterminação. Observe que x ! 0+ , então x > 0, logo jxj = x e assim, f (x) = xx = 1.
Portanto,
lim+ f (x) = 1:
x!0
Por outro lado, x ! 0 , então x < 0, logo jxj = x e assim f (x) =
modo,
lim f (x) = 1:
x
x
=
1. Deste
x!0
Como lim+ f (x) 6= lim f (x), temos que lim f (x) não existe.
x!0
x!0
x!0
Exemplo 0.18 Seja f uma função de…nida por
8
>
< 3 x se x < 1
f (x) =
4
se x = 1 :
>
: 2
x + 1 se x > 1
Determine se possível, lim f (x), lim+ f (x) e lim f (x):
x!1
x!1
x!1
Solução. Se x ! 1 então x < 1, assim lim f (x) = lim (3
x!1
x!1
x) = 2. Por outro lado, se
x ! 1+ então x > 1, assim lim+ f (x) = lim+ (x2 + 1) = 2. Como lim+ f (x) = lim f (x),
x!1
temos que lim f (x) = 2:
x!1
x!1
x!1
x!1
12
Limites In…nitos e no In…nito
Seja f : R
f2g ! R a função de…nida por
f (x) =
(x
3
2)2
:
O grá…co de f é mostrado na Figura 9.
Figura 9: Grá…co da função f (x) =
3
.
(x 2)2
Vamos considerar as tabelas
x
1
f (x) 3
3
2
5
3
12
27
7
4
19
10
x
3
e
48 300
f (x) 3
5
2
7
3
12
27
9
4
21
10
48 300
:
Pelas tabelas, notamos que, quando x se aproxima de 2 tanto pela esquerda quanto pela
direita temos que f (x) cresce sem limite. Neste caso, dizemos que f (x) tende ao in…nito
(+1) quando x se aproxima de 2, em símbolos
lim f (x) = +1:
x!2
A notação
lim f (x) = +1 ou lim f (x) =
x!x0
x!x0
1
signi…ca que: f cresce sem limite ou decresce sem limite respectivamente quando x se
aproxima de x0 . Neste caso, dizemos que f tem limite in…nito ou, equivalentemente, o
limite de f quando x se aproxima de x0 não existe.
Exemplo 0.19 Mostrar que
lim
x!1
1
(x
1)4
= +1:
Solução. Pelo grá…co de f (x) = (x 11)4 (con…ra Figura 10), temos que o limite de f tende
ao in…nito no ponto x0 = 1. Pois a medida que x se aproxima de 1 tanto pela esquerda
quanto pela direita f (x) cresce sem limite.
13
Figura 10: Grá…co da função f (x) =
1
.
(x 1)4
Exemplo 0.20 Encontre lim x3 e lim x3 :
x!1
x! 1
Solução. Quando x torna-se muito grande x3 também …ca muito grande. Por exemplo:
103 = 1000
1003 = 1000000
10003 = 1000000000:
Na realidade, podemos fazer x3 tão grande quanto quisermos tomando x grande o su…ciente. Portanto podemos escrever
lim x3 = 1:
x!1
Analogamente, quando x é muito grande (em módulo), porém negativo, x3 também o é.
Assim,
lim x3 = 1:
x! 1
De…nição 0.21 A reta x = x0 é uma assíntota vertical do grá…co de f se pelo menos
uma das seguintes condições for satisfeita:
1. limx!x0 f (x) =
1 ou limx!x0 f (x) = +1.
2. limx!x+0 f (x) =
1 ou limx!x+0 f (x) = +1.
Observação 0.22 Se limx!x0 f (x) = L, L 6= 0 e limx!x0 g(x) = 0, então limx!x0
+1 ou limx!x0
f (x)
g(x)
=
1, isto é, o limite não existe.
Geralmente,
lim (an xn +
x!+1
+ a1 x + a0 ) =
=
lim xn (an +
x!+1
1;
an 1
+
xn
+
a1
a0
+ n)
n
1
x
x
f (x)
g(x)
=
14
pois,
an 1
a1
a0
+
+ n 1 + n ) = an e
n
x!+1
x
x
x
onde an > 0 ou an < 0. Se n 2 N é ímpar, então
lim (an +
lim (an xn +
+ a1 x + a0 ) =
x! 1
Exemplo 0.23 Encontre lim (x2
lim xn = 1
x!+1
1
x) :
x! 1
Solução. Seria errado escrever lim (x2
x! 1
x) =
lim x2
lim x = 1
x! 1
x! 1
1. As
propriedades de limite não podem ser aplicadas para limites in…nitos, pois 1 não é um
número (não podemos de…nir 1 1). Contudo, podemos escrever
lim
x! 1
x2
x = lim x (x
x! 1
pois, como lim x e lim (x
x! 1
x! 1
1) =
lim x
x! 1
lim (x
x! 1
1)
1) tornam-se arbitrariamente grandes, o mesmo acontece
com seu produto.
Agora, seja f : R ! R a função de…nida por
f (x) =
1
:
x2
O grá…co de f (x) é mostrado na Figura 11.
Figura 11: Grá…co da função f (x) =
1
.
x2
Vamos considerar as tabelas
x
10
f (x) 10 2
100
10 4
1:000
10 9
10:000
10 16
100:000
10 25
e
x
10
f (x) 10 2
= 1;
100
10 4
1:000
10 9
10:000
10 16
100:000
10 25
15
Pelas tabelas, notamos que, quando x cresce sem limite tanto pela esquerda quanto pela
direita temos que f (x) se aproxima de 0. Neste caso, dizemos que f (x) tende ao limite 0
quando x cresce (decresce) sem limite, em símbolos
1
= 0 ou
x!+1 x2
lim
1
= 0:
1 x2
lim
x!
A notação
lim f (x) = L ou
x!+1
lim f (x) = L
x! 1
signi…ca que: f (x) tem limite L quando x cresce sem limite ou decresce sem limite respectivamente. Neste caso, dizemos que f tem limite no in…nito.
De…nição 0.24 A reta y = L é uma assíntota horizontal do grá…co de f se pelo menos
uma das seguintes condições for satisfeita:
1. limx!
1
f (x) = L;
2. limx!+1 f (x) = L.
Observação 0.25 Sejam K 2 R e r 2 Q, r > 0. Então
K
K
lim r = 0 e lim r = 0:
x!+1 x
x! 1 x
Podemos, também, considerar o caso em que tanto x como f (x) cresça ou decresça sem
limite. Neste caso, denotaremos por
lim f (x) = +1 ou
x!+1
lim f (x) = +1 ou
x! 1
Além disso, se limx!
1.xn = 1.
1
lim f (x) =
1;
lim f (x) =
1:
x!+1
x! 1
g(x) = L, L 6= 0 e limx!
1
f (x) =
1, então limx!
f (x)
1 g(x)
=
Exemplo 0.26 Calcule
3x2 x 2
x!1 5x2 + 4x + 1
Solução. Para calcular o limite no in…nito de uma função racional, primeiro dividimos o
numerador e o denominador pela maior potência de x que ocorre no denominador. Nesse
caso a maior potência de x no denominador e x2 . Logo,
lim
3x2 x 2
=
lim
x!1 5x2 + 4x + 1
=
3x2 x 2
x2
lim 5x2 +4x+1
x!1
x2
limx!1 3
limx!1 5 +
3x2 x 2
2 +4x+1
5x
x! 1
De modo similar, temos que lim
Geralmente,
lim (an xn +
x!+1
onde an > 0 ou an < 0.
x
3x2
x2
x2
= lim 5x
2
x!1
+ 4x
+
x2
x2
limx!1 x1 limx!1
limx!1 x4 + limx!1
2
x2
1
x2
2
x2
1
x2
= lim
x!1
=
3
5
0
0
3
5+
1
x
4
x
+
2
x2
1
x2
0
3
=
0
5
= 53 .
+ a1 x + a0 ) = lim (an +
x!+1
an 1
+
xn
+
a1
a0
+
) = an
xn 1 xn
16
Exemplo 0.27 Calcular, se existir, o limite
x2 2x + 1
:
x!+1 2x2 + 5x
3
lim
Solução. Note que não podemos aplicar diretamente as propriedades, pois
limx!+1 (x2 2x + 1)
1
x2 2x + 1
=
= ;
2
x!+1 2x2 + 5x
3
limx!+1 (2x + 5x 3)
1
lim
o que é uma indeterminação. Pela observação anterior, temos que
x2 2x+1
x2
lim
2
x!+1 2x +5x 3
x2
x2 2x + 1
lim
=
x!+1 2x2 + 5x
3
limx!+1 (1
limx!+1 (2 +
=
(1
x!+1 (2 +
= lim
2
x
5
x
+
1
)
x2
3
)
x2
=
2
x
5
x
+
1
)
x2
3
)
x2
1 0+0
1
= :
2+0 0
2
Exemplo 0.28 Calcular, se existir, o limite
lim
x!+1
x
:
4x + 3
x2
Solução. Como a maior potência de x no denominador é o proprio x, temos:
lim
x!+1 x2
x
= lim
4x + 3 x!+1
x2
De modo similar, temos que
lim
x! 1
x
x
4x+3
x
x2
= lim
x!+1
x
1
4+
3
x
= 0:
x
= 0:
4x + 3
Exemplo 0.29 Calcular, se existir, o limite
p
lim
x!+1
x2 + 1
:
x+1
Solução.
lim
x!+1
p
x2
+1
=
x+1
=
p
x2 +1
x
x+1
x
q
x2 +1
x2
+ x1
lim
= lim
x!+1 1
q
limx!+1 1 + limx!+1
x!+1
limx!+1 1 +
1
x2
limx!+1 x1
q
1+
= lim
x!+1
=
1+
1+0
=1
1+0
1
)
x2
1
x
17
Teorema 0.30 (Teorema do Confronto, do sanduíche ou do imprensamento) Suponhamos
que
f (x) h(x) g(x)
para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente para o proprio a.
Se lim f (x) = L = lim g(x) então lim = L:
x!a
x!a
x!a
Prova. A demonstração desse teorema pode ser encontrada em textos mais avançados.
Exemplo 0.31 Sabendo que lim sen x não existe, mostre que lim x2 sen x1 = 0.
x!0
x!0
Solução. Observe inicialmente que não podemos usar lim x2 sen x1 = lim x2
x!0
x!0
por que lim sen x não existe:No entanto, sabemos que
lim sen x1
x!0
x!0
1
sen
1
x
1;
assim, multiplicando a última desigualdade por x2 , obtemos
x2
x2 sen
1
x
x2 :
Por outro lado, como lim x2 = lim ( x2 ) = 0, concluimos pelo teorema do confronto que
x!0
x!0
lim x2 sen x1 = 0:
x!0
Continuidade
Vamos considerar a função f : R ! R de…nida por
( 2
x 4
se x 6= 2;
x 2
f (x) =
4
se x = 2:
Note que:
1. f (2) = 4, isto é, f é de…nida no ponto x0 = 2;
2. limx!2 f (x) = limx!2
x2 4
x 2
= limx!2 (x + 2) = 4, isto é, limx!2 f (x) existe;
3. limx!2 f (x) = 4 = f (2).
De…nição 0.32 Sejam f uma função e x0 2 R …xado. Dizemos que f é contínua em x0
se as seguintes condições são satisfeitas:
1. f (x0 ) existe, isto é, f está de…nida no ponto x0 ;
18
2. limx!x0 f (x) existe, isto é, limx!x0 f (x) é um número real;
3. limx!x0 f (x) = f (x0 ).
Observação 0.33 Sejam f uma função e x0 2 X = Dom f um intervalo aberto:
1. Se f é contínua em x0 , então
lim f (x) = f ( lim x):
x!x0
x!x0
2. Dizemos que f é contínua em X se f é continua em todos os pontos de X. Intuitivamente, f é contínua em X se o grá…co de f pode ser traçado, completamente,
sem tirarmos o lápis do papel.
Se pelo menos uma das condições da de…nição de função contínua f em x0 não for
satisfeita, dizemos que f é descontínua em x0 . Neste caso, temos os seguintes tipos
descontinuidade:
1. O ponto x0 é uma descontinuidade removível de f se f (x0 ) não está de…nido e
limx!x0 f (x) existir ou
lim f (x) 6= f (x0 ):
x!x0
Porque podemos removê-la de…nindo adequadamente o valor f (x0 ).
2. O ponto x0 é uma descontinuidade tipo salto de f se os limites laterais existirem e
são diferentes, isto é,
lim f (x) 6= lim+ f (x):
x!x0
x!x0
3. O ponto x0 é uma descontinuidade essencial de f se
lim f (x) =
x!x0
1 ou lim+ f (x) =
x!x0
1:
Exemplo 0.34 Determinar se a função
x4
f (x) =
x
1
1
é contínua em x0 = 2. Caso contrário, dizer o tipo de descontinuidade.
Solução. Neste tipo de problema, devemos primeiro encontrar o domínio da função
f . É fácil veri…car que Dom f = R f1g. Como x0 = 2 2 Dom f , podemos falar da
continuidade ou não de f em x0 = 2.
f (2) =
24
2
1
= 15;
1
19
isto é, f está de…nida no ponto x0 = 2;
x4
x!2 x
lim f (x) = lim
x!2
24
1
=
1
2
1
= 15;
1
isto é, limx!2 f (x) existe;
lim f (x) = 15 = f (2):
x!2
Portanto, f é contínua em x0 = 2.
Exemplo 0.35 Determinar se a função
f (x) =
x2
x
2
x 2
é contínua em x0 = 2. Caso contrário, dizer o tipo de descontinuidade.
Solução. É claro que Dom f = R f2g. Como x0 = 2 2
= Dom f temos que f é descontínua
em x0 = 2, isto é, f não está de…nida no ponto x0 = 2 (con…ra Figura 12).
Figura 12: Grá…co da função f (x) =
x2 x 2
.
x 2
Neste caso, devemos dizer o tipo de descontinuidade de f .
x2
2)(x + 1)
= lim (x + 1) = 3:
x!2
x 2
x 2
Assim, x0 = 2 é uma descontinuidade removível de f , pois f não está de…nida no ponto
x0 = 2, no entanto, limx!2 f (x) existe. Note que, a função g : R ! R de…nida por
(
f (x) se x 6= 2;
g(x) =
3
se x = 2;
lim
x!2
x
2
= lim
(x
x!2
é contínua em x0 = 2.
Exemplo 0.36 Determinar se a função
(
f (x) =
x2 +x 2
x 1
2
se x 6= 1;
se x = 1
é contínua em x0 = 1. Caso contrário, dizer o tipo de descontinuidade.
20
Solução. É claro que Dom f = R. Como x0 = 1 2 Dom f temos que f está de…nida no
ponto x0 = 1, isto é, f (1) = 2.
x2 + x 2
(x + 2)(x
lim
= lim
x!1
x!1
x 1
x 1
1)
= lim (x + 2) = 3:
x!1
Como limx!1 f (x) 6= f (1) temos que f é descontínua em x0 = 1 (con…ra Figura 13).
Figura 13: Grá…co da função f (x) =
(
x2 +x 2
x 1
2
se x 6= 1;
se x = 1:
Assim, x0 = 1 é uma descontinuidade removível de f , pois, apesar de f estar de…nida no
ponto x0 = 1, limx!1 f (x) 6= f (1). Note que, função g : R ! R de…nida por
(
f (x) se x 6= 1;
g(x) =
3
se x = 1;
é contínua em x0 = 1.
Exemplo 0.37 Determinar se a função
(
f (x) =
x + 3 se x < 1;
x + 2 se x 1
é contínua em x0 = 1. Caso contrário, dizer o tipo de descontinuidade.
Solução. É claro que Dom f = R. Como x0 = 1 2 Dom f temos que f está de…nida no
ponto x0 = 1, isto é, f (1) = 1. Por outro lado,
lim f (x) = lim ( x + 3) = 2
x!1
x!1
e
lim f (x) = lim+ ( x + 2) = 1
x!1+
x!1
Como limx!1 f (x) = 2 6= 1 = limx!1+ f (x) temos que limx!1 f (x) não existe e, assim, f
é descontínua em x0 = 1 (con…ra Figura ). Portanto, x0 = 1 é uma descontinuidade tipo
salto de f , pois, limx!1 f (x) 6= limx!1+ f (x):
21
Exemplo 0.38 Determinar se a função
f (x) =
1
x
é contínua em x0 = 0. Caso contrário, dizer o tipo de descontinuidade.
Solução. É claro que Dom f = R f0g. Como x0 = 0 2
= Dom f temos que f é descontínua
em x0 = 0, isto é, f não está de…nida no ponto x0 = 0. Note que,
lim f (x) = lim
1
=
x
lim+ f (x) = lim+
1
= +1:
x
x!0
x!0
e
x!0
x!0
1
Portanto, x0 = 0 é uma descontinuidade essencial de f .
Propriedade 0.39 Sejam f; g : X
x0 2 X, então:
R ! R duas funções. Se f e g são contínuas em
1. f + g é contínua em x0 2 X;
2. f
g é contínua em x0 2 X;
3. cf , onde c é uma constante, é contínua em x0 2 X;
4. f g é contínua em x0 2 X;
5.
f
,
g
com g(x0 ) 6= 0, é contínua em x0 2 X;
6. jf j é contínua em x0 2 X.
22
Prova. Vamos provar apenas o item 1. Como f e g são contínuas em x0 2 X temos que
lim f (x) = f (x0 ) e lim g(x) = g(x0 ):
x!x0
x!x0
Logo, pela Propriedade 1 de limites, obtemos
lim (f + g)(x) =
x!x0
lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)
x!x0
x!x0
x!x0
= f (x0 ) + g(x0 ) = (f + g)(x0 ):
Portanto, f + g é contínua em x0 2 X.
Teorema 0.40 Sejam f : X ! R e g : Y ! R duas funções, com Im f
Y . Se f é
contínua em x0 2 X e g é contínua em y0 = f (x0 ) 2 Y , então g f é contínua em x0 2 X.
Prova. Como f e g são contínuas em x0 e y0 , respectivamente, temos que
lim f (x) = f (x0 ) e lim g(y) = g(y0 ) = g(f (x0 )):
x!x0
y!y0
Assim,
lim (g f )(x) = lim g(f (x)) = g( lim f (x)) = g(f (x0 )) = (g f )(x0 ):
x!x0
x!x0
x!x0
Portanto, g f é contínua em x0 2 X.
Note que, se f (x) = an xn +
+ a1 x + a0 , então f é contínua em todo R. Também, se
f (x) =
an x n +
bm xm +
+ a1 x + a0
;
+ b1 x + b0
então f é contínua em todo R, onde
bm x m +
+ b1 x + b0 6= 0:
Seja f : [a; b] ! R uma função. Dizemos que f é contínua em [a; b] se f é contínua em
]a; b[ e
lim+ f (x) = f (a) e lim f (x) = f (b):
x!a
x!b
Exemplo 0.41 Mostrar que a função f : [ 3; 3] ! R de…nida pela regra f (x) =
é contínua.
p
9
x2
Solução. Observe que para todo
3 < a < 3 (ou seja, a 2 ]a; b[) temos que
p
p
lim f (x) = lim 9 x2 = 9 a2 = f (a);
x!a
x!a
logo para todo a 2 ]a; b[ a função f é contínua. Além disso,
p
p
lim + f (x) = lim + (9 x2 ) = 0 = f ( 3) e lim f (x) = lim (9
x! 3
x! 3
Assim, f é contínua em [ 3; 3].
x!3
x!3
x2 ) = 0 = f (3):
1
Matemática Licenciatura - Semestre 2010.1
Curso: Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Robson Sousa
1a Lista de Exercícios
1. Determinar, se existir, os limites abaixo:
(a1 )
(a2 )
lim 25
(g)
lim x
(h)
x!100
x! 5
(a3 ) lim 2x + 3
(i)
x!3
(a)
(b)
lim (5x2
lim1
x! 2
(c)
(d)
(e)
(f )
9x
x!4
3
lim x2 1
x!2 x 1
3
lim xx4 +8
16
x! 2
x 2
lim 3
x!2 x 8
lim 39 pt t
t!9 p
p
lim x+2x 2
x!0
p
lim 4 h16+h
h!0 p
2
3
lim t +9
t2
t!0
p
3
lim x+2
x!7 p x 7
1
lim 1+h
h
h!0
8)
(j)
4x2 6x+3
16x3 +8x 7
(k)
x2 +2x 3
2 +5x+6
x
x! 2
2
lim x x+6
x!2 x 2
lim
(l)
(m)
x2 +4x+3
x+3
x! 3
x2 7x+10
lim 6
x!2 x 64
lim
(n)
(o)
2. Sabendo que lim f (x) = 4, lim g(x) =
x!2
x!2
limites:
(q)
(d) lim
(b) lim [g(x)]3
x!2 p
(c) lim f (x)
(e)
2
x
p 81
x!9 x 3
x
2x
lim e 3 e
x!0
lim p 4 jxj 2
x!0 x +4x +7
(r) lim
(s)
(t)
(u) lim(1 +
t!8
(v)
(x)
(z)
p
3
x) (2
lim (t + 1)3 (t +
t! 1
lim( 1t t21+t )3
t!0
1
1
lim (3+h) h 3
h!0
6x2 + x3 )
3)5
2 e lim h(x) = 0, determine os seguintes
x!2
(f ) lim [h(x) + f (x)]
x!2
x!2
3. Determinar, se existir, os seguintes limites laterias:
p
p
2x 10
(a) lim+ ( x2 25 + 3)
(e) lim+ 1+ x+3
x!5
x!5
p
p
4 2
(b) lim x 9 x2
(f ) lim xx+416
x!3 p
x!4
(x 3)2
(c) lim+ x 3
(g) lim+ px x 164
x!3
x!16 p
(h) lim 7 x
(d)
lim p x+10 2
x! 10
lim px 16
x!16 x 4
3
8
lim (2+h)
h
h!0
3f (x)
x!2 g(x)
lim g(x)h(x)
x!2 f (x)
(a) lim [f (x) + 5g(x)]
x!2
(p)
(x+10)
x!7
(i)
(j)
(k)
(l)
x!2
x!1
2
lim x 3
x! 8
lim+ (5 + j6x
x! 12
4. Em cada alternativa determine os seguintes limites, caso existam:
lim f (x);
x!1
lim f (x); lim f (x)
x!1+
x!1
p
8 x3
p
lim 3 x3 1
lim
3j):
2
a) f (x) =
b) f (x) =
(
8
>
<
>
:
x2 1 se x < 1;
4 x se x 1:
x2
2
x
se x < 1;
se x = 1;
2 se x > 1:
5. Seja f : R ! R de…nida por
f (x) =
(
x2 + 2 se x
x + c2 se x <
Determinar o valor c de modo que limx!
6. Seja f : R ! R de…nida por
8
>
<
f (x) =
>
:
1
1;
1:
f (x) exista.
x2 + x
se x < 1;
se x = 1;
3x + 2 se x > 1:
c
x2
Determinar o valor c de modo que limx!1 f (x) exista.
7. Seja f : R ! R de…nida por
f (x) =
(
se x 2;
5 se x < 2:
x c
x2 + cx
Determinar o valor c de modo que limx!2 f (x) exista.
8. Seja f : R ! R de…nida por
8
>
< d 2x se x 2;
f (x) =
cx2 + d se
2 < x < 2;
>
:
x c
se x
2:
Determinar os valores c e d de modo que o limite de f (x) exista em todo R.
9. Determinar, se existir, os seguintes limites no in…nito:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2x2 5
4 +x+2
3x
x!1
2
lim 2+x
x+3
x! 1
lim (3x+4)(x 1)
x! 1 (2x+7)(x+2)
lim
3
lim 3x3 x+1
2
x!1 6x +2x 7
lim (x2 10x) :
x!1
(f )
(g)
(h)
(i)
(j)
p
2x2 +3
4x+2
x!1
3
lim ( 3xx2 4
x!1
lim
lim
(k)
x2
)
3x+2
(l)
x2 +1
(m)
x!1 5x+3
lim (3x3 + 4x2
x!+1 p
lim
x! 1
x2 +1
x+1
:
1)
(n)
(o)
p
x2 3
p
3 3
x!1 px +1
lim ( x2 + 1
x!1
p
lim x( x2 +
x!1
6x2
lim p
3
2
x! 1 5x 1
lim
p
lim ( x2 + 1
x!1
x
1
x)
p
x2
1)
3
10. Determinar, se existir, os seguintes limites in…nitos:
(a)
(b)
lim 6
x!5+ x 5
lim 6
x!5 x 5
6
x!5 x 5
lim 5
x!4 x 4
(f )
(g)
(c) lim
(h)
(d)
(i)
lim 5
x!4+ x 4
lim 5
x!4 x 4
lim
x! 1
(k)
(l)
1
(x+1)2
(m)
1
lim
2
x! 1+ (x+1)
(n)
1
lim
2
x! 1 (x+1)
2
lim 2 2x
x! 1 x x 2
lim x
x!1 1 x
lim 2 x 2
x!1 (x 1)
11. Mostrar que as seguintes funções são contínuas no ponto indicado:
p
(a) f (x) = 2x 5 + 3x; x0 = 4
(c) f (x) = 3x2 + 7 p1 x ; x0 =
p
p
3x
(b) f (x) = 3 x2 + 2; x0 = 5
; x0 = 8
(d) f (x) = 2x+1
12. Determinar se a função
f (x) =
(
x2 1 se x < 1
4 x se x 1
é contínua em x0 = 1. Caso contrário, dizer o tipo de descontinuidade.
13. Determinar se a função
8
2
>
< x + 1 se x < 1
f (x) =
1
se x = 1
>
:
x + 1 se x > 1
é contínua em x0 = 1. Caso contrário, dizer o tipo de descontinuidade.
14. Determinar se a função
f (x) = f (x) =
(
x3
se x 1
3 x se x > 1
é contínua em x0 = 1. Caso contrário, dizer o tipo de descontinuidade.
15. Determinar se a função
f (x) = f (x) =
(
jx + 3j se x 6=
2
se x =
2
2
é contínua em x0 = 2. Caso contrário, dizer o tipo de descontinuidade.
16. Determinar se a função
8
>
< x 1 se x 1
f (x) = f (x) =
2x 1 se 1 < x < 2
>
:
x + 1 se x 2
é contínua em x0 = 2. Caso contrário, dizer o tipo de descontinuidade.
2
4
17. Determinar se cada função é contínua ou descontínua em cada intervalo:
(a) f (x) =
p
(b) f (x) =
1
,
x 1
(c) f (x) = 1
4, em [4; 8];
x
em ]1; 4[;
p
1 x2 , em [ 1; 1];
18. Seja f : R ! R de…nida por
f (x) =
(
x3 1
x 1
c
se x 6= 1;
se x = 1:
Determinar o valor c para que f seja contínua em todo R.
19. Seja f : R ! R de…nida por
f (x) =
(
x2 + 2 se x
x + c2 se x <
1;
1:
Determinar o valor c para que f seja contínua em todo R.