Instituto Superior de Ciências do Trabalho e Empresa Curso: Gestão e GEI, 1o Ano Cadeira: Optimização Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade (Tópicos de teoria e exercícios) Elaborado por: Diana Aldea Mendes Departamento de Métodos Quantitativos Fevereiro de 2009 Capítulo 1 Noções Topológicas e Domínios de Definição de Funções 1.1 Tópicos de Teoria Definição 1: Seja (Rn , d) um espaço métrico com a distância d entre dois pontos x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn e y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn definida por: q d (x, y) = (x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2 . Seja a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn e ε > 0. A bola aberta de centro a e raio ε designa-se por B (a, ) ou B (a) e é definida pelo seguinte conjunto de pontos B (a, ε) = {x ∈ Rn : d (x, a) < ε} . R R B(a,ε) B(a,ε) a3 ah a2 0 a A a- ε A a+ε ε ε R a a2 0 R 0 h R a1 a1 R B ola ab erta em R Bola aberta em R2 Bola aberta em R 3 Definição 2: Seja (Rn , d) um espaço métrico com a distância d, A ⊆ Rn e a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn . Têm-se então que: 1 2CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES • a é um ponto interior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio ε contida em A, isto é ∃ ε > 0 tal que B (a, ) ⊆ A • a é um ponto exterior de A se existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio ε contida em Rn \A (ou seja: existe pelo menos uma bola aberta de centro a e raio ε que não contém pontos pertencentes a A), isto é ∃ ε > 0 tal que B (a, ) ⊆ Rn \A ou seja B (a, ) ∩ A = ∅ • a é um ponto fronteiro de A se em qualquer bola aberta de centro a e raio ε existe pelo menos um ponto de A e existe pelo menos um ponto de Rn \A, isto é ∀ ε > 0 : B (a, ) ∩ A 6= ∅ e B (a, ) ∩ Rn \A 6= ∅ • a é um ponto de acumulação de A se em qualquer bola aberta de centro a e raio ε existem infinitos elementos de A, isto é ∀ ε > 0 : B (a, ) ∩ Aé um conjunto infinito • a é um ponto isolado se não é um ponto de acumulação. y exterior − h exterior − h fronteiro − interior h − A h − 1 fronteiro h 0 y=2 isolado − h 2 x Definição 3: Seja (Rn , d) um espaço métrico com a distância d e A ⊆ Rn . Designa-se por: • Interior de A (IntA) o conjunto dos pontos interiores de A 1.1. TÓPICOS DE TEORIA 3 • Exterior de A (ExtA) o conjunto dos pontos exteriores de A • Fronteira de A (F rontA) o conjunto dos pontos fronteiros de A • Fecho ou aderência de A (F echA ou Ā) à união do interior de A com a fronteira de A, isto é F echA = IntA ∪ F rontA • Derivado de A (A0 ) o conjunto dos pontos de acumulação de A. • O conjunto A ⊆ Rn diz-se aberto se IntA = A e diz-se fechado se F echA = A. Definição 4: Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Se para cada x ∈ A se faz corresponder um e só um y = f (x) ∈ B então tem-se uma função f de A em B (f : A −→ B) . • f : Rn → R diz-se função real de n variáveis reais.e representa-se por uma expressão com n variáveis • f : Rn → Rm diz-se função vectorial de n variáveis reais e representa-se por um sistema de m funções com n variáveis. Definição 5: Seja a função f : Df ⊆ Rn −→ Rm . O conjunto Df é o domínio ou campo de existência da função f e representa o conjunto dos todos os pontos de Rn para os quais se podem efectuar todas as operações indicadas nas m expressões, isto é, corresponde à intersecção dos domínios das m funções coordenadas f1 , ..., fm ..: Df = Df1 ∩ .... ∩ Dfm . • Sejam F e G duas funções quaisquer. Para calcular os domínios de definição temos que ter em consideração que F =⇒ G 6= 0 G √ — n F =⇒ F ≥ 0 se n par — — log F =⇒ F > 0 — F G =⇒ F > 0 — arcsin F ou arccos F =⇒ −1 ≤ F ≤ 1 4CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES 1.2 As equações e os gráficos de algumas curvas no plano real • Recta y − b = m (x − a) Exemplo 1.2.1 : y = x − 1 y o o y<x-1 o o o o o y=x-1 o o o o o o o 1 x o o o o o o o o y>x-1 -1 o • Circunferência de centro (a, b) e raio r : (x − a)2 + (y − b)2 = r2 Exemplo 1.2.2 : x2 + y 2 = 1 y o o o o o x2+y2<1 o o o o x2+y2=1 o o o x o o o o o o o o o o o o o o o o o x2+y2>1 1.2. AS EQUAÇÕES E OS GRÁFICOS DE ALGUMAS CURVAS NO PLANO REAL 5 • Parábola: orientada na direcção do eixo dos yy : y − b = m (x − a)2 e orientada na direcção do eixo dos xx : 2 x − a = m (y − b) =⇒ y = b ± r Exemplo 1.2.3 : y = x2 y y=x2 y>x2 o o o o o o o o o o o o o o o y<x2 x o o o o o o o o o o o o o o √ Exemplo 1.2.4 : x = y 2 , ou equivalente y = ± x y o o o o o o o o o o o o o o x>y2 o o o o o o o o o x<y2 x o o o o o o x=y2 • Hipérbole: orientada na direcção do eixo dos xx : (x − a)2 (y − b)2 − =1 p2 q2 x−a m 6CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES e orientada na direcção do eixo dos yy : (y − b)2 (x − a)2 − =1 q2 p2 Exemplo 1.2.5 : Hipérbole equilateral: y = 1 x y o o o o o o o o o y=1/x o y<1/x o o o o o o o o o y>1/x x o o o o o o 1.3 o o o o Exercícios Propostos 1. Representa graficamente os conjuntos e indique o interior, o exterior, a fronteira, o fecho e o derivado. Diga se são abertos e (ou) fechados: © ª (a) A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4 ∪ {(6, 7)} ª © (b) B = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 1 ≥ 0 ∧ x − y + 1 > 0 ∧ x2 − y ≤ 0 ª © ª © (c) C = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4 ∧ y > 0 ∪ (x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 − 4 ∧ y < 0 © ª (d) D = (x, y) ∈ R2 : y ≥ x2 ∧ y ≤ x + 1 ∪ {(−2, 1)} 2. Determine e represente graficamente o domínio de definição D de cada uma das seguintes funções f : D ⊆ R2 → R: (a) f (x, y) = p 1 − x2 − y2 (b) f (x, y) = log (x + y) 1.3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7 (c) f (x, y) = log (1 − x + y), com x, y ≥ 0 (d) f (x, y) = log (4 − x − y) √ 4 xy − 3 1 (e) f (x, y) = p 4 − x2 − y 2 q (f) f (x, y) = 1 + − (x − y)2 (g) f (x, y) = (h) f (x, y) = (i) f (x, y) = p √ x2 − 4 + 4 − y2 p √ 1 − x2 + 1 − y2 x2 1 + y2 1 (j) f (x, y) = p √ y− x x2 y 2 (k) f (x, y) = q (x2 + y2 )3 (l) f (x, y) = arcsin y x ¡ ¢ (m) f (x, y) = log 1 − x2 + cos (xy) ¶ µ x + y 1/2 (n) f (x, y) = x2 − y xy (o) f (x, y) = |x| + |y| ¢xy ¡ (p) f (x, y) = −x2 − y 2 + 4 3. Determine o domínio de definição das seguintes funções: (a) f (x, y) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ 1 log (x + y) , (x, y) : x + y > 0 ⎪ ⎪ ⎩ √1 − x − y , (x, y) : x + y ≤ 0 ⎧ 2x3 + 3y4 ⎪ ⎪ , (x, y) 6= (0, 0) ⎨ 2x3 − y 3 (b) f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 , (x, y) = (0, 0) 8CAPÍTULO 1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES (c) f (x, y) = (d) f (x, y) = ⎧ ⎪ log (3x + y) , ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1 x+y p x2 + y 2 3y 2 − x , , (x, y) : 3x + y > 0 (x, y) : 3x + y ≤ 0 (x, y) : x 6= 3y 0 , (x, y) : x = 3y ¡ 2 ¢ ⎧ log x + y2 ⎪ ⎪ ⎨ , (x, y) : y 6= 1 2y − 1 (e) f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 , (x, y) : y = 1 ⎧ x−y ⎪ ⎨ xye x+y , (x, y) 6= (0, 0) (f) f (x, y) = ⎪ ⎩ 0 , (x, y) = (0, 0) x2 sin2 y + y 3 cos2 x x4 + y 4 + 2x2 y 2 ⎧ 2y2 ⎪ ⎪ , (x, y) : y 6= x ⎨ 3x + y (h) f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 , (x, y) : y = x ⎧ xy ⎪ ⎨ x2 − y 2 , (x, y) : x 6= ±y (i) f (x, y) = ⎪ ⎩ 0 , (x, y) : x = ±y ⎧ 3 x + 4y 2 ⎪ ⎪ , (x, y) 6= (0, 0) ⎨ 2 x − 5y 2 (j) f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 0 , (x, y) = (0, 0) (g) f (x, y) = q 4. Seja a função f (x, y) = log (xy − 1) + 9 − (x − 1)2 − y2 . (a) Determine o seu domínio de definição e represente-o graficamente. (b) Indique, justificando, se Df é um conjunto aberto e/ou fechado. Capítulo 2 Limites e Continuidade 2.1 Tópicos de Teoria • Definição: Seja f : Df ⊆ R2 −→ R uma função real de domínio Df e seja (a, b) um ponto de acumulação de Df . Diz-se que l ∈ R é o limite de f (x, y) no ponto (a, b) e escreve-se lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = l se e só se " ∀δ > 0, ∃ ε > 0 : q # (x − a)2 + (y − b)2 < ε ∧ (x, y) ∈ Df \ {(a, b)} =⇒ |f (x, y) − l| < δ A definição do limite traduz-se no essencial por: ”a proximidade de (x, y) de (a, b) deve obrigar à proximidade de f (x, y) de l ”. Geometricamente: O domínio Df é uma região do plano e um ponto (x, y) pode aproximar-se do ponto (a, b) por uma infinidade da caminhos possíveis (rectas, parábolas, etc.), como mostra a figura: y (x,y) (x,y) (x,y) b (x,y) h (x,y) (x,y) a 9 x 10 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE A definição de limite de f (x, y) em (a, b) obriga a: para que exista lim(x,y)→(a,b) f (x, y) é necessário (mas não é suficiente) que existam e tenham o mesmo valor os limites ao longo de todos os caminhos possíveis (limites relativos). ⎧ 1. iterados (ou sucessivos) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ • Limites relativos ⎨ a). direcção = recta ⎪ ⎪ 2. direccionais ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ b). direcção = parábola 1. Limites iterados: ⎧ ⎨ l1 = limx→a (limy→b f (x, y)) ⎩ l2 = limy→b (limx→a f (x, y)) 2. Limites direccionais (a) O caminho é uma recta não vertical de declive m que passa por ponto (a, b) e a equação da família de rectas é dada por y = b + m (x − a) , m∈R Nesse caso o limite a calcular é lr = lim (x,y)→(a,b) f (x, y) = lim (x,y)→(a,b) y=b+m(x−a) f (x, y) = lim f (x, b + m (x − a)) x→a (b) O caminho é uma parábola de eixo vertical que passa por ponto (a, b) e a equação da família de parábolas é dada por y = b + m (x − a)2 , m∈R Nesse caso o limite a calcular é lp = lim (x,y)→(a,b) f (x, y) = lim (x,y)→(a,b) y=b+m(x−a)2 ´ ³ f (x, y) = lim f x, b + m (x − a)2 x→a • Algumas desigualdades a utilizar em problemas com a definição de limite de funções de duas variáveis são: 2.1. TÓPICOS DE TEORIA 11 p x2 + y 2 p |y| ≤ x2 + y2 |x| ≤ ¢ 1¡ 2 x + y2 2p |x ± y| ≤ |x| + |y| ≤ 2 x2 + y 2 ¯ 3 ¯ ¡ ¢ ¯x − y 3 ¯ ≤ x2 + y 2 3/2 |x × y| = |x| × |y| ≤ • Definição: Seja f : Df ⊆ Rn −→ Rm uma função definida pelas m funções coordenadas y1 = f1 (x1 , ..., xn ) , ..., ym = fm (x1 , ..., xn ) , e seja A = (a1 , ..., an ) um ponto de acumulação de Df . Diz-se que o limite de f no ponto A é o ponto B = (b1 , ..., bm ) ∈ Rm e escreve-se lim f (x) = B, se cada uma das funções cox→A ordenadas fi tem limite no ponto A e esse limite é bi , isto é, lim fi (x) = bi . x→A • Definição (Continuidade): Seja f : Df ⊆ R2 −→ R uma função real de duas variáveis reais de domínio Df . A função f diz-se contínua num ponto (a, b) (que seja ponto de acumulação do Df ) se as seguintes três condições são verificadas — Existe f (a, b) ou seja (a, b) ∈ Df — Existe lim(x,y)→(a,b) f (x, y) — lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = f (a, b) • Definição: Diz-se que uma função f : Df ⊆ R2 −→ R é prolongável por continuidade ao ponto (a, b) (ou que f tem em (a, b) uma descontinuidade removível) se — (a, b) ∈ / Df — Existe lim(x,y)→(a,b) f (x, y) • Sendo f prolongável por continuidade ao ponto (a, b), a função f ∗ , prolongamento de f por continuidade ao ponto (a, b), é definida como segue: ⎧ , se (x, y) ∈ Df ⎨ f (x, y) ∗ f (x, y) = ⎩ lim(x,y)→(a,b) f (x, y) , se (x, y) = (a, b) 12 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE • Definição: Uma função f : Df ⊆ R2 −→ R é descontínua no ponto (a, b) (ponto de acumulação de Df ) se f não é contínua em (a, b), nem prolongável por continuidade ao ponto (a, b) . • Definição: Uma função f : Df ⊆ R2 −→ R diz-se contínua no seu domínio Df ⊆ R2 , se fôr contínua em todos os pontos desse domínio. 2.2 Exercícios Propostos 1. Seja a função f (x) = Calcule, se existirem: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 x+1 , x≤0 e−x , x>0 (a) limx→1 f (x) ; limx→−1 f (x) ; limx→0 f (x) ; limx→+∞ f (x) ; limx→−∞ f (x) 2. Seja a função: f (x, y) = x+y . Calcule o seu limite no ponto (1, 2) . 6x − y 2 3. Considere a seguinte função ⎧ x2 y ⎪ ⎪ ⎨ y + x sin x f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 , (x, y) : y 6= −x sin x , (x, y) : y = −x sin x Calcule o seu limite na origem dos eixos. 4. Seja a função ⎧ xy ⎪ ⎪ ⎨ p 2 x + y2 f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 , (x, y) 6= (0, 0) , (x, y) = (0, 0) Estude o seu limite na origem dos eixos. 5. Provar pela definição que lim(x,y)→(0,0) f (x, y) 6= 0, para a função xy f (x, y) = q (x2 + y 2 )3 2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6. Dada a função 13 ⎧ xy ⎪ ⎨ x2 − y 2 f (x, y) = ⎪ ⎩ 1 , (x, y) : x 6= ±y , (x, y) : x = ±y Verifique se a função tem limite em (0, 0) . 7. Calcule α ∈ R\ {0} , ∀ β de modo que a função seja contínua em x = 0. ⎧ sin (αx) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ α+β f (x) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ eαx − cos x ⎪ ⎩ βx + sin x , x<0 , x=0 , x>0 8. Verifique se a função f (x) = é contínua em R. 9. Dada a função ⎧ 1 ⎪ ⎨ (1 + sin x) x2 ⎪ ⎩ 1 ⎧ 3 x + 4y2 ⎪ ⎪ ⎨ 2 x − 5y2 f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 0 , x 6= 0 , x=0 , (x, y) 6= (0, 0) , (x, y) = (0, 0) Verifique se a função é contínua na origem dos eixos. 10. Faça o estudo da continuidade da função ⎧ y−2 ⎪ ⎨ x+3 f (x, y) = ⎪ ⎩ 0 , (x, y) 6= (0, 0) , (x, y) = (0, 0) 14 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE 11. Dada a função f : R2 −→ R2 f: ⎧ x−4 ⎪ ⎪ Z1 = ⎪ ⎨ 2y + 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Z2 = y − 3 x2 + 1 Estude-a quanto à continuidade no ponto (0, 0). 12. Considere a função xy f (x, y) = p x2 + y 2 Diga, justificando, se é prolongável, por continuidade, no ponto (0, 0) . 13. Seja a função ⎧ 3x2 + y 2 ⎪ ⎪ ⎨ 4 x + y4 f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 0 , se x4 + y 4 6= 0 , se x4 + y 4 = 0 Estude a continuidade da função. 14. Dada a função ⎧ x sin y + y sin x ⎪ ⎪ ⎨ 2 (x + y) f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 , (x, y) 6= (0, 0) , (x, y) = (0, 0) Estude-a quanto à continuidade na origem dos eixos. 15. Seja a função f (x, y) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 2y 2 3x + y , (x, y) : y 6= x 1 , (x, y) : y = x Que pode concluir quanto à continuidade da função? Justifique. 2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 16. Seja a função 15 ⎧ 3x3 + 2y 3 ⎪ ⎪ ⎨ x2 + y 2 f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 0 , (x, y) 6= (0, 0) , (x, y) = (0, 0) Estude-a quanto à continuidade. 17. Estude a continuidade das seguintes funções: (a) f (x, y) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ x2 y x4 + y2 , (x, y) 6= (0, 0) ⎪ ⎪ ⎩ 0 , ⎧ xy ⎪ ⎪ ⎨ p 2 x + y2 (b) f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 ⎧ xy − 2 ⎪ ⎪ , ⎨ y+4 (c) f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 2 , (x, y) = (0, 0) , (x, y) 6= (0, 0) , (x, y) = (0, 0) (x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0) 18. Dada a função f : R2 −→ R2 f: ⎧ x2 y ⎪ ⎪ Z1 = 4 ⎪ ⎨ x + y2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Z2 = 2xy + y2 x2 Estude-a quanto à continuidade na origem. 19. Considere a função f (x, y) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x2 y y + x sin x , (x, y) : y 6= −x sin x 1 , (x, y) : y = −x sin x Prove que a função não é contínua em (0, 0) . Justifique. 16 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE 2.3 Exercícios de Revisão 1. Considere a função f : R2 −→ R2 f: ⎧ xy sin y ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ Z1 = x2 + 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Z2 = x x+y (a) Estude-a quanto ao limite na origem dos eixos. (b) Estude-a quanto à continuidade na origem. 2. Considere a função ⎧ p x2 + y 2 + 2xy ⎪ ⎪ ⎨ 3y − x f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 , (x, y) : x 6= 3y , (x, y) : x = 3y (a) Determine o seu domínio. (b) Calcule o limite da função no ponto (3, 1) . (c) Estude a continuidade da função nesse ponto. 3. Considere a função ¢ ¡ ⎧ log x2 + y 2 ⎪ ⎪ ⎨ 2y − 1 f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 1 , (x, y) : y 6= 1 , (x, y) : y = 1 (a) Calcule o limite da função no ponto (0, 1) . (b) Verifique se existe uma descontinuidade removível no ponto (0, 1) . (c) Estude a função quanto à continuidade no seu domínio de definição. Justifique. 4. Para a função f (x, y) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x2 y2 x2 y2 + (x − y)2 , (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0) 2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 17 (a) Determine o seu domínio. (b) Verifique se a função tem limite na origem dos eixos. (c) Estude a continuidade da função. Justifique. 5. Seja a seguinte função 5xy3 f (x, y) = q (x2 + y 2 )3 (a) Determine o seu domínio. (b) Calcule o limite da função no ponto (0, 0) . (c) Estude a continuidade da função. (d) Diga se a função é prolongável, por continuidade, ao ponto (0, 0) . Justifique. 6. Considere a função f (x, y) = y 2 sin3 x + x3 sin2 y x4 + y4 + 2x2 y 2 (a) Determine o seu domínio. Justifique. (b) Estude a topologia do domínio da função. (c) Calcule o limite da função na origem dos eixos. (d) Estude a função quanto à continuidade. Justifique. (e) Diga se a função é prolongável, por continuidade. Justifique. (f) Considere a nova função g (x, y) = ⎧ ⎨ f (x, y) , (x, y) 6= (0, 0) ⎩ 0 , (x, y) = (0, 0) Verifique se a função g (x, y) é contínua na origem dos eixos. Justifique. 7. Resolva o exercício anterior para a seguinte função f (x, y) = y 2 cos3 x + x3 sin2 y x4 + y4 + 2x2 y 2 18 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE 8. (Exame 2a Época - 11/09/96) Considere a função f : R2 −→ R, com n natural e p real, definida por ⎧ xy n + py ⎪ ⎪ ⎨ 2 x + y2 f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ 0 , (x, y) 6= (0, 0) , (x, y) = (0, 0) (a) Indique o domínio da função, referindo se é um conjunto aberto e/ou fechado. Justifique. (b) Mostre que f (x, y) é contínua em (0, 0) se e só se n ≥ 2 e p = 0. 9. (Frequência - 11/06/97) Considere a função definida por: ⎧ 2y 3 − x3 ⎪ ⎪ ⎨ 2 x + y2 f (x, y) = ⎪ ⎪ ⎩ β , (x, y) 6= (0, 0) , (x, y) = (0, 0) (a) Calcule o domínio da função e verifique se é um conjunto aberto e/ou fechado. (b) Existe algum valor de β para o qual a função f é contínua em todo o seu domínio? Justifique. 10. (Exame 1a Época - 09/07/97) Considere a função f : R2 −→ R definida por f (x, y) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x2 + y 2 log (x2 + y 2 ) , 0 , (x, y) = (0, 0) (x, y) 6= (0, 0) e x2 + y2 < 1 (a) Calcule o domínio da função e represente-o graficamente. Verifique se o domínio é um conjunto aberto e/ou fechado. (b) Estude a continuidade da função na origem. 11. (Frequência - 15/06/98) Seja a função f (x, y) = ¡ ¢ ⎧ 2 ⎨ log y − x , se k(x, y)k ≥ 2 ⎩ p 1 − x2 − y 2 , se k(x, y)k < 2 2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO em que k(x, y)k = 19 p x2 + y2 . Represente graficamente o domínio da função e veri- fique se o conjunto é aberto e/ou fechado. 12. (Frequência - 15/06/98) Considere a função f (x, y) = x2 |x| + |y| (a) Mostre que f é contínua no seu domínio. Justifique. (b) Verifique que a função tem limite na origem dos eixos. 20 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE Capítulo 3 Soluções dos Exercícios Propostos 3.1 Noções Topológicas e Domínios de Funções 1. Tem-se (a) ª © ª © IntA = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4 , F rontA = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 4 ∪{(6, 7)} © ª © ª A0 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4 , F echA = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4 ∪{(6, 7)} ExtA = R2 \F echA e {(6, 7)} é um ponto isolado em A. A é um conjunto fechado porque A = F echA. y 7 h (6,7) A 2 -2 0 h 2 6 x x2 + y2 = 4 -2 (b) © ª IntB = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1 ∧ y < x + 1 ∧ y > x2 21 22 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS F rontB = © ª (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 ∧ y ≤ x + 1 ∧ y ≥ x2 ∪ ª © ∪ (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 1 ∧ y = x + 1 ∧ y ≥ x2 ∪ © ª ∪ (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 1 ∧ y ≤ x + 1 ∧ y = x2 © ª F echB = B 0 = (x, y) : x2 + y 2 ≥ 1 ∧ y ≤ x + 1 ∧ y ≥ x2 ExtB = R2 \ F echB, IntB 6= B =⇒ B não é aberto e F echB 6= B =⇒ B não é fechado. (c) © ª © ª IntC = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 4 ∧ y > 0 ∪ (x, y) ∈ R2 : y > x2 − 4 ∧ y < 0 F rontC = ª © ª © (x, y) : x2 + y 2 = 4 ∧ y ≥ 0 ∪ (x, y) : y = x2 − 4 ∧ y ≤ 0 ∪ ∪ {(x, y) : y = 0 ∧ − 2 ≤ x ≤ 2} © ª © ª F echC = C 0 = (x, y) : x2 + y 2 ≤ 4 ∧ y ≥ 0 ∪ (x, y) : y ≥ x2 − 4 ∧ y ≤ 0 ExtC = R2 \ F echC, IntC 6= C =⇒ C não é aberto. F echC 6= C =⇒ C não é fechado. 2 -2 x2+y2=4 2 y=x 2 -4 -4 (d) © ª IntD = (x, y) ∈ R2 : y > x2 ∧ y < x + 1 , ExtD = R2 \ F echD, ª © ª © F rontD = (x, y) : y = x2 ∧ y ≤ x + 1 ∪ (x, y) : y ≥ x2 ∧ y = x + 1 ∪{(−2, 1)} ª © ª © F echD = (x, y) : y ≥ x2 ∧ y ≤ x + 1 ∪{(−2, 1)} , D0 = (x, y) : y ≥ x2 ∧ y ≤ x + 1 IntD 6= D =⇒ D não é aberto. F echD = D =⇒ D é fechado 3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 2. Temos os seguintes domínios de definição © ª (a) Df = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 y x2 + y2 = 1 1 x -1 0 1 -1 © ª (b) Df = (x, y) ∈ R2 : y > −x y y=-x x 0 © ª (c) Df = (x, y) ∈ R2 : y > x − 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 y y=x-1 x 0 23 24 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (d) Df = ¾ ½ 3 (x, y) ∈ R2 : y < −x + 4 ∧ y > , x 6= 0 x y=3/ x (3,1) 0 y=4- x © ª (e) Df = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 4 y x2 + y2 = 4 2 x -2 0 2 -2 © ª (f) Df = (x, y) ∈ R2 : y = x (g) Df = {(x, y) : (x ≤ −2 ∧ −2 ≤ y ≤ 2)} ∪ {(x, y) : (x ≥ 2 ∧ −2 ≤ y ≤ 2)} y 2 -2 2 0 -2 x 3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES © ª (h) Df = (x, y) ∈ R2 : (−1 ≤ x ≤ 1) ∧ (−1 ≤ y ≤ 1) y 1 x -1 1 0 -1 (i) Df = R2 \ {(0, 0)} © ª √ (j) Df = (x, y) ∈ R2 : y > x ∧ x ≥ 0 y y= x 0 x (k) Df = R2 \ {(0, 0)} © ª (l) Df = (x, y) ∈ R2 : − |x| ≤ y ≤ |x| \ {(0, 0)} y y = |x| n 0 y = - |x| x 25 26 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS © ª (m) Df = (x, y) ∈ R2 : −1 < x < 1 y -1 0 1 x © ¡ ¢ ¡ ¢ª (n) Df = (x, y) ∈ R2 : y ≥ −x ∧ y < x2 ∨ y ≤ −x ∧ y > x2 , o domínio está representado pela região do plano não trasejada y y = x2 x 0 y=-x (o) Df = R2 \ {(0, 0)} © ª (p) Df = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 4 y x2 + y2 = 4 2 x -2 0 -2 2 3.1. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 27 3. Temos os seguintes domínios de definição © ª (a) Df = (x, y) ∈ R2 : y 6= 1 − x √ ª © (b) Df = (x, y) ∈ R2 : y 6= 3 2 x ∪ {(0, 0)} © ª (c) Df = R2 \ {(x, y) : y = −x ∧ x ≤ 0} ou Df = (x, y) ∈ R2 : y 6= x © ª (d) Df = (x, y) ∈ R2 : x 6= 3y2 ∪ {(0, 0) , (3, 1)} (e) Df = R2 ¾ ¶ ¾ µ½ ½ 1 1 ∪ {(0, 0)} ou Df = (x, y) : y 6= \ {(0, 0)} \ (x, y) : y = 2 2 ¡ ¢ (f) Df = R2 \ {(x, y) : y = −x} ∪ {(0, 0)} ou Df = {(x, y) : y 6= −x} ∪ {(0, 0)} (g) Df = R2 \ {(0, 0)} , IntDf = R2 \ {(0, 0)} , F rontDf = {(0, 0)} , F echDf = Df0 = R2 . Df é um conjunto aberto porque Df = IntDf = R2 \ {(0, 0)} . © ª © ª (x, y) ∈ R2 : y 6= −3x ∪ {(0, 0)} , IntDf = (x, y) ∈ R2 : y 6= −3x , © ª F rontDf = (x, y) ∈ R2 : y = −3x , Df0 = F echDf = R2 , Df não é um con- (h) Df = junto aberto porque Df 6= IntDf , não é fechado porque F echDf 6= Df . (i) Df = R2 , IntDf = R2 , F rontDf = ∅,ExtDf = ∅ e F echDf = Df0 = R2 , Df é um conjunto aberto porque IntDf = Df = R2 . Df é um conjunto fechado porque F echDf = Df = R2 . ( √ ) √ ) 5 5 x ∪{(0, 0)} , IntDf = (x, y) : y 6= ± x , F rontDf = (j) Df = (x, y) : y 6= ± 5 5 ) ( √ 5 x , ExtDf = ∅ e F echDf = Df0 = R2 . (x, y) : y = ± 5 ( 4. Tem-se 28 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (a) Df = ½ ¾ 1 ∧ (x − 1)2 + y 2 ≤ 9, x 6= 0 (x, y) ∈ R2 : y > x y y=1/x ( x-1 )2 + y2 = 9 x -3 0 3.2 h 1 4 Limites e Continuidade 1. (a) l = 1/e; Não existe limite; l = 1; l = 0; l = 0 2. l = 3/2 3. Não existe limite 4. l = 0 1 < δ, logo a definição do limite não é verificada, portanto não existe o 5. p 2 x + y2 limite. 6. Não existe limite em (0, 0) 7. A função é contínua se β = 0 e α ∈ R\ {0} . 8. A função é descontínua em x = 0 9. É descontínua em (0, 0) , não existe limite ª © 10. A função é contínua em (x, y) ∈ R2 : x 6= −3 \ {(0, 0)} 11. É contínua em (0, 0) 3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 29 12. É prolongável por continuidade em ponto (0, 0) , bastaria, para ser contínua, que f (0, 0) = 0. 13. É contínua em R2 \ {(0, 0)} 14. A função é descontínua na origem ª © 15. A função é contínua para (x, y) ∈ R2 : y 6= −3x ∧ y 6= x ∪ {(2, 2)} 16. É contínua em R2 17. Tem-se (a) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)} (b) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)} © ª (c) A função é contínua em (x, y) ∈ R2 : y 6= −4 \ {(0, 0)} 18. A função é descontínua na origem 19. Não existe limite (|y + x sin x| ≤ |y| + |x sin x| ≤ |y| + |x| |x|). 3.3 Exercícios de Revisão 1. (a) Não existe limite em (0, 0) . (b) A função não é contínua na origem. 2. Tem-se © ª (a) Df = (x, y) ∈ R2 : x 6= 3y2 ∪ {(0, 0) , (3, 1)} (b) l = ∞ (c) A função é descontínua em (3, 1) 3. Tem-se 30 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (a) l = 0. (b) Existe uma descontínuidade removível. (c) A função é contínua em {(x, y) : y 6= 1/2 ∧ y 6= 1} ∪ 4. Tem-se ©¡ √ ¢ª ± e − 1, 1 \ {(0, 0)} . (a) Df = R2 (b) Não existe limite na origem. (c) A função é contínua em R2 \ {(0, 0)} . 5. Tem-se (a) Df = R2 \ {(0, 0)} (b) l = 0. (c) A função é contínua no seu domínio. (d) A função é prolongável por continuidade a (0, 0), bastaria, para ser contínua, que f (0, 0) = (0, 0) . 6. Tem-se (a) Df = R2 \ {(0, 0)} (b) IntDf = R2 \ {(0, 0)} , F rontDf = {(0, 0)} , ExtDf = ∅, Df0 = F echDf = R2 , não existem pontos isolados. Df é um conjunto aberto, mas não é fechado. (c) l = 0 (d) A função é contínua no seu domínio, ou seja R2 \ {(0, 0)} (e) É prolongável por continuidade em (0, 0) . (f) A função g é contínua em (0, 0), porque existe limite em (0, 0) 7. Tem-se 3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 31 (a) Df = R2 \ {(0, 0)} (b) IntDf = R2 \ {(0, 0)} , F rontDf = {(0, 0)} , ExtDf = ∅, Df0 = F echDf = R2 , não existem pontos isolados. Df é um conjunto aberto, mas não é fechado. (c) Não existe limite em (0, 0) . (d) A função é contínua no seu domínio, ou seja R2 \ {(0, 0)} . (e) Não é prolongável, porque não existe limite em (0, 0) . (f) A função g é descontínua em (0, 0), porque não existe limite em (0, 0) . 8. Df = R2 , o domínio é um conjunto aberto e fechado. 9. Tem-se (a) Df = R2 , o domínio é um conjunto aberto e fechado. (b) Para β = 0 a função é contínua em (0, 0) , logo é contínua em todo o seu domínio (R2 ). 10. Tem-se © ª © ª (a) Df = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1 , IntDf = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1 , F rontDf = ª © (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 , IntDf = Df =⇒ Df é um conjunto aberto. Df não é fecahdo. y x2 + y2 = 1 1 x -1 0 -1 (b) A função é contínua na origem. 1 32 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS © ª © ª 11. Df = (x, y) ∈ R2 : y > x2 ∧ x2 + y 2 ≥ 4 ∪ (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 . O conjunto Df não é aberto e não é fechado y y = x2 2 1 -2 x2 + y2 =4 -1 0 x2 + y2 = 1 1 2 x -1 -2 12. Tem-se (a) Df = R2 \ {(0, 0)} . A função é contínua em R2 \ {(0, 0)} e é prolongável por continuidade ao (0, 0) . (b) l = 0.