Tese - Ufpe

i
ii
iii
à minha Carol!
Agradecimentos
Aqui encerro uma importante etapa e tendo em vista os árduos dez últimos anos que se passaram até a presente data, tenho infinitos agradecimentos a um “ensemble” muito particular de
pessoas que estão em minha vida e que me ajudaram neste progresso.
À minha amada Carol, não somente por sua ajuda e sem a qual nada aqui escrito existiria,
mas também por me influenciar com sua grande dedicação e esforço com que conduz sua
profissão. Tenho em você um grande exemplo a ser seguido. E por essas e outras é que tenho
certeza que você foi o melhor de todos os meus planos...te amo!
Aos meus pais Ivan e Vilane, por fornecerem a melhor condição inicial para que esse processo acontecesse. Amo demais vocês e tenham certeza que podem contar comigo para o que
der e vier! Ao meu grande irmão Felipe (agora o Doutor Sampaio!) muito obrigado por sua
ajuda e desejo um grande sucesso em sua vida. Aos meus sogros João Vianey e Luciene, por
terem feito uma filha tão bonita e por terem me aceitado em sua família, gosto bastante de
vocês.
Agradeço bastante ao meu amigo e padrinho Francisco George Brady Moreira, a sinergia
prometida no início do mestrado, conduzi-la-ei no intervalo do "para sempre”!
Aos amigos Júlia, Fernando e João, pela grande ajuda em nossa mudança, pelas agradáveis
conversas e pela felicidade de ser padrinho da Daniele.
Ao Vapor, pelas festas organizadas e por grandes momentos de descontração movidos a
muitos copos de café!
Ao CNPq por ter garantido minha sobrevivência durante os seis anos de Pernambuco.
E finalmente aos professores José Soares, Thadeu Pena, Marcelo Gomes e Renê Montenevii
viii
AGRADECIMENTOS
gro por terem aceitado o convite para participar desta Tese, a todos o meu muito obrigado.
Aponta pra fé e rema!
—LOS HERMANOS (Dois Barcos)
Resumo
O presente trabalho introduz um modelo estocástico, denominado modelo do grupo votante
(MGV ), que objetiva a análise da formação de opinião em uma população influenciada por
um grupo de indivíduos persuasivos (PCS). O número de pessoas N PCS que tentam persuadir
e a resistência q dos indivíduos a esta influência formam o espaço de parâmetros do modelo.
No caso de redes quadradas regulares obtivemos o diagrama de fase, os expoentes críticos e
novas relações de escala que incluem o efeito do alcance da interação, ou seja do parâmetro
NPCS , sobre as amplitudes críticas do parâmetro de ordem, da susceptibilidade e do cumulante
de Binder, usando simulações de Monte Carlo e teoria de escala em sistemas finitos. Para
NPCS > 2, o sistema exibe uma transição de fase do estado ordenado para o estado desordenado,
quando o parâmetro de ruído atinge um valor crítico q c , que é uma função monotonicamente
crescente do tamanho do grupo persuasivo NPCS . Concluímos que um grupo persuasivo maior
tem mais poder de influência, quando comparado a um grupo menor. Mais ainda, o nosso
modelo apresenta um comportamento crítico consistente com a classe de universalidade Ising
independentemente do alcance da interação.
No contexto das redes complexas, realizamos simulações de Monte Carlo para o modelo
do votante majoritário (MV M) em grafos aleatórios clássicos com diferentes valores da conectividade média ! . Obtivemos novas relações de escala que incluem o efeito do alcance da
interação, ou seja do parâmetro ! , sobre as amplitudes críticas das propriedades de interesse.
Concluímos que estes sistemas são bem descritos por expoentes de campo médio para todos os
valores do alcance considerados. Realizamos ainda simulações em redes de mundo pequeno,
xi
xii
RESUMO
na versão de adição de atalhos, para ambos os modelos MV M e MGV . Em especial vimos que
a adição de atalhos sobre o MGV resulta em um rico diagrama de fase. No caso do MV M,
determinamos uma dependência do ruído crítico com a fração de atalhos que é maior do que a
obtida anteriormente no modelo de relocação de atalhos. Os expoentes críticos calculados, para
ambos os modelos, não pertencem nem a classe de universalidade de campo médio, nem à de
Ising, ao contrário de conclusões de trabalhos anteriores que consideram o MV M e o modelo
de Ising em redes de pequeno mundo.
Palavras-chave: Transição de fase de não equilíbrio, relações de escala, expoentes críticos,
redes aleatórias e regulares, simulações de Monte Carlo.
Abstract
In this work we introduce and study the block voter model BV M with noise using Monte
Carlo simulations and finite-size scaling techniques. The model is defined by an outflow dynamics where a central set of NPCS spins, here denoted by persuasive cluster spins (PCS), tries
to influence the opinion of their neighboring counterparts. We consider the collective behavior
of the entire system with varying PCS size. For the case of two-dimensional square lattices,
we obtain the phase diagram in the NPCS − q space, where q is the noise parameter. When
NPCS > 2, the system exhibits an order-disorder phase transition at a critical noise parameter
qc which is a monotonically increasing function of the size of the persuasive cluster. We conclude that a larger PCS has more power of persuasion, when compared to a smaller one. The
resulting critical behavior is Ising-like independent of the range of interaction. Moreover, we
consider new scaling relations that include the effect of the range of interaction, that is the N PCS
parameter, on the critical amplitudes of the magnetization, the susceptibility and the Binder’s
fourth-order cumulant.
Within the context of complex networks, we study the majority-vote model MV M on random graphs with varying average connectivity ! . We produce new scaling relations that include
the effect of the range of interaction, that is the parameter ! , on the critical amplitudes of the
relevant thermodynamical quantities. We conclude that these systems are well described by
mean-field (classical) critical exponents independent of the range of interaction. We also perform simulations of both MV M and BV M models on small-world networks defined on regular
square lattices of size L, considering the case of an addition of a fraction p of long-range intexiii
xiv
ABSTRACT
ractions (shortcuts). In particular, the addition of shortcuts in the BV M results in a rich phase
diagram. For the MV M with the addition of shortcuts, we determine a dependence of the critical noise qc (p) that is greater than the corresponding one that follows from the rewiring version
of the model. The calculated critical exponents for both models are neither Ising nor classical,
and suggest that these systems belong to a new universality class.
Keywords: Phase transitions of non-equilibrium systems, scaling relations, critical exponents,
regular and complex networks, Monte Carlo simulations.
Sumário
1 Introdução
1
2 Aspectos da Teoria de Fenômenos Críticos
5
2.1
Equação Mestra e Processos Irreversíveis
5
2.2
Transições de Fase Contínuas
9
2.3
Propriedades dinâmicas de tempo curto
16
2.3.1
Crescimento Inicial da Magnetização
18
2.3.2
Autocorrelação (A(t))
19
2.3.3
Segundo Momento (M (2) )
20
2.4
Transições de Classe de Universalidade
3 O modelo do grupo votante
21
25
3.1
Descrição do Modelo
25
3.2
Aproximação de Campo Médio
28
3.3
Propriedades Estáticas
32
3.4
Dinâmica Inflow versus Dinâmica Outflow
45
3.5
Propriedades Dinâmicas
47
4 Relações de escala para o alcance da interação
59
4.1
Amplitudes Críticas
59
4.2
Critério de Ginzburg e o expoente "
61
4.3
Relações de escala para o parâmetro NPCS
64
4.4
O cálculo dos expoentes X e Y
67
xv
xvi
SUMÁRIO
4.5
Determinando o expoente Z
70
4.6
Funções de hipercolapso
74
5 Funções universais para grafos aleatórios
79
5.1
Propriedades Gerais
79
5.2
Grafos Aleatórios Clássicos
82
5.3
Construção de grafos aleatórios
89
5.4
Funções de Hipercolapso para Grafos Aleatórios
94
6 As redes de mundo pequeno
111
6.1
Redes de Mundo Pequeno
111
6.2
Fenômenos Críticos sobre Redes de Mundo Pequeno
113
6.3
Adicionando atalhos no MGV
122
7 Conclusões e Perspectivas
127
Lista de Figuras
2.1
Diagrama de bifurcação. Parâmetro de ordem # em função do parâmetro de
controle p. Na figura observamos a quebra espontânea de simetria quando
variamos p da fase desordenada para a fase ordenada. Assumimos a ∼ (p − pc )
e b > 0 independente de p.
3.1
11
Grupo votante (círculos escuros) (PCS) e sua vizinhança (círculos claros) para
uma rede regular quadrada. À esquerda temos um grupo persuasivo de tamanho
NPCS = 16 e à direita um grupo de tamanho NPCS = 4.
3.2
27
Diagrama de fases do modelo do grupo votante. Na figura temos a dependência do parâmetro crítico qc em relação ao tamanho NPCS do grupo persuasivo,
considerando a aproximação de campo médio simples. O gráfico foi produzido
a partir da equação (3.17) calculando A1 para cada valor de NPCS , através da
expansão (3.7).
3.3
30
Diagrama que descreve a formação do grupo persuasivo PCS na rede quadrada,
√
para o caso de l = NPCS = 4. Os sítios da fronteira são representados por
circulos e os sítios do interior por retângulos.
3.4
Crescimento dos sítios pertencentes ao grupo persuasivo de tamanho linear l =
√
NPCS . Os sítios da fronteira possuem crescimento linear dado por 4(l − 1)
enquanto os sítios no interior tem crescimento quadrático (l − 2) 2 .
3.5
34
35
Magnetização e susceptibilidade como funções do parâmetro de ruído q, para
L = 140 e os valores de NPCS = 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 da esquerda para direita.
xvii
38
xviii
3.6
LISTA DE FIGURAS
Um conjunto de curvas para o cumulante de Binder reduzido como função
de q para NPCS = 4, 9, 16, 25 (da esquerda para a direita) e cinco valores para
o tamanho das redes: L = 100, 120, 140, 160, 180. O valor do cumulante no
ponto crítico U ∗ = 0.606 ± 0.004 é exibido pela linha tracejada horizontal.
3.7
38
O diagrama de fase do modelo do grupo votante descreve a dependência do parâmetro crítico qc em relação ao tamanho NPCS do grupo persuasivo. As curvas
foram obtidas a partir de simulações de Monte Carlo utilizando atualizações
síncronas (losango) e assíncronas (retângulo). Os dados para campo médio
(círculos) foram adicionados para efeito de comparação.
3.8
40
Dependência da magnetização ML (qc ) em relação ao tamanho do sistema para
NPCS = 4, 9, 16, 25, 36 e 64 (de cima para baixo). As inclinações das linhas sólidas, obtidas pelas melhores retas que se ajustam ao conjunto de dados, fornecem estimativas para o expoente $ /% . Tais estimativas estão próximas do valor
exato conhecido para modelos com simetria de inversão, a saber, $ /% = 0.125.
3.9
41
Análise equivalente à figura (3.8), mas relacionada à susceptibilidade & L (qc ).
As inclinações das retas fornecem valores próximos ao resultado exato conhecido para sistemas com simetria de inversão, a saber, ' /% = 1.75.
41
3.10 Colapso de dados do parâmetro de ordem e susceptibilidade para NPCS = 9,
com cinco diferentes valores de L = 100, 120, 140, 160 e 180. As curvas universais estão consistentes com os expoentes de Ising: $ = 0.125, ' = 1.75 e
% = 1.0.
43
3.11 Colapso de dados do cumulante de quarta-ordem de Binder UL (q) para NPCS =
16, com cinco diferentes valores de L = 100, 120, 140, 160 e 180. A curva
universal está consistente com o expoente de Ising: % = 1.0.
44
3.12 Diagramas de fase do modelo do grupo votante para as dinâmicas inflow e
outflow.
46
LISTA DE FIGURAS
xix
3.13 Função de autocorrelação (equação 3.32), em escala log-log, para NPCS = 4, 9, 16, 25
e 36.
48
3.14 Dependência do tempo microscópico t mic em função do tamanho do grupo persuasivo NPCS . Observamos um comportamento tipo lei de potência dado por
"
tmic ∼ NPCS , com expoente " = 0.600(4).
49
3.15 Função de autocorrelação (equação 3.32), em escala log-log, considerando os
valores de NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36. O intervalo de tempo exibido é superior ao
valor de tmic do maior NPCS analisado, destacando assim a relação A(t) ∼ t −( .
Determinamos o expoente (NPCS para cada NPCS , a partir da inclinação da reta
que melhor se ajusta à curva de A(t), neste intervalo de tempo. No quadro
interior da figura, temos os valores estimados para os expoentes.
51
3.16 Dependência de ) m = mestimado −mo com o tamanho linear L da rede quadrada,
onde mestimado é o valor médio < mo >amostra .
52
3.17 Função magnetização M(t) em função do tempo, numa escala log − log, para
NPCS = 16. O intervalo de tempo exibido é aquele superior ao t mic do respectivo
grupo persuasivo.
53
3.18 Segundo momento da magnetização (M (2) ) em escala log-log, para os seguintes
valores do grupo persuasivo: NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36. O intervalo de tempo
exibido é superior ao tmic do NPCS = 36. As estimativas para o expoente *
estão no quadro interior da figura.
54
3.19 Magnetização (equação 3.33), em escala log-log, para o estado inicial m o = 1
para NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36. O intervalo de tempo exibido é aquele superior
ao tmic do maior NPCS analisado, destacando assim a relação M(t) ∼ t −$ /% z .
Determinamos o expoente + = ($ /% z) para cada NPCS , a partir da inclinação
da reta que melhor se ajusta à curva de M(t), neste intervalo de tempo. No
quadro interior da figura, temos os valores estimados para os expoentes.
55
xx
LISTA DE FIGURAS
4.1
Susceptibilidade como função do parâmetro de ruído q, para L = 140 e NPCS =
4 e 64. No gráfico interno temos a amplitude crítica da susceptibilidade medida
sobre o parâmetro crítico qc dos respectivos NPCS utilizados, numa escala loglog. De cima para baixo temos: NPCS = 4 e NPCS = 64.
4.2
60
Estimativa para o expoente X . Na figura temos a magnetização, medida sobre
o parâmetro crítico qc , em função do número de agentes NPCS do grupo persuasivo, numa escala log-log. Reescalamos o eixo das ordenadas pelo fator
L$ /% , onde usamos o valor exato para o expoente $ /% = 1/8. Cada ponto representa uma média dos valores calculados para L = 100, 160, 180 e 200. A
partir do coeficiente angular da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos
amostrados, determinamos X = 0.375(6).
4.3
68
Estimativa para o expoente Y . Na figura temos a susceptibilidade & , medida
sobre o parâmetro crítico qc , em função de NPCS , numa escala log-log. Reescalamos o eixo das ordenadas pelo fator L−' /% , onde usamos ' /% = 7/4. Cada
ponto representa uma média dos valores calculados para L = 100, 160, 180 e
200. Fizemos uma estimativa do coeficiente angular da reta que melhor se
ajusta ao conjunto de pontos amostrados. Este cálculo determina Y = 0.750(8).
4.4
Amplitude crítica uL (qc ) em função do tamanho linear L da rede quadrada
numa escala log-log, para três valores do parâmetro NPCS = 4, 9 e 16.
4.5
69
71
Estimativa para o expoente Z. Na figura temos a quantidade u L (qc , NPCS ) que
representa a derivada do cumulante de Binder, medida sobre o parâmetro crítico
qc , em função do tamanho NPCS do bloco persuasivo, numa escala log-log.
Reescalamos o eixo das ordenadas pelo fator L−1/% , onde utilizamos % = 1.0.
Cada ponto representa uma média entre os seguintes tamanhos de rede L =
100, 160, 180 e 200. O coeficiente angular da reta que melhor se ajusta ao
conjunto de pontos amostrados determina Z = 0.250(6).
73
LISTA DE FIGURAS
4.6
Colapso de curvas para o parâmetro NPCS .
4.7
Funções de hipercolapso do parâmetro de ordem e da susceptibilidade para
xxi
75
NPCS = 4, 9, 16, 25, 36 e 49. Consideramos L = 100, 120, 140, 160, 180 e 200
para o tamanho linear da rede quadrada. O colapso das curvas está consistente
com o expoentes: X = 0.375, Y = 0.750, Z = 0.250, $ = 0.125, ' = 1.75 e
% = 1.0.
4.8
76
Função de hipercolapso para o cumulante reduzido de Binder, considerando
seis valores para o tamanho L (L = 100, 120, 140, 160, 180 e 200) e seis valores para o tamanho do grupo persuasivo NPCS (NPCS = 4, 9, 16, 25, 36 e 49) O
colapso das curvas está consistente com o valor dos expoentes: Z = 0.250 e
% = 1.0.
5.1
Distribuição de Poisson para %! & = 10 e %! & = 30. Observe que %! & corresponde ao valor mais provável nesta distribuição.
5.2
77
86
Fração G de vértices que pertencem à componente gigante (o maior subgrafo)
como função da conectividade média ! . Nesta figura utilizamos grafos com
N = 105 vértices e cada ponto representa uma média em 100 grafos aleatórios
distintos. Os erros calculados são menores que os símbolos.
5.3
90
"
!
Diferença entre a conectividade média efetiva !e f f do maior subgrafo em relação à conectividade média %! & do grafo aleatório. Observamos que somente
para %! & > 6 esta diferença é nula. Cada ponto representa uma média em 100
grafos distintos e utilizamos grafos de ordem N = 10 4 e N = 105 . No gráfico
"
!
interior, temos a dependência de !e f f em relação à conectividade média, calculada também para valores de %! & < %!c &. Vemos que a conectividade média
do maior subgrafo é sempre maior que a conectividade de todo grafo aleatório
quando %! & < 6.
93
xxii
5.4
LISTA DE FIGURAS
Susceptibilidade em função do parâmetro de ruído. À esquerda, & N (q) é medida sobre uma rede regular quadrada com N = 19600 sítios para o MGV ,
considerando dois valores para o parâmetro de alcance: NPCS = 4 e NPCS = 64.
À direita, temos &N (q) para o MV M sobre um grafo aleatório clássico com
N = 20000, considerando dois valores para a conectividade média: ! = 4 e
! = 64. Ao compararmos estas figuras, observamos que a conectividade média
! produz os mesmos efeitos que o parâmetro NPCS , deslocando o parâmetro
crítico e reduzindo as flutuações críticas.
5.5
95
Magnetização MN (qc ) (à esquerda) e susceptibilidade &N (qc ) (à direita) em
função do número de vértices N, numa escala log-log, para os valores da conectividade média ! = 10 e 100. As inclinações das linhas sólidas, obtidas
pelas melhores retas que se ajustam ao conjunto de dados, fornecem estimativas para os expoentes $ /% e ' /% . Tais estimativas concordam bem com os
valores de campo médio, a saber, $ /% = 0.250 e ' /% = 0.500.
5.6
98
Derivada do cumulante de Binder uN (qc) calculada em q = qc em função do
número de vértices N, numa escala log-log, para ! = 10 e 30. A inclinação da
linha sólida, obtida pela melhor reta que se ajusta ao conjunto de dados, fornece
a estimativa para o expoente 1/% . Esta estimativa está muito próxima do valor
de campo médio dado por 1/% = 0.500.
99
LISTA DE FIGURAS
5.7
xxiii
Estimativa para o expoente X. Na figura temos a magnetização, medida sobre o parâmetro crítico qc , em função da conectividade média ! numa escala log-log. Reescalamos o eixo das ordenadas pelo fator N $ /% , onde utilizamos o expoente de campo médio $ /% = 0.250. Cada ponto representa
uma média entre grafos aleatórios com os seguintes números de vértices: N =
8000, 10000, 15000, 20000 e 40000. Determinamos a estimativa X = 0.250(5)
a partir do coeficiente angular da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos amostrados. As barras de erros são menores ou iguais ao tamanho dos
símbolos.
5.8
102
Estimativa para o expoente Y . Na figura temos a susceptibilidade, medida sobre o parâmetro crítico qc , em função da conectividade média ! numa escala
log-log. Reescalamos o eixo das ordenadas pelo fator N −' /% , onde utilizamos o expoente de campo médio ' /% = 0.500. Cada ponto representa uma
média entre grafos aleatórios com os seguintes números de vértices: N =
8000, 10000, 15000, 20000 e 40000. Determinamos a estimativa Y = 0.500(7)
a partir do coeficiente angular da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos amostrados.
5.9
103
Estimativa para o expoente Z. Na figura temos a quantidade u N (q, ! ) que representa a derivada do cumulante de Binder, medida sobre o parâmetro crítico
qc , em função da conectividade média ! , numa escala log-log. Reescalamos
o eixo das ordenadas pelo fator N −1/% , onde utilizamos o expoente de campo
médio % = 2.0. Cada ponto representa uma média entre os seguintes números de vértices N = 8000, 10000, 15000, 20000 e 40000. Determinamos uma
estimativa do expoente Z através do coeficiente angular da reta que melhor se
ajusta ao conjunto de pontos amostrados. Este cálculo resulta em Z = 0.125(2). 104
xxiv
LISTA DE FIGURAS
5.10 Colapso de curvas para o cumulante reduzido de Binder UN (q, ! ). Na figura
#
temos a função universal U(x),
com x = ,! −Z , onde consideramos Z = 1/4%
. Construímos grafos aleatórios poissonianos com N = 25000 e cinco valores
para a conectividade média: ! = 4, 6, 8, 10 e 30. Este resultado comprova a
relação de escala (5.49) bem como o valor do expoente Z = 0.125.
106
#
5.11 Colapso de curvas para a magnetização. Na figura temos a função M(|x|),
com
x = ,! −Z , com Z = 1/4% . Construímos grafos aleatórios poissonianos com
N = 25000 e cinco valores para a conectividade média, ! = 4, 6, 8, 10 e 30. Na
construção deste gráfico precisamos reescalar o eixo das ordenadas pelo fator
! X . Através do colapso de curvas exibido, comprovamos a relação de escala
(5.50) e os valores para os expoentes: X = 0.250 e Z = 0.125.
107
5.12 Hipercolapso de curvas do parâmetro de ordem. Na figura temos um conjunto
de grafos aleatórios com N = 8000, 10000, 15000, 20000, 25000 e 40000 para
o número de vértices, considerando os seguintes valores para a conectividade
média: ! = 4, 6, 8, 10 e 20. O colapso de curvas é consistente com os expoentes
X = 0.250 e Z = 0.125.
108
5.13 Hipercolapso de curvas da susceptibilidade. Na figura temos um conjunto de
grafos aleatórios com N = 8000, 10000, 15000, 20000, 25000 e 40000 para o
número de vértices, considerando os seguintes valores para a conectividade
média: ! = 4, 6, 8, 10 e 20. O colapso de curvas é consistente com os expoentes
Y = 0.500 e Z = 0.125.
6.1
109
Diagrama de fase do (MV M) para redes de mundo pequeno. Mostramos a
dependência do parâmetro crítico qc com a probabilidade de atalhos p em redes
de mundo pequeno, nas versões de adição (este trabalho) e de relocação de
atalhos [CdOM03]. Os dados foram obtidos a partir da análise do cumulante
de Binder.
115
LISTA DE FIGURAS
6.2
xxv
Magnetização ML (qc ) (à esquerda) e susceptibilidade &L (qc ) (à direita) críticas
em função do tamanho linear L da rede quadrada, numa escala log-log. Na
figura, temos ML (qc ) e &L (qc ) medidos para três ordens de grandeza da probabilidade p: 0.005, 0.05 e 0.5. As inclinações das linhas sólidas, obtidas pelas
melhores retas que se ajustam ao conjunto de dados, fornecem estimativas para
os expoentes $ /% e ' /% .
6.3
116
Estimativa para o expoente 1/% . Na figura temos a derivada do cumulante de
Binder uL (qc ) calculada em q = qc em função do tamanho linear L da rede
quadrada, numa escala log-log. Consideramos três ordens de grandeza para a
probabilidade p : 0.005, 0.05 e 0.5. A inclinação da linha sólida, obtida pela
regressão linear do conjunto de dados, fornece a estimativa para o expoente 1/% . 117
6.4
#
Funções universais M(x),
com x = , L1/% , do parâmetro de ordem para p =
0.005(à esquerda) e p = 0.80 (à direita). Consideramos cinco diferentes va-
lores de L, a saber, L = 100, 120, 140, 160 e 180. As curvas universais são
consistentes com os expoentes: $ /% = 0.500 e 1/% = 1.00.
6.5
119
Funções universais &#(x), com x = , L1/% , da susceptibilidade para p = 0.005 (à
esquerda) e p = 0.80 (à direita). Consideramos cinco diferentes valores de L, a
saber, L = 100, 120, 140, 160 e 180. As curvas universais são consistentes com
os expoentes: ' /% = 1.00 e 1/% = 1.00.
6.6
120
Diagrama de fase para as dinâmicas inflow e outflow sobre redes de mundo pequeno. Para a dinâmica inflow consideramos o modelo do votante majoritário
sobre a rede de mundo pequeno. Para a dinâmica outflow utilizamos o modelo do grupo votante com adição de arestas de atalho e NPCS = 4. Na região
0.0 < p ≤ 0.4 a dinâmica outflow considerada favorece um maior ordenamento
no sistema. Entretanto na região p > 0.40 as dinâmicas são equivalentes.
123
xxvi
6.7
LISTA DE FIGURAS
Diagrama de fases do modelo do grupo votante (MGV ) em redes de mundo pequeno com uma densidade p de atalhos. Cada curva, obtida para um NPCS fixo,
mostra a dependência do parâmetro crítico qc com a densidade p. Consideramos os seguintes valores: NPCS = 4, 9, 16, 25 e 64. Observe que a influência do
parâmetro p sobre o ruído crítico é tanto maior quanto menor for o valor de NPCS .124
6.8
Estimativas para os expoentes Xmp e Ymp para o MGV com adição de arestas
de atalhos. Na figura temos a magnetização (à esquerda) e a susceptibilidade
(à direita) medidas sobre o parâmetro crítico qc , para NPCS = 4, em função da
densidade de atalhos p numa escala log-log. Reescalamos o eixo das ordenadas
pelo fator L$ /% para magnetização e L' /% para a susceptibilidade. Cada ponto
representa uma média entre os seguintes tamanhos de rede: L = 100, 160, 180
e 200. Através da regressão linear do conjunto de dados determinamos as seguintes estimativas: Xmp = 0.225(4) e Ymp = 0.373(5).
125
Lista de Tabelas
3.1
Resultados para o ruído crítico qc , os expoentes críticos $ /% , ' /% , 1/% e a dimensionalidade efetiva de f f do modelo do grupo votante (MGV ) para redes
regulares quadradas, considerando vários tamanhos para o número de agentes
no grupo persuasivo NPCS .
3.2
39
Resultados para o cálculo do expoente dinâmico - para NPCS = 4, 9, 16, 25, 36 e
49. Foram utilizados quatro valores para a magnetização inicial m o = 0.08, 0.06, 0.04
e 0.02. Para cada um destes valores, obtemos uma estimativa para o valor de
- , com a estimativa mais precisa sendo obtida na extrapolação m o → 0.
3.3
53
Resumo dos resultados dos expoentes dinâmicos - , ( , * e + , para NPCS =
4, 9, 16, 25 e 36. Consideramos ainda três estimativas para o expoente dinâmico
z. A estimativa za é obtida a partir do expoente * = ' /% z utilizando o valor
exato do expoente estático ' /% = 1.75. Obtemos a estimativa z b , a partir de
( = d/z − - , utilizando os resultados para - e ( . E, por fim, z c é calculado
através da relação + = $ /% z utilizando o valor exato para o expoente $ /% =
0.125.
4.1
54
Expoentes críticos de campo médio para as seguintes classes de universalidade:
Ising, SOC (criticalidade auto-organizada), Percolação Direcionada e Percolação Clássica. Com os valores dos expoentes calculamos a dimensão crítica
superior dc a partir da equação (4.13) para as referidas classes de universalidade. 63
5.1
Resultados para os parâmetros de ruído e expoentes críticos do modelo do votante majoritário (MV M) em grafos aleatórios.
xxvii
101
xxviii
6.1
LISTA DE TABELAS
Propriedades estatísticas de redes reais. Consideramos o número N de vértices,
o número total de arestas M, a conectividade média ! , a distância média %l& e o
coeficiente de agregação médio %C&. Na tabela, o único grafo direcional é dado
pela rede de neurônios de ”C. elegans"[Mon11]. Com exceção deste exemplo,
todos os dados foram extraídos da referência [CH10]. Tomando o modelo de
grafos poissonianos e com os valores de N e M, calculamos ! , %l& e %C&. O
resultado desta análise encontra-se destacado entre parênteses na tabela e pode
ser comparado com os valores das redes reais.
6.2
111
Resultados para o parâmetro crítico qc , os expoentes críticos $ /% , ' /% e 1/% ,
e a dimensão efetiva (de f f ) para o MV M sobre uma rede de mundo pequeno,
definida a partir de uma rede regular quadrada, considerando valores de . no
intervalo 0.0 ≤ p ≤ 1.0.
6.3
118
Expoentes de críticos para as classes de universalidade de Ising e Campo Médio. Também apresentamos os expoentes críticos obtidos para a rede de mundo
pequeno, que em princípio, determinam uma classe de universalidade própria
com um único conjunto de expoentes.
121
C APÍTULO 1
Introdução
O ano de 1822 não somente marca a independência de nosso país como também representa
o marco inicial para a ciência dos fenômenos críticos [BHK09]. No ano em questão, o físico
francês Charles Cagniard de la Tour, trabalhando com líquidos submetidos a altas pressões, realizou o primeiro experimento que determinou a fase fluida supercrítica. Nos trabalhos iniciais,
utilizando álcool, Cagniard de la Tour observou pioneiramente o fenômeno da opalescência
crítica e além disso, verificou que a partir de uma certa temperatura, por mais que aumentasse
a pressão do sistema, não conseguia evitar a vaporização do álcool. Cagniard de la Tour repetiu a experiência, a fim de comprovar seu caráter geral, para outros líquidos, como a água
e o éter. Ele mediu a temperatura a partir da qual a tensão de interface se anula, determinada
pelo desaparecimento do menisco. Como conclusão, verificou que cada substância possui uma
temperatura especial na qual a vaporização total do líquido ocorre e onde nenhum aumento da
pressão é capaz de liquefazer o gás.
A partir dos experimentos de Cagniard de la Tour, observou-se um grande desenvolvimento
na descrição das transições de fase, tanto do ponto vista experimental, produzindo novas técnicas de medição das propriedades críticas, como também do ponto de vista teórico. Neste
contexto, as teorias de campo médio (van der Waals e Landau), o modelo de Ising, leis de
potência, teoria de escala, grupo de renormalização e simulações computacionais formam o
conjunto de ferramentas da Física Estatística para a descrição dos fenômenos críticos.
No que se refere aos avanços teóricos contemporâneos, estes são fortemente impulsionados pelo desenvolvimento tecnológico. Em especial, na última década acompanhamos uma
1
2
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO
grande evolução nas tecnologias associadas aos computadores. Esta evolução teve reflexos em
várias áreas do conhecimento, e em especial, no contexto da Física Estatística, que se ramifica
cada vez mais em diferentes cenários de pesquisa. Áreas tão disjuntas, aparentemente, como
Economia, Medicina e Sociologia, encontram na Física Estatística a conexão mestra que as
une em trabalhos não somente interessantes como também elucidadores. Entretanto, apesar de
interesses tão amplos, os modelos físico estatísticos propostos sempre consideram características próprias de sua natureza, como por exemplo, parâmetros de ordem, relações de escala e
expoentes críticos.
Citamos o exemplo do campo de estudo denominado de Sociofísica, onde os constituintes
básicos são os indivíduos que compõem uma determinada sociedade. Cada um desses indivíduos interage com um número limitado de pessoas, usualmente negligenciável em comparação
com o número total presente no sistema. Neste ambiente, temos a formação espontânea de
uma determinada língua ou cultura, a emergência de consenso sobre um determinado tema.
Há também exemplos de relações de escala e universalidade. Estes fenômenos macroscópicos
despertam o interesse de físicos estatísticos tanto pela busca de um melhor entendimento sobre
tais eventos como também a possibilidade de estudarem e aplicarem conceitos e ferramentas
associadas ao escopo da matéria condensada. Segundo Castellano [CPS08], a ideia da modelagem de sistemas sociais do ponto de vista da física é mais antiga ainda que a introdução da
estatística nos fenômenos físicos. A descoberta de leis quantitativas nas propriedades coletivas de um grande número de pessoas, como revelado pelas taxas de natalidade/mortalidade ou
ainda na estatística de crimes, impulsionou o desenvolvimento da estatística e conduziu muitos
cientistas a descreverem de forma quantitativa várias propriedades regulares que emergem do
comportamento aparentemente errático dos indivíduos. Este ponto de vista era bastante conhecido por Maxwell e Boltzmann e, provavelmente, os nortearam no desenvolvimento dos
fundamentos da física estatística moderna. Mas somente nos últimos anos é que a ideia da
descrição da sociedade a partir da física estatística tem envolvido um grande número de profs-
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO
3
sionais. O principal tema sendo concentrado no surgimento de ordem e sobre quais condições
esse estado ordenado pode ser mantido. A própria palavra ordem já reflete a influência da
física, sendo uma interpretação dos conceitos associados a consenso ou uniformidade, assim
como desordem relaciona-se com fragmentação ou discordância.
Entretanto, nem sempre os trabalhos oriundos da sociofísica são difundidos sem críticas.
A principal de tais crítica está na simplificação demasiada dos modelos propostos. Tal crítica
também se aplica a modelos bastante difundidos e introduzidos por cientistas sociais, como o
modelo de Schelling para a segregação urbana [] e o modelo de Axelrod para a disseminação
cultural. Em resposta a esta crítica, a física estatística justifica este procedimento minimalista
argumentando que em muitas situações qualitativas e algumas quantitativas, os fenômenos macroscópicos não dependem dos detalhes microscópicos dos processos. Somente propriedades
essenciais como simetria, dimensionalidade ou leis de conservação são relevantes para o comportamento global. E considerando o conceito de universalidade, realiza-se a modelagem de
sistemas sociais buscando incluir apenas as propriedades fundamentais.
A presente Tese estuda o comportamento crítico de dois modelos físico estatísticos definidos em topologias de redes regulares, redes de mundo pequeno e em grafos aleatórios. Daremos especial destaque a produção do estado ordenado, às funções universais de escala e aos
expoentes críticos. No Capítulo 2 descrevemos aspectos relacionados à sistemas definidos por
equações mestras. Para estes sistemas, revisaremos a teoria relacionada a transições de fase
contínuas. Descreveremos ainda os expoentes críticos associados ao estado estacionário como
também os expoentes relacionados com as proprieades dinâmicas. Uma breve revisão sobre a
teoria de crossover também é apresentada.
No Capítulo 3 introduzimos o modelo do grupo votante (MGV ), a partir do qual estudaremos a transição de fase contínua para sistemas de não-equilíbrio e calcularemos os expoentes
críticos estáticos e dinâmicos. Os principais resultados deste capítulo encontram-se publicados
no periódico Physical Review E.
4
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO
Para o Capítulo 4 descreveremos as leis de escala com relação ao alcance no modelo MGV .
Verificaremos novas relações de escala associadas às amplitudes críticas das quantidades de
interesse. Como consequência destes estudos, no Capítulo 5 determinaremos, para o modelo
do votante majoritário (MV M), relações de escala semelhantes no contexto de grafos aleatórios.
Finalmente no Capítulo 6, considerando os modelos MGV e MV M, estudaremos as redes
de mundo pequeno, analisando sua influência sobre os diagrams de fase, expoentes críticos
e relações de escala. E no capítulo 7 apresentamos as principais conclusões, bem como um
conjunto de perspectivas decorrentes desta Tese.
C APÍTULO 2
Aspectos da Teoria de Fenômenos Críticos
2.1 Equação Mestra e Processos Irreversíveis
Estamos interessados em estudar sistemas que são descritos através de processos estocásticos. Em termos gerais, define-se processo estocástico como um fenômeno que evolui no
tempo de acordo com regras probabilísticas. Desta forma, ao invés de considerarmos sistemas
descritos por uma função hamiltoniana, cuja dinâmica no espaço de fases é determinada pelas variáveis clássicas !q e !p. , analisamos modelos que evoluem através de probabilidades de
transição entre os possíveis estados.
Considere um processo estocástico X (t). A sequência X (0), X (1), . . ., X (T ) constitui uma
realização particular de tal processo. Por exemplo, em uma série temporal de índices relacionados ao mercado financeiro, a cada intervalo de tempo considerado temos a ocorrência de
um evento, que no contexto do mercado financeiro pode representar o preço de uma dada ação.
Do conjunto de processos estocásticos possíveis, analisaremos aqueles definidos pela cadeia
de Markov. Especifica-se uma cadeia ou processo de Markov informando os estados possíveis
e as probabilidades de transição de um estado para todos os demais, em cada instante t. Ou
seja, devem ser conhecidas as probabilidades condicionais:
P(X (t + 1) = m|X (t) = n) = pnm = constante,
(2.1)
onde P representa a probabilidade condicional de o sistema estar no estado m no instante t + 1,
5
6
CAPÍTULO 2 ASPECTOS DA TEORIA DE FENÔMENOS CRÍTICOS
dado que se encontra no estado n no instante t. Assumiremos que estas probabilidades condicionais são independentes do tempo. Os termos p nm representam probabilidades e possuem as
seguintes propriedades:
0 ≤ pnm ≤ 1,
(2.2)
T
/ pnm = 1,
para n = 1, 2, 3, . . ., T.
(2.3)
m=1
Os termos pnm podem ainda ser interpretados como elementos de uma matriz quadrada. Tal
matriz é denominada de matriz estocástica. Na realidade qualquer matriz quadrada cujos elementos possuam as propriedades (2.2) e (2.3) é chamada de matriz estocástica. Na referência
[TdO01] temos a descrição de várias propriedades das matrizes estocásticas.
Tomemos uma dada matriz estocástica P associada a um processo de Markov. Vamos supor
que as transições entre os estados ocorram a cada intervalo de tempo ) t e que os elementos da
matriz P sejam dados por:
pnm =


 ) tw(n, m) para

 1 − ) t0(n) para
n )= m
n = m.
(2.4)
Observe que as quantidades w(n, m) e 0(n) representam taxas de probabilidade (probabilidade
por unidade de tempo). Aplicando a propriedade (2.3) na definição (2.4) temos:
0(n) =
/ w(n, m).
(2.5)
n)=m
A evolução da probabilidade Pt (m) de o sistema estar no estado m no t-ésimo intervalo de
tempo é obtida considerando que
Pt+1 (m) = pmm Pt (m) +
/ pnm Pt (n).
n)=m
(2.6)
7
2.1 EQUAÇÃO MESTRA E PROCESSOS IRREVERSÍVEIS
Aplicando a representação (2.4) na equação acima, temos:
Pt+1 (m) = Pt (m) − ) t0(m)Pt (m) + ) t
/ w(n, m)Pt (n).
(2.7)
n)=m
Esta equação pode ser reescrita na forma:
P(m,t + ) t) − P(m,t)
= −0(m)P(m,t) + / w(n, m)P(n,t).
)t
n)=m
(2.8)
No limite ) t → 0, o lado esquerdo da expressão acima pode ser aproximado pela derivada
temporal de P(m,t). Temos portanto:
d
P(m,t) = / [w(m, n)P(n,t) − w(n, m)P(m,t)].
dt
n)=m
(2.9)
A equação (2.9) representa a equação mestra que descreve a evolução temporal do sistema em
termos das taxas de probabilidade w(n, m). É a equação mestra que determina a dinâmica do
modelo.
A solução da equação mestra fornece a distribuição estacionária P(m), tal que
dP(m)
dt
= 0, o
que resulta na seguinte equação:
/ [w(m, n)P(n) − w(n, m)P(m)] = 0.
(2.10)
n)=m
A referência [TdO01] descreve as condições para que a solução P(m) seja única. Uma outra
questão refere-se à reversibilidade microscópica. Quando as taxas de transição w(n, m) forem
tais que esta solução P(m) satisfaça a equação
w(n, m)P(m) − w(m, n)P(n) = 0,
(2.11)
para quaisquer pares de estados m e n, dizemos que elas obedecem à condição de balancea-
8
CAPÍTULO 2 ASPECTOS DA TEORIA DE FENÔMENOS CRÍTICOS
mento detalhado. Nesse caso, dizemos que P(m), além de ser a probabilidade estacionária é
também a probabilidade de equilíbrio termodinâmico. Entretanto, existem processos estocásticos nos quais o balanceamento detalhado não é satisfeito. Neste caso dizemos que a dinâmica
é irreversível microscopicamente ou de não equilíbrio.
Em princípio podemos determinar se um determinado processo é reversível ou de não equilíbrio, sem termos o conhecimento prévio da solução da equação mestra. Considere três estados
quaisquer distintos: m a , mb e mc . No estado estacionário a probabilidade de ocorrência da trajetória fechada ma → mb → mc → ma , em três intervalos de tempo consecutivos 1t é:
1tw(ma , mc ) × 1tw(mc, mb ) × 1tw(mb, ma )P(ma ),
(2.12)
enquanto a probabilidade de ocorrência da trajetória reversa no mesmo intervalo de tempo é:
1tw(ma , mb ) × 1tw(mb, mc ) × 1tw(mc, ma )P(ma ).
(2.13)
Se a dinâmica é reversível, as probabilidades (2.12) e (2.13) são iguais, de modo que:
1tw(ma , mc ) × 1tw(mc, mb ) × 1tw(mb, ma ) = 1tw(ma , mb ) × 1tw(mb, mc ) × 1tw(mc, ma ),
(2.14)
que é a condição procurada.
Em nosso desenvolvimento trabalharemos com dinâmicas estocásticas cujas taxas de probabilidade não satisfazem o balanceamento detalhado. Desta forma, iremos considerar modelos
estatísticos de não equilíbrio que apresentam irreversibilidade microscópica.
2.2 TRANSIÇÕES DE FASE CONTÍNUAS
9
2.2 Transições de Fase Contínuas
A estrutura ordenada dos átomos caracteriza a propriedade fundamental dos sólidos cristalinos. Tal estrutura é descrita por um conjunto de pontos situados em posições regulares
do espaço, formando uma rede periódica tridimensional. Em função da agitação térmica, os
átomos estão na verdade em constante movimento. Desta forma, são as posições médias dos
átomos que constituem a rede periódica. Simplificamos dizendo que os átomos de um dado
elemento formam a rede cristalina. E as possíveis estruturas cristalinas são classificadas de
acordo com os grupos de simetria.
Quando consideramos sistemas compostos, como ligas metálicas, os átomos de um metal
são diluídos na rede de outro metal, formando um sistema com propriedades diferentes dos
elementos originais. Por exemplo, o bronze é uma liga metálica formada pela composição de
estanho e cobre. O latão é também uma liga metálica, formada por zinco e cobre. Em função
de sua composição, esse sistema apresentará várias fases. Considerando uma fração molar1 de
zinco entre 0.448 e 0.482 e a uma temperatura próxima de 450 oC, o latão se encontra numa
estrutura cúbica ordenada onde os átomos de zinco se localizam principalmente nos vértices da
estrutura cúbica e os átomos de cobre nos centros. Dizemos que o sistema encontra-se na fase
+
latão-$ . Ao aquecermos a liga, esta passa para uma fase desordenada denominada latão-$ ,
onde os átomos de zinco e cobre se distribuem aleatoriamente nos vértices e nos centros dos
cubos da rede. Dizemos então que este sistema sofre uma transição de fase ordem-desordem
com a variação da temperatura. Para uma fração molar de zinco de 0.448, a transição ocorre à
temperatura de 454oC e para uma fração molar de 0.482 à temperatura 468oC [OdJ11].
Um modelo simplificado que descreve a transição da liga metálica zinco-cobre, consiste
1 Frações
molares fornecem uma maneira de se representar funções termodinâmicas de misturas. Para cada
componente i, a fração molar é o número de moles desta componente dividido pelo número total de moles no
sistema
10
CAPÍTULO 2 ASPECTOS DA TEORIA DE FENÔMENOS CRÍTICOS
em considerar uma estrutura cristalina composta por duas sub-redes, denominadas sub-rede A
e sub-rede B. Para temperaturas T < Tc , os átomos de zinco encontram-se majoritariamente
em uma das sub-redes, enquanto os átomos de cobre se localizam em maior número na outra
sub-rede. Quando T > Tc , os átomos de zinco podem ser encontrados, com igual probabilidade,
em qualquer uma das sub-redes. Portanto, aumentando a temperatura, o sistema passa de uma
fase ordenada para uma fase desordenada. A transição é melhor entendida a partir do conceito
de parâmetro de ordem. Na fase desordenada o parâmetro de ordem é nulo e é não nulo na
fase ordenada. Em sistemas ferromagnéticos, o parâmetro de ordem é dado pela magnetização
remanente. Para a liga metálica que estamos descrevendo, o parâmetro de ordem é dado pela
diferença da densidade de zinco (ou de cobre) nas duas sub-redes. Observe que assim definido,
o parâmetro de ordem se anula para temperaturas acima da temperatura crítica. Observemos
ainda, que na fase ordenada temos duas configurações equivalentes. Em uma delas, os átomos
de zinco se localizam com maior probabilidade na sub-rede A (consequentemente os átomos
de cobre na sub-rede B) e na outra configuração, concentram-se na sub-rede B (e os átomos de
cobre em A). Desta forma, a simetria do sistema é maior na fase desordenada e menor na fase
ordenada. Portanto ao variarmos a temperatura observamos uma quebra espontânea de simetria.
Em termos gerais, a quebra espontânea de simetria e a consequente transição de fase ocorrem
quando ao variarmos um parâmetro de controle (como a temperatura), o sistema passa de uma
fase desordenada para uma fase ordenada, definida por dois estados ordenados. O surgimento
desses estados ordenados determina a quebra espontânea de simetria e está relacionado com
a existência de mais de um estado estacionário [TdO01], em modelos descritos por processos
estocásticos.
Consideremos um sistema definido sobre redes regulares e que a transição entre os possíveis
estados seja dada em termos de taxas de probabilidade. Desta forma a evolução temporal desse
sistema será descrita através de uma equação mestra. Para cada ponto !r da rede associamos
uma variável estocástica 2!r . Supondo que este sistema sofra uma transição de fase induzida
11
2.2 TRANSIÇÕES DE FASE CONTÍNUAS
#
+(a/b)
1/2
p > pc
Instável
Estável
p
1/2
-(a/b)
p < pc
Figura 2.1 Diagrama de bifurcação. Parâmetro de ordem # em função do parâmetro de controle p. Na
figura observamos a quebra espontânea de simetria quando variamos p da fase desordenada para a fase
ordenada. Assumimos a ∼ (p − pc ) e b > 0 independente de p.
pelo parâmetro de controle p, idenficando # como o parâmetro de ordem, de modo que para
p > pc , o estado estacionário é desordenado (# = 0) e para p < pc , o estado estacionário é
ordenado (# )= 0). A partir da equação mestra, temos que a evolução temporal do parâmetro
de ordem é expressa por
( !
" !
"
)
d#
= F # , 2!r 2!r+ , 2!r 2!r+ 2r!++ , . . . ,
dt
(2.15)
onde em geral F depende tanto do valor médio %2!r &, que identificamos com # , e também de
outros momentos estatísticos. De maneira simplicada, tomemos o caso em que F seja função
apenas do parâmetro de ordem. Temos portanto
d#
= F(# ).
dt
(2.16)
12
CAPÍTULO 2 ASPECTOS DA TEORIA DE FENÔMENOS CRÍTICOS
Analisamos agora a equação acima sob o ponto de vista da Teoria de Landau [Mor12]. Neste
cenário, consideramos que o sistema seja invariante por determinadas operações de simetria e,
consequentemente, as probabilidades de transição são invariantes sob tais operações. Em especial, estamos interessados em sistemas que não se modificam pela transformação 2!r → −2!r+ .
Neste caso dizemos que o sistema apresenta simetria de inversão. Aplicando esta transformação
no parâmetro de ordem, temos # → −# , e a equação (2.16) toma a forma
d(−# )
= F(−# ).
dt
(2.17)
Como o sistema apresenta simetria de inversão, a partir das equações (2.16) (2.17) temos
F(−# ) = −F(# ).
(2.18)
Portanto F é uma função ímpar com relação ao parâmetro de ordem. A partir da teoria de
Landau, podemos supor que F pode ser descrita em série de potências de # , ou seja
F(p, # ) = A1 (p)# + A3 (p)# 3 + A5 (p)# 5 + . . . ,
(2.19)
onde os coeficientes Ak dependem do parâmetro de controle p e os termos pares foram tomados
iguais a zero em função da propriedade (2.18). Considerando apenas os dois primeiros termos
da expansão, temos que a equação de fluxo para o parâmetro de ordem é expressa por:
d#
= a# − b# 3 ,
dt
(2.20)
onde a e b são parâmetros dependentes de p, sendo b estritamente positivo para que # seja
limitado. As soluções para esta equação são dadas por:
∗
# =0 e
*
a
.
# =±
b
∗
(2.21)
2.2 TRANSIÇÕES DE FASE CONTÍNUAS
13
A estabilidade destas soluções depende do sinal do parâmetro a. Se a < 0, a solução estável
+
será # = 0 (fase desordenada). Entretanto para o caso a > 0, a solução estável será # = ± ab
(fase ordenada). Com esses resultados, podemos assumir que o coeficiente a depende de p
de acordo com a ∼ (pc − p). Temos então que a fase ordenada é estável quando p < pc e a
fase desordenada será estável quando p > pc . A discurssão acima pode ser melhor entendida
através do diagrama de bifurcação, na Figura (2.1). Nesta figura observamos a quebra espontânea de simetria, quando o sistema sai da fase de maior simetria (desordenada) para a fase de
menor simetria (ordenada), caracterizada por dois estados estacionários, em função da variação do parâmetro de controle p. Observamos ainda que próximo a p c , o parâmetro de ordem
comporta-se como # ∼ (p − pc )1/2 . Temos ainda que as flutuações associadas ao parâmetro de
ordem divergem numa transição contínua. Chamando de susceptibilidade, e denotando por & ,
a quantidade associada com as flutuações de # , pode-se mostrar, na teoria de Landau, que &
apresenta uma dependência com o parâmetro de controle p na forma & ∼ (p − pc )−1 , próximo
ao ponto de transição. Na realidade, esses resultados são mais gerais [Mor12]. Numa transição de fase contínua, o parâmetro de ordem vai continuamente a zero e próximo ao ponto de
transição, apresenta uma dependência na forma:
# ∼ ,$ ,
(2.22)
e a divergência na susceptibilidade é descrita através da relação
& ∼ , −' ,
(2.23)
onde , define a distância ao parâmetro crítico (como p − pc no parágrafo anterior) e os expoentes $ e ' definem a dependência do parâmetro de ordem e da susceptibilidade. Tais expoentes
são denominados expoentes críticos da transição de fase contínua e podem ser medidos experimentalmente. Por exemplo, mede-se experimentalmente para o elemento ferro (Fe) (que é
14
CAPÍTULO 2 ASPECTOS DA TEORIA DE FENÔMENOS CRÍTICOS
ferromagnético) os expoentes $ = 0.39 e ' = 1.34 [dO05]. Entretanto, na teoria de Landau,
obtemos $ = 1/2 e ' = 1. De fato, os expoentes de Landau não reproduzem os resultados
experimentais, sendo uma teoria aproximada baseada na hipótese de que as funções associadas
ao parâmetro de ordem podem ser descritas em termos de séries de potência. Verifica-se que
na heurística de campo médio para sistemas magnéticos, os expoentes obtidos são os mesmos
obtidos na teoria de Landau. Por isso, esses expoentes são também denominados expoentes de
campo médio.
Apesar de terem sido obtidas a partir da teoria de Landau, as relações (2.22) e (2.23) estão
corretas, desde que utilizemos os valores corretos dos expoentes. No ano de 1960, no King’s
College School, as leis de potências foram efetivamente utilizadas na descrição dos fenômenos críticos [Kad00]. Trabalhando com dados experimentais e considerando leis de potência,
C. Domb, M. Fisher, M. Sykes e G. Ruskbrooke, determinaram relações entre os expoentes
críticos, como por exemplo:
2 − 3 = d% ,
(2.24)
denominada por M. Fisher como relação de hiperescala [Kad00], onde os expoentes 3 e % estão
associados às divergências no calor específico e no comprimento de correlação 4 , respectivamente. Esta última divergência é dada por:
4 ∼ , −% .
(2.25)
Observou-se também que diferentes sistemas possuem o mesmo conjunto de expoentes críticos. Tal observação originou o conceito de universalidade. Com este conceito e utilizando leis
de potência, B. Widom produziu relações de escala para funções termodinâmicas estudando o
comportamento crítico de líquidos. Os resultados de Widom foram explicados [Kad00] através da invariância nas energias livres com relação às transformações de escala. A partir de
tal invariância, verifica-se que o parâmetro de ordem e quantidades relacionadas, são funções
2.2 TRANSIÇÕES DE FASE CONTÍNUAS
15
homogêneas generalizadas. Por exemplo, para o parâmetro de ordem temos
# (, , h) ∼ ( # (( a , , ( b h),
(2.26)
onde , refere-se a distância ao parâmetro crítico, h é um campo externo aplicado e os expoentes a e b são os expoentes que determinam a dependência de # com , e h. A partir da
equação (2.26) determinamos a relação (2.22) para o parâmetro de ordem. Escrevendo uma
equação equivalente à (2.26) para & , também determinaremos a relação (2.23). Portanto a teoria moderna dos fenômenos críticos é descrita em termos das relações de escala e dos expoentes
críticos.
Em sistemas definidos em reticulados regulares, verifica-se que o comprimento de correlação 4 diverge na forma 4 ∼ L, onde L define o comprimento linear da rede considerada. Esta
dependência é muito importante do ponto de vista teórico, uma vez que a partir dela podemos
extrair a influência do tamanho L sobre as relações de escala. Considerando a relação entre 4 e
L na equação (2.25), temos:
, = L−1/% ,
(2.27)
e aplicando este resultado nas equações (2.22) e (2.23) concluimos as relações
# ∼ L−$ /% ,
(2.28)
& ∼ L' /% ,
(2.29)
que definem, juntamente com a equação (2.27), as relações de escala para sistemas de tamanho
finito. Obtemos estas relações considerando 4 ∼ L, que é uma hipótese verdadeira, desde
que a dimensão efetiva de nosso sistema não seja igual ou maior que a dimensão crítica do
modelo considerado [Bre82]. Em função da dimensão crítica d c , E. Brezìn [Bre82] concluiu as
16
CAPÍTULO 2 ASPECTOS DA TEORIA DE FENÔMENOS CRÍTICOS
seguintes relações:
• Se d < dc ⇒ 4 ∼ L
• Se d = dc ⇒ 4 ∼ L(lnL)1/4
• Se d > dc ⇒ 4 ∼ Ld/4
E todas as relações de escala devem ser corrigidas considerando a dimensionalidade d do sistema e a dimensão crítica dc do modelo analisado.
2.3 Propriedades dinâmicas de tempo curto
A natureza livre de escala de sistemas estatísticos origina-se da divergência do comprimento de correlação espacial (4L ) na temperatura crítica. O sistema é então descrito através
de funções de escala universais e por expoentes críticos chamados de estáticos, uma vez que
não dependem de propriedades relacionadas ao tempo. Tais funções representam observáveis
físicos que são calculados no estado estacionário e desta forma são quantidades medidas em
tempos longos. Entretanto, na região crítica ocorre também uma divergência no comprimento
de correlação temporal 4t . As divergências em 4L e 4t dão origem ao chamado comportamento
crítico dinâmico que também possui uma invariância de escala e desta forma é caracterizado
por relações de escala universais e expoentes críticos dinâmicos, calculados também para tempos longos (estado estacionário). Considerando um sistema magnético, de tamanho finito e na
região crítica, a seguinte equação determina o comportamento dinâmico para um dado observável O:
O(t, , , L) = b−x O(b−zt, b1/% , , b−1 L).
(2.30)
2.3 PROPRIEDADES DINÂMICAS DE TEMPO CURTO
17
Nesta equação t é a variável temporal dinâmica, , é a temperatura reduzida, L é o tamanho
linear de uma rede hipercúbica e b é um fator de escala, enquanto x e % são expoentes estáticos
e z é o expoente dinâmico. A escala dinâmica é independente das condições iniciais e o sistema
perde qualquer informação sobre o estado inicial para regime de tempos longos [Zhe98]. A
partir da equação (2.30) é possível mostrar que o comprimento de correlação temporal 4t possui
uma dependência com o tamanho do sistema, do tipo 4 t ∼ Lz . Como consequência, temos uma
grande dificuldade em gerar configurações independentes em simulações de Monte Carlo, uma
vez que o comprimento de correlação temporal cresce rapidamente com o tamanho do sistema.
Esta dificuldade é descrita na literatura como relaxação crítica2 [Zhe98].
Destacamos que as propriedades acima descritas estão relacionadas a medidas de observáveis no regime estacionário. Entretanto, como descoberto por Janssen, Schaub e Schmittman
[HKJ89], mesmo para os tempos curtos macroscópicos já se observa um comportamento de
escala universal. Sendo mais preciso, para modelos vetoriais O(N), através da expansão-5 e
do comportamento universal no estado estacionário, os autores mostraram que existe um estágio universal de relaxação para os tempos iniciais macroscópicos denominado relaxação crítica
inicial3 , que ocorre após um intervalo de tempo microscópico t mic . Estes autores derivaram
ainda a seguinte relação de escala dinâmica de tamanho finito, para o k-ésimo momento da
magnetização:
# (k) (b−zt, b1/% , , b−1 L, bxo mo ),
M (k) (t, , , L, mo) = b−k$ /% M
(2.31)
onde $ e % são os expoentes críticos estáticos, z é o expoente dinâmico, enquanto o expoente
independente xo está associado com a dimensão de escala da magnetização inicial m o . Na re# é uma função que depende apenas das variáveis de escala.
lação (2.31), a função universal M
Como afirmado por Zheng [Zhe98], do ponto de vista da universalidade, detalhes microscópi2 Tradução
3 Tradução
do termo critical slowing down.
do termo initial critical slip
18
CAPÍTULO 2 ASPECTOS DA TEORIA DE FENÔMENOS CRÍTICOS
cos como regras de atualização, algoritmos, tipos de reticulados, interações de maior alcance,
são irrelevantes para a escala dinâmica de tempo curto. Entretanto devemos enfatizar que a relação de escala acima é válida somente para o caso em que temos uma pequena magnetização
inicial e, além disso, a dinâmica precisa de um intervalo de tempo microscópico inicial (t mic )
para que os expoentes extraídos sejam universais.
As propriedades de tempo curto resultam da divergência do comprimento de correlação
temporal (4t ) na região crítica, para tempos iniciais. Esta característica da correlação temporal
induz um efeito de memória no sistema dinâmico e este efeito é representado por uma invariância de escala (auto-similaridade) na dimensão temporal, como pode ser visto na equação
(2.31). Devemos lembrar que para os tempos iniciais, mesmo na temperatura crítica, o comprimento de correlação espacial é ainda pequeno do ponto de vista macroscópico. As propriedades
universais para tempos curtos são uma característica apenas da divergência de 4t .
Para um sistema magnético que se encontra na região crítica, como descrito em [Zhe98],
verifica-se que no começo da evolução temporal a magnetização apresenta um crescimento
−z/xo
inicial crítico, dentro de uma escala de tempo dada por t o ∼ mo
, com xo definido na equação
(2.31). Após a magnetização atingir um valor máximo, gradualmente muda seu comportamento
temporal para um decaimento, primeiramente como uma lei de potência na forma M(t) ∼
t −$ /% z , e depois apresenta um decaimento exponencial M(t) ∼ e−t/4t para um sistema finito.
Temos ainda que todos os expoentes estáticos e dinâmicos (exceto x o ) na forma de escala de
tempos curtos são os mesmos expoentes medidos no estado estacionário. Desta forma temos
uma maneira alternativa de medirmos os expoentes críticos, sem as dificuldades associadas à
relaxação crítica.
2.3.1 Crescimento Inicial da Magnetização
A partir da equação (2.31), considerando o sistema na temperatura crítica (, = 0) e utili-
2.3 PROPRIEDADES DINÂMICAS DE TEMPO CURTO
19
zando as transformações b = L e L = t 1/z , obtemos a seguinte expressão para a magnetização:
# 0, 1,t xo/z mo ).
M(t, mo) = t −$ /% z M(1,
(2.32)
Se assumirmos que a magnetização inicial mo possui um valor pequeno e que M(t, m o) é uma
função analítica de mo , poderemos expandir esta função em torno de mo da seguinte maneira:
M(t, mo) = M(t, 0) + moF(t) + O(m2o).
(2.33)
Negligenciando termos de segunda ordem ou maiores em m o e tomando a condição M(t, 0) = 0
na equação (2.33), a partir da equação (2.32), concluímos que a evolução da magnetização na
temperatura crítica obedece a seguinte lei de potência:
M(t) ∼ mot - ,
(2.34)
onde o expoente - está relacionado com xo por:
-=
xo − $ /%
.
z
(2.35)
Enfatizamos que a equação (2.34) é válida somente para um intervalo de tempo t o , cuja ordem
−z/xo
de grandeza é definida a partir de to ∼ mo
. Observe ainda que no limite de mo → 0 teremos
to → 6. Desta forma as condições iniciais se perpetuarão para um regime de tempos longos e
o comportamento universal de "tempos curtos"não estará somente associado a curtos períodos
de tempo [OSYZ97].
2.3.2 Autocorrelação (A(t))
20
CAPÍTULO 2 ASPECTOS DA TEORIA DE FENÔMENOS CRÍTICOS
Consideremos agora a função de autocorrelação na temperatura crítica (, = 0)
1
A(t,t +) = d
L
,
/ 2i(t +)2i(t + t +)
i
-
,
(2.36)
para um sistema d-dimensional e tamanho L. Em tempos longos A(t,t +) decai exponencialmente na forma A(t,t +) ∼ e−t/4t . Tradicionalmente o expoente dinâmico z é medido a partir
deste decaimento exponencial, considerando que 4t ∼ Lz . Utilizando uma análise de escala
bastante cuidadosa, a partir da expansão-5 , Janssen [Jan92] determinou que na temperatura crítica, a autocorrelação, no regime de tempos curtos, decai como uma lei de potência na forma:
A(t) ∼ t −( ,
(2.37)
( = d/z − - .
(2.38)
onde o expoente ( está relacionado com:
Na obtenção deste resultado a magnetização inicial toma o valor m o = 0. Como consequência,
o decaimento segundo a lei de potência será válido enquanto os efeitos de tamanho finito se
fizerem presentes. Um ponto importante do resultado expresso em (2.38) é a possibilidade de
medirmos o expoente z, desde que tenhamos o valor de - como informação de entrada para
este cálculo. Esta medida também possui a vantagem de não ser influenciada pelo efeito da
relaxação crítica [OSYZ97].
2.3.3 Segundo Momento (M(2) )
Assumindo que o comprimento de correlação espacial é muito menor que o tamanho linear
L da rede hipercúbica, no regime de tempos curtos da evolução dinâmica o segundo momento
2.4 TRANSIÇÕES DE CLASSE DE UNIVERSALIDADE
21
da magnetização apresenta uma relação de escala na forma M (2) ∼ L−d . E a partir da equação
(2.31) para k = 2, na temperatura crítica e para mo = 0, podemos deduzir:
M (2) ∼ t y ,
y = (d − 2$ /% )/z.
(2.39)
Observe que a partir desta equação e de posse do valor do expoente estático $ /% , também
poderemos medir o expoente crítico dinâmico z.
Finalizamos esta seção comentando sobre o processo de médias para o cálculo dos observáveis acima descritos. As médias para a dinâmica de tempos curtos são tomadas sobre
configurações (amostras), ao invés de médias temporais usadas na dinâmica de tempos longos,
para o regime estacionário.
2.4 Transições de Classe de Universalidade
Quando alteramos um determinado campo de escala em um sistema estatístico, este poderá
realizar uma passagem de uma classe de universalidade para outra. Tal efeito é denominado
de fenômeno de crossover [HHL08]. No contexto da teoria de grupo de renormalização, o
fenômeno de crossover é descrito como uma competição entre pontos fixos. No entanto, para
a análise fenomenológica da teoria de escala, efeitos de crossover podem ser descritos a partir
da inclusão de um novo campo de escala, definindo assim um parâmetro adicional na correspondente relação de escala. Por exemplo, se denotarmos este campo por ! , a relação de escala
para o parâmetro de ordem # terá a seguinte forma:
# (( , , ( 2 h, ( " ! ),
# (, , h, ! ) ∼ ( −$ #
(2.40)
22
CAPÍTULO 2 ASPECTOS DA TEORIA DE FENÔMENOS CRÍTICOS
onde , representa a distância ao ponto crítico, o expoentes crítico 2 associa-se ao campo externo h. O expoente " , que está associado com o campo de escala ! pela relação ! ∼ , " , é
denominado expoente de crossover.
Com base no sinal do expoente " , o novo campo de escala ! pode ser classificado como irrelevante (" < 0) ou relevante (" > 0) [Kad00]. Para o caso em que (" < 0), o campo de escala
apenas fornece correções não universais ao comportamento assintótico das relações de escala.
Estas correções são denominadas singularidades confluentes e determinam o tamanho da região crítica [HHL08]. Em alguns casos as singularidades confluentes devem ser consideradas
para termos estimativas satisfatórias das propriedades universais críticas. Os efeitos das singularidades confluentes sobre sistemas compostos por Hélio líquido são descritos no trabalho
[Aha76a]. Além disso, se a energia livre do sistema não for uma função analítica do parâmetro
de escala ! , este será denominado como perigosa variável irrelevante 4[PF83]. Neste caso a
energia livre exibe uma divergência na forma de lei de potência, caracterizada por um expoente
µ , e que implicará na seguinte relação % d + µ" = 2 − 3 [HHL08]. Percebemos então que
para um parâmetro de escala irrelevante e que determina uma singularidade na energia livre, a
relação de hiperescala usual (% d = 2 − 3 ) não é satisfeita. Este tipo de variável também causa
uma falha nas relações de escala de tamanho finito no regime de campo médio d > d c , onde dc
representa a dimensão crítica do modelo [Bre82, PF83].
Ao contrário, quando ! é um campo relevante (" > 0). a equação (2.40) pode ser escrita
como:
# (1, 0, x),
# (, , 0, ! ) ∼ , $ #
(2.41)
onde fizemos ( , = 1, h = 0 e x = ( " ! = , −" ! . Para o comportamento assintótico x → 0 (, " -
! ), observamos correções na relação de escala ordinária. Entretanto, próximo ao ponto crítico,
, → 0, a variável de escala x diverge (x → 6), resultando num regime de escala diferente. Desta
forma a equação (2.40) descreve uma transição entre duas classes de universalidade distintas,
4 Tradução
do termo dangerous irrelevant variable
2.4 TRANSIÇÕES DE CLASSE DE UNIVERSALIDADE
23
controlada pelo campo de escala ! . O ponto onde x ∼ 1, é denominado ponto de crossover
[RW69].
Como exemplo clássico para o fenômeno de crossover temos os sistemas ferromagnéticos
com fraca anisotropia uniaxial [Aha76b]. Em sistemas de não equilíbrio, temos os efeitos de
crossover em modelos de criticalidade auto-organizada [DCS94, Lub02] e em transições de
fase absorventes [Lub03, Lub04a, Lub06]. Encontramos ainda crossovers entre a classe de universalidade de percolação direcionada ordinária para a tricrítica e ainda para aquela relacionada
à percolação direcionada compacta [HHL08].
No contexto de nosso trabalho, estaremos interessados nas relações de escala obtidas a
paritr da teoria de crossover, considerando a passagem do comportamento não-clássico para o
regime de campo médio dado por expoentes clássicos.
C APÍTULO 3
O modelo do grupo votante
3.1 Descrição do Modelo
Considere a situação em que um grupo de pessoas se reunem de modo a obterem uma conclusão (solução) sobre determinado acontecimento (problema). Tal procedimento é bastante
comum em nosso cotidiano: reuniões de condomínio, de pais e professores, julgamentos, eleições de cargos políticos, reuniões do COPOM sobre ajustes na taxa de juros. Em resumo, a
atividade de pessoas se organizarem para deliberar é um exercício que possui grande frequência.
Nesse contexto, é sempre usual termos um conjunto de várias opções para a solução adequada,
o que reflete a diversidade de opiniões presente no grupo. Entretanto, para o presente estudo,
vamos considerar a situação em que um grupo de pessoas elegerá uma solução a partir de um
conjunto com duas opções possíveis.
Imagine agora que o grupo deliberante, de alguma maneira, tenha escolhido sua solução.
A próxima etapa será convencer as pessoas, próximas a esse grupo e que não participaram da
reunião, de que a solução obtida pelo grupo é a que deve predominar, é a solução mais eficaz.
Por exemplo, considere uma coligação de partidos políticos que tentam influenciar a opção
de voto numa eleição de segundo turno. A experiência que estamos descrevendo, que é um
processo de tomada de decisão, consiste portanto nas seguintes etapas:
1. Etapa de escolha;
2. Etapa de persuasão.
25
26
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
Na etapa de escolha, o grupo votante escolhe sua posição em relação a determinado tema. E na
etapa de persuasão, o grupo votante influencia a decisão de seus vizinhos. Considerando estas
duas etapas desenvolvemos um modelo, denominado modelo do grupo votante, que de maneira
parsimoniosa descreve as condições necessárias para que o sistema convirja para o estado de
consenso, quando esta configuração for possível, sobre determinado tema.
No modelo do grupo votante (MGV ), a população é descrita por um sistema de sítios interligados segundo uma determinada topologia. A cada sítio (agente) associamos uma variável
estocástica que toma valores num conjunto enumerável de pontos da reta. Tais valores representam as possíveis opiniões dos agentes. De maneira simplificada, vamos considerar somente
dois valores possíveis para a variável estocástica: +1 ou −1. Denotando por 2 i a variável
associada ao sítio i, temos: 2 i = ±1. Se o sistema possuir N sítios, então o número total de
configurações ou estados do sistema será 2N . Desta forma uma configuração deste sistema será
descrita pelo estado
2 = (21 , 22 , . . ., 2N ),
(3.1)
Observe que os estados associados à variável 2i , representam estados competidores. Desta
forma, definiremos que +1 representa o estado à favor e −1 representa o estado contra.
A dinâmica de nosso modelo é baseada nas etapas acima descritas: a cada intervalo de
tempo, um grupo de agentes é escolhido de maneira aleatória. Este conjunto, que denominamos PCS1 , interage e elege uma opinião vencedora. De posse desta escolha, o grupo tentará
persuadir sua vizinhança.
Em resumo, o presente modelo analisa a influência de um grupo de pessoas sobre os indivíduos de sua vizinhança. Quanto maior for este grupo, mais tendenciosa será a decisão desta
vizinhança em adotar uma opinião favorável ao grupo. Representamos o número de agentes no
grupo persuasivo por NPCS e este é o parâmetro associado à pressão social que o grupo persuasivo exerce sobre sua vizinhança. Na Figura 3.1 temos dois exemplos de blocos persuasivos
1 Sigla
para o termo inglês Persuasive Cluster Spin
3.1 DESCRIÇÃO DO MODELO
27
Figura 3.1 Grupo votante (círculos escuros) (PCS) e sua vizinhança (círculos claros) para uma rede
regular quadrada. À esquerda temos um grupo persuasivo de tamanho NPCS = 16 e à direita um grupo
de tamanho NPCS = 4.
e suas respectivas vizinhanças para uma rede regular bidimensional. Podemos também caracterizar o parâmetro NPCS como o alcance da interação no modelo. Tornaremos esse alcance
limitado, impondo condições sobre a razão
NPCS
N ,
onde N é o número total de agentes em nosso
sistema. Justificaremos esta limitação nas próximas seções.
A escolha da solução vencedora no grupo votante será dada pela opinião majoritária. Por
exemplo, se a maioria dos agentes persuasivos optar pela solução +1, então esta será a opinião
de todo o grupo e todos os agentes próximos ao PCS serão influenciados a escolherem esta
solução. Entretanto, em nossa sociedade, as pessoas tendem a ser resistentes a qualquer tipo de
influência. Em geral devemos esperar que o grau de resistência varie entre os indivíduos. Para
o presente desenvolvimento, consideraremos que todos os agentes tem o mesmo nível de resistência à persuasão de seus pares. Tal condição pode ser considerada pouco realista, mas para
um conjunto de pessoas que possuam o mesmo perfil de instrução, seus níveis de resistência
serão, em média, equivalentes. Assim, introduzimos o parâmetro não-negativo q, que fornece
uma medida da resistência dos indivíduos e é entendido como a probabilidade de uma deter-
28
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
minada pessoa tomar a opinião contrária ao do grupo persuasivo. Como descrito em [SFM11]
q é definido como o parâmetro de ruído, representando de maneira abstrata uma temperatura
social. Em resumo, cada agente adjacente ao PCS (círculos claros na Figura 3.1) concordará
com a opinião deste grupo com probabilidade (1 − q) ou tomará uma opinião contrária com
probabilidade q. Em termos da temperatura social q, a taxa de mudança de opinião (the rate of
flipping) de cada agente é dada por:
.
/
NPCS
1
1 − (1 − 2q)2iS( / 2i+) ) ,
w(2i ) =
2
) =1
(3.2)
onde o somatório é sobre todos os NPCS agentes que compõem o grupo persuasivo. A notação
S(x) representa a função sinal, S(x) = sign(x), e consideramos a condição S(0) = 0. Observe
que se NPCS é um número par, poderemos ter um empate na eleição da opinião vencedora no
PCS. Neste caso, qualquer sítio adjacente não será influenciado pelo bloco persuasivo e a partir
da expressão (3.2), tal sítio mudará sua opinião com uma taxa de probabilidade igual a 1/2.
3.2 Aproximação de Campo Médio
Para modelos definidos em termos de variáveis de spin e cuja evolução temporal seja determinada por equações mestra, a evolução do valor médio de uma dada propriedade f é expressa
por [TdO01]:
N !0
1
"
d % f (2 )&
= / f (2 i ) − f (2 ) wi (2 ) ,
dt
i=0
(3.3)
onde wi (2 ) representa a taxa de probabilidade de inversão de estado de 2i → −2i , do i-ésimo
agente. Em particular, a evolução temporal do valor médio %2 k & e da correlação de dois pontos
3.2 APROXIMAÇÃO DE CAMPO MÉDIO
29
!
"
2k 2 j , com j )= k, são dadas por:
d % 2k &
= −2 %2k wk (2 )& ,
dt
(3.4)
"
!
"
!
"
!
d 2k 2 j
= −2 2 j 2k wk (2 ) − 2 2k 2 j w j (2 ) .
dt
(3.5)
Vamos considerar uma solução aproximada para o modelo do grupo votante, denominada aproximação de campo médio simples. Aplicando a taxa de probabilidade w i (2 ) (equação (3.2))
sobre a equação (3.4) temos a expressão:
,
2
3NPCS
d %2k &
,
= − %2k & + (1 − 2q)S / 2)
dt
) =1
(3.6)
Consideremos a representação da função sinal em termos da seguinte expansão:
S(21 + . . . + 2NPCS ) = A1 (21 + . . . + 2NPCS ) + A2 (21 22 + . . . + 2NPCS −1 2NPCS ) +
+A3 (21 22 23 + . . . + 2NPCS −2 2NPCS −1 2NPCS ) +
+A4 (21 22 23 24 + . . . + 2NPCS −3 2NPCS −2 2NPCS −1 2NPCS ) + . . . ,
(3.7)
onde as constantes Ak dependem do parâmetro NPCS .
Explicitando os valores para o estado de cada sítio pertencente ao grupo persuasivo e calculando S(/) para cada conjunto de valores considerados, obtemos um sistema de equações
lineares que pode ser resolvido a fim de fornecer os coeficientes Ak da expansão. Como o modelo do grupo votante apresenta simetria de inversão, os termos pares da expansão (3.7) são
todos nulos. Aplicando a expansão resultante na equação (3.6) temos:
NPCS
"
!
d %2k &
= − %2k & + (1 − 2q){A1[ / 2i ] + A3 [%21 22 23 & + . . . + 2NPCS −2 2NPCS −1 2NPCS ]
dt
i=1
"
!
+A5 [%21 22 23 24 25 & + . . . + 2NPCS −4 2NPCS −3 2NPCS −2 2NPCS −1 2NPCS ]} + . . .. (3.8)
30
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
Tomamos a seguinte aproximação:
%21 22 · · · 2k & = %21 & %22 & · · · %2k & ,
(3.9)
que origina a heurística de campo médio simples. Considerando ainda a hipótese de invariância
de translação tal que %2k & = m, para todos os sítios da rede, temos por fim que a evolução
temporal da magnetização é dada por:
dm
= −m + (1 − 2q)
dt
4
5
67
NPCS
.
/ Ak m k
k=1,3,5,...
k
(3.10)
0.5
0.4
0.3
q
Fase Ordenada
0.2
0.1
0.0
0
20
40
NPCS
60
80
100
Figura 3.2 Diagrama de fases do modelo do grupo votante. Na figura temos a dependência do parâmetro
crítico qc em relação ao tamanho NPCS do grupo persuasivo, considerando a aproximação de campo
médio simples. O gráfico foi produzido a partir da equação (3.17) calculando A1 para cada valor de
NPCS , através da expansão (3.7).
Como ilustração consideremos o caso em que o bloco persuasivo é formado por dois agentes
3.2 APROXIMAÇÃO DE CAMPO MÉDIO
31
que tentam influenciar seus pares. Temos então, para NPCS = 2 na equação (3.10),
dm
= −m + 2m(1 − 2q)A1.
dt
(3.11)
Esta equação diferencial possui um único ponto fixo m ∗ = 0. E esta solução é estável deste que
q > qc , onde qc é dado por
6
5
1
1
.
qc =
1−
2
2A1
(3.12)
Entretanto a expansão da função sinal com duas variáveis de spin é dada por:
S(21 + 22 ) =
1
(21 + 22 ) .
2
(3.13)
Como A1 = 1/2, temos portanto que qc = 0. A fase paramagnética é estável para qualquer
valor de q considerado e o sistema não apresenta fase ordenada. Desta forma o sistema somente
apresenta uma transição de fase para valores de NPCS > 2.
Repetindo a análise anterior para um dado NPCS e considerando apenas os dois primeiros
termos na expansão (3.8) temos:
8
5
5
6
69
NPCS
dm
3 NPCS
= −m + (1 − 2q) A1 m
+ A3 m
dt
1
3
(3.14)
Os pontos fixos para este fluxo são:
m∗ = 0,
:
m∗ = ±
(fase desordenada)
1 − A1 (1 − 2q)NPCS
(
) . (fase ordenada)
(1 − 2q)A3 NPCS
3
(3.15)
(3.16)
A solução m∗ = 0 (paramagnética) é estável desde que q > qc onde o parâmetro crítco qc é
32
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
dado por:
9
8
1
1
qc =
.
1−
2
A1 NPCS
(3.17)
Quando q < qc as soluções que correspondem à fase ordenada (equação (3.16)) são estáveis.
Considerando a expansão da função sinal para um dado NPCS , determinamos o coeficiente A1
e aplicando na equação (3.17) construímos o diagrama de fase, descrito na Figura (3.2), no
espaço de parâmetros NPCS × q para aproximação de campo médio simples. Observe ainda que
no limite NPCS → 6 temos qc = 1/2 como o valor máximo para o parâmetro crítico.
Concluímos nesta seção que o modelo do grupo votante, a partir de um dado valor q c do
parâmetro de ruído, apresenta uma transição de fase tendo a magnetização como parâmetro de
ordem. Observamos ainda que somente para valores de NPCS > 2, obtemos esta transição em
qc )= 0. Na próxima seção verificaremos que esta transição é contínua e o diagrama de fase do
modelo será então obtido a partir das simulações de Monte Carlo.
3.3 Propriedades Estáticas
Consideramos um sistema formado por N agentes representados pela variável 2 i , possuindo
dois graus de liberdade: +1 e −1, definidos sobre os vértices de uma rede regular quadrada de
√
tamanho linear L = N e utilizando condições de contorno periódicas em ambas as direções.
Tal critério é necessário para que todos os grupos persuasivos (PCS) tenham sempre o mesmo
tamanho, isto é, a mesma quantidade de agentes ao longo da dinâmica.
Analisamos o MGV sobre o espaço de parâmetros NPCS × q, onde q representa a probabilidade de um determinado agente tomar opinião contrária ao do PCS, cujo tamanho é dado
por NPCS . Desta forma, q representa a temperatura social enquanto NPCS representa a pressão social do sistema. Para tal análise, consideramos simulações de Monte Carlo e a teoria
33
3.3 PROPRIEDADES ESTÁTICAS
de escala para sistemas de tamanho finito, a fim de determinarmos o diagrama de fase no espaço pressão×temperatura no limite termodinâmico. Além disso, calcularemos os expoentes
críticos estáticos e dinâmicos que definem a classe de universalidade do nosso modelo.
A introdução do parâmetro NPCS faz com que em nosso sistema estejam presentes interações
de longo alcance. O valor de NPCS pode, em princípio, se estender até o limite NPCS → 6.
Neste limite, o grupo persuasivo é constituído por todos os agentes da rede e as propriedades
do sistema serão descritas pela teoria de campo médio. O parâmetro crítico q c = 1/2 e os
expoentes críticos serão dados por seus valores clássicos, ou seja, aqueles descritos pela teoria
de Landau: $ = 1/2, ' = 1 e % = 1/2 [Gin60, Sta71]. Na realidade, a transição entre os limites
não-clássico e de campo médio é alcançada bem antes de obtermos NPCS → 6. Tal transição
é descrita pela Teoria de Crossover e é baseada no critério de Ginzburg. A teoria de crossover
será estudada no próximo capítulo e é de grande valia para sistemas com interações de longo
alcance. Como não desejamos atingir o limite de campo médio, no presente desenvolvimento,
limitaremos o tamanho do PCS em nossas simulações impondo a condição
NPCS
N
≤ 1%.
Nas simulações de Monte Carlo consideramos que o sistema evolui a partir de um estado
inicial 2o , que pode ser obtido de três maneiras:
• estado completamente ordenado;
• estado polarizado;
• estado completamente desordenado.
Para o estado completamente ordenado, todos os agentes possuem a mesma opinião, ou seja, ou
todos estão à favor (+1) ou todos estão contra (−1). No estado polarizado, temos populações
diferentes de agentes com opiniões opostas. Se tais populações forem equivalentes dentre as
possíveis opiniões, temos o estado completamente desordenado.
Definido o estado inicial e fixado o valor de NPCS , utilizamos o seguinte algoritmo para
determinarmos o PCS e seu respectivo estado majoritário, numa rede regular:
34
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
l
l
Figura √
3.3 Diagrama que descreve a formação do grupo persuasivo PCS na rede quadrada, para o caso
de l = NPCS = 4. Os sítios da fronteira são representados por circulos e os sítios do interior por
retângulos.
1. Selecionamos aleatoriamente um agente de nossa rede;
2. A partir deste agente geramos um contorno de sítios de lado l =
√
NPCS , exemplificado
por círculos escuros na Figura (3.3), que determina a fronteira do grupo persuasivo;
3. Alocamos os sítios pertencentes à fronteira numa matriz auxiliar [A];
4. Capturamos os estados dos sítios da fronteira a partir da matriz auxiliar;
5. Determinamos os estados dos sítios no interior do PCS, representados pelos quadrados
claros na Figura (3.3), realizando um somatório sobre cada linha do PCS, definidas a
partir de sua fronteira;
O procedimento de guardarmos apenas os sítios da fronteira é bastante útil para redução de
tempo computacional, quando considerarmos grandes tamanhos para o grupo persuasivo. Tal
procedimento se justifica pois os sítios da fronteira possuem crescimento linear enquanto os
sítios no interior do (PCS) crescem de forma quadrática, como pode ser visto na Figura (3.4).
35
3.3 PROPRIEDADES ESTÁTICAS
300
250
Interior
Fronteira
Na
200
150
100
50
0
0
5
10
l
15
√
Figura 3.4 Crescimento dos sítios pertencentes ao grupo persuasivo de tamanho linear l = NPCS .
Os sítios da fronteira possuem crescimento linear dado por 4(l − 1) enquanto os sítios no interior tem
crescimento quadrático (l − 2)2 .
Nosso objetivo é estudar o efeito do parâmetro de ruído q e do número de agentes persuasivos NPCS sobre o diagrama de fase e o comportamento crítico do modelo do grupo votante
(MGV ). Nossa análise é descrita a partir da magnetização ML e dois de seus cumulantes, a
saber, a susceptibilidade &L e o cumulante de quarta-ordem de Binder, ou simplesmente, o cumulante de Binder UL . Como já vimos, a magnetização representa o parâmetro de ordem do
sistema e por isso consideramos a análise de seus cumulantes. Os estimadores do parâmetro
de ordem, da susceptibilidade e do cumulante de Binder são definidos, respectivamente, pelas
seguintes expressões:
<
;
ML (q) = %m&tempo
amostra
&L (q) = N
,
<
=;! "
2
m2 tempo − %m&tempo
amostra
(3.18)
>
,
(3.19)
36
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
UL (q) = 1 −
, ! 4"
m tempo
3 %m2 &tempo
,
(3.20)
amostra
onde definimos m = | N1 /i 2i |. Nas expressões (3.18), (3.19) e (3.20), N = L2 representa o
número total de agentes no sistema. Os símbolos < · · · > tempo e < · · · >amostra denotam, respectivamente, médias temporais realizadas no regime estacionário e médias configuracionais
(amostrais) tomadas sobre várias amostras.
Para um valor fixo de NPCS , realizamos simulações de Monte Carlo sobre redes regulares
quadradas de tamanhos lineares L = 100, 120, 130, 140, 150, 160, 180 e 200. Os valores de
NPCS = 4, 9, 16, 25, ..., 100 utilizados, satisfazem a relação
NPCS
N
≤ 1% entre os tamanhos do
grupo persuasivo e do sistema.
Uma questão importante para o desenvolvimento das simulações diz respeito à medida do
tempo. O tempo será medido em termos de passos de Monte Carlo (MCS) 2 e temos que 1 MCS
corresponderá a N tentativas de alteração dos estados dos agentes. Desta forma, para um dado
PCS, consideramos dois procedimentos: para a atualização assíncrona, escolhemos aleatoriamente um sítio adjacente3 ao PCS e tentamos alterar seu estado com a taxa de probabilidade
descrita pela equação (3.2). Ao repetirmos este procedimento N vezes, temos completado 1
MCS. Para a atualização síncrona, consideramos que para um dado PCS, de tamanho NPCS ,
temos Nad j sítios adjacentes ao PCS. Então, neste procedimento, tentamos alterar o estado de
todos os Nad j sítios ao mesmo tempo, a partir da taxa de probabilidade descrita na equação
(3.2). Para esta atualização, 1 MCS é obtido quando repetimos este procedimento N =
N
Nad j
vezes.
Para os resultados, consideramos 104 MCS em ambas as atualizações, para que o sistema
atinja o estado estacionário. Tal estado sendo alcançado, as médias temporais foram estimadas
em 104 MCS. Entretanto, para a região crítica, maior esforço foi necessário, tendo em vista
2 Sigla
para a expressão inglesa Monte Carlo Step
claros na Figura 3.1
3 Círculos
3.3 PROPRIEDADES ESTÁTICAS
37
as grandes flutuações observadas nesta região. Para tanto, utilizamos 3 × 10 4 MCS para alcançarmos o estado estacionário e até 35 × 104 MCS para as médias temporais. Para todos os
conjuntos de parâmetros (q, NPCS ), utilizamos 100 realizações (amostras) independentes para
o cálculo das médias configuracionais (amostrais). Temos ainda que diferentes configurações
iniciais foram utilizadas nas simulações. Observamos que os resultados numéricos não dependem da fração inicial de agentes no estado 2 = +1. No que diz respeito ao tempo de máquina
necessário para obtenção dos resultados, temos que para cada ponto crítico do diagrama de
fases do modelo foram necessários 7 dias de computação e para as medidas da magnetização e
seus cumulantes na região crítica, necessitamos de 4 dias de computação.
A Figura (3.5) exibe a dependência da magnetização ML e da susceptibilidade &L com o
parâmetro de ruído, obtida a partir das simulações de Monte Carlo sobre reticulados regulares quadrados de dimensão linear L = 140 e vários tamanhos de grupos persuasivos, NPCS =
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64. Na Figura (3.5), considerando a magnetização, para um dado valor de L
e NPCS , percebemos um indicativo de transição de fase de um estado ordenado para um estado
desordenado, caracterizada por uma quebra espontânea de simetria em um particular valor do
parâmetro de ruído, q = qc . No limite termodinâmico (N → 6), devemos esperar que para
valores abaixo de qc , o sistema possuirá magnetização não nula (ordem), enquanto que para
valores de q ≥ qc , teremos a região de desordem onde a magnetização anula-se. Em resumo,
para q < qc haverá consenso total ou polarizado enquanto para q ≥ qc não haverá decisão majoritária entre os agentes. Observamos ainda na Figura (3.5), que a transição ocorre em um valor
do parâmetro crítico que é uma função crescente do tamanho do grupo persuasivo.
Determinamos um único valor de q c , independente de L, para cada valor de NPCS , calculando o cumulante de quarta-ordem de Binder UL (q) para a magnetização, equação (3.20),
como função do parâmetro de ruído q, considerando vários valores de L. Para sistemas suficientemente grandes, estas curvas se interceptam em um único ponto U ∗ (qc). O valor de q para
o qual as curvas se interceptam é igual ao parâmetro crítico qc , e este valor não é viesado em
38
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
0.8
400
0.6
300
& L(q)
500
ML(q)
1.0
0.4
200
0.2
0.0
0.0
100
0.1
0.2
q
0.3
0.4
0
0
0.5
0.1
0.2
q
0.3
0.4
0.5
Figura 3.5 Magnetização e susceptibilidade como funções do parâmetro de ruído q, para L = 140 e os
valores de NPCS = 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 da esquerda para direita.
|log10 [ 1 - 1.5UL(q)]|
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
q
0.3
0.4
Figura 3.6 Um conjunto de curvas para o cumulante de Binder reduzido como função de q para
NPCS = 4, 9, 16, 25 (da esquerda para a direita) e cinco valores para o tamanho das redes: L =
100, 120, 140, 160, 180. O valor do cumulante no ponto crítico U∗ = 0.606 ± 0.004 é exibido pela linha tracejada horizontal.
39
3.3 PROPRIEDADES ESTÁTICAS
NPCS
4
9
16
25
36
49
64
qc
0.0846(2)
0.2080(1)
0.2680(1)
0.3130(4)
0.3406(3)
0.3630(1)
0.3790(2)
$ /%
0.130(2)
0.124(4)
0.114(2)
0.132(1)
0.130(3)
0.113(3)
0.118(2)
' /%
1.72(4)
1.76(3)
1.73(1)
1.74(1)
1.70(3)
1.70(2)
1.71(4)
1/%
1.05(2)
0.98(1)
0.96(2)
0.95(2)
0.96(3)
0.96(2)
0.96(3)
de f f 4
1.98(4)
2.01(4)
1.95(2)
2.00(1)
1.96(4)
1.96(3)
1.95(4)
Tabela 3.1 Resultados para o ruído crítico qc , os expoentes críticos $ /% , ' /% , 1/% e a dimensionalidade
efetiva de f f do modelo do grupo votante (MGV ) para redes regulares quadradas, considerando vários
tamanhos para o número de agentes no grupo persuasivo NPCS .
relação a qualquer estimativa dos expoentes críticos, uma vez que por construção o cumulante
de Binder possui dimensão nula. Na Figura (3.6) temos o gráfico do cumulante reduzido de
Binder para reticulados de tamanhos L = 100, 120, 140, 160, 180 e para quatro diferentes valores de NPCS . Para cada conjunto de curvas, associadas a um determinado NPCS , obtemos o
parâmetro de ruído crítico qc e também o valor crítico U ∗ . Como podemos notar a partir da
Figura (3.6), existe uma forte dependência entre o parâmetro crítico e o tamanho do grupo persuasivo e logo veremos que esta relação é monotonicamente crescente. Entretanto, o valor de
interseção entre as curvas do cumulante de Binder, U ∗ , não depende do parâmetro de controle
NPCS . Obtemos o valor de U ∗ (qc) = 0.606 ± 0.004 para todos os valores de NPCS estudados e
este resultado está em acordo com aqueles obtidos para o modelo de Ising sobre redes regulares
quadradas [KB93]. Para construirmos o diagrama de fase do MGV , repetimos esta análise para
vários valores do NPCS .
O diagrama de fase no espaço de parâmetros NPCS × q é mostrado na Figura (3.7). As
curvas foram obtidas utilizando tanto atualizações síncronas, quando todos os N ad j agentes adjacentes ao PCS são atualizados ao mesmo tempo, quanto assíncronas na qual um único agente
escolhido aleatoriamente na vizinhança do PCS é atualizado. Para ambos os procedimentos de
atualização, há transição de fase somente para valores de NPCS > 2. Este resultado concorda
com o que foi determinado na seção anterior, a partir da aproximação de campo médio. Como
40
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
0.5
0.4
0.3
q
Fase Ordenada
0.2
0.1
0
Campo Médio
Assíncrono
Síncrono
0
20
40
NPCS
60
80
100
Figura 3.7 O diagrama de fase do modelo do grupo votante descreve a dependência do parâmetro crítico
qc em relação ao tamanho NPCS do grupo persuasivo. As curvas foram obtidas a partir de simulações
de Monte Carlo utilizando atualizações síncronas (losango) e assíncronas (retângulo). Os dados para
campo médio (círculos) foram adicionados para efeito de comparação.
observamos na Figura (3.7), o parâmetro crítico qc é uma função monotonicamente crescente
do número de agentes do grupo persuasivo. Em outras palavras, quanto maior for este grupo
maior poder de convencimento terá em relação a um grupo menor. Observe ainda que a aproximação de campo médio descreveu um diagrama de fase (Figura 3.2) bastante semelhante ao
que foi obtido pelas simulações de Monte Carlo.
Consideramos agora a teoria de escala de tamanho finito (FSS)5 que nos permite extrapolar
as informações avaliadas nas simulações de sistemas finitos para o limite termodinâmico. Desta
forma, o comportamento do MGV na região crítica é descrito pelas seguintes relações de escala:
# , L1/% ),
ML (q) ∼ L−$ /% M(
5 Sigla
para a expressão inglesa Finite Size Scaling
(3.21)
41
3.3 PROPRIEDADES ESTÁTICAS
-0.3
log10 [ ML(qc) ]
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
2
2.1
log10 L
2.2
2.3
Figura 3.8 Dependência da magnetização ML (qc ) em relação ao tamanho do sistema para NPCS =
4, 9, 16, 25, 36 e 64 (de cima para baixo). As inclinações das linhas sólidas, obtidas pelas melhores
retas que se ajustam ao conjunto de dados, fornecem estimativas para o expoente $ /% . Tais estimativas
estão próximas do valor exato conhecido para modelos com simetria de inversão, a saber, $ /% = 0.125.
log10 [ & L(qc) ]
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
2
2.1
log10 L
2.2
2.3
Figura 3.9 Análise equivalente à figura (3.8), mas relacionada à susceptibilidade &L (qc ). As inclinações das retas fornecem valores próximos ao resultado exato conhecido para sistemas com simetria de
inversão, a saber, ' /% = 1.75.
42
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
&L (q) ∼ L' /% &#(, L1/% ),
(3.22)
# (, L1/% ),
UL (q) ∼ U
(3.23)
onde , = (q − qc ) representa a distância ao parâmetro crítico qc . Os expoentes $ /% , ' /%
e % estão associados, respectivamente, com o decaimento do parâmetro de ordem ML , com
a divergência da susceptibilidade &L e com o comportamento divergente do comprimento de
correlação (4 ∼ , −% ). Temos que os resultados para os expoentes podem ser verificados através
da relação de hiperescala:
2$ /% + ' /% = d,
(3.24)
que é derivada a partir das relações de escala de Rushbroke e Josephson. A equação (3.24) é
válida para dimensões euclidianas menores que a dimensão crítica d c do modelo [Bre82].
As Figuras (3.8) e (3.9), mostram a dependência da magnetização e da susceptibilidade, em
q = qc , com relação ao tamanho linear L do sistema. Estes resultados são explicados a partir
das equações (3.21) e (3.22) considerando uma análise gráfica em escala log-log, onde obtemos
as seguintes relações lineares:
$
#
log[ML(qc )] = − logL + logM(0),
%
log[&L (qc)] =
'
logL + log&#(0),
%
(3.25)
(3.26)
que são retas cujos coeficientes angulares são os expoentes $ /% e ' /% que desejamos estimar.
Desta forma, a inclinação da reta que se ajusta melhor ao conjunto de dados fornece a estimativa
do expoente de interesse. Considerando a derivada do cumulante de Binder, equação (3.23),
em relação ao parâmetro de ruído e calculando esta derivada no ponto q = qc , temos a seguinte
43
3.3 PROPRIEDADES ESTÁTICAS
equação:
+
log[U (qc)] =
1
?+ (0),
logL + logU
%
(3.27)
a partir da qual podemos estimar o expoente 1/% . Realizamos este procedimento para vários
tamanhos do grupo persuasivo, a saber, NPCS = 4, 9, 16, 25, 36, 64. Os resultados podem ser
visualizados nas figuras (3.8) e (3.9) onde obtemos um conjunto de retas paralelas, associadas
a cada valor de NPCS . A Tabela (3.1) resume nossa análise. Verificamos também se os expoentes
calculados satisfazem a relação de hiperescala (3.24) adotando de f f = 2$ /% + ' /% . Para todos
os NPCS estudados obtemos de f f = 2.0, igual à dimensão euclidiana do sistema, considerando
a margem de erro. Estes resultados também se encontram na Tabela (3.1).
1.0
0.04
0.02
0.4
0.01
0.2
0.0
0.03
7'/%
0.6
&L(q)L
ML(q)L
$/%
0.8
0
-4
-2
0
2
4
1/%
(q - qc)L
6
-6
-4
-2
0
2
4
1/%
6
(q - qc)L
Figura 3.10 Colapso de dados do parâmetro de ordem e susceptibilidade para NPCS = 9, com cinco
diferentes valores de L = 100, 120, 140, 160 e 180. As curvas universais estão consistentes com os
expoentes de Ising: $ = 0.125, ' = 1.75 e % = 1.0.
Com os dados da Tabela (3.1) poderíamos concluir que os expoentes calculados dependem
do parâmetro NPCS , apesar de estarem próximos dos valores associados à classe de universalidade de Ising. Entretanto, de acordo com a conjectura de Grinstein, Jayaprakash e He [BG85],
todos os modelos que possuem simetria de inversão definidos sobre redes regulares, apresentam
44
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
12
L
L
L
L
L
10
8
UL(q)
=
=
=
=
=
100
120
140
160
180
6
4
2
0
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
1/%
(q - qc)L
Figura 3.11 Colapso de dados do cumulante de quarta-ordem de Binder UL (q) para NPCS = 16, com
cinco diferentes valores de L = 100, 120, 140, 160 e 180. A curva universal está consistente com o
expoente de Ising: % = 1.0.
o comportamento crítico descrito pelos expoentes do modelo de Ising. Esta conjectura também
tem sido verificada para vários modelos de não equilíbrio [LFF05, BG85, Mar90]. Desta forma,
como o modelo utiliza interações de longo alcance finitas [MB93] e possui simetria de inversão, o modelo do grupo votante está na classe de universalidade descrita pelos expoentes de
Ising, a saber, $ = 0.125, ' = 1.75 e % = 1.0.
Para quantificarmos as conclusões do último parágrafo, consideramos uma análise mais
acurada que consiste em obter funções universais para a magnetização, susceptibilidade e cumulante de Binder:
#
M(x)
= ML (q)L$ /% ,
(3.28)
&#(x) = &L (q)L−' /% ,
(3.29)
3.4 DINÂMICA INFLOW VERSUS DINÂMICA OUTFLOW
#
U(x)
= UL (q),
45
(3.30)
com x = (q −qc )L1/% . Tais funções representam um colapso de dados para um dado NPCS fixo e
diferentes valores de L. É importante observarmos que as curvas universais são obtidas somente
utilizando os corretos valores dos expoentes. Desta forma, na Figura (3.10) exibimos as curvas
universais da magnetização e susceptibilidade para NPCS = 9 e cinco valores diferentes para o
tamanho do sistema L = 100, 120, 140, 160 e 180, utlizando o seguinte conjunto de expoentes:
$ = 0.125, ' = 1.75 e % = 1.0. Uma análise similar para outros valores de NPCS corroboram
este resultado. Na Figura (3.11) mostramos o colapso de dados para o cumulante de Binder,
para o caso NPCS = 16. Concluímos que o MGV é um modelo de não equilíbrio com interações
de longo alcance e que está na classe de universalidade do modelo de Ising.
3.4 Dinâmica Inflow versus Dinâmica Outflow
Uma discurssão interessante na literatura de modelos de formação de opinião diz respeito
à equivalência ou não das dinâmicas inflow e outflow. Na dinâmica inflow, o estado de um
sítio é influenciado por sua vizinhança. Para a dinâmica outflow ocorre o inverso, um dado
sítio influencia seus vizinhos. O modelo do grupo votante é um exemplo da dinâmica outflow,
enquanto o modelo do votante majoritário é um exemplo para versão inflow. Castellano e
Pastor-Satorras [CPS11] compararam as dinâmicas de Sznajd (outflow) e de Glauber (inflow)
para o modelo de Ising com ausência de ruído global. Os autores calcularam as seguintes
quantidades:
1. Tempo de fixação de consenso (T (x, N)): tempo necessário para que todos os N sítios do
sistema tenham a mesma opinião , dada uma fração inicial x de opiniões positivas;
46
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
2. Probabilidade de Saída6 (E(x)): probabilidade que o estado final do sistema seja 2 = 1,
a partir de uma fração inicial x de opiniões positivas;
Com esta análise, sobre redes 1D e 2D, Castellano e Satorras concluíram que o tempo de
consenso e a probabilidade de saída eram equivalentes para ambas as dinâmicas e portanto não
haveria distinção entre as dinâmicas outflow e inflow. Segundo os autores resultados de campo
médio também comprovam esta afirmação. A influência do alcance também foi considerada,
mas somente estendendo até segundos vizinhos. Mais uma vez os autores comprovaram a
equivalência entre as dinâmicas. Do ponto de vista da transição de fase, nenhuma das dinâmicas
0.4
0.3
q
Inflow
Outflow
0.2
0.1
0
0
20
40
NPCS
60
80
Figura 3.12 Diagramas de fase do modelo do grupo votante para as dinâmicas inflow e outflow.
(inflow ou outflow) altera a simetria do modelo. A simetria de inversão é preservada tanto no
MV M (inflow) quanto no MGV (outflow) e teremos portanto os mesmos expoentes críticos
definindo estes modelos independentemente da dinâmica considerada. Entretanto nada pode
ser afirmado, a priori, com relação à dependência do parâmetro crítico qc com o alcance da
interação. A fim de analisarmos este aspecto, construímos a versão inflow para o MGV , descrita
da seguinte forma:
6 Exit
Probability
3.5 PROPRIEDADES DINÂMICAS
1. Geramos o PCS de lado l =
√
47
NPCS , da mesma maneira como descrito anteriormente
neste capítulo;
2. Determinamos os estados dos sítios adjacentes ao PCS;
3. Sorteamos um dado sítio pertencente ao PCS
4. Atualizamos o estado do sítio sorteado, com o sinal da vizinhança, através da taxa de
probabilidade (3.2);
Observe que consideramos a atualização assíncrona e um dado sítio pertencente ao grupo persuasivo é influenciado pela opinião majoritátia dos sítios adjacentes. Ao realizarmos este procedimento N vezes teremos 1 MCS. Na Figura (3.12) apresentamos o diagrama de fases do
MGV com dinâmica inflow e comparamos este gráfico com a versão outflow. Observamos que
na região 2.0 ≤ NPCS ≤ 10.0, as dinâmicas inflow e outflow são de fato equivalentes, do ponto
de vista do ordenamento do sistema. Entretanto para NPCS > 10.0 temos que a dinâmica inflow
tende a favorecer mais a produção de ordem no sistema do que a dinâmica outflow. Vemos
que a introdução do parâmetro de ruído e interações de mais longo alcance fazem com que
estas dinâmicas sejam distintas, do ponto de vista de ordenamento, apesar de serem descritas
pelos mesmos expoentes críticos. Uma comparação semelhante existirá no contexto das redes
de mundo pequeno (Capítulo 6), onde a desordem entrará como um novo ingrediente.
3.5 Propriedades Dinâmicas
Realizaremos nesta seção a análise de tempo curto para o modelo de grupo votante. Como
vimos no Capítulo 2, existe um comportamento de escala universal para os tempos iniciais
na chamada dinâmica de tempo curto. Tal propriedade é em decorrência da divergência do
48
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
0
ln A(t)
-2
NPCS
NPCS
NPCS
NPCS
NPCS
-4
-6
-8
0
=
=
=
=
=
4
9
16
25
36
3
1.5
4.5
ln t
6
Figura 3.13 Função de autocorrelação (equação 3.32), em escala log-log, para NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36.
comprimento de correlação temporal que determina um efeito de memória para a evolução da
dinâmica, gerando assim uma invariância de escala para os observáveis físicos. Para sistemas
estatísticos O(N), de tamanhos finitos, os momentos da magnetização satisfazem a seguinte
relação de escala:
M (k) (t, , , L, mo) = b−k$ /% M (k) (b−zt, b1/% , , b−1 L, bxo mo ),
(3.31)
a partir da qual poderemos calcular funções de escala para o primeiro momento (k = 1), segundo
momento (k = 2), cumulante de Binder temporal U (t) e função de autocorrelação A(t), bem
como expoentes críticos estáticos e dinâmicos. Em especial, desejamos determinar sobre quais
aspectos o alcance da interação pode modificar o comportamento da dinâmica de tempo curto.
Iniciamos nossa análise a partir do cálculo da função de autocorrelação, definida por
A(t, 0) =
1
N
,
/ 2i(0)2i(t)
i
-
.
(3.32)
amostra
onde N é o número total de agentes e a média < · · · >amostra é realizada sobre configurações
49
3.5 PROPRIEDADES DINÂMICAS
ln ,mic
5.2
4.8
" = 0.600(4)
4.4
4.0
1.0
1.5
2.0
2.5
ln NPCS
3.0
3.5
4.0
Figura 3.14 Dependência do tempo microscópico tmic em função do tamanho do grupo persuasivo NPCS .
"
Observamos um comportamento tipo lei de potência dado por tmic ∼ NPCS , com expoente " = 0.600(4).
independentes em q = qc . Realizamos simulações a partir do estado em que m o = 0, considerando redes quadradas de tamanho linear L = 200. O número de configurações (amostras)
independentes utilizadas para o cálculo da média temporal é de 50000 e o sistema evolui até
o tempo de 3000 MCS, para cada valor de NPCS . Na Figura (3.13) temos as curvas para a
autocorrelação considerando NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36. Em cada curva, para um determinado
NPCS , percebemos o mesmo padrão se repetindo, isto é, um decaimento inicial da função A(t)
e após um determinado intervalo de tempo, um decaimento tipo lei de potência da função de
autocorrelação. Observamos ainda que, quanto maior o valor de NPCS , maior é o intervalo de
tempo para que a função A(t) apresente este comportamento de lei de potência. Este intervalo
de tempo é denominado de tempo microscópico t mic , a partir do qual a natureza universal da
dinâmica de tempo curto toma forma. Percebemos a partir da Figura (3.13) que t mic depende do
alcance da interação e entender a natureza desta dependência é muito importante para termos
resultados satisfatórios com o cálculo dos expoentes. Para determinarmos o comportamento de
tmic em função do tamanho do grupo persuasivo, consideramos duas curvas de A(t) para dois
valores consecutivos de NPCS . Estas curvas se cruzam em determinado ponto que determina o
50
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
valor de tmic do menor valor de NPCS utilizado na análise. Realizando este procedimento para
um conjunto de valores do grupo persuasivo, geramos a Figura (3.14), onde identificamos a
"
dependência de tmic com NPCS na forma de uma lei de potência, tmic ∼ NPCS , com expoente
" = 0.600(4). Destacamos que tal resultado não pode ser explicado com a relação de escala
(3.31), pois somente após o tempo t mic , a escala universal para as propriedades de tempo curto
se manifesta. Decorrido o intervalo de tempo microscópico, a função de autocorrelação apresenta um decaimento determinado por A(t) ∼ t −( , com ( = d/z − - . O expoente ( pode
ser determinado a partir da Figura (3.13), desprezando o tempo tmic para cada grupo persuasivo. Construímos então a Figura (3.15), que representa a função A(t) em escala log − log,
para os seguintes valores do grupo persuasivo: NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36. Nesta figura, o intervalo de tempo exibido é aquele superior ao t mic do maior NPCS analisado. Como resultado,
vemos que os expoentes calculados para cada NPCS possuem valores relativamente próximos
e, dessa forma, concluímos que o alcance da interação não afeta o comportamento universal
da dinâmica de tempo curto. Entretanto, duas considerações devem ser observadas. Primeiro,
os resultados para os expoentes são válidos após o intervalo temporal t mic , que é característico
para cada grupo persuasivo, como vimos na Figura (3.14). E segundo, os tamanhos dos alcances utilizados não atingem o chamado limite de campo médio. Sob estas duas considerações,
o expoente ( é único e muito próximo do valor ( = 0.739(5) [OSYZ97] obtido para o modelo
de Ising em redes regulares quadradas.
Consideremos agora o cálculo da magnetização (M(t)) que corresponde a k = 1 na equação
(3.31). Vimos no capítulo de introdução que este observável possui uma dependência, para
a região crítica e um pequeno valor de mo , na forma M(t) ∼ mot - , em que um valor preciso
de mo é fundamental para o cálculo do expoente - . Portanto, para esta etapa, o estado inicial
do sistema precisa ser preparado com certo cuidado. Em um dado valor de NPCS utilizado,
geramos quatro configurações iniciais distintas: m o = 0.08, 0.06, 0.04 e 0.02. O estado inicial é
construído em função de mo da seguinte maneira: cada agente da rede tem seu estado definido
51
3.5 PROPRIEDADES DINÂMICAS
(4 = 0.758(1)
(9 = 0.745(1)
(16 = 0.740(1)
(25 = 0.738(1)
(36 = 0.740(1)
ln [A(t)]
-5
-6
-7
-8
5,5
6
6,5
7
7,5
8
ln t
Figura 3.15 Função de autocorrelação (equação 3.32), em escala log-log, considerando os valores de
NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36. O intervalo de tempo exibido é superior ao valor de tmic do maior NPCS analisado,
destacando assim a relação A(t) ∼ t−( . Determinamos o expoente (NPCS para cada NPCS , a partir da
inclinação da reta que melhor se ajusta à curva de A(t), neste intervalo de tempo. No quadro interior da
figura, temos os valores estimados para os expoentes.
como +1, com probabilidade (1 + mo )/2 ou como −1, com probabilidade (1 − m o )/2. Se
calcularmos a magnetização M resultante, observamos uma diferença ) m com relação ao valor
de mo desejado. Esta diferença é tanto menor quanto maior o valor do tamanho L da rede
hipercúbica utilizada. Em termos exatos, ) m tende a zero quando L → 6. Entretanto, no
trabalho [Zhe98], B. Zheng afirma que para redes maiores que L = 64, a diferença ) m torna-se
muito pequena e o procedimento acima descrito para gerarmos o estado inicial é eficiente. Na
Figura (3.16), apresentamos a relação entre ) m e o tamanho linear L de uma rede quadrada.
Desta análise, utilizaremos redes com L ≥ 200, para calcularmos o expoente - para vários
grupos persuasivos. Destacamos ainda que o valor de t mic utilizado no cálculo da função M(t) é
o mesmo que aquele obtido dos resultados para a autocorrelação, e que o sistema deve evoluir
sobre o parâmetro crítico qc do respectivo grupo persuasivo analisado.
52
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
0.009
-2.0
0.008
mo = 0.08
mo = 0.04
mo = 0.02
0.006
-2.2
log10 |)m|
0.007
|)m|
0.005
0.004
-2.4
0.003
-2.6
0.002
0.992(5)
0.001
-2.8
0
100
150
200
250
L
300
400
350
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
log10 L
Figura 3.16 Dependência de ) m = mestimado − mo com o tamanho linear L da rede quadrada, onde
mestimado é o valor médio < mo >amostra .
Medimos a evolução temporal da magnetização, definida por:
1
M(t) =
N
,
/ 2i(t)
i
-
,
(3.33)
amostra
onde N é o número total de agentes e a média < · · · >amostra é realizada sobre configurações
independentes em q = qc . O número total de tais configurações utilizado foi de 4 × 10 4 e o
sistema evolui até o tempo de 3000 MCS. Consideramos redes quadradas de tamanho linear
L = 200 para mo = 0.08, 0.06, 0.04, e L = 300 no caso de mo = 0.02. Como exemplo, na Figura
(3.17) temos o cálculo da função M(t), em escala log − log, para NPCS = 16 considerando os
quatro valores de mo estudados. O intervalo de tempo exibido é aquele superior ao t mic do respectivo grupo persuasivo. Para cada curva de M(t) exibida na Figura (3.17), determinamos a
inclinação da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos. Ao colecionarmos estas estimativas, realizamos a extrapolação mo → 0, que fornece o valor do expoente - , para NPCS = 16.
Repetindo este procedimento para outros valores de NPCS , obtivemos os resultados mostrados
53
3.5 PROPRIEDADES DINÂMICAS
na Tabela (3.2).
ln M(t,mo)
-1.5
-2
-2.5
mo
mo
mo
mo
-3
-3.5
6
7
ln t
=
=
=
=
0.08
0.06
0.04
0.02
8
Figura 3.17 Função magnetização M(t) em função do tempo, numa escala log − log, para NPCS = 16.
O intervalo de tempo exibido é aquele superior ao tmic do respectivo grupo persuasivo.
mo
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
NPCS = 4
0.1103(2)
0.1301(1)
0.1502(1)
0.1700(4)
0.190(3)
NPCS = 9
0.1162(2)
0.1384(1)
0.1582(2)
0.1730(1)
0.194(3)
NPCS = 16
0.105(2)
0.130(2)
0.155(1)
0.167(1)
0.195(6)
NPCS = 25
0.1016(2)
0.1276(1)
0.1483(2)
0.1723(2)
0.196(2)
NPCS = 36
0.0813(2)
0.1100(4)
0.1450(2)
0.1723(1)
0.204(2)
NPCS = 49
0.0527(2)
0.0964(1)
0.1402(2)
0.1770(2)
0.220(3)
Tabela 3.2 Resultados para o cálculo do expoente dinâmico - para NPCS = 4, 9, 16, 25, 36 e 49. Foram
utilizados quatro valores para a magnetização inicial mo = 0.08, 0.06, 0.04 e 0.02. Para cada um destes
valores, obtemos uma estimativa para o valor de - , com a estimativa mais precisa sendo obtida na
extrapolação mo → 0.
Com os dados coletados na tabela (3.2), concluímos que apesar do expoente - sofrer uma
pequena variação com os valores de NPCS , os resultados estão próximos do calculado para o
modelo de Ising, dado por - = 0.191(2) [OSYZ97]. Desta forma, também para a dinâmica
de tempo curto, o modelo do grupo votante está na classe de universalidade de Ising. Observamos que para a presente análise, o expoente foi calculado após o intervalo de tempo t mic e
consideramos apenas valores finitos do alcance da interação.
54
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
5
(2)
ln [M (t)]
6
*4 = 0.810(5)
*9 = 0.800(2)
*16 = 0.807(5)
*25 = 0.795(5)
*36 = 0.814(3)
4
3
5.5
6
7
6.5
7.5
ln t
Figura 3.18 Segundo momento da magnetização (M(2) ) em escala log-log, para os seguintes valores do
grupo persuasivo: NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36. O intervalo de tempo exibido é superior ao tmic do NPCS = 36.
As estimativas para o expoente * estão no quadro interior da figura.
Analisemos agora o segundo momento da magnetização (k = 2 na equação (3.31)) que é
definido por:
1
M (2) (t) = 2
N
,.
/ 2i(t)
i
/2 -
.
(3.34)
amostra
A partir da relação de escala de tamanho finito (3.31) e considerando o sistema na temperatura
crítica (q = qc ) e mo = 0, o segundo momento possui uma dependência temporal na forma
M (2) ∼ t * , em que * = (d − 2$ /% )/z.
NPCS
4
9
16
25
36
0.190(3)
0.194(3)
0.195(6)
0.196(2)
0.205(3)
(
0.758(3)
0.745(1)
0.740(1)
0.738(1)
0.740(5)
*
0.810(5)
0.797(2)
0.807(5)
0.795(5)
0.804(3)
+
0.0852(2)
0.0723(1)
0.0720(2)
0.0724(2)
0.0676(5)
za
2.16(1)
2.20(1)
2.17(1)
2.20(1)
2.18(1)
zb
2.11(1)
2.13(1)
2.14(1)
2.14(1)
2.12(1)
zc
1.48(1)
1.73(1)
1.74(1)
1.73(1)
1.85(1)
Tabela 3.3 Resumo dos resultados dos expoentes dinâmicos - , ( , * e + , para NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36.
Consideramos ainda três estimativas para o expoente dinâmico z. A estimativa za é obtida a partir do
expoente * = ' /% z utilizando o valor exato do expoente estático ' /% = 1.75. Obtemos a estimativa zb ,
a partir de ( = d/z − - , utilizando os resultados para - e ( . E, por fim, zc é calculado através da relação
+ = $ /% z utilizando o valor exato para o expoente $ /% = 0.125.
55
3.5 PROPRIEDADES DINÂMICAS
0.5
($/%z)4 = 0.0852(1)
($/%z)9 = 0.0723(1)
($/%z)16 = 0.0720(1)
($/%z)25 = 0.0724(2)
($/%z)36 = 0.0705(1)
ln M(t, mo=1)
0
-0.5
-1
-1.5
-2
5.5
6
6.5
7
ln t
7.5
8
Figura 3.19 Magnetização (equação 3.33), em escala log-log, para o estado inicial mo = 1 para
NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36. O intervalo de tempo exibido é aquele superior ao tmic do maior NPCS analisado, destacando assim a relação M(t) ∼ t−$ /% z . Determinamos o expoente + = ($ /% z) para cada
NPCS , a partir da inclinação da reta que melhor se ajusta à curva de M(t), neste intervalo de tempo. No
quadro interior da figura, temos os valores estimados para os expoentes.
Observamos, a partir da Figura (3.18), que as estimativas para o expoente * variam pouco
com o parâmetro NPCS . Nossos resultados concordam com o esperado para modelos com simetria de inversão. Os valores cotados na literatura são * = 0.817(7) para o modelo de Ising
[Zhe98] e * = 0.793(6) para o modelo do voto da maioria [TdO98].
Temos ainda outra relação de escala para a magnetização (M(t)), partindo de um estado
completamente ordenado e sobre parâmetro crítico. Esta dependência é descrita pela relação
de escala M(t) ∼ t −$ /% z . Consideramos novamente a equação (3.33), mas agora com o estado
inicial do sistema construído de modo que m o = 1, para o parâmetro crítico qc do respectivo
NPCS . Dado este procedimento, calculamos a magnetização para uma rede de tamanho linear
L = 200, considerando uma evolução temporal de 3 × 10 3 MCS e 4 × 104 configurações iniciais
independentes. Como resultado, temos a Figura (3.19), que representa a função M(t) em escala
log-log, para os valores de NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36. Novamente o intervalo de tempo exibido
é superior ao tmic do maior NPCS analisado, destacando assim a relação M(t) ∼ t −+ . Determi-
56
CAPÍTULO 3 O MODELO DO GRUPO VOTANTE
namos o expoente + = ($ /% z) para cada NPCS a partir da reta que melhor se ajusta aos valores
de M(t). Os resultados que obtivemos aparentemente discordam do valor + = 0.579(5) obtido
para o modelo Ising [Zhe98]. Além disso, como observamos na Figura (3.19), os valores do expoente + variam consideravelmente com o parâmetro NPCS . Entretanto, verificaremos a partir
de uma análise mais precisa, que o expoente + não depende de NPCS , assim como observamos
para os demais expoentes críticos estáticos e dinâmicos.
Toda a análise dos expoentes dinâmicos encontra-se resumida na Tabela (3.3), onde observamos as estimativas para os expoentes - , ( , * e + . Considerando as definições destes
expoentes, temos condições de calcular o expoente dinâmico z de três maneiras distintas
d
,
( +-
(3.35)
(d − 2$ /% )
,
*
(3.36)
$
,
%+
(3.37)
za =
zb =
zc =
onde za , zb , zc representam estimativas para o expoente z obtidas das definições de ( , * e + , respectivamente. Aplicando os resultados para estes expoentes (Tabela (3.3)) nas equações (3.35),
(3.36) e (3.37), e considerando ainda os resultados para o expoente - e tomando o valor exato
do expoente $ /% , determinamos as três estimativas do expoente z, para cada NPCS analisado.
Esta análise também se encontra resumida na Tabela (3.3). Observamos que as estimativas z a
e zb estão muito próximas do valor z = 2.19(2) [TdO98] calculado para o modelo do votante
majoritário. Enquanto o resultado para z c difere bastante deste valor. Tal discrepância resulta
dos cálculos para o expoente + , que de fato necessita de um maior esforço para ser estimado.
Concluímos portanto que o modelo do grupo votante MGV apresenta expoentes críticos
estáticos descritos pela classe de universalidade de Ising. Os expoentes críticos dinâmicos
3.5 PROPRIEDADES DINÂMICAS
57
não variam com o parâmetro NPCS , desde que consideremos o intervalo de tempo t mic , que
"
apresenta uma dependência tipo lei de potência, tmic ∼ NPCS , com " = 0.600(4). No próximo
capítulo analisaremos em detalhe a influência do parâmetro NPCS sobre as amplitudes críticas
da magnetização, susceptibilidade e do cumulante de Binder.
C APÍTULO 4
Relações de escala para o alcance da interação
4.1 Amplitudes Críticas
No Capítulo 3 introduzimos o modelo do grupo votante (MGV ) descrito sobre uma topologia regular. Vimos que o modelo apresenta uma transição de fase tipo ordem-desordem a partir
de um valor específico qc do parâmetro de ruído. Analisamos também como o número de agentes do grupo persuasivo favorece a ordem no sistema. Denominamos este número por N PCS e
analisamos seu efeito sobre os expoentes críticos, calculando-os para vários valores de NPCS
tanto no caso estático quanto no caso dinâmico. Para o presente capítulo, estamos interessados
em estudar as chamadas amplitudes críticas dos observáveis físicos associados ao MGV , mais
especificamente as amplitudes críticas relacionadas à magnetização e susceptibilidade.
O comportamento crítico de um sistema que exibe uma transição de fase contínua, no regime não clássico, é fortemente influenciado pelo alcance da interação. Quanto maior o valor
deste parâmetro, mais reduzidas são as amplitudes críticas associadas ao parâmetro de ordem
e à susceptibilidade [MB93, Lub03]. Este fato pode ser observado na Figura (4.1), onde temos
a susceptibilidade como função do parâmetro de ruído q para NPCS = 4 e NPCS = 64. Nesta
figura podemos observar que o crescimento do número de agentes persuasivos reduz significativamente a divergência na susceptibilidade. Mais ainda, no gráfico interno da Figura (4.1),
observamos o comportamento da amplitude crítica para os valores de NPCS utilizados. Como
esperado, o crescimento de NPCS determina a redução de tais amplitudes. Descrever a maneira
como esta redução ocorre é também um dos objetivos deste capítulo.
59
60
CAPÍTULO 4 RELAÇÕES DE ESCALA PARA O ALCANCE DA INTERAÇÃO
500
3.0
NPCS = 4
log10 [ & L(qc) ]
400
&L(q)
300
2.5
2.0
1.5
200
1.0
2
2.2
2.1
2.3
log10 L
100
NPCS = 64
0
0
0.1
0.2
q
0.3
0.4
0.5
Figura 4.1 Susceptibilidade como função do parâmetro de ruído q, para L = 140 e NPCS = 4 e 64. No
gráfico interno temos a amplitude crítica da susceptibilidade medida sobre o parâmetro crítico qc dos
respectivos NPCS utilizados, numa escala log-log. De cima para baixo temos: NPCS = 4 e NPCS = 64.
Para a magnetização e a susceptibilidade, temos as seguintes relações de escala:
# , L1/% ),
ML (qc ) ∼ L−$ /% M(
(4.1)
&L (qc ) ∼ L' /% &#(, L1/% ).
(4.2)
As amplitudes críticas são obtidas a partir destas relações para q = q c . Observe que estas equações não consideram a dependência com o alcance da interação. Se considerarmos a influência
do parâmetro NPCS sobre as amplitudes críticas, as relações acima podem ser reescritas na
seguinte forma
#
ML (qc , NPCS ) = f (NPCS )L−$ /% M(0),
(4.3)
4.2 CRITÉRIO DE GINZBURG E O EXPOENTE "
&L (qc, NPCS ) = g(NPCS )L' /% &#(0).
61
(4.4)
Como estes observáveis físicos são livres de escala na região crítica, podemos supor que as
funções f e g podem ser descritas através de leis de potência. A partir desta hipótese, temos
−X
−Y
e g = NPCS
. A justificativa para o sinal negativo nestes expoentes está no fato de as
f = NPCS
amplitudes críticas serem reduzidas com o aumento de NPCS , como já observado na Figura 4.1.
Como conclusão, vemos que as equações (4.3) e (4.4) podem ser escritas como
−X −$ /% #
M(0),
L
ML (qc , NPCS ) = NPCS
(4.5)
−Y ' /% #
&L (qc , NPCS ) = NPCS
L & (0).
(4.6)
Na próxima seção encontraremos uma justificativa fenomenológica para os expoentes X e Y
através da teoria de crossover de classes de universalidade.
4.2 Critério de Ginzburg e o expoente "
Consideremos a variável ! como a quantidade que define o alcance da interação. Como
descrito no Capítulo 2 e relatado também em [SFM11], o regime clássico é atingido no limite
de interações infinitas no qual (! → 6). Para este caso os expoentes críticos e as relações de
escala são aqueles associados à teoria de campo médio.
Entretanto de acordo com o critério de Ginzburg [ANB77, Gin60] o regime clássico poderá
ocorrer também para interações finitas, considerando pontos distantes do ponto crítico, se as
interações de longo alcance reduzirem suficientemente as flutuações. Desta forma o chamado
62
CAPÍTULO 4 RELAÇÕES DE ESCALA PARA O ALCANCE DA INTERAÇÃO
critério de Ginzburg descreve o crossover entre os dois regimes de escala: do regime nãoclássico para o de campo médio. Tal critério afirma que a aproximação de campo médio será
auto-consistente na fase ordenada se as flutuações, em um dado volume de correlação, são
pequenas quando comparadas às flutuações do parâmetro de ordem. Temos então:
4 −d & << M 2 .
(4.7)
Nesta equação 4 representa o comprimento de correlação, & a susceptibilidade e M o parâmetro de ordem no modelo do grupo votante. No regime clássico, estas quantidades possuem a
seguinte dependência:
& ∼ , −'MF ,
(4.8)
M ∼ , $MF ,
(4.9)
4 ∼ , −%MF ,
(4.10)
onde , é a distância ao ponto crítico e os subíndices MF denotam os respectivos expoentes de
campo médio. Aplicando estas relações na Equação (4.7), obtemos
, 2$MF −%MF d+'MF >> 1.
(4.11)
Observe que para esta equação ser satisfeita, determiando assim o regime de campo médio, o
expoente associado à variável , deve ser não-positivo, isto é, 2$ MF − %MF d + 'MF < 0. Como
consequência, a dimensão d do sistema deverá ser superior a um certo valor limite, dado pela
seguinte equação:
d>
2$MF + 'MF
,
%MF
(4.12)
63
4.2 CRITÉRIO DE GINZBURG E O EXPOENTE "
caso contrário a teoria de campo médio não descreve o comportamento crítico do sistema.
O limite da dimensionalidade d do sistema é denominado dimensão crítica d c e, a partir da
Equação (4.12) temos:
dc =
2$MF 'MF
+
.
%MF
%MF
(4.13)
Para (d ≥ dc ) os expoentes críticos não dependem da dimensão do sistema e seus valores são
aqueles associados à teoria clássica de Landau. Para o caso da classe de universalidade de Ising,
temos $MF = 1/2, %MF = 1/2 e 'MF = 1 . Devido à simetria de inversão, estes também são os
valores dos expoentes clássicos para os modelos do voto da maioria [dO92] e do grupo votante
[SFM11]. Para a classe de universalidade SOC, associada a modelos que exibem criticalidade auto-organizada, e para a classe de Percolação Direcionada temos $MF = 1, %MF = 1/2 e
'MF = 0 [HHL08]. Com estes valores e considerando a Equação (4.13) podemos calcular as dimensões críticas das referidas classes de universalidade. Os resultados encontram-se resumidos
na Tabela (4.1).
Expoentes Clássicos e Dimensão Crítica
Classe de Universalidade $MF 'MF %MF
Ising
1/2
1
1/2
SOC
1
0
1/2
Percolação Direcionada
1
0
1/2
Percolação Clássica
1
1
1/2
dc
4
4
4
6
Tabela 4.1 Expoentes críticos de campo médio para as seguintes classes de universalidade: Ising, SOC
(criticalidade auto-organizada), Percolação Direcionada e Percolação Clássica. Com os valores dos
expoentes calculamos a dimensão crítica superior dc a partir da equação (4.13) para as referidas classes
de universalidade.
Em termos da dimensão crítica, a equação (4.11) pode ser escrita na seguinte forma:
>
=
dc −d d
, %MF d
>> 1.
(4.14)
64
CAPÍTULO 4 RELAÇÕES DE ESCALA PARA O ALCANCE DA INTERAÇÃO
Dessa relação, definimos o chamado expoente de crossover " :
" = %MF
(dc − d)
,
d
(4.15)
que determina a transição (crossover) entre os regimes não-clássico e de campo médio.
Do ponto de vista da teoria de rernormalização, o efeito de crossover reflete a instabilidade
do ponto fixo de campo médio associado com a escala de campo médio. Essa mudança de
classe de universalidade é descrita pelo expoente " que possui um valor bem determinado
devido ao critério de Ginzburg. Temos ainda que este cenário, o crossover entre o regime nãoclássico e de campo médio, é considerado como um paradigma dos fenômenos relacionados
às alterações de classe de universalidade [HHL08] e foi intensamente investigado em sistemas
de equilíbrio [AKST92, BK92, MB93, LB96, LBB97, LB98] como também de não equilíbrio
[Lub03, Lub04b, HHL08].
4.3 Relações de escala para o parâmetro NPCS
Tendo definido o expoente " , iremos agora descrever as relações de escala para o parâmetro
de ordem e para a susceptibilidade em termos do alcance da interação para o modelo do grupo
votante. Esta análise é baseada na teoria do fenômeno de crossover, descrita em [HHL08],
onde o alcance é definido em termos do campo de escala Re f f . Faremos portanto um desenvolvimento semelhante, mas considerando o parâmetro NPCS como o novo campo de escala.
−1/2
Adicionando um campo ! , que está associado ao alcance na forma ! = NPCS , à relação de
escala para o parâmetro de ordem, temos:
# ( , , ( 2MF h, ( " ! ),
M(, , h, ! ) ∼ ( −$MF M(
(4.16)
4.3 RELAÇÕES DE ESCALA PARA O PARÂMETRO NPCS
65
onde " representa o expoente de crossover dado pela Equação (4.15), , a distância ao parâmetro
crítico e h é um dado campo externo. Escolhendo um valor de ( tal que ( " ! = 1 e aplicando
na Equação (4.16) considerando h = 0, temos:
# 0, 1),
M(, , 0, ! ) = ! $MF /" M(x,
(4.17)
onde x = ,! −1/" . O comportamento assintótico da variável de escala x é descrito por:


 x$MF se x → 6
#
M(x, 0, 1) =


x$ se x → 0
(4.18)
Aplicando o primeiro limite na Equação (4.17), veremos que M(, , 0, ! ) ∼ , $MF , ou seja, no limite de campo médio o comportamento crítico do parâmetro de ordem não depende do alcance
da interação. Considerando agora o limite x → 0, temos M ∼ ! $MF /" ! −$ /" , $ e desta forma
concluímos que:
onde
−X #
M(0, 0, 1),
M(, , 0, N pcs) ∼ , $ NPCS
(4.19)
X = ($MF − $ )/2" ,
(4.20)
é o expoente que define a dependência da magnetização com relação a NPCS . Esta análise comprova a hipótese (equação 4.5) descrita no início deste Capítulo, na qual as amplitudes críticas
tem um comportamento livre de escala com relação ao alcance da interação. Considerando
os resultados do MGV sobre uma rede regular quadrada (Capítulo 2), temos que " = 1/2,
$ = 1/8 e o expoente de campo médio $MF = 1/2 (Tabela 4.1). De posse destes valores, obtemos X = 3/8 = 0.375. Na próxima seção, descreveremos um procedimento que nos permitirá
calcular este expoente a partir das simulações de Monte Carlo.
Consideremos agora a relação de escala para a susceptibilidade, adicionando o alcance
66
CAPÍTULO 4 RELAÇÕES DE ESCALA PARA O ALCANCE DA INTERAÇÃO
como um novo campo de escala:
−1/2
& (, , h, ! ) ∼ ( 'MF &#(( , , ( 2MF h, ( " ! ),
(4.21)
& (, , 0, ! ) ∼ ! −'MF /" &#(x, 0, 1).
(4.22)
e identificamos ! = NPCS . Escolhendo o valor de ( satisfazendo a relação ( " ! = 1, temos:
onde a variável x = ,! −1/" . O limite assintótico para esta variável é dado por:
&#(x, 0, 1) =


 x'MF se


x'
se
x→6
(4.23)
x→0
Aplicando o primeiro limite na Equação (4.22), verificamos que & ∼ , −'MF , e o comportamento crítico da susceptibilidade para o regime de campo médio não dependerá do alcance da
interação. Considerando agora o limite x → 0, obtemos como resultado:
−Y #
& (, , 0, NPCS ) ∼ , −' N pcs
& (0, 0, 1),
(4.24)
Y = (' − 'MF )/2" .
(4.25)
com o expoente
A equação acima determina a dependência da susceptibilidade com relação ao número de
agentes persuasivos NPCS . A partir dos resultados para o MGV sobre uma rede regular bidimensional, temos ' = 7/4, " = 1/2 e ' MF = 1/2. Dado estes valores, concluímos que
Y = 3/4 = 0.750. Observe que uma relação de hiperescala pode ser obtida a partir dos expoentes X e Y :
2X −Y =
1
(dc %MF − d % ).
2"
(4.26)
4.4 O CÁLCULO DOS EXPOENTES X E Y
67
Com os valores obtidos para estes expoentes sobre um sistema bidimensional, obtemos 2X = Y ,
onde usamos dc = 4 para a dimensão crítica superior para o MGV e %MF = 1/2, Tabela (4.1).
Poderemos ainda considerar o efeito de tamanho finito sobre as equações (4.19) e (4.24),
lembrando que na região crítica de sistemas finitos e para dimensões inferiores à dimensão
crítica dc [Bre82], o comprimento de correlação espacial 4 ∼ L e a partir de relação 4 ∼ , −% ,
temos que , ∼ L−1/% . Obtemos assim as seguintes relações de escala para sistemas de tamanho
finito:
−X #
M(0, 1),
ML (qc , N pcs ) = L−$ /% NPCS
(4.27)
−Y #
&L (qc , N pcs ) = L' /% NPCS
& (0, 1),
(4.28)
onde omitimos a dependência com a variável associada ao campo. As relações acima descrevem as amplitudes críticas da magnetização e da susceptibilidade em função do alcance NPCS
e do tamanho L do sistema.
No que segue iremos comprovar através de simulações de Monte Carlo, as previsões teóricas acima descritas para os expoentes X e Y , como também obter as funções universais de
escala para a magnetização, a susceptibilidade e o cumulante de quarta-ordem de Binder. Desta
análise, construiremos o que denominamos curvas de hipercolapso.
4.4 O cálculo dos expoentes X e Y
Descreveremos o procedimento a partir do qual determinaremos as relações de escala para
as amplitudes críticas em função do alcance da interação. Este mesmo procedimento será
utilizado no próximo capítulo quando considerarmos sistemas definidos em redes aleatórias,
68
CAPÍTULO 4 RELAÇÕES DE ESCALA PARA O ALCANCE DA INTERAÇÃO
$/%
log10 [ML(qc,NPCS)L ]
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
L = 100
L = 160
L = 180
L = 200
X= 0.375(6)
-0.5
-0.6
1.0
1.2
1.4
log10 NPCS
1.6
1.8
Figura 4.2 Estimativa para o expoente X. Na figura temos a magnetização, medida sobre o parâmetro
crítico qc , em função do número de agentes NPCS do grupo persuasivo, numa escala log-log. Reescalamos o eixo das ordenadas pelo fator L$ /% , onde usamos o valor exato para o expoente $ /% = 1/8. Cada
ponto representa uma média dos valores calculados para L = 100, 160, 180 e 200. A partir do coeficiente
angular da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos amostrados, determinamos X = 0.375(6).
onde interessantes relações de escala serão obtidas. Para esta etapa de nosso desenvolvimento,
é essencial uma boa estimativa dos parâmetros críticos q c para os diversos valores de NPCS
utilizados na análise. Estas estimativas foram obtidas no capítulo anterior através do cumulante
de quarta ordem de Binder. De posse dos parâmetros críticos, simulamos o modelo do grupo
votante sobre a topologia de interesse, que no presente contexto é descrita por uma rede regular
quadrada de lado L, utilizando atualização assíncrona na evolução do sistema e para q = q c .
Consideramos 3 × 104 MCS para a etapa de termalização e calculamos as médias necessárias
nos 30 × 104 MCS seguintes. Os tamanhos de redes utilizados foram: L = 100, 160, 180 e 200.
E para número de agentes persuasivos consideramos: NPCS = 4, 9, 16, 25, 36.
Primeiramente calcularemos o expoente associado à magnetização. Multiplicando a equação (4.27) pelo fator L$ /% , obtemos a seguinte relação:
69
4.4 O CÁLCULO DOS EXPOENTES X E Y
log10[&L(qc,NPCS)L
7'/%
]
-1.4
-1.6
-1.8
-2.0
L = 100
L = 160
L = 180
L = 200
Y = 0.750(8)
-2.2
1.0
1.2
1.4
log10 NPCS
1.6
1.8
Figura 4.3 Estimativa para o expoente Y . Na figura temos a susceptibilidade & , medida sobre o parâmetro crítico qc , em função de NPCS , numa escala log-log. Reescalamos o eixo das ordenadas pelo
fator L−' /% , onde usamos ' /% = 7/4. Cada ponto representa uma média dos valores calculados para
L = 100, 160, 180 e 200. Fizemos uma estimativa do coeficiente angular da reta que melhor se ajusta ao
conjunto de pontos amostrados. Este cálculo determina Y = 0.750(8).
−X #
M(0, 1),
L$ /% ML (qc , NPCS ) = NPCS
(4.29)
e desta maneira a amplitude crítica da equação (4.29) dependerá exclusivamente do parâmetro NPCS . Esta equação numa escala logarítmica resulta em uma reta cujo coeficiente angular fornece uma estimativa para o expoente X . Realizamos este procedimento calculando
ML (qc , NPCS ), através de simulações de Monte Carlo, para os valores de L e NPCS mencionados
no parágrafo anterior. Como resultado temos a Figura (4.2), cujo eixo das abscissas consideramos os valores de NPCS e sobre o eixo das ordenadas a quantidade L$ /% ML (qc , NPCS ). Para
cada tamanho NPCS do grupo persuasivo, temos quatro resultados para a ordenada, uma vez
que utilizamos quatro valores para o tamanho da rede regular. Calculamos então o valor médio deste conjunto e sobre estes pontos médios, determinamos a reta que melhor se ajusta aos
70
CAPÍTULO 4 RELAÇÕES DE ESCALA PARA O ALCANCE DA INTERAÇÃO
dados. A inclinação desta reta fornece a estimativa desejada para o expoente X = 0.375(6).
Análise semelhante pode ser realizada para o observável & , multiplicando a Equação (4.28)
pelo fator L−' /% , o que resulta na seguinte equação:
−Y #
L−' /% &L (, , NPCS ) = NPCS
& (0, 1),
(4.30)
cuja amplitude crítica depende apenas do parâmetro NPCS . Aplicando esta equação numa escala
logarítmica, determinamos uma reta cujo coeficiente angular fornece uma estimativa para o expoente Y . Calculamos, através de simulações de Monte Carlo, a susceptibilidade & L (qc , NPCS )
para os valores de L e NPCS descritos no início desta seção. Desta forma, construímos a Figura (4.3), cujo eixo das abscissas temos os valores de NPCS e sobre as ordenadas a quantidade
L−' /% &L (qc , NPCS ). Para cada valor de NPCS temos quatro resultados para a ordenada. Calculamos então o valor médio para este conjunto. Sobre estes pontos médios, determinamos a reta
que melhor se ajusta aos dados. A inclinação desta reta fornece a estimativa para o expoente
Y = 0.750(8). Os resultados para os expoentes X e Y estão em concordância com aqueles calculados na seção anterior, onde obtivemos X = 0.375 e Y = 0.750. Uma medida ainda mais
precisa pode ser obtida, utilizando para isso tamanhos de redes L maiores. Entretanto, para as
redes já consideradas, temos uma medida bastante satisfatória.
Os resultados desta seção não somente demonstram, via simulação computacional, a existência de uma dependência livre de escala com o alcance NPCS da interação, como também
confirmam os valores obtidos a partir da análise do expoente de crossover " .
4.5 Determinando o expoente Z
Resultados interessantes podem ser obtidos a partir do procedimento descrito na seção an-
71
4.5 DETERMINANDO O EXPOENTE Z
log10 [uL(qc)]
2.8
2.7
2.6
NPCS = 4
NPCS = 9
NPCS = 16
2.5
2.4
2.0
2.05
2.1
log10 L
2.15
2.2
Figura 4.4 Amplitude crítica uL (qc ) em função do tamanho linear L da rede quadrada numa escala
log-log, para três valores do parâmetro NPCS = 4, 9 e 16.
terior, mas aplicando-o à relação de escala para o cumulante de Binder. Vimos que
# (L1/% , ),
UL (q) ∼ U
(4.31)
onde , = (q − qc ). Observe que a amplitude crítica desta quantidade é constante, isto é, independente do tamanho L do sistema para , = 0. Derivando esta expressão em relação ao
parâmetro , e definindo uL =
dUL
d, ,
teremos:
uL (q) ∼ L1/% u#(L1/% , ).
(4.32)
Ao contrário do cumulante de Binder, a quantidade uL (q) possui uma amplitude crítica que
depende do tamanho L do sistema. Utilizamos esta propriedade para calcularmos o expoente
(1/% ) no Capítulo 2 para o modelo do grupo votante. Observe ainda que esta análise é se-
72
CAPÍTULO 4 RELAÇÕES DE ESCALA PARA O ALCANCE DA INTERAÇÃO
melhante àquela realizada para as amplitudes críticas associadas à magnetização e susceptibilidade. Aplicando este procedimento para vários valores de L, para um dado NPCS , determinamos
o expoente % = 1.0. Estas observações podem ser revisadas através da Figura (4.4), onde exibimos o estimador uL (qc), em função de L, para NPCS = 4, 9 e 16 sobre o parâmetro crítico q = qc .
Além de observarmos retas paralelas, numa escala log-log, percebemos também que a amplitude destas retas é influenciada pelo valor de NPCS . Desta forma, a amplitude crítica de u(qc , L)
apresenta dependência com o número de agentes persuasivos e mais ainda, se lembrarmos que
#
a quantidade uL (q) é obtida da derivada do cumulante de Binder, temos que o argumento de U
dependerá também do parâmetro NPCS . Concluímos que a relação de escala (4.32) está incom-
pleta e assim como procedemos para os estimadores ML (q) e &L (q), determinaremos como esta
equação dependerá do parâmetro NPCS .
Adotemos a hipótese de que uL (q) apresenta uma dependência livre de escala em relação
−Z
. Aplicando esta hipótese na equação (4.32) podemos
ao parâmetro NPCS , na forma u ∼ NPCS
escrever a seguinte relação de escala:
−Z 1/%
uL (qc , NPCS ) = NPCS
L u#(0).
(4.33)
Desta maneira, a amplitude crítica dependerá tanto de L quanto de NPCS . Para que possamos
utilizar o procedimento da seção anterior, multiplicamos a Equação (4.33) por L −1/% . Temos
portanto:
−Z
u#(0).
L−1/% uL (qc , NPCS ) = NPCS
(4.34)
Agora, com o eixo vertical reescalonado, a amplitude crítica depende apenas do número de
agentes persuasivos. Aplicando esta equação numa escala logarítmica, determinamos uma reta
cujo coeficiente angular fornece uma estimativa para o expoente Z. Calculamos, através de
simulações de Monte Carlo, a derivada do cumulante de Binder para os valores de L e NPCS
descritos no início desta seção. Como resultado, construímos a Figura (4.5), na qual no eixo das
73
4.5 DETERMINANDO O EXPOENTE Z
log10 [u(qc,NPCS)L
71/%
]
0.6
0.55
Z = 0.250(6)
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.6
0.8
1.0
1.2
log10 NPCS
1.4
1.6
Figura 4.5 Estimativa para o expoente Z. Na figura temos a quantidade uL (qc , NPCS ) que representa a
derivada do cumulante de Binder, medida sobre o parâmetro crítico qc , em função do tamanho NPCS do
bloco persuasivo, numa escala log-log. Reescalamos o eixo das ordenadas pelo fator L−1/% , onde utilizamos % = 1.0. Cada ponto representa uma média entre os seguintes tamanhos de rede L = 100, 160, 180
e 200. O coeficiente angular da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos amostrados determina
Z = 0.250(6).
abscissas temos os valores de NPCS e sobre as ordenadas a quantidade L−1/% uL (qc ). Para cada
NPCS , na Figura (4.5), temos um conjunto de quatro resultados para a ordenada. Calculamos
então o valor médio para este conjunto. Sobre estes pontos médios, obtemos a reta que melhor
se ajusta aos dados. A inclinação desta reta fornece a estimativa para o expoente Z = 0.250(6).
Com o resultado para o expoente Z, comprovamos a dependência da quantidade u L (q) com
relação a NPCS e desta forma, sua relação de escala é expressa por:
−1/4
uL (qc, NPCS ) = NPCS L1/% u#(0).
(4.35)
74
CAPÍTULO 4 RELAÇÕES DE ESCALA PARA O ALCANCE DA INTERAÇÃO
4.6 Funções de hipercolapso
Recordemos que a quantidade uL é obtida a partir da derivada em relação ao parâmetro q
do cumulante de Binder (U (q)). Com a inclusão do expoente Z, temos que a versão completa
da Equação (4.31) é expressa por:
# , L1/% N −Z ).
UL (q, NPCS ) = U(
PCS
(4.36)
No caso do modelo do grupo votante obtivemos Z = 1/4. Observe que a variável de escala no
# também depende do tamanho do grupo persuasivo. Este resultado não foi desargumento de U
crito por nenhum outro trabalho que tenhamos conhecimento. Na realidade, se considerarmos
os resultados de K. Binder e K. Mon [MB93], vemos que estes autores previram um expoente
Z = 0, para o modelo de Ising sobre uma rede quadrada considerando interações de longo al# e &#
cance. Além disso, observamos que as equações (4.1) e (4.2), para as funções universais M
# na equação (4.32). Como corrigimos esta última equapossuem a mesma dependência que U
−Z
# quanto &# apresentam a mesma dependência com
, especulamos que tanto M
ção pelo fator NPCS
o número de agentes persuasivos. Sendo esta hipótese verdadeira, teríamos o seguinte conjunto
de equações:
−X −$ /% #
−Z
L
),
M(, L1/% NPCS
M(q, L, NPCS ) = NPCS
(4.37)
−Y ' /% #
−Z
& (q, L, NPCS ) = NPCS
L & (, L1/% NPCS
).
(4.38)
As equações (4.36), (4.37) e (4.38) fornecem uma versão completa para a dependência da
magnetização, da susceptibilidade e cumulante de Binder com relação ao tamanho do sistema
e número de agentes persuasivos.
75
4.6 FUNÇÕES DE HIPERCOLAPSO
7
1.4
6
|log10[1 - 1.5UL(q)]|
ML(q)NPCS
X
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
4
NPCS = 4
NPCS = 9
NPCS = 16
NPCS = 25
3
2
1
0.2
0
-0.05
5
0
0.05
,[NPCS]
-Z
0.1
0
-0.05
0
0.05
,[NPCS]
0.1
-Z
Figura 4.6 Colapso de curvas para o parâmetro NPCS .
A fim de comprovarmos a veracidade da hipótese que origina as Equações (4.37) e (4.38) ,
# eU
# para um único valor de L e cinco
construímos a Figura (4.6), onde exibimos as funções M
valores do parâmetro NPCS . Utilizamos L = 140 e NPCS = 4, 9, 16, 25 e 36. Desta forma anali-
samos a dependência destas funções com relação a NPCS . Para a magnetização, reescalamos o
−1/4
X . Para o cumulante de Bineixo das abscissas pelo fator , NPCS e o eixo das ordenadas por NPCS
−1/4
der reescalamos somente o eixo das abscissas pelo fator NPCS . A partir de tal procedimento,
# e uma única curva para U.
# Portanto, as
observamos na Figura (4.6) uma única curva para M
construções (4.35) e (4.36) estão corretas, comprovadas através do colapso de curvas, que so-
mente ocorrem devido a uma correta descrição da dependência dessas funções com relação ao
parâmetro NPCS . Desta forma, não só os expoentes estão corretos como também as relações de
escala.
Comprovamos portanto que as relações de escala (4.36), (4.37) e (4.38) estão corretas como
também seus respectivos expoentes. Estas equações nos fornecem a possibilidade de obtermos
76
CAPÍTULO 4 RELAÇÕES DE ESCALA PARA O ALCANCE DA INTERAÇÃO
2.5
0.2
Y
[NPCS]
1.5
&L(q)L
7'/%
$/%
ML(q)L [8PCS]
X
2.0
1.0
0.5
NPCS = 4
NPCS = 9
NPCS = 16
NPCS = 25
NPCS = 36
NPCS = 49
0
-10 -8 -6 -4 -2
1/%
,L
0.15
0.1
0.05
0
2
4
[NPCS]
6
-Z
8 10
0.0
-10 -8 -6 -4 -2
1/%
,L
0
2
4
[NPCS]
6
8
10
-Z
Figura 4.7 Funções de hipercolapso do parâmetro de ordem e da susceptibilidade para NPCS =
4, 9, 16, 25, 36 e 49. Consideramos L = 100, 120, 140, 160, 180 e 200 para o tamanho linear da rede
quadrada. O colapso das curvas está consistente com o expoentes: X = 0.375, Y = 0.750, Z = 0.250,
$ = 0.125, ' = 1.75 e % = 1.0.
funções universais, as quais não dependerão do parâmetro crítico, do tamanho finito do sistema e também do número de agentes persuasivos. Denominaremos tais curvas de funções de
hipercolapso.
Na Figura (4.7), temos as funções de hipercolapso para a magnetização e susceptibilidade. Utilizamos L = 100, 120, 140, 160, 180 e 200 para o tamanho linear da rede quadrada
#
=
e NPCS = 4, 9, 16, 25, 36 e 49 para o alcance da interação. Construímos as funções M(x)
X
Y , em que x = , L1/% N −1/4 , a partir das equações
e &#(x) = &L (q)L−' /% NPCS
ML (q)L$ /% NPCS
PCS
(4.35) e (4.36). Com as curvas de hipercolapso qualificamos ainda mais as relações de escala
obtidas, como também todo o conjunto de expoentes críticos estáticos calculados neste e no
Capítulo 2.
Na Figura (4.8), temos a curva de hipercolapso para o cumulante de Binder. Construímos,
−1/4
#
a partir da equação (4.34), a função U(x)
= UL (q) em que x = , L1/% NPCS . Confirmamos que
77
4.6 FUNÇÕES DE HIPERCOLAPSO
5
10
8
log10[1 - 1.5UL(q)]
4
6
4
3
2
0.0
2
Npcs = 4
-0.04 -0.02
0
,[NPCS]
Npcs = 9
0.02 0.04
71/4%
Npcs = 16
1
0
-4
Npcs = 25
-2
0
2
1/%
,L
[NPCS]
4
6
8
71/4%
Figura 4.8 Função de hipercolapso para o cumulante reduzido de Binder, considerando seis valores
para o tamanho L (L = 100, 120, 140, 160, 180 e 200) e seis valores para o tamanho do grupo persuasivo
NPCS (NPCS = 4, 9, 16, 25, 36 e 49) O colapso das curvas está consistente com o valor dos expoentes:
Z = 0.250 e % = 1.0.
tanto a relação de escala (4.34) está correta como também os respectivos expoentes associados.
Neste capítulo encerramos a análise do modelo do grupo votante MGV [SFM11] definido
sobre uma topologia regular. Calculamos um conjunto expressivo de expoentes estáticos e
dinâmicos. Desta análise concluímos que nosso modelo efetivamente encontra-se na classe de
universalidade de Ising. Acrescentamos ainda que a maneira como determinamos os expoentes
X , Y e Z via simulações de Monte Carlo representa um procedimento bastante efetivo, o que nos
# são descritas em termos do alcance
# &# e U
permitiu determinar como as funções universais M,
da interação. No próximo capítulo utilizaremos este procedimento para determinar funções
de hipercolapso sobre o mundo complexo, isto é, sobre as topologias aleatórias descritas pelos
modelos de grafos poissonianos e para modelos de redes com propriedades de mundo pequeno.
C APÍTULO 5
Funções universais para grafos aleatórios
Adentraremos neste capítulo no mundo dos sistemas complexos, considerando interações entre
sítios definidos sobre grafos aleatórios clássicos. Veremos que sob o ponto de vista de transições de fase e fenômenos críticos, estes sistemas descrevem os modelos físico estatísticos de
uma maneira bem especial, dada pela chamada Teoria de Campo Médio. Isto implica que os
fenômenos, que acompanhamos nos três últimos capítulos, associados ao comportamento do
parâmetro de ordem (# ∼ , $ ) e seus momentos estatísticos são regidos por expoentes críticos
de Landau, isto é, $MF , 'MF e %MF [DGM08, CH10, FFCPS11b, FFCPS11a, HHP07a, CPS08].
5.1 Propriedades Gerais
Em linhas gerais, um grafo G representa um conjunto V , contendo N vértices, e uma coleção
E de M pares de vértices de V , denominadas arestas. Assim representamos um grafo por
G = (V, E), onde o valor de N denota a ordem do grafo e o valor de M o tamanho do grafo
[Bol85, Mon11]. Temos ainda que o conjunto G k = (Vk , Ek ) é um subgrafo de G se Vk ⊂ V e
Ek ⊂ E, isto é, se todos os vértices de Gk pertencem a V e todas as suas arestas pertencem a E.
Vemos portanto que o grafo é uma maneira de representar conexões ou relações entre pares
de objetos de algum conjunto V . As arestas em um grafo podem ser direcionadas ou nãodirecionadas. Uma aresta (i, j) é dita direcionada (ou dirigida) do vértice i para o vértice j
se o par (i, j) for ordenado, com i precedendo j. Uma aresta (i, j) é dita não-direcionada
(não-dirigida) se o par (i, j) não for ordenado. Grafos que descrevem a colaboração de tra79
80
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
balhos, como a participação de políticos em coligações ou jogadores de futebol que tenham
trabalhado no mesmo time, são exemplos de grafos não-direcionais. Os grafos da representação de sistemas nervosos, rotas aéreas, internet, são exemplos de grafos dirigidos. No restante
deste capítulo, descreveremos as propriedades referentes a grafos não-direcionais, nos quais os
vértices não realizam loops (autoconexões) e a multiplicidade máxima das arestas será unitária.
Um determinado grafo é dito conexo se para quaisquer dois vértices existir pelo menos um
caminho entre eles. Considerando grafos não-direcionados contendo N vértices, o número má( )
ximo (M) de arestas que podem existir é dado por M = N2 . Com base nesse número definimos
a densidade D de um grafo como a razão entre o número de arestas existentes (M) e o número
máximo M de arestas: D =
M
M.
Um grafo é considerado denso se D 0 1 e esparso se 0 < D 1 1.
A distância entre os vétices i e j é o número de arestas l i j que determina o caminho mais curto
entre eles. O conjunto de valores li j formam a matriz de distâncias L. Para grafos não-dirigidos
a matriz L é simétrica. Temos ainda as seguintes condições: l ii = 0; e li j = 6 quando não
existir um caminho entre os vértices i e j. A quantidade %l&, define o comprimento médio e
representa o valor médio de li j , considerando todas as arestas existentes entre os vétices i e j.
Para um grafo não-direcionado, em que li j = l ji , o comprimento médio pode ser determinado
por [Mon11]:
N−1 N
2
%l& =
/ / li j .
N(N − 1) i=1
j=i+1
(5.1)
Observe que determinar %l& via equação (5.1) implica na construção da matriz L. Na referência
[CH10] temos a descrição de algoritmos eficazes para calcularmos os elementos de L. Com
base nos valores de li j , definimos o diâmetro de um grafo como o máximo valor do caminho
mais curto.
O grau de um vértice i, denotado por ki , é o número de arestas que possuem este vértice
numa extremidade. Segundo [Mon11], Leonard Euler foi o primeiro a concluir que /N
i=1 ki =
2M. A distribuição de graus P(! ) indica a fração de vértices com grau ! . No contexto de grafos
aleatórios, que serão definidos na proxima seção, P(! ) é interpretada como a probabilidade de
5.1 PROPRIEDADES GERAIS
81
que um determinado vértice do grafo tenha grau igual a ! . Definida a quantidade P(k), temos
que a conectividade média %! & ou o grau médio é dado por
%! & =
!max
/
! =!min
! P(! ),
(5.2)
sendo !min (!max ) o menor (maior) valor de ! encontrado no grafo. Temos ainda que %! &
também pode ser calculado a partir dos valores de N e M:
1 N
2M
!i =
.
%! & =
/
N !i =1
N
(5.3)
A estrutura topológica da vizinhança de um dado vértice é descrita através do coeficiente
de agregação Ci [WS98, Mon11]. Este coeficiente é definido pela razão entre o número bi de
conexões que existem entre os vizinhos do vértice i e o número total de conexões possíveis entre
esses vizinhos. Se um dado vértice possui ! i conexões, então o número máximo de ligações
( )
entre seus vizinhos é !2i , para um grafo não-direcionado. Desta forma temos que Ci é dado
por:
bi
Ci = (k ) ,
i
(5.4)
2
desde que !i ≥ 2. Se !i = 0 ou !i = 1, temos que Ci = 0. Calculamos o coeficiente de agregação
médio %C& através da expressão
%C& =
1 N
Ci ,
N/
i
(5.5)
que representa o valor médio de Ci . Observe que 0 ≤ %C& ≤ 1. Para um grafo completo, temos
%C& = 1. Desta forma %C& pode ser interpretado como a probabilidade de encontrarmos dois
vértices que estão conectados a um terceiro vértice em comum.
Nas próximas seções descreveremos o ensemble dos grafos aleatórios, definidos por uma
determinada distribuição de graus P(k). Em especial, estudaremos os chamados grafos aleatórios clássicos [Bol85, DGM08, CH10, Mon11].
82
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
5.2 Grafos Aleatórios Clássicos
Um grafo aleatório representa um espaço amostral onde cada evento (uma particular configuração de vértices e arestas) ocorre com uma determinada probabilidade [DGM08, CH10].
Os primeiros modelos de redes aleatórias foram propostos por E. N. Gilbert em 1959 e por P.
Erdös e A. Rényi em 1959 e 1960. Estes modelos formam o paradigma de grafos completamente aleatórios.
No modelo introduzido por Gilbert (1959), denotado por G N p [DGM08], construímos uma
( )
rede aleatória de N vértices a partir de um grafo completo, contendo portanto M = N2 arestas.
Ao acaso sorteamos as M arestas deste grafo. Cada aresta sorteada é removida com probabi-
lidade (1 − p) ou mantida com probabilidade p. Para o modelo de Gilbert (G N p ), temos que
N e p são os parâmetros fixos [Mon11]. O modelo de Erdös e Rényi (G NM ) representa um
ensemble estatístico onde todos os membros possuem igual probabilidade de ocorrerem. Em
1959, Erdös e Rényi consideraram que N vértices são conectados por M arestas escolhidas ale( )
atoriamente dentre as M = N2 possíveis. Para este modelo N e M são os parâmetros fixos. Em
1960, Erdös e Rényi propuseram uma outra versão para a construção de um grafo aleatório.
Como afirmado em [Mon11, CH10] esta nova versão é bastante semelhante ao modelo descrito
por A. Rapoport e R. Solomonoff em 1951. Iniciamos com N vértices isolados e cada par é
( )
conectado com probabilidade p. Desta forma o conjunto das M = N2 arestas é formado por
eventos probabilísticos independentes, onde cada evento ocorrerá com probabilidade p. Se o
( )
número total de arestas existentes M é dado por M = p N2 , então no limite assintótico termodi-
nâmico N → 6, os modelos GN p e GNM são equivalentes [DGM08, CH10, Mon11]. Dada essa
equivalência, os grafos aleatórios de Gilbert e Erdös-Rényi são denominados redes aleatórias
clássicas.
A fim de determinarmos a distribuição P(! ) de graus dos vértices para os grafos clássicos
5.2 GRAFOS ALEATÓRIOS CLÁSSICOS
83
acima descritos, consideramos uma (v.a.)1 discreta X que represente um ensaio de Bernoulli.
Desta forma X assumirá valor igual a 1 com probabilidade p e igual a 0 com probalidade
q = (1 − p). Analisemos M ensaios de Bernoulli e calculemos a probabilidade PM (! ) de que o
evento X = 1 ocorra ! vezes numa sequência de M ensaios. Se denotarmos por Xi o resultado
individual de um dado ensaio, a v.a. ! é definida por:
! = X1 + X2 + · · · + XM .
(5.6)
Desta forma ! determina quantas vezes o evento X = 1 ocorre. Utilizando o recurso da função
característica [TdO01] para a v.a. discreta ! , temos por definição que:
G(9 ) =
M
/ PM (! )ei9! ,
(5.7)
! =0
onde G(9 ) é a função característica, que representa uma transformada de Fourier discreta. A
partir da definição de média para uma distribuição de probabilidades, temos que a equação (5.7)
pode ser expressa por:
!
"
G(9 ) = ei9! .
(5.8)
Utilizando a definição da variável ! (equação (5.6)) e lembrando que as variáveis Xi são eventos
independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.), concluímos que a função G(9 ) é dada por:
!
" !
" !
"
G(9 ) = ei9 X1 · ei9 X2 · · · ei9 XM ,
(5.9)
ou ainda de maneira mais simplificada:
!
"M 0 i9
1M
= pe + qe0 .
G(9 ) = ei9 X
1 Sigla
para variável aleatória
(5.10)
84
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
A expansão binomial é dada por (a + b)M = /M
l=0
(M )
l
al bM−l . Aplicando este resultado na
equação (5.10), a função característica para a v.a. ! é dada por
5 6
M k
G(9 ) = /
p (1 − p)M−! ei9! ,
!
k=0
M
(5.11)
e comparando esta expressão com a definição de G(9 ) dada pela equação (5.7), a distribuição
PM (! ) é portanto expressa pela seguinte distribuição
5 6
M !
p (1 − p)M−! .
PM (! ) =
!
(5.12)
Esta expressão é conhecida como a distribuição binomial de probabilidades, deduzida inicialmente por Jacob Bernoulli [Mon11].
Retornando à questão de determinarmos a distribuição de graus P(! ), se pensarmos que
os grafos clássicos são construídos como M = (N − 1) tentativas de realizarmos conexões,
onde N representa o número de vértices e um par de vértices isolados formará uma aresta com
probabilidade p ou não formará com probabilidade (1 − p). Temos portanto (N − 1) ensaios
de Bernoulli, cuja distribuição de probabilidades é dada pela equação (5.12), considerando
M = N − 1. Observe que temos somente (N − 1) tentativas de formação de conexões uma vez
que não consideramos a existência de loops, isto é, de um dado vértice estar ligado consigo
próprio.
Temos que a função geratriz [TdO01] de uma distribuição de probabilidade é descrita pela
seguinte expansão:
G(z) =
6
/ P(! )z! ,
(5.13)
! =0
que representa uma série convergente para −1 ≤ z ≤ 1. As derivadas da função geratriz possuem propriedades úteis no cálculo de momentos estatísticos. Como ilustração, seguem as
85
5.2 GRAFOS ALEATÓRIOS CLÁSSICOS
primeiras derivadas de G(z):
+
+
G (z) = / ! P(! )z! −1 ⇒ G (1) = %! & ,
(5.14)
!
! "
++
++
G (z) = / ! (! − 1)P(! )z! −2 ⇒ G (1) = ! 2 − %! & ,
(5.15)
!
! "
! "
+++
+++
G (z) = / ! (! − 1)(! − 2)P(! )z! −3 ⇒ G (1) = ! 3 − 3 ! 2 + 2 %! & .
(5.16)
!
A distribuição de graus P(! ) para um grafo aleatório clássico segue uma lei binomial descrita
pela equação (5.12). A função geratriz para esta distribuição é dada por:
G(z) =
6
/
! =0
5
6
N −1
(pz)! (1 − p)N−1−! = [pz + (1 − p)]N−1 ,
!
(5.17)
onde utilizamos a expansão binomial. A partir da derivada primeira de G(z), calculada em
z = 1, temos que:
%! & = (N − 1)p 0 N p,
(5.18)
que corresponde à conectividade média em uma grafo aleatório considerando N >> 1. Nos
limites N → 6 e p → 0, a quantidade %! & 0 pN permanecerá constante. Neste cenário, considerando p =
%! &
N
a distribuição P(! ) para uma grafo aleatório clássico toma a seguinte forma:
(N − 1)(N − 2) · · · (N − ! − 1)
P(! ) =
!!
5
%! &
N
6! 5
6
%! & N−! −1
.
1−
N
(5.19)
Utilizando a aproximação N ! 0 (N − 1)(N − 2) · · · (N − ! − 1) na equação (5.19), temos:
N!
P(! ) =
!!
5
%! &
N
5
6! 5
6
6
%! & N−1
%! & −!
.
1−
1−
N
N
(5.20)
86
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
@
A−!
Observe que no limite p → 0, temos que 1 − %N! &
0 1. Consideremos ainda a seguinte
aproximação:
5
6
6
(−1)n %! &n
%! & N
= e−%! & ,
0/
1−
N
n!
n=0
(5.21)
válida no limite N → 6. Aplicando a equação (5.21) na expressão (5.20), concluimos que:
P(! ) =
%! &! −%! &
e
,
!!
(5.22)
que corresponde a uma distribuição de Poisson. Na Figura (5.1) ilustramos a distribuição de
Poisson para %! & = 10 e %! & = 30. Note que %! & corresponde ao valor mais provável nesta
distribuição. Este resultado está associado à simetria translacional [Mon11] presente nas redes
aleatórias clássicas e como consequência a maioria dos vértices presentes no grafo apresentam
uma conectividade ! muito próxima de %! &.
0.08
0.12
<!> = 10
<!> = 30
0.06
P(!)
0.09
0.04
0.06
0.02
0.03
0
0
10
!
20
0
0
10
20
!
30
40
50
Figura 5.1 Distribuição de Poisson para %! & = 10 e %! & = 30. Observe que %! & corresponde ao valor
mais provável nesta distribuição.
Muitas das propriedades relacionadas ao ensemble de grafos aleatórios (G N p ) estão relacio-
5.2 GRAFOS ALEATÓRIOS CLÁSSICOS
87
nadas a uma função de limiar, pl (N), tal que uma determinada propriedade existe, no limite termodinâmico de N → 6, com probabilidade 0 se p < p l (N) e com probabilidade 1 se p > pl (N)
[CH10]. Esta característica é conhecida na literatura de fenômenos críticos como transição de
fase de percolação. Um exemplo de tal propriedade é a existência de um subgrafo convexo
especial denominado agrupamento ou componente gigante, cujo tamanho é proporcional a N,
que representa o número total de vértices. Para que um grafo, descrito por uma distribuição
de graus P(! ), tenha uma componente gigante, qualquer vértice deste subgrafo deve conter no
mínimo duas arestas. Isto reflete o fato de a componente gigante ser convexa, sempre existindo
um caminho ligando dois vértices quaisquer. Temos portanto
%!i |i ⇔ j& = 2,
(5.23)
ou seja, o grau médio %! & de um vértice i qualquer, pertencente à componente gigante, deve ser
no mínimo igual a 2 dado que o vértice i está conectado ao vértice j. Aplicando a definição de
média sobre a equação (5.23) temos que:
%!i |i ⇔ j& = / !i P(!i |i ⇔ j),
(5.24)
!i
onde P(!i |i ⇔ j) representa a fração de vértices com !i conexões no subespaço amostral dos
vértices i conectados ao vértice j. Recorrendo à versão mais simples do Teorema de Bayes,
temos que:
P(!i |i ⇔ j) =
P(!i ∩ i ⇔ j) P(i ⇔ j|!i )P(!i )
=
.
P(i ⇔ j)
P(i ⇔ j)
(5.25)
A probabilidade P(i ⇔ j) de um dado vértice i está conectado a um vértice j é dada pela razão
M/M, onde M define o número total de arestas no grafo, ou seja, o tamanho do espaço amostral
e M representa o número de arestas que de fato existem. Temos ainda que / !i = 2M e desta
88
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
forma:
P(i ⇔ j) =
1
2 / !i
M
=
1
2 N %! &
N(N−1)
2
=
%! &
.
N −1
Na equação (5.26) utilizamos as definições de %! & e do número total de arestas M =
(5.26)
(N )
2
. A
probabilidade P(i ⇔ j|!i ) de que um vértice i esteja conectado a um vértice j qualquer, dado
que i tenha !i conexões é descrita por:
P(i ⇔ j|!i ) =
!i
,
(N − 1)
(5.27)
onde estamos desconsiderando a possibilidade de ocorrerem loops. Desta forma o tamanho do
espaço amostral será (N −1) e não N, na equação (5.27). Aplicando as equações (5.26) e (5.27)
na equação (5.25) temos:
P(!i |i ⇔ j) =
!i P(!i )
.
%! &
(5.28)
Aplicando este resultado sobre a equação (5.24), temos:
! 2"
!
1
.
%!i |i ⇔ j& =
!i2 P(!i ) =
/
%! & !i
%! &
(5.29)
A partir deste resultado e recordando a condição mínima para a existência de uma componente
gigante (equação (5.23)), temos que este subgrafo existirá sobre o grafo aleatório se:
! 2"
!
> 2.
%! &
cujo tamanho será proporcional a N. Se
(5.30)
%! 2 &
< 2, o grafo aleatório será formado por pequenas
%! 2 &
componentes e a maior destas componentes terá um tamanho proporcional a lnN. Se %! & = 2,
%! &
a maior componente terá um tamanho proporcional a N 2/3 [ER60, CH10].
Considerando as equações (5.15) e (5.17), podemos concluir que para um grafo aleatório
! "
poissoniano [DGM08], ! 2 = %! &2 + %! &. Aplicando este resultado na condição (5.30), a
5.3 CONSTRUÇÃO DE GRAFOS ALEATÓRIOS
89
existência da componente gigante sobre um grafo aleatório clássico depende da condição %! & >
1, como determinado em [Bol85].
Outra propriedade dos grafos aleatórios clássicos refere-se ao comprimento médio %l& do
caminho mais curto entre dois vértices. Para um grafo poissoniano, a estimativa de %l& é obtida
considerando %! &%l& 0 N [Mon11]. Temos portanto que:
%l& 0
lnN
.
ln %! &
(5.31)
Observamos que a distância média entre os vértices é pequena em comparação com o número
total de nós. Esta propriedade origina o fenômeno de mundo pequeno presente nas redes aleatórias [WS98, NW99a, NW99b, CH10, Mon11].
Temos ainda que para um vértice qualquer num grafo aleatório clássico, a probabilidade de
que dois vizinhos deste vértice estejam conectados é igual à probabilidade de que dois vértices
quaisquer estejam ligados. Temos portanto, a partir das equações (5.4) e (5.5), que o coeficiente
de agregação médio %C& para os grafos descritos nesta seção é dado por:
(! )
%! &
1 N p 2i
.
%C& = / (!i ) = p =
N i=1 2
N
(5.32)
5.3 Construção de grafos aleatórios
Grafos aleatórios nos quais os vértices sejam descorrelacionados e que seu número total N
seja um parâmetro fixo, podem ser construídos através do modelo configuracional. Tal modelo,
também conhecido como construção de Bollobás [Bol80, Bol85, CH10], considera somente a
distribuição de graus P(! ) que define o grafo aleatório.
O modelo configuracional constrói o ensemble de grafos aleatórios definidos por uma dada
90
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
1.0
G(<!>)
0.8
B. Bollobas
Simulado
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
<!>
6
7
8
9
10
Figura 5.2 Fração G de vértices que pertencem à componente gigante (o maior subgrafo) como função
da conectividade média ! . Nesta figura utilizamos grafos com N = 105 vértices e cada ponto representa
uma média em 100 grafos aleatórios distintos. Os erros calculados são menores que os símbolos.
distribuição de graus P(! ), utilizando a seguinte construção:
1. Para cada vértice i, sorteamos um número !i da distribuição P(! ), que é identificado
como o grau deste vértice;
2. Criamos uma lista L onde cada vértice i é repetido !i vezes;
3. Sorteamos pares de vértices da lista L e estabelecemos uma ligação entre esses pares e
atualizamos a lista de vizinhos para cada vértice. Cada par sorteado é então removido da
lista L. Este procedimento se encerra quando não tivermos mais elementos na lista L.
Ligações múltiplas e loops são ignorados nesta construção e considera-se que N seja um número par. As justificativas para a utilização deste algoritmo para simulação e análise do espaço
de probabilidade dos grafos aleatórios podem ser encontradas em [Bol80].
91
5.3 CONSTRUÇÃO DE GRAFOS ALEATÓRIOS
Em função da simetria translacional presente nas redes aleaórias clássicas e considerando
que no limite N - 1 e p → 0 temos que a conectividade média %! & será aproximadamente
constante e o procedimento acima descrito pode ser simplificado para o caso de redes poissonianas. Na construção destes grafos, o número de vértices N e a conectividade média %! & são
os parâmetros de entrada. Temos então o seguinte procedimento:
1. Para um conjunto de N vértices isolados, sorteamos um par de sítios i e j dos
possíveis;
(N )
2
pares
2. Verificamos se o par está conectado. Em caso positivo, realizamos um novo sorteio. Mas
em caso negativo, efetuamos uma ligação entre os vértices i e j;
3. Repetimos os passos anteriores até que tenhamos
%! &N
2
conexões;
Bollobás [Bol85] provou que o tamanho do maior cluster no limite termodinâmico N → 6
pode ser calculado analiticamente através da expressão
G(%! &) = 1 −
>n
1 6 nn−1 =
−%! &
!
&
e
,
%
/ n!
%! & n=1
(5.33)
onde G representa a fração de vértices que pertencem ao maior subgrafo para um dado %! &.
Se um dado método de construção de redes aleatórias é eficiente, então este algoritmo deve
reproduzir o resultado analítico expresso pela equação (5.33). A partir do procedimento acima
descrito, construímos grafos aleatórios com N = 10 5 para vários valores da conectividade média, tais que %! & ≥ %!c & = 1. Entretanto necessitamos de um segundo algoritmo para encontrar
os vértices que pertençam à componente gigante, ou seja, que localize o maior subgrafo. Para
este fim, utilizamos o algoritmo de busca em largura (BFS) 2 . Este algoritmo pode ser resumido
nos seguintes procedimentos:
• Escolhemos um dado vértice i do grafo e a partir deste, o algoritmo marca todos os seus
2 Sigla
em inglês para Breadth First Search
92
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
primeiros vizinhos. Depois todos os segundos vizinhos e assim por diante até que não
possamos mais avançar;
• Sorteamos um novo vértice. Se este já estiver marcado, sorteamos novamente.
• O algoritmo encerra quando tivermos N vértices marcados;
Observe que o algoritmo BFS assemelha-se com o processo de percolação de manchas de canetas tinteiro sobre um papel poroso. Para maiores detalhes sobre o algoritmo BFS e estruturas
de dados associadas veja a referência [Dro02].
Com o procedimento acima, localizamos a maior componente presente em grafos aleatórios com N = 105 vértices e vários valores de conectividade média, tais que %! & ≥ %! c & = 1.
Calculamos a fração G de vértices que estão presentes no maior subgrafo e comparamos com
o resultado analítico dado pela equação (5.33). A Figura (5.2) resume esta análise, onde observamos uma concordância entre os grafos gerados e a curva analítica. Cada ponto nesta figura
representa uma média em 100 grafos distintos, com um número total de N = 10 5 vértices.
Ainda na Figura (5.2), percebemos que G 0 1 para valores de %! & ≥ 6 e portanto todos os N
vértices estão presentes na componente gigante. Entretanto, para %! & < 6 temos G < 1 e desta
forma há uma fração de vértices que não pertencem ao maior subgrafo. Esta propriedade faz
com que a conectividade média da componente gigante seja diferente do valor de %! & para
"
!
todo o grafo. Com o algoritmo BFS podemos calcular a conectividade média efetiva !e f f
do maior subgrafo em função da conectividade média %! & do grafo aleatório. Com esta análise
"
!
construímos a Figura (5.3), onde observamos que a diferença entre !e f f e %! & torna-se nula
para valores da conectividade média %! & > 6. Cada ponto na Figura (5.3) representa uma média
em 100 grafos aleatórios distintos e utilizamos grafos com N = 10 4 e N = 105 . No gráfico in"
!
terior da Figura (5.3), temos a dependência de !e f f em relação a %! &, calculada também para
valores menores que %!c &. Vemos que a conectividade média do maior subgrafo (componente
gigante) é sempre maior que a conectividade de todo grafo aleatório quando %! & < 6.
93
5.3 CONSTRUÇÃO DE GRAFOS ALEATÓRIOS
7
6
<!eff>
<!eff> - <!>
1.5
5
4
3
2
1
1.0
0
0
1
2
3
<!>
4
5
6
0.5
0
0
1
2
3
<!>
4
5
6
!
"
Figura 5.3 Diferença entre a conectividade média efetiva !e f f do maior subgrafo em relação à conectividade média %! & do grafo aleatório. Observamos que somente para %! & > 6 esta diferença é nula. Cada
4
5
ponto representa uma média em 100 grafos!distintos
" e utilizamos grafos de ordem N = 10 e N = 10 .
No gráfico interior, temos a dependência de !e f f em relação à conectividade média, calculada também
para valores de %! & < %!c &. Vemos que a conectividade média do maior subgrafo é sempre maior que a
conectividade de todo grafo aleatório quando %! & < 6.
Ao longo destas últimas seções, definimos e descrevemos o espaço amostral dos grafos
aleatórios clássicos e também descrevemos os algoritmos necessários para sua construção. Nas
próximas seções investigaremos o tema principal deste capítulo que trata sobre fenômenos
críticos em redes aleatórias. Determinaremos não somente os expoentes críticos que descrevem
a transição e determinam a classe de universalidade, como também, a dependência das funções
de escala com relação à conectividade média, identificando este parâmetro como o alcance do
sistema e representando-o simplesmente por ! ao invés de %! &.
94
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
5.4 Funções de Hipercolapso para Grafos Aleatórios
Na última década houve um grande esforço na descrição dos fenômenos críticos sobre as
redes aleatórias. Estas redes são definidas pelos grafos aleatórios clássicos, redes de mundo
pequeno e as redes livre de escala [DGM08]. As investigações basearam-se, principalmente,
em determinar os expoentes críticos sobre tais topologias. Os modelos de Ising e o Processo
de Contato foram os principais modelos utilizados. O primeiro modelo é essencialmente um
modelo de equilíbrio, no qual há balanceamento detalhado, apresentando simetria de inversão.
O segundo modelo não somente é de não equilíbrio como também possui um estado absorvente [HHL08]. Em função da presença deste estado absorvente as simulações do Processo de
Contato, para a região crítica, tornam-se um pouco mais complicadas devido à necessidade de
gerarmos os chamados estados quase-estacionários [dOD05, FFCPS11b].
Um outro sistema, que possui destaque no escopo da sociofísica, é o modelo do votante
majoritário (MV M) [dO92, CdOM03, PM05, LSS08, MPM10]. Tal modelo, assim como o
modelo de Ising, apresenta simetria de inversão. Entretanto, a condição de balanceamento
detalhado não está presente no MV M, sendo portanto um modelo de não equilíbrio. Do ponto
de vista da simulação de fenômenos críticos, o MV M é mais vantajoso do que o Processo
de Contato, uma vez que não possui estados absorventes e desta forma não precisamos gerar
os estados quase-estacionários. Com esta justificativa, descreveremos as transições de fase
contínuas de não equilíbrio, sobre redes aleatórias, utilizando essencialmente o modelo do
votante majoritário. Este estudo de fato não é original. Vários autores já desenvolveram a
análise do MV M sobre redes aleatórias, tendo como principais resultados a dependência dos
expoentes críticos com a conectividade média nos grafos aleatórios clássicos [PM05, LSS08,
MPM10], nas redes livre de escala [Lim06, Lim07] e com a probabilidade de religação em
redes de mundo pequeno [CdOM03, EL07].
95
5.4 FUNÇÕES DE HIPERCOLAPSO PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
500
70
NPCS = 4
60
!=4
400
50
Regular
300
Aleatória
&8(q)
&8(q)
40
30
200
20
! = 64
100
NPCS = 64
0
0
0.1
0.2
q
0.3
0.4
10
0.5
0
0.1
0.2
0.3
q
0.4
0.5
Figura 5.4 Susceptibilidade em função do parâmetro de ruído. À esquerda, &N (q) é medida sobre uma
rede regular quadrada com N = 19600 sítios para o MGV , considerando dois valores para o parâmetro
de alcance: NPCS = 4 e NPCS = 64. À direita, temos &N (q) para o MV M sobre um grafo aleatório
clássico com N = 20000, considerando dois valores para a conectividade média: ! = 4 e ! = 64. Ao
compararmos estas figuras, observamos que a conectividade média ! produz os mesmos efeitos que o
parâmetro NPCS , deslocando o parâmetro crítico e reduzindo as flutuações críticas.
Entretanto, se interpretarmos a conectividade média (! ) como o alcance da interação entre
os vértices do grafo e utilizarmos a análise descrita no capítulo anterior, podemos determinar
novas relações de escala em função do parâmetro ! . Como consequência, verificaremos se
nas redes poissonianas os expoentes críticos dependem ou não do parâmetro ! ou ainda se são
descritos pela teoria de campo médio.
Vimos neste capítulo que a distribuição de Poisson representa a distribuição de graus nos
grafos aleatórios clássicos. Nesta distribuição o grau médio, isto é, a conectividade média !
representa o momento estatístico mais provável. Isto implica que a maioria dos vértices apresentam conectividade muito próxima de ! e a probabilidade de termos valores distantes do
valor médio decai exponencialmente. Desta maneira dizemos que os grafos poissonianos apre-
96
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
sentam simetria translacional. Tal simetria também está presente em redes regulares e em redes
de mundo pequeno [Mon11]. Entretanto para redes livre de escala, temos uma heterogeneidade
bastante característica nos graus dos vértices e para estes grafos a conectividade média não
representa o momento estatístico mais provável. A ausência de simetria translacional nas redes
livres de escala é responsável por uma descrição bastante particular dos fenômenos críticos e
depende principalmente do expoente ' que define a distribuição: P(! ) ∼ ! −' [CH10]. Nosso
desenvolvimento limitar-se-á aos grafos que possuem simetria translacional.
No capítulo anterior, quando estudamos o modelo do grupo votante (MGV ), observamos
que o aumento no alcance da interação além de deslocar o parâmetro crítico, reduz significativamente as flutuações críticas. Como ilustração, consideremos a susceptibilidade magnética
& (q), definida em termos da variância do parâmetro de ordem, para o MGV em função do parâmetro de ruído q. Vimos que em q = q c e para um dado valor de NPCS , a susceptibilidade
apresenta um pico bastante característico, refletindo sua divergência na região crítica. Ao considerarmos um valor maior para NPCS este mesmo fenômeno ocorre, porém o “salto” de & (q)
em q = qc é reduzido e esta redução é tanto maior quanto maior for o valor de NPCS [SFM11].
Neste capítulo consideramos o modelo do votante majoritário (MV M) definido sobre grafos
aleatórios clássicos. Medimos a susceptibilidade em função do parâmetro q para dois valores
da conectividade média ! = 4 e ! = 64, considerando N = 20000. Como resultado temos a
Figura (5.4), onde também apresentamos & (q) para o MGV considerando NPCS = 4 e NPCS =
64 numa rede regular quadrada com N = 19600 sítios. Quando comparamos estas figuras,
observamos que a conectividade média ! produz os mesmo efeitos que o parâmetro N PCS :
desloca o parâmetro crítico e reduz as flutuações críticas. Desta forma, ! representa o alcance
da interação e utilizando simulações de Monte de Carlo e análise de regressão, construiremos
relações de escala para os observáveis de interesse em função de tal alcance. Este procedimento
é exatamente o mesmo adotado no Capítulo 3, quando descrevemos as relações de escala em
termos de NPCS para o MGV .
5.4 FUNÇÕES DE HIPERCOLAPSO PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
97
Ao considerarmos o modelo do votante majoritário (MV M) estaremos interessados em medir, através de simulações de Monte Carlo, o parâmetro de ordem (MN (q)), a susceptibilidade
(&N (q)) e o cumulante de Binder (UN (q)) que são definidos, respectivamente, como:
B,,B
B1 N B
B
B
MN (q) =
B / 2i B
B N i=1 B
tempo
-
,
amostra
<
=;! "
2
2
&N (q) = N
m tempo − %m&tempo
UN (q) = 1 −
, ! 4"
m tempo
3 %m2 &tempo
(5.34)
amostra
>
,
,
(5.35)
(5.36)
amostra
sobre grafos aleatórios clássicos. Geramos tais grafos utilizando os seguintes valores para a conectividade média: ! = 2, 4, 6, 8, 10, 20, 30, 50 e 100. E para cada um destes valores, tomamos
os seguintes números de vértices: N = 10000, 15000, 20000, 22000, 25000, 30000 e 40000. Os
símbolos < · · · >tempo e < · · · >amostra nas equações (5.34), (5.35) e (5.36) denotam, respectivamente, médias temporais realizadas sobre o estado estacionário e médias configuracionais
(amostrais) tomadas sobre várias amostras. O tempo será medido em termos de passos de
Monte Carlo (MCS)3 e 1 MCS corresponderá a N tentativas de alteração dos estados dos agentes. Adotamos o procedimento de atualização assíncrono [PM05, MPM10]: sorteamos um
dado vértice i e tentamos alterar seu estado com a taxa de probabilidade descrita por:
.
/
!i
1
1 − (1 − 2q)2i S( / 2i+) ) ,
w(2i ) =
2
) =1
(5.37)
onde o somatório se estende sobre todos os ! i vizinhos do sítio i. Ao repetirmos este procedimento N vezes, teremos completado 1 MCS. Para nossas simulações consideramos 10 4 MCS
para que o sistema atinja o estado estacionário e realizamos as medidas de interesse sobre os
3 Sigla
para a expressão inglesa Monte Carlo Step
98
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
seguintes 2 × 104 MCS. Para a região crítica, um maior esforço computacional é necessário em
função das grandes flutuações presentes. Desta forma, consideramos 4 × 104 MCS para a etapa
de termalização e 30 × 104 MCS para a etapa de medida.
Os parâmetros críticos do MV M foram obtidos a partir do cumulante de quarta ordem de
Binder UN (q), num procedimento equivalente ao que foi descrito no Capítulo 2 para o MGV e
como também descrito em [PM05, Lim06, LSS08, MPM10]. Para cada valor da conectividade
média ! determinamos o ruído crítico q c . Desta maneira, temos o diagrama de fase do modelo,
já obtido e analisado em [PM05].
-1.1
1.6
! = 10
! = 10
1.4
log10 [&N(qc)]
log10 [MN(qc)]
-1.2
-1.3
-1.4
! = 100
-1.5
1.2
1.0
! = 100
0.8
0.6
-1.6
3.8
4.0
4.2
4.4
log10 N
4.6
4.8
0.4
3.8
4.0
4.2
4.4
log10 N
4.6
4.8
Figura 5.5 Magnetização MN (qc ) (à esquerda) e susceptibilidade &N (qc ) (à direita) em função do número de vértices N, numa escala log-log, para os valores da conectividade média ! = 10 e 100. As
inclinações das linhas sólidas, obtidas pelas melhores retas que se ajustam ao conjunto de dados, fornecem estimativas para os expoentes $ /% e ' /% . Tais estimativas concordam bem com os valores de
campo médio, a saber, $ /% = 0.250 e ' /% = 0.500.
As relações de escala para a magnetização, susceptibilidade e cumulantes de Binder são
dadas por [HHP07b, MPM10]:
99
5.4 FUNÇÕES DE HIPERCOLAPSO PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
log10 [uN(qc)]
2.2
2.1
! = 10
! = 30
2.0
1.9
4.0
4.1
4.2
log10 N
4.3
4.4
Figura 5.6 Derivada do cumulante de Binder uN (qc ) calculada em q = qc em função do número de
vértices N, numa escala log-log, para ! = 10 e 30. A inclinação da linha sólida, obtida pela melhor reta
que se ajusta ao conjunto de dados, fornece a estimativa para o expoente 1/% . Esta estimativa está muito
próxima do valor de campo médio dado por 1/% = 0.500.
# , N 1/% ),
MN (q) ∼ N −$ /% M(
(5.38)
&N (q) ∼ N ' /% &#(, N 1/% ),
(5.39)
# (, N 1/% ),
UN (q) ∼ U
(5.40)
onde , = (q − qc ) representa a distância ao parâmetro de ruído crítico e % = dc % , sendo dc a dimensão crítica do MV M e % o expoente associado à divergência no comprimento de correlação
4 . No Capítulo 3 obtivemos d c = 4 para modelos que utilizam a regra da maioria. Na região
crítica (, → 0), as equações (5.38) e (5.39) tomam a seguinte forma:
100
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
#
MN (qc ) ∼ N −$ /% M(0),
(5.41)
&N (qc ) ∼ N ' /% &#(0),
(5.42)
e calculando a derivada da equação (5.40) com relação ao parâmetro de ruído no ponto q = qc ,
obtemos a seguinte relação de escala para a quantidade uN (q) =
uN (qc ) ∼ N 1/% u#(0).
dUN
dq :
(5.43)
Considerando as expressões acima em uma escala log-log, as inclinações das respectivas
retas fornecem estimativas para os expoentes $ /% , ' /% e 1/% . Na Figura (5.5) temos as amplitudes críticas da magnetização e da susceptibilidade calculadas para dois valores da conectividade média, ! = 10 e ! = 100. A partir da regressão linear sobre o conjunto de dados, obtemos
a estimativa para os expoentes. Tanto para ! = 10 quanto para ! = 100, obtemos expoentes
$ /% e ' /% próximos aos valores de campo médio. Com relação a Figura (5.6), temos a derivada do cumulante de Binder (equação (5.43)) considerando ! = 10 e ! = 30. Também neste
caso obtemos estimativas próximas do valor de campo médio para o expoente 1/% . A análise
completa de todas as regressões calculadas, para vários valores de ! , encontra-se resumida na
Tabela (5.1), onde concluimos que todas as estimativas para os expoentes críticos concordam
razoavelmente bem com os correspondentes valores de campo médio. Com estes dados, conseguimos ainda calcular estimativas para o expoente % e a dimensionalidade efetiva d e f f do
sistema. Neste cálculo consideramos % = % /4 e d e f f =
2$
%
+ %' .
Resultados semelhantes aos mostrados na Tabela (5.1) já foram obtidos em trabalhos anteriores [PM05, LSS08, MPM10]. No entanto, os autores argumentam que tais expoentes possuem
uma classe de universalidade própria, onde os expoentes críticos variariam com a conectividade
média. Como veremos, uma das conclusões do presente trabalho é demonstrar que os resulta-
101
5.4 FUNÇÕES DE HIPERCOLAPSO PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
!
4
6
8
10
20
30
100
qc
0.1847(4)
0.2421(2)
0.2768(2)
0.3003(2)
0.3589(3)
0.3854(4)
0.4360(3)
Resultados para Grafos Aleatórios
$ /%
' /%
1/%
%
0.244(3) 0.506(4) 0.520(2) 0.480(4)
0.254(6) 0.493(4) 0.509(4) 0.491(4)
0.251(8) 0.498(1) 0.513(1) 0.487(2)
0.244(8) 0.490(2) 0.503(7) 0.497(7)
0.240(5) 0.525(5) 0.523(4) 0.478(4)
0.255(3) 0.498(1) 0.496(7) 0.504(7)
0.242(3) 0.502(4) 0.517(6) 0.485(6)
de f f
3.98(4)
4.00(6)
3.98(8)
3.91(8)
4.02(5)
4.03(3)
3.94(4)
Tabela 5.1 Resultados para os parâmetros de ruído e expoentes críticos do modelo do votante majoritário (MV M) em grafos aleatórios.
dos obtidos descrevem a classe de universalidade de campo médio e o modelo MV M é descrito
por um único conjunto de expoentes críticos.
Consideremos a influência da conectividade média sobre as amplitudes críticas. Analisemos
inicialmente o parâmetro de ordem. Supondo uma dependência na forma de lei de potência de
MN com o parâmetro ! , a amplitude crítica para a magnetização pode ser escrita na forma
#
MN (qc , ! ) = ! −X N −$ /% M(0),
(5.44)
onde adicionamos ! como novo argumento em MN e a dependência com este parâmetro é
descrita pelo expoente X. Multiplicando esta equação pelo fator N $ /% , temos
#
N $ /% MN (qc , ! ) = ! −X M(0).
(5.45)
Portanto, a amplitude crítica da magnetização escalada, equação (5.45), depende apenas do parâmetro ! . Considerando esta equação sobre uma escala log-log, determinamos uma reta cujo
coeficiente angular fornece uma estimativa para o expoente X . Realizamos este procedimento
calculando MN (qc , ! ) através de simulações de Monte Carlo para um conjunto de valores de N
e ! . O resultado deste procedimento é mostrado na Figura (5.7), onde temos no eixo das abs-
102
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
-0.1
$/%
log10 [MN(qc,!)N ]
0.0
-0.2
-0.3
N = 8000
N = 10000
N = 15000
N = 20000
N = 40000
X = 0.250(5)
-0.4
-0.5
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
log10 !
1.6
1.8
2.0
Figura 5.7 Estimativa para o expoente X. Na figura temos a magnetização, medida sobre o parâmetro
crítico qc , em função da conectividade média ! numa escala log-log. Reescalamos o eixo das ordenadas
pelo fator N $ /% , onde utilizamos o expoente de campo médio $ /% = 0.250. Cada ponto representa uma
média entre grafos aleatórios com os seguintes números de vértices: N = 8000, 10000, 15000, 20000 e
40000. Determinamos a estimativa X = 0.250(5) a partir do coeficiente angular da reta que melhor se
ajusta ao conjunto de pontos amostrados. As barras de erros são menores ou iguais ao tamanho dos
símbolos.
cissas os valores de ! e no eixo das ordenadas a quantidade N $ /% MN (qc , ! ), com o expoente
$ /% da teoria de campo médio. Cada ponto na Figura (5.7) representa uma média em cinco
valores de N, a saber, N = 8000, 10000, 15000, 20000 e 40000. Considerando os pontos médios
realizamos a regressão linear que fornece a estimativa para o expoente X = 0.250(5).
Realizamos análise semelhante para o observável &N , reescrevendo a equação (5.42) considerando a dependência com o parâmetro ! na forma:
&N (qc , ! ) = ! −Y N ' /% &#(0),
(5.46)
descrita pelo expoente Y . Multiplicando esta expressão pelo fator N −' /% , temos que a amplitude
103
5.4 FUNÇÕES DE HIPERCOLAPSO PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
-0.6
log10 [&8(qc,!)N
7'/%
]
-0.4
-0.8
-1.0
N = 8000
N = 10000
N = 15000
N = 20000
N = 40000
Y = 0.500(7)
-1.2
-1.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
log10 !
1.6
1.8
2.0
Figura 5.8 Estimativa para o expoente Y . Na figura temos a susceptibilidade, medida sobre o parâmetro
crítico qc , em função da conectividade média ! numa escala log-log. Reescalamos o eixo das ordenadas
pelo fator N −' /% , onde utilizamos o expoente de campo médio ' /% = 0.500. Cada ponto representa uma
média entre grafos aleatórios com os seguintes números de vértices: N = 8000, 10000, 15000, 20000 e
40000. Determinamos a estimativa Y = 0.500(7) a partir do coeficiente angular da reta que melhor se
ajusta ao conjunto de pontos amostrados.
crítica para a susceptibilidade depende apenas da conectividade média
N −' /% &N (qc , ! ) = ! −Y &#(0).
(5.47)
Utilizamos o expoente ' /% da teoria de campo médio para todos os valores da conectividade
média. Em uma escala logarítmica aplicamos esta equação e a partir da reta obtida, estimamos
o expoente Y . Através de simulações de Monte Carlo calculamos a susceptibilidade crítica
&N (qc, ! ) para um conjunto de valores de N e ! . Com este procedimento construímos a Figura
(5.8). Sobre o eixo das abscissas consideramos os valores de ! e sobre o eixo das ordenadas a
quantidade N −' /% & (qc , ! ). Cada ponto na Figura (5.8) representa uma média em cinco valores
de N, a saber, N = 8000, 10000, 15000, 20000, 40000. Sobre os pontos médios realizamos a
104
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
0.08
log10 [uN(qc,!)N
-1/%
]
0.06
0.04
0.02
0.0
-0.02
Z = 0.125(2)
-0.04
-0.06
0.6
0.8
1.0
log10 !
1.2
1.4
1.6
Figura 5.9 Estimativa para o expoente Z. Na figura temos a quantidade uN (q, ! ) que representa a
derivada do cumulante de Binder, medida sobre o parâmetro crítico qc , em função da conectividade
média ! , numa escala log-log. Reescalamos o eixo das ordenadas pelo fator N−1/% , onde utilizamos o
expoente de campo médio % = 2.0. Cada ponto representa uma média entre os seguintes números de
vértices N = 8000, 10000, 15000, 20000 e 40000. Determinamos uma estimativa do expoente Z através
do coeficiente angular da reta que melhor se ajusta ao conjunto de pontos amostrados. Este cálculo
resulta em Z = 0.125(2).
regressão linear que fornece a estimativa para o expoente Y = 0.500(7).
As relações de escala (5.44) e (5.46), assim como os valores para os expoentes X e Y , representam resultados interessantes uma vez que descrevem as amplitudes críticas da magnetização
e suscepbitilidade em função da conectividade média ! e além disso, confirmam que os expoentes $ /% e ' /% são os expoentes críticos de campo médio e portanto, independentes de ! .
Temos ainda que a amplitude crítica de uN também é afetada pelo alcance ! , como podemos
observar a Figura (5.6). Assim como procedemos para MN (qc, ! ) e &N (qc, ! ), consideramos
uma dependência na forma de lei de potência sobre a amplitude crítica de u N . Reescrevendo a
equação (5.43) temos:
uN (q, ! ) = ! −Z N 1/% u#(0),
(5.48)
5.4 FUNÇÕES DE HIPERCOLAPSO PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
105
onde adicionamos ! como novo argumento e o expoente Z define a dependência com a conectividade média. Multiplicando esta equação pelo termo N −1/% , a amplitude resultante será
função exclusiva de ! . Aplicando esta expressão sobre a escala log-log, obteremos uma reta
cujo coeficiente angular determinará a estimativa para o expoente Z. Novamente utilizando
o recurso das simulações de Monte Carlo, calculamos u N (qc , ! ) para um conjunto de valores
de N e ! . Desta forma construímos a Figura (5.9). Sobre o eixo das abscissas consideramos os valores de ! e sobre o eixo das ordenadas a quantidade N 1/% uN (qc , ! ). Cada ponto
nesta figura representa uma média entre grafos aleatórios com seguintes números de vértices:
N = 8000, 10000, 15000, 20000 e 40000. Realizamos a regressão linear sobre estes pontos médios e determinamos a estimativa para o expoente Z = 0.125(2).
Recordando que a quantidade uN é obtida a partir da derivada do cumulante de Binder, com
o resultado para o expoente Z a relação de escala para o cumulante UN toma a seguinte forma:
# , N 1/% ! −Z ).
UN (q, ! ) = U(
(5.49)
# . A equação (5.49)
onde agora a conectividade média ! ocorre no argumento na função U
descreve de maneira completa a dependência do cumulante UN com os parâmetros , , ! e N,
sendo portanto uma relação de escala universal sobre grafos aleatórios, que apresentam simetria
translacional. Temos ainda que, se observarmos as equações (5.38) e (5.39), veremos que as
# na equação (5.40). Esta função
# e &# possuem a mesma dependência que a função U
funções M
# e &#
foi corrigida pelo fator N −Z (equação (5.49)) e, desta forma, especulamos que ambos M
apresentam a mesma dependência com a conectividade média. Sendo esta hipótese verdadeira,
teríamos portanto o seguinte conjunto de relações de escala:
# , N 1/% ! −Z ),
MN (q, ! ) = ! −X N −$ /% M(
(5.50)
106
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
&N (q, ! ) = ! −Y N ' /% &#(, N 1/% ! −Z ).
(5.51)
As equações (5.49), (5.50) e (5.51) fornecem uma versão completa para a dependência do cumulante de Binder, da magnetização e da susceptibilidade com o parâmetro de ruído, o número
de vértices e a conectividade média. Observe que esta dependência ocorre apenas através da
variável de escala , N 1/% ! −Z .
|log10 [1 - 1.5UN(q,!)]|
8
6
!
!
!
!
!
4
=
=
=
=
=
4
6
8
10
30
2
0
-0.04
-0.02
0.0
,!
0.02
0.04
71/4%
Figura 5.10 Colapso de curvas para o cumulante reduzido de Binder UN (q, ! ). Na figura temos a
#
função universal U(x),
com x = ,! −Z , onde consideramos Z = 1/4% . Construímos grafos aleatórios
poissonianos com N = 25000 e cinco valores para a conectividade média: ! = 4, 6, 8, 10 e 30. Este
resultado comprova a relação de escala (5.49) bem como o valor do expoente Z = 0.125.
Para verificarmos se a hipótese que origina as novas equações de escala é verdadeira, construímos curvas de colapso de dados para vários valores de ! , com N fixo. Considerando o
# (x), onde x = ,! −Z . Para grafos aleatórios
cumulante de Binder temos a função universal U
com N = 25000 e cinco valores para a conectividade média, ! = 4, 6, 8, 10 e 30, construímos
#
a Figura (5.10) onde apresentamos o colapso de dados de U(x),
comprovando assim que a
relação de escala (5.49) está correta assim como o expoente Z = 0.125. Se entendermos que
5.4 FUNÇÕES DE HIPERCOLAPSO PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
107
0.8
0.6
MN(q,!)!
X
X = 0.250
!
!
!
!
!
0.4
=
=
=
=
=
4
6
8
10
30
0.2
0.0001
0.001
0.01
0.1
71/4%
|,|!
#
Figura 5.11 Colapso de curvas para a magnetização. Na figura temos a função M(|x|),
com x = ,! −Z ,
com Z = 1/4% . Construímos grafos aleatórios poissonianos com N = 25000 e cinco valores para a
conectividade média, ! = 4, 6, 8, 10 e 30. Na construção deste gráfico precisamos reescalar o eixo das
ordenadas pelo fator !X . Através do colapso de curvas exibido, comprovamos a relação de escala (5.50)
e os valores para os expoentes: X = 0.250 e Z = 0.125.
! é um campo de escala relevante, como descrito no Capítulo 1, o expoente associado a este
campo deve depender de % [HHL08], uma vez que a conectividade média está relacionada com
distâncias em grafos aleatórios. De fato, as nossas estimativas para estes expoentes resultam
em Z = 1/4% . Na Figura (5.10) expressamos o expoente Z em termos desta relação. A equação
(5.50) também pode ser confirmada em termos de ! através do colapso de curvas, considerando
# = MN (q, ! )! X , com x = ,! −Z e reescalando o eixo das ordenadas pelo fator ! X .
a função M(x)
A Figura (5.11) é obtida considerando este procedimento e comprova não somente a dependên# com a conectividade média, como também a dependência da amplitude crítica com
cia de M
este parâmetro e os resultados para os expoentes críticos X = 0.250 e Z = 0.125. Observemos
que na Figura (5.11) utilizamos a relação Z = 1/4% .
Uma vez comprovadas as relações de escala (5.49), (5.50) e (5.51), temos que estas equações nos fornecem a possibilidade de obtermos funções universais, que dependem do parâmetro
108
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
10
!=4
!=6
!=8
! = 10
! = 20
MN(q,!)N !
$/% X
8
6
4
2
0
-6
-4
-2
0
,N
2
4
6
1/% 71/4%
!
Figura 5.12 Hipercolapso de curvas do parâmetro de ordem. Na figura temos um conjunto de grafos
aleatórios com N = 8000, 10000, 15000, 20000, 25000 e 40000 para o número de vértices, considerando
os seguintes valores para a conectividade média: ! = 4, 6, 8, 10 e 20. O colapso de curvas é consistente
com os expoentes X = 0.250 e Z = 0.125.
de ruído, do número de vértices no grafo e da conectividade média, através da variável de escala , N 1/% ! −Z . No Capítulo 4 construímos tais curvas, denominadas funções de hipercolapso,
no contexto de redes regulares para o modelo do grupo votante. Neste capítulo reproduziremos
o mesmo procedimento no escopo das redes aleatórias clássicas.
Construimos as funções de hipercolapso para magnetização, suscepbitilidade e cumulante
de Binder, dadas por:
#
M(x)
= MN (q, ! )N $ /% ! X ,
(5.52)
&#(x) = &N (q, ! )N −' /% ! Y ,
(5.53)
#
U(x)
= UN (q, ! ),
(5.54)
109
5.4 FUNÇÕES DE HIPERCOLAPSO PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
0.8
!=4
!=6
!=8
! = 10
! = 20
&N(q,!)N
!
7'/% Y
0.6
0.4
0.2
0.0
-8
-6
-4
-2
,N
0
2
4
6
1/% 71/4%
!
Figura 5.13 Hipercolapso de curvas da susceptibilidade. Na figura temos um conjunto de grafos aleatórios com N = 8000, 10000, 15000, 20000, 25000 e 40000 para o número de vértices, considerando os
seguintes valores para a conectividade média: ! = 4, 6, 8, 10 e 20. O colapso de curvas é consistente
com os expoentes Y = 0.500 e Z = 0.125.
onde x = , N 1/% ! −Z . Neste desenvolvimento utilizamos N = 8000, 10000, 15000, 20000, 25000
e 40000, para o número total de vértices nos grafos e ! = 4, 6, 8, 10 e 20 para os valores da
conectividade média, que define o alcance da interação.
#
Na Figura (5.12) temos a função universal M(x),
onde consideramos $ /% = 0.250, para
todos os valores de ! utilizados, e X = 0.250. Somente através de um correto conjunto de
expoentes o colapso de dados ocorre. Desta figura confirmamos os resultados para a relação de
escala da magnetização (equação (5.50)) e que os respectivos expoentes de campo médio estão
corretos. Na Figura (5.13) temos a função universal &#(x) da susceptibilidade. Para esta figura
consideramos ' /% = 0.500, para todos os valores de ! utilizados, e Y = 0.500. Desta forma o
hipercolapso observado na Figura (5.13) confirma os resultados para a relação de escala (5.51)
e seus respectivos expoentes de campo médio.
Em resumo, a análise desenvolvida nesta seção nos permite concluir que os fenômenos
críticos sobre grafos aleatórios clássicos são descritos pelas relações de escala de tamanho finito
110
CAPÍTULO 5 FUNÇÕES UNIVERSAIS PARA GRAFOS ALEATÓRIOS
(5.49), (5.50) e (5.51), onde os expoentes críticos $ , ' e % são aqueles definidos pela teoria de
campo médio, para todos os valores da conectividade média ! . Os expoentes que descrevem
a dependência do parâmetro de ordem e seus cumulantes com o alcance da interação ! , tem
como valores X = 0.250 e Y = 0.500 para o caso da magnetização e susceptibilidade. Observe
que a relação 2X = Y , também obtida no Capítulo 3 para redes regulares no contexto do modelo
do grupo votante, é satisfeita para o modelo MV M em topologias aleatórias. Com relação ao
cumulante de Binder, obtivemos Z = 0.125 e portanto Z = 1/4% .
O escopo em que os resultados apresentados são válidos é aquele definido por grafos
aleatórios que possuam simetria translacional. Para redes livre de escala, com 2 < ' < 3
(P(! ) ∼ ! −' ), os resultados acima não se aplicam, sendo então descritos pela chamada teoria de campo médio heterogênea (TCMH) [DGM08, CPS08, FFCPS11a, FFCPS11b]. Entrentanto para estes grafos complexos, as relações de escala de tamanho finito também não são
%! 2 &
funções somente do número de vértices N, mas também do parâmetro g =
2 . Como ilus%! &
tração, o parâmetro de ordem no Processo de Contato segue uma relação de escala na forma
. ∼ (Ng)−1/2 . Observe que o parâmetro g, que definimos neste capítulo, pode ser determinado
exatamente para qualquer distribuição de graus P(! ). Até o presente momento, uma descrição
em termos da (TCMH) para o (MV M) ainda está ausente na literatura de transições de fase de
não equilíbrio sobre redes complexas e tal análise nos servirá como perspectiva para trabalhos
futuros.
C APÍTULO 6
As redes de mundo pequeno
6.1 Redes de Mundo Pequeno
Muitas propriedades estatísticas de grafos reais não são descritas pelo modelo de grafos
aleatórios clássicos. O coeficiente de agregação é um exemplo deste fato. Na Tabela (6.1) temos
um conjunto de propriedades estatísticas referentes a redes reais. Para estes dados, obtidos
nas referências [CH10, Mon11], consideramos o número N de vértices, o número total de
arestas M, a conectividade média ! , a distância média %l& e o coeficiente de agregação médio
%C&. Com base no modelo poissoniano e com os valores de N e M dados na Tabela (6.1),
calculamos ! , %l& e %C& através das equações (5.3), (5.31) e (5.32). O resultado desta análise
encontra-se entre parênteses na Tabela (6.1). Observamos que para redes reais %l& 0 %l&aleatória
Dados Estatísticos para Redes Reais
Rede
N
M
!
%l&
Coautores em Matemática 253339 496489 3.92(3.92)
7.57(9.11)
Coautores em Física
52909 245300 9.27(9.27)
6.19(4.88)
Circuitos Eletrônicos
24097
53248
4.34(4.42) 11.05(6.79)
Internet
10697
31992
5.98(5.98)
3.31(5.19)
Neurônios de “C. elegans“
265
2335
18.0(17.62)
3.2(1.94)
%C&
0.34(0.000036)
0.56(0.000175)
0.030(0.00018)
0.39(0.00056)
0.17(0.066)
Tabela 6.1 Propriedades estatísticas de redes reais. Consideramos o número N de vértices, o número
total de arestas M, a conectividade média ! , a distância média %l& e o coeficiente de agregação médio
%C&. Na tabela, o único grafo direcional é dado pela rede de neurônios de ”C. elegans"[Mon11]. Com
exceção deste exemplo, todos os dados foram extraídos da referência [CH10]. Tomando o modelo de
grafos poissonianos e com os valores de N e M, calculamos ! , %l& e %C&. O resultado desta análise
encontra-se destacado entre parênteses na tabela e pode ser comparado com os valores das redes reais.
111
112
CAPÍTULO 6 AS REDES DE MUNDO PEQUENO
e %C& - %C&aleatória . Vemos portanto uma grande discrepância entre os resultados reais e
aqueles previstos pelo modelo clássico para o coeficiente de agregação. Motivados por esta
discrepância, os autores D. J. Watts e S. H. Strogatz [WS98] elaboraram um algoritmo para a
construção de grafos, que resultassem em valores de %l& e %C& próximos ao das redes reais.
Consideramos inicialmente uma rede regular contendo N vértices e condições de contorno
periódicas. Para um sitema unidimensional temos uma topologia em anel e cada vértice está conectado a 2k vizinhos (k vértices à esquerda e k vértices à direita). Desta forma temos M = N(2k)
2
arestas nesta rede. No modelo de Watts-Strogatz [WS98], cada uma destas arestas será religada
com probabilidade p e mantida com probabilidade (1 − p). Com este procedimento teremos
em média Nkp arestas de longa distância. Não permitimos autoconexões e conexões múltiplas entre o mesmo par de vértices. Desta forma, criamos atalhos conectando partes distantes
do grafo. Uma variante [NW99a] deste modelo consiste em adicionarmos conexões ao invés
de realizar religações. No modelo de adição de arestas parte-se de um grafo regular e criam-se
arestas adicionais, com probabilidade p, entre pares de vértices aleatoriamente escolhidos. Ambos os modelos (religação e adição) geram estruturas denominadas redes de mundo pequeno,
possuindo %l& 1 N e %C& 0 1 em função dos parâmetros p e k. Para este capítulo adotaremos o
modelo de construção de redes de mundo pequeno que considera a adição de novas arestas.
Adotando o modelo de adição de arestas, para um conjunto de N sítios construímos uma
√
rede regular bidimensional de lado L = N e condições de contorno periódicas. Nesta versão, o alcance da interação limita-se aos primeiros vizinhos. A partir desta estrutura regular,
utilizamos o seguinte algoritmo na construção das redes de mundo pequeno:
1. Sorteamos um par de sítios da rede. Se não estiverem conectados, estabelecemos uma
ligação entre esses sítios com probabilidade p;
2. repetimos o procedimento anterior
Em média são adicionados
Np
2
N
2
vezes.
atalhos na rede. Com este procedimento, iremos analisar a
transição de fase do modelo do votante majoritário (MV M) sobre as redes de mundo pequeno.
6.2 FENÔMENOS CRÍTICOS SOBRE REDES DE MUNDO PEQUENO
113
Desta forma, a probabilidade p, que determina a fração de atalhos na rede, e o ruído q definem
o espaço de parâmetros do modelo.
6.2 Fenômenos Críticos sobre Redes de Mundo Pequeno
Ao considerarmos o modelo do votante majoritário (MV M) estamos interessados em medir, através de simulações de Monte Carlo, o parâmetro de ordem (ML (q)), a susceptibilidade
(&L (q)) e o cumulante de Binder (UL (q)) cujos estimadores são definidos, respectivamente,
como:
B,,B
B1 N B
B
B
ML (q) =
B / 2i B
B L i=1 B
tempo
&L (q) = L
-
, ! 4"
m tempo
3 %m2 &tempo
(6.1)
amostra
=;! "
<
2
m2 tempo − %m&tempo
UL (q) = 1 −
,
amostra
,
>
,
(6.2)
(6.3)
amostra
sobre redes de mundo pequeno descritas na seção anterior. Geramos tais redes no intervalo
0.0 ≤ p ≤ 1.0. Para cada um destes valores, consideramos os seguintes tamanhos de rede
L = 100, 120, 140, 160, 180 e 200. Os símbolos < · · · >tempo e < · · · >amostra nas equações
(6.1), (6.2) e (6.3) denotam, respectivamente, médias temporais realizadas sobre o estado estacionário e médias configuracionais (amostrais) tomadas sobre várias amostras. O tempo será
medido em termos de passos de Monte Carlo (MCS) 1 e 1 MCS corresponderá a N tentativas
de alteração dos estados dos agentes. Adotamos o procedimento de atualização assíncrono
[SFM11]: sorteamos um dado sítio i e tentamos alterar seu estado com a taxa de probabilidade
1 Sigla
para a expressão inglesa Monte Carlo Step
114
descrita por
CAPÍTULO 6 AS REDES DE MUNDO PEQUENO
.
/
!i
1
1 − (1 − 2q)2i S( / 2i+) ) ,
w(2i ) =
2
) =1
(6.4)
onde o somatório se estende sobre todos os sítios conectados ao sítio i, ou seja, os primeiros vizinhos mais os sítios conectados através das arestas de atalho. Ao repetirmos este procedimento
N vezes, teremos completado 1 MCS. Para nossas simulações consideramos 10 4 MCS para o
sistema atingir o estado estacionário e realizamos as medidas de interesse sobre os 2 × 10 4
MCS seguintes. Na região crítica, um maior esforço computacional é necessário em função das
flutuações presentes. Desta forma, consideramos 4 × 104 MCS para a etapa de termalização e
30 × 104 MCS para a etapa de medida.
Os parâmetros críticos do MV M nas redes de mundo pequeno, foram obtidos a partir do
cumulante de quarta ordem de Binder UL (q), num procedimento equivalente ao que foi descrito
no Capítulo 2 e em [SFM11] para o MGV . Para cada valor da fração de atalhos determinamos
o ruído crítico qc (ver Tabela (6.2)). Desta maneira, temos o diagrama de fase do modelo na
Figura (6.1), onde mostramos também o diagrama de fase na versão de religação de arestas
para o MV M [CdOM03]. Uma vez que a conectividade média no modelo de adição de atalhos
é maior do que na versão de religação, a primeira versão favorece mais o ordenamento, como
podemos observar na figura.
Tendo obtido os valores críticos do ruído, estamos em condições de realizarmos os cálculos dos expoentes críticos. Assim como procedemos nos capítulos anteriores, o cálculo dos
expoentes será dado através de regressões lineares das funções de escala. Em princípio, não
há restrições em considerarmos as mesmas relações de escala utilizadas no Capítulo 2, para a
topologia de rede regular. Portanto, as equações de escala para sistemas finitos, referentes à
magnetização, à susceptibilidade e ao cumulante de Binder, são dadas por:
# , L1/% ),
MN (q) ∼ L−$ /% M(
(6.5)
115
6.2 FENÔMENOS CRÍTICOS SOBRE REDES DE MUNDO PEQUENO
0.25
Modelo de Adição
Modelo de Relocação
0.2
0.15
Fase Ordenada
0.1
0.0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Figura 6.1 Diagrama de fase do (MV M) para redes de mundo pequeno. Mostramos a dependência
do parâmetro crítico qc com a probabilidade de atalhos p em redes de mundo pequeno, nas versões de
adição (este trabalho) e de relocação de atalhos [CdOM03]. Os dados foram obtidos a partir da análise
do cumulante de Binder.
&N (q) ∼ L' /% &#(, L1/% ),
(6.6)
# (, L1/% ).
UL (q) ∼ U
(6.7)
onde , = (q − qc ) representa a distância ao parâmetro de ruído crítico. Sobre o parâmetro
crítico (, = 0) as equações (6.5) e (6.6) tomam a seguinte forma:
#
ML (qc ) ∼ L−$ /% M(0),
(6.8)
&L (qc ) ∼ L' /% &#(0).
(6.9)
Calculando a derivada da equação (6.7) com relação ao parâmetro de ruído no ponto q = qc ,
116
CAPÍTULO 6 AS REDES DE MUNDO PEQUENO
-0,4
2.8
2.6
-0,6
log10 [&L(qc)]
log10[ML(qc) ]
2.4
-0,8
-1
2.2
2.0
1.8
1.6
-1,2
p = 0.005
p = 0.05
p = 0.5
1.4
2.0
2.1
2.2
log10 L
2.3
1.2
2.0
2.1
2.2
log10 L
2.3
Figura 6.2 Magnetização ML (qc ) (à esquerda) e susceptibilidade &L (qc ) (à direita) críticas em função do
tamanho linear L da rede quadrada, numa escala log-log. Na figura, temos ML (qc ) e &L (qc ) medidos para
três ordens de grandeza da probabilidade p: 0.005, 0.05 e 0.5. As inclinações das linhas sólidas, obtidas
pelas melhores retas que se ajustam ao conjunto de dados, fornecem estimativas para os expoentes $ /%
e ' /% .
temos a seguinte relação de escala para a quantidade uL (q) =
uL (qc ) ∼ L1/% u#(0).
dUL
dq :
(6.10)
Aplicando as equações (6.8) (6.9) e (6.10) numa escala log-log, as inclinações das respectivas retas fornecem estimativas para os expoentes $ /% , ' /% e 1/% . Na Figura (6.2) temos a
magnetização e a susceptibilidade críticas, em função do tamanho linear L da rede quadrada
numa escala log-log. Nesta escala as leis de potência se destacam num padrão linear, sobre o qual realizamos a regressão linear. Exibimos três ordens de grandeza da probabilidade
p = 0.005, 0.05, 0.5, sobre as quais medimos as quantidades M L (qc ) e &L (qc ). O resultado desta
análise encontra-se resumido na Tabela (6.2). Nesta tabela, também apresentamos as regressões
lineares para outros valores de p, estendendo assim a análise sobre o intervalo 0.0 ≤ p ≤ 1.0.
Na Figura (6.3) temos a derivada do cumulante de Binder uL (qc) em função do tamanho
6.2 FENÔMENOS CRÍTICOS SOBRE REDES DE MUNDO PEQUENO
117
2.7
2.6
log10 uL(qc)
2.5
2.4
2.3
p = 0.005
p = 0.05
p = 0.5
2.2
2.1
2.0
2.1
log10 L
2.2
2.3
Figura 6.3 Estimativa para o expoente 1/% . Na figura temos a derivada do cumulante de Binder uL (qc )
calculada em q = qc em função do tamanho linear L da rede quadrada, numa escala log-log. Consideramos três ordens de grandeza para a probabilidade p : 0.005, 0.05 e 0.5. A inclinação da linha sólida,
obtida pela regressão linear do conjunto de dados, fornece a estimativa para o expoente 1/% .
linear L da rede quadrada, numa escala log-log. Para a construção deste gráfico, consideramos
p = 0.005, 0.05 e 0.5, representando três ordens de grandeza deste parâmetro. Após a regressão linear sobre o conjunto de dados, determinamos as estimativas para o expoente 1/% . Os
resultados desta análise também encontram-se resumidos na Tabela (6.2).
Ao considerarmos os resultados para os expoentes medidos, na Tabela (6.2), poderíamos
argumentar, em princípio, que tais expoentes dependem da fração de atalhos p. De fato, alguns
trabalhos afirmam que esta dependência existe e os expoentes críticos seriam alterados em
função de p, para uma rede de mundo pequeno não-direcional [CdOM03]. Entretanto, na
referência [EL07], os autores consideram o MV M sobre redes de mundo pequeno dirigidas e
concluem que os expoentes não dependem do parâmetro p, mas teriam valores diferentes da
versão não-dirigida [CdOM03], apesar de obterem expoentes muito próximos. Observe ainda
que este efeito (do parâmetro de controle sobre os expoentes) foi observado no Capítulo 2, no
contexto do modelo do grupo votante (MGV ), onde os expoentes parecem depender do alcance
118
CAPÍTULO 6 AS REDES DE MUNDO PEQUENO
p
0.000
0.005
0.010
0.05
0.10
0.50
0.80
1.00
Resultados para Redes de Mundo-Pequeno
qc
$ /%
' /%
%
0.0846(2)
0.125
1.75
1.000
0.0857(3) 0.494(3) 1.008(8) 1.003(8)
0.0865(3) 0.506(8) 0.979(6) 1.006(5)
0.1056(2) 0.512(4) 0.969(3) 1.006(5)
0.1216(3) 0.564(9) 0.899(4) 0.997(7)
0.1847(3) 0.502(4) 0.995(2) 1.001(5)
0.2124(4) 0.560(6) 0.872(6) 0.961(7)
0.2250(3) 0.509(3) 0.991(4) 1.008(6)
de f f
2.000
1.996(4)
1.991(6)
1.993(8)
2.030(9)
1.999(4)
1.992(6)
2.009(4)
Tabela 6.2 Resultados para o parâmetro crítico qc , os expoentes críticos $ /% , ' /% e 1/% , e a dimensão
efetiva (de f f ) para o MV M sobre uma rede de mundo pequeno, definida a partir de uma rede regular
quadrada, considerando valores de . no intervalo 0.0 ≤ p ≤ 1.0.
NPCS . Ao construirmos as curvas de colapso de dados, verificamos que o MGV pertence à
classe de universalidade de Ising. Portanto, procederemos da mesma maneira para o caso das
redes de mundo pequeno. Considerando as funções:
#
M(x)
= ML (q)L$ /% ,
(6.11)
&#(x) = &L (q)L−' /% ,
(6.12)
#
U(x)
= UL (q),
(6.13)
com x = , L1/% . Tais funções representam o colapso de dados para um dado valor de p fixo
e diferentes valores de L. Ressaltamos que as curvas universais são obtidas apenas quando
utilizamos os corretos valores dos expoentes. Na Figura (6.4), exibimos as curvas universais
da magnetização para p = 0.005 e p = 0.80, e cinco valores para o tamanho linear da rede
quadrada: L = 100, 120, 140, 160 e 180. Para a construção destas curvas consideramos o conjunto de expoentes: $ /% = 0.50 e 1/% = 1.0. Na Figura (6.5) temos as funções universais
119
6.2 FENÔMENOS CRÍTICOS SOBRE REDES DE MUNDO PEQUENO
2.5
3.0
p = 0.005
2.0
$/%
ML(q)L
2.0
ML(q)L
$/%
2.5
1.5
p = 0.80
1.5
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0,1
1
1/%
|,|L
10
0.0
0,1
1
10
1/%
|,|L
#
Figura 6.4 Funções universais M(x),
com x = , L1/% , do parâmetro de ordem para p = 0.005(à esquerda)
e p = 0.80 (à direita). Consideramos cinco diferentes valores de L, a saber, L = 100, 120, 140, 160 e 180.
As curvas universais são consistentes com os expoentes: $ /% = 0.500 e 1/% = 1.00.
da susceptibilidade para p = 0.05 e p = 0.80. Consideramos ' /% = 1.0 e 1/% = 1.0 para a
construção destas curvas. Uma análise final para validarmos os expoentes obtidos consiste em
calcularmos a dimensão efetiva (de f f ), através da relação de hiperescala: 2 $% + %' = de f f . Este
cálculo também se encontra na Tabela (6.2), onde obtemos d e f f ≈ 2 para todos os valores de
p analisados. Este resultado está de acordo com o fato de que d e f f deve ser igual à dimensão
euclidiana d = 2 da rede quadrada.
Com os resultados até agora apresentados, concluímos que o modelo do votante majoritário,
definido sobre redes de mundo pequeno, possui os seguintes expoentes críticos: $ = 1/2, ' =
1.0 e % = 1.0. Estes expoentes são de fato independentes do parâmetro p, que define a fração
de arestas de atalho na rede. Também acreditamos que estes expoentes sejam os mesmos para
a versão direcional [EL07]. Como a transição entre a rede regular e a rede de mundo pequeno
ocorre para pc = 0 [NW99a], temos que para qualquer valor de p > 0, os expoentes críticos
serão assim definidos. Quando comparamos estes expoentes com aqueles definidos pela teoria
120
CAPÍTULO 6 AS REDES DE MUNDO PEQUENO
15
5
p = 0.05
p = 0.80
4
7'/%
&L(q)L
&L(q)L
7'/%
10
L = 100
L = 120
L = 140
L = 160
L = 180
5
3
2
1
0
-10
-5
0
1/%
5
0
-10
,L
0
-5
5
1/%
,L
Figura 6.5 Funções universais &#(x), com x = , L1/% , da susceptibilidade para p = 0.005 (à esquerda) e
p = 0.80 (à direita). Consideramos cinco diferentes valores de L, a saber, L = 100, 120, 140, 160 e 180.
As curvas universais são consistentes com os expoentes: ' /% = 1.00 e 1/% = 1.00.
de Landau, concluímos que os expoentes $ e ' são de campo médio. Entretanto temos % )= % MF ,
o que corresponde a um resultado bastante inusitado!
Recordemos que o modelo do votante majoritário, assim como o modelo de Ising, possuem
simetria de inversão. Então é de se esperar que sobre uma mesma topologia esses modelos
forneçam os mesmos expoentes críticos [BG85]. Consideremos então os expoentes críticos do
modelo de Ising para redes de mundo pequeno [KHH+ 01, Her02, Can07]. Nestes trabalhos,
os autores analisam o modelo de Ising sobre redes bidimensionais de mundo pequeno, mas as
relações de escala utilizadas tomam o número total N de sítios como parâmetro de escala ao
invés de L. Por exemplo, a equação (6.5) em termos de N toma a seguinte forma:
# , N 1/% ),
MN (q) ∼ N −$ /% M(
(6.14)
onde por definição % = d % . Em resumo, as relações de escala de tamanho finito são descritas
pelos expoentes $ /% , ' /% e 1/% , quando consideramos N como parâmetro de escala. Com base
6.2 FENÔMENOS CRÍTICOS SOBRE REDES DE MUNDO PEQUENO
121
nestas relações, temos os seguintes resultados[KHH +01, Her02, Can07]: $ = 1/2, ' = 1 e % =
2. Comparando com os resultados apresentados neste capítulo, concluímos que os expoentes
$ e ' são os mesmos da teoria de campo médio. Resta-nos ainda a questão sobre o expoente
% . Vários autores, em especial [KHH+ 01, Her02, Can07, DGM08], determinam v = 2 para
o modelo de Ising nas redes de mundo pequeno e concluem portanto que este expoente é de
campo médio. De fato este resultado foi obtido quando consideramos o MV M sobre grafos
aleatórios (Capítulo 4). Nestes grafos, obtivemos Y = 2X, ou seja d = d c = 4. Determinamos
assim que % = 1/2, que é o valor de campo médio. Entretanto, para o modelo de Ising, o MGV ,
e o MV M também obtemos % = 2 em redes regulares bidimensionais, onde temos d = 2 e
portanto % = 1. A questão então se resume em saber qual a dimensão efetiva da rede de mundo
pequeno. Com a análise que descrevemos para os expoentes, verificamos d = 2 e desta forma,
redes de mundo pequeno definiriam uma classe de universalidade mista com expoentes de Ising
e de campo médio. Na Tabela (6.3) encontram-se os expoentes críticos que definem as classes
de universalidade de Ising (2D e 3D) e campo médio. Acrescentamos ainda os expoentes
críticos obtidos neste capítulo para redes de mundo pequeno 2D e uma pespectiva com relação
a estas redes em 3D, considerando o (MV M) e com as relações de escala em função de L.
Nesta perspectiva, acreditamos que não teremos ambiguidades com relação ao expoente % e
comprovaremos a possibilidade desta nova classe.
Classes de Universalidade
Classe
$
'
Ising (2D)
1/8
7/4
Mundo Pequeno (2D)
1/2
1
Ising (3D)
0.3267 1.237
Mundo Pequeno (3D)
?
?
Campo Médio
1/2
1
%
1
1
0.63
?
1/2
d
2
2
3
3
4
Tabela 6.3 Expoentes de críticos para as classes de universalidade de Ising e Campo Médio. Também
apresentamos os expoentes críticos obtidos para a rede de mundo pequeno, que em princípio, determinam uma classe de universalidade própria com um único conjunto de expoentes.
122
CAPÍTULO 6 AS REDES DE MUNDO PEQUENO
Na versão original das redes de mundo pequeno [WS98], o alcance das conexões toma um
papel importante sobre o coeficiente de agregação. Se considerarmos a definição de tal coeficiente, para interações que levam em conta somente primeiros vizinhos, teremos %C& = 0.
Somente com interações maiores que primeiros vizinhos, verificaremos a famosa figura que
considera a %C& e %l& em função da probabilidade de religação [WS98, NW99a]. Entretanto,
não encontramos na literatura de fenômenos críticos, trabalhos que considerem interações além
de primeiros vizinhos sobre redes de mundo pequeno. Mais ainda, se observarmos novamente
as Figuras (6.2) e (6.3), verificaremos que as amplitudes críticas da magnetização, susceptibilidade e derivada do cumulante de Binder são reduzidas com o aumento da fração de atalhos
p. O que nos faz acreditar que possamos estabelcer as curvas de hipercolapso também para as
redes de mundo pequeno. Na próxima seção, iremos considerar as análises iniciais sobre estas
questões.
6.3 Adicionando atalhos no MGV
Nesta seção vamos analisar os resultados preliminares relacionados à introdução de atalhos
no modelo do grupo votante. Usamos o algoritmo descrito na seção 5.1 para a adição de arestas,
determinando assim uma fração pN de atalhos.
Para esta versão temos uma dinâmica outflow sobre redes de mundo pequeno, onde NPCS ,
p e q definem o novo espaço de parâmetros. Calculamos a magnetização, susceptibilidade e
o cumulante de Binder através dos estimadores (6.1), (6.2) e (6.3). O tempo será medido em
termos de passos de Monte Carlo (MCS) e 1 MCS corresponderá a N tentativas de alteração do
estado dos agentes. Adotaremos o procedimento de atualização assíncrono [SFM11]:
1. Sorteamos um dado sítio j da rede e a partir deste sítio geramos o bloco persuasivo (veja
123
6.3 ADICIONANDO ATALHOS NO MGV
o algoritmo no Capítulo 2);
2. Tomamos o estado dos sítios pertencentes ao bloco e dos sítios conectados ao sítio j
através de arestas de atalho;
3. Sorteamos um sítio i adjacente ao PCS e tentamos alterar seu estado com a seguinte taxa
de probabilidade;
.
/
NPCS +Np
1
1 − (1 − 2q)2iS( / 2 j+) ) .
wi (2 ) =
2
) =1
(6.15)
onde o somatório se estente sobre todos os sítios N p conectados a j através de arestas de
atalho e sobre todos os sítios NPCS pertencentes ao grupo persuasivo.
0.2
q 0.15
Fase Ordenada
MGV (NPCS = 4)
MVM
0.1
0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Figura 6.6 Diagrama de fase para as dinâmicas inflow e outflow sobre redes de mundo pequeno. Para
a dinâmica inflow consideramos o modelo do votante majoritário sobre a rede de mundo pequeno. Para
a dinâmica outflow utilizamos o modelo do grupo votante com adição de arestas de atalho e NPCS = 4.
Na região 0.0 < p ≤ 0.4 a dinâmica outflow considerada favorece um maior ordenamento no sistema.
Entretanto na região p > 0.40 as dinâmicas são equivalentes.
Ao repetirmos este procedimento N vezes, teremos completado 1 MCS. Utilizamos tamanhos de rede tais que 100 ≤ L ≤ 200. Para um dado NPCS , calculamos os parâmetros críticos qc ,
124
CAPÍTULO 6 AS REDES DE MUNDO PEQUENO
0.4
0.3
q 0.2
NPCS = 4
NPCS = 9
NPCS = 16
NPCS = 25
NPCS = 64
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
p
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Figura 6.7 Diagrama de fases do modelo do grupo votante (MGV ) em redes de mundo pequeno com
uma densidade p de atalhos. Cada curva, obtida para um NPCS fixo, mostra a dependência do parâmetro
crítico qc com a densidade p. Consideramos os seguintes valores: NPCS = 4, 9, 16, 25 e 64. Observe que
a influência do parâmetro p sobre o ruído crítico é tanto maior quanto menor for o valor de NPCS .
a partir da interseção de curvas do cumulante de Binder, considerando valores de . definidos no
intervalo 0.0 ≤ p ≤ 1.0. Desta forma construimos o diagrama de fases do modelo. Em especial
para NPCS = 4, temos o mesmo número de sítios que definem a interação local que a versão
inflow da seção anterior. Portanto, podemos mais uma vez comparar os respectivos diagramas
de fase. Na Figura (6.6) apresentamos o diagrama de fase para o MGV (outflow) em função
da densidade de atalhos p para NPCS = 4 e o diagrama de fase do MV M (inflow) também em
função de p. Observamos nesta figura que para p > 0.40, as dinâmicas se equivalem, mas na
região 0.0 ≤ p ≤ 0.40 a presença de arestas de atalhos faz com que o ordenamento seja maior
na dinâmica outflow.
Na Figura (6.7) temos o diagrama de fase do MGV em função da fração p de atalhos. Cada
curva é obtida para um NPCS fixo. Consideramos os seguintes valores: NPCS = 4, 9, 16, 25 e 64.
Observamos na Figura (6.7) que quanto maior o valor de NPCS menos intensa é a influência do
parâmetro p sobre o ruído crítico do sistema. Isto implica que teremos um maior ordenamento
125
6.3 ADICIONANDO ATALHOS NO MGV
com a presença de arestas de atalho se tomarmos baixos valores da interação local. A partir de
um certo valor de NPCS , a influência de p passa a ser irrelevante.
Outra questão interessante refere-se aos expoentes críticos. Calculamos alguns expoentes
críticos para NPCS = 4 e NPCS = 16. Observamos que as arestas de atalhos alteram de fato os
expoentes críticos do modelo do grupo votante. Determinamos os valores $ = 1/2, ' = 1 e
% = 1, calculados para p = 0.005 e p = 0.50 em ambos os valores de NPCS . Este resultado
é esperado uma vez que a influência da dinâmica (inflow ou outflow) não altera a simetria do
modelo. Entretanto não realizamos medidas de expoentes para valores maiores de NPCS nos
quais o parâmetro p não altera (significativamente) o ruído crítico. Este cálculo também será
considerado em futuros trabalhos.
0.5
0.4
]
7'/%
0.3
log10 [ &L(qc,p)L
$/%
log10 [ML(qc,p)L ]
0.4
0.2
0.1
0.0
-0.1
0.2
0.0
-0.2
-0.4
X = 0.225 (4)
Y = 0.373 (5)
-0.6
-0.2
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
log10 p
-0,5
0
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5
log10 p
0
Figura 6.8 Estimativas para os expoentes Xmp e Ymp para o MGV com adição de arestas de atalhos.
Na figura temos a magnetização (à esquerda) e a susceptibilidade (à direita) medidas sobre o parâmetro
crítico qc , para NPCS = 4, em função da densidade de atalhos p numa escala log-log. Reescalamos o eixo
das ordenadas pelo fator L$ /% para magnetização e L' /% para a susceptibilidade. Cada ponto representa
uma média entre os seguintes tamanhos de rede: L = 100, 160, 180 e 200. Através da regressão linear
do conjunto de dados determinamos as seguintes estimativas: Xmp = 0.225(4) e Ymp = 0.373(5).
Com o aumento da fração de atalhos, as flutuações críticas diminuem. Observamos este
efeito nas Figuras (6.2) e (6.3). Este fato sugere que possamos escrever funções de colapso de
126
CAPÍTULO 6 AS REDES DE MUNDO PEQUENO
dados incluindo o parâmetro p, da mesma maneira que realizamos para as quantidades NPCS e
! , para redes regulares e aleatórias, repectivamente. Na Figura (6.8) temos uma análise inicial
para a determinação dos expoentes Xmp e Ymp que descrevem a redução das amplitudes críticas
da magnetização e da susceptibilidade nas redes de mundo pequeno. Nesta figura consideramos as quantidades ML (qc, p)L$ /% e &L (qc , p)L−' /% em função de p numa escala log-log para
NPCS = 4. A partir da regressão linear sobre o conjunto de dados determinamos as seguintes
estimativas: Xmp = 0.225(4) e Ymp = 0.373(5). Entretanto, como observamos na Figura (6.7),
o efeito do parâmetro p sobre o comportamento crítico varia para cada valor de NPCS considerado e desta forma, acreditamos que os expoentes Xmp e Ymp também variam com o parâmetro
NPCS . Temos ainda que considerar a estimativa do expoente Z mp , associado à amplitude crítica
da derivada do cumulante de Binder.
Vemos portanto que as redes de mundo pequeno fornecem ainda um contexto bastante fértil
para pesquisas futuras. Podemos enumerar os seguintes pontos-chave:
1. Determinação mais precisa do expoente % . Como exemplo podemos calcular este expoente numa topologia tridimensional, onde não temos ambiguidades sobre tal expoente;
2. Descrição da redução das amplitudes críticas com o parâmetro p;
3. Um melhor desenvolvimento da relação entre o ruído crítico q c e os parâmetros NPCS e
p.
C APÍTULO 7
Conclusões e Perspectivas
Nesta Tese construímos e estudamos o modelo do grupo votante (MGV ) sobre redes bidimensionais regulares, que analisa a influência de um grupo de pessoas sobre a opinião de seus
vizinhos. Vimos que o número NPCS de agentes no grupo persuasivo é um parâmetro relevante
para a dinâmica e que define o alcance da interação. Temos ainda que todos os agentes possuem uma certa resistência q à influência exercida pelo grupo persuasivo. Através da análise de
campo médio simples, verificamos que o modelo apresenta uma transição de fase contínua, do
tipo ordem-desordem, a partir de um certo valor de q, denominado ruído crítico q c , e NPCS > 2.
Ainda considerando os resultados de campo médio, construímos o diagrama de fases do modelo no espaço de parâmetros NPCS × q, onde observamos que aumentando o grupo persuasivo,
mais tendenciosa será a decisão da vizinhança em adotar a opinião majoritária do grupo. Ou
seja, com o aumento no parâmetro NPCS favorece o ordenamento no sistema. Esta tendência
foi compravada considerando simulações de Monte Carlo, onde calculamos a magnetização
(parâmetro de ordem), a susceptibilidade e o cumulante de Binder. Através do cruzamento das
curvas do cumulante de Binder, determinamos os parâmetros críticos de ruído para cada valor
de NPCS e construímos mais uma vez o diagrama de fases do modelo, que apresenta comportamento semelhante ao que foi obtido via aproximação de campo médio.
Para determinarmos a classe de universalidade do MGV calculamos, via simulações de
Monte Carlo sobre o parâmetro crítico qc , a magnetização, a susceptibilidade e a derivada do
cumulante de Binder. E utilizando regressões lineares sobre as respectivas relações de escala,
obtemos estimativas para os expoentes $ /% , ' /% e 1/% . Realizando este cálculo para vários
127
128
CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
valores de NPCS , verificamos que os expoentes obtidos estão próximos dos expoentes Ising. De
fato, através do estudo de colapso de funções constatamos que os expoentes críticos estáticos
do modelo do grupo votante, sobre redes quadradas regulares, são os mesmos do modelo de
Ising, a saber: $ = 1/8, ' = 1.75 e % = 1.0.
Ainda no Capítulo 3, realizamos também a análise da dinâmica de tempos curtos, onde calculamos os expoentes críticos dinâmicos - , ( , * , + e z. Considerando este estudo para vários
valores de NPCS concluímos que os expoentes dinâmicos obtidos são aproximadamente os mesmos, isto é, independentes de NPCS e dados por - = 0.196(3), ( = 0.744(5), * = 0.803(5), + =
0.0739(5) e z = 2.19(2). A dependência tipo lei de potência com estes expoentes somente
é observada para intervalos de tempo t > tmic , onde tmic depende do valor de NPCS . De fato,
"
observamos uma dependência na forma tmic ∼ NPCS , onde estimamos " = 0.600(4). Como
perspectiva para esta análise, determinaremos a influência da dimensionalidade do sistema sobre o valor do expoente " , incluindo cálculos em redes complexas.
Observamos no Capítulo 4 que o aumento no parâmetro de alcance implica numa redução
das amplitudes críticas. Esta redução segue uma lei de potência onde os expoentes X , Y e Z
descrevem a dependência, respectivamente, da magnetização, susceptibilidade e derivada do
cumulante de Binder, com relação ao parâmetro NPCS . No contexto da teoria de crossover, os
expoentes X e Y são previstos e seus valores exatos são X = 0.375 e Y = 0.750. Estes resultados foram confirmados através das simulações de Monte Carlo, onde calculamos as amplitudes
críticas da magnetização e susceptibilidade em função do parâmetro NPCS . A partir da regressão linear para estas quantidades, obtivemos os valores de X = 0.375(3) e Y = 0.750(3) para o
modelo do grupo votante na rede quadrada. Entretanto não há uma descrição teórica com relação ao expoente Z, que define a dependência das amplitudes críticas da derivada do cumulante
de Binder. Realizando regressões lineares para esta quantidade em função do parâmetro NPCS ,
conseguimos obter Z = 0.250(6). Esta estimativa foi confirmada através do colapso de curvas
para a magnetização e cumulante de Binder em função de NPCS e do conjunto de expoentes
CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
129
obtidos. Uma vez que confirmamos os resultados para os expoentes X , Y e Z, a análise final
do Capítulo 4 consistiu na obtenção de curvas universais que não dependeriam dos parâmetros
q, L e NPCS . Tais curvas foram denominadas de funções de hipercolapso e foram obtidas para a
magnetização, susceptibilidade e cumulante de Binder, reafirmando não somente os expoentes
críticos obtidos, mas também as novas relações de escala construídas.
Já comentamos que o parâmetro NPCS não altera os expoentes críticos dinâmicos. Entretanto, nos resultados de tempo curto no Capítulo 03, observamos que N PCS interfere nas amplitudes críticas das quantidades calculadas, como a função de correlação e o segundo momento
da magnetização. Acreditamos que a dependência dessas amplitudes com NPCS deve ser descrita através de algum expoente e sua obtenção nos serve como estímulo para trabalhos futuros.
Mais ainda, a descrição completa do crossover no modelo do grupo votante torna-se bastante
pertinente para um melhor entendimento deste fenômeno e para o cálculo dos expoentes $ e f f
e 'e f f [Lub03].
No Capítulo 5 descrevemos várias propriedades referentes à redes aleatórias clássicas. Em
especial, realizamos a análise dos fenômenos críticos sobre esta topologia, onde a conectividade média ! é o parâmetro relevante para definir o alcance da interação. Considerando o
modelo do votante majoritário e um conjunto de valores para ! , calculamos os expoentes críticos associados ao parâmetro de ordem, à susceptibilidade e ao volume de correlação, dados
respectivamente por: $ , ' e % . Estes expoentes foram medidos através de simulações de Monte
Carlo e regressões lineares para as grandezas relacionadas em função do tamanho finito do sistema. Desta análise obtivemos expoentes próximos aos expoentes clássicos: $ = 1/2, ' = 1
e % = 2, existindo ainda uma pequena variação entre os valores calculados para diferentes
conectividades médias. Entretanto obtemos o colapso de curvas para a magnetização e susceptibilidade para diferentes valores de ! , comprovando assim que os expoentes críticos sobre
grafos aleatórios clássicos são expoentes de campo médio. Observamos que o aumento da
conectividade média favorece uma redução nas amplitudes críticas, analogamente ao que foi
130
CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
observado para redes regulares no contexto do MGV . Como os grafos clássicos apresentam
simetria translacional, conseguimos descrever as relações de escala para grafos aleatórios em
termos de ! , determinando assim novos expoentes críticos, a saber, X,Y e Z, que descrevem,
respectivamente, a dependência da magnetização, da susceptibilidade e do cumulante de Binder, em função da conectividade média. Os expoentes foram obtidos através da regressão linear
das amplitudes críticas em função de ! , para vários valores de N. Com esta análise obtivemos
as seguintes estimativas: X = 0.250(5), Y = 0.500(7) e Z = 0.125(2), confirmadas através do
colapso de curvas em função de NPCS . As novas relações de escala, bem como todo o conjunto
de expoentes obtidos, foram também confirmados através das funções de hipercolapso que representam funções universais da magnetização, da susceptibilidade e do cumulante de Binder
nos grafos aleatórios clássicos.
Fenômenos críticos sobre redes de mundo pequeno foram descritos no Capítulo 6, onde estudamos o modelo do votante majoritário (MV M) e o modelo do grupo votante com adição de
atalhos (MGVA). Para MV M temos uma dinâmica inflow com interação de primeiros vizinhos
mais os sítios localizados pelas arestas de atalhos. No MGVA temos uma dinâmica outflow,
na qual o grupo de NPCS sítios mais os sítios localizados pelas arestas de atalhos constituem o
grupo persuasivo. Em ambos os modelos determinamos os diagramas de fase e os respectivos
expoentes críticos. Vimos que o MV M e o MGVA com NPCS = 4 apresentam diagramas de
fases equivalentes a partir de uma dada fração p∗ de atalhos. Além disso observamos para o
diagrama do MGVA que à medida que o número de agentes persuasivos cresce, a densidade
p apresenta pouca influência sobre o parâmetro crítico de ruído. Com relação aos expoentes
críticos, os dois modelos são descritos pelo mesmo conjunto de expoentes, a saber: $ = 1/2,
' = 1.0 e % = 1. Os expoentes $ e ' representam valores de campo médio. Entretanto nosso
resultado para o expoente % parece estar em contradição com alguns trabalhos [Her02] que
afirmam que todos os expoentes são de campo médio para redes de mundo pequeno. Entretanto
criticamos os resultados obtidos por estes autores, uma vez que eles calculam o expoente as-
CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
131
sociado ao volume de correlação, % , que possui o mesmo valor em redes bidimensionais e em
redes com dimensão maior ou igual à dimensão crítica d c = 4. Uma maneira de solucionarmos
esta questão é considerar o MV M ou MGVA sobre redes tridimensionais, onde não temos ambiguidades com relação ao expoente % . Destacamos que os expoentes calculados para o MGVA
foram tomados para valores baixos de NPCS , onde a influência do parâmetro p é bastante significativa. O cálculo de expoentes para valores maiores de NPCS é de considerável importância
para uma completa descrição do modelo.
Assim como observamos para os parâmetros ! e NPCS , a densidade de atalhos p também
reduz as amplitudes críticas. Em função desta observação, conjecturamos a existência de expoentes do tipo X ,Y e Z para redes de mundo pequeno o que implicaria não somente em novos
expoentes como também em novas relações de escala. Numa descrição inicial, obtivemos as
estimativas X = 0.225(4) e Y = 0.373(5) através de simulações de Monte Carlo e regressões
lineares para a magnetização e a susceptibilidade.
Referências Bibliográficas
[Aha76a]
A. Aharony. Dependence of universal critical behaviour on symmetry and range
of interaction. Phase transition and critical phenomena, 6, 1976.
[Aha76b]
A. Aharony. The 5 -expansion for exponents and the equation of state in isotropic
systems. Phase transition and critical phenomena, 6:051122, 1976.
[AKST92]
M. A. Anisimov, S. B. Kiselev, J. V. Sengers, and S. Tang. Crossover approach
to global critical phenomena in fluids. Physica, A188:487, 1992.
[ANB77]
J. Als-Nielsen and R. J. Birgeneau. Mean-field theory, the Ginzburg criterion,
and marginal dimensionality of phase transitions. Am. J. Phys., 45:554, 1977.
[BG85]
C. H. Bennett and G. Grinstein. Role of irreversibility in stabilizing complex
and nonergodic behavior in locally interacting discrete systems. Phys. Rev. Lett.,
55:657, 1985.
[BHK09]
B. Berche, M. Henkel, and R. Kenna. Critical phenomena: 150 Years since
Cagniard de la Tour. J. Phys. Studies, 13:3001, 2009.
[BK92]
M. Y. Belyakov and S. B. Kiselev. Crossover behaviour of the susceptibility and
the specific heat near a second phase-transition. Physica, A195:75, 1992.
[Bol80]
B. Bollobás. A probabilistic proof of an asymptotic formula for the number of
labelled regular graphs. European Journal of Combinatorics, 1:311–316, 1980.
[Bol85]
B. Bollobás. Random Graphs. London: Academic Press., 1985.
133
134
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[Bre82]
E. Brezin. An investigation of finite size scaling. J. Phys. (Paris), 43:15, 1982.
[Can07]
J. Candia. Non-equilibrium opinion spreading on 2D small-world networks. J.
Stat. Mech.:Theory and Experiment, 09:09001, 2007.
[CdOM03]
P. R. A. Campos, V. M. de Oliveira, and F. G. Brady Moreira. Small-world effects
in the majority-vote model. Phys. Rev. E, 67:026104, 2003.
[CH10]
R. Cohen and S. Havlin. Complex Networks: Structure, Robustness and Function.
Cambridge, 2010.
[CPS08]
C. Castellano and R. Pastor-Satorras. Routes to thermodynamics limit on scalefree networks. Phys. Rev. Lett., 100:148701, 2008.
[CPS11]
C. Castellano and R. Pastor-Satorras. Irrelevance of information outflow in opinion dynamics models. Phys. Rev. E, 83:016113, 2011.
[DCS94]
B. Drossel, S. Clar, and F. Schwabl. Crossover from percolation to self-organized
criticality. Phys. Rev. E., 50:2399, 1994.
[DGM08]
S. N. Dorogovtsev, A. V. Goltsev, and J. F. F. Mendes. Critical phenomena in
complex networks. Rev. Mod. Phys., 80:1275, 2008.
[dO92]
M. J. de Oliveira. Isotropic majority-vote model on a square lattice. J. Stat. Phys.,
66:273, 1992.
[dO05]
M. J. de Oliveira. Termodinâmica. Livraria da Física, 2005.
[dOD05]
M. M. de Oliveira and R. Dickman. How to simulate the quasistationary state.
Phys. Rev. E, 71:016129, 2005.
[Dro02]
Adam Drozdek. Data Structure and algorithms in C++. Thomson Learning,
2002.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[EL07]
135
M. S. Luz Edina and F. W. S. Lima. Majority-vote on directed small-world
networks. Int. J. Mod. Phys. C, 18:1251, 2007.
[ER60]
P. Erdös and A. Rényi. On the evolution of random graphs. Publications of the
Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Science, 5:17–61, 1960.
[FFCPS11a] S. C. Ferreira, R. S. Ferreira, C. Castellano, and R. Pastor-Satorras. Quasistationary analysis of the contact process on annealed scale-free networks. Phys. Rev.
E, 83:066113, 2011.
[FFCPS11b] S. C. Ferreira, R. S. Ferreira, C. Castellano, and R. Pastor-Satorras. Quasistationary analysis of the contact process on quenched networks. Phys. Rev. E,
84:066102, 2011.
[Gin60]
V. L. Ginzburg. Some remarks on the phase-transitions of the second kind and
the microscopic theory of ferroelectric materials. Sov. Phys. Solid State, 2:1824,
1960.
[Her02]
C. P. Herrero. Ising model in small-world networks. Phys. Rev. E, 65:066110,
2002.
[HHL08]
M. Henkel, H. Hinrichsen, and S. Lübeck. Non-equilibrium phase transition Absorbing phase transition, volume 1. Springer, 2008.
[HHP07a]
M. Ha, H. Hong, and H. Park. Comment on "non-mean-field behavior of the
contact process on scale-free networks". Phys. Rev. Lett., 98:029801, 2007.
[HHP07b]
M. Ha, H. Hong, and H. Park. Finite-size scaling in complex networks. Phys.
Rev. Lett., 98:258701, 2007.
[HKJ89]
B. Schmittmann H. K. Janssen, B. Schaub. New universal short-time scaling
behavior of critical relaxation processes. Z Phys. B, 73:539, 1989.
136
[Jan92]
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
H. K. Janssen. Topics in Modern Statistical Physics. World Scientific, Singapore,
1992.
[Kad00]
Leo P. Kadanoff. Statistical Physics: Statics, Dynamics and Renormalization.
World Scientific, 2000.
[KB93]
G. Kamieniarz and H. W. J. Blote. Universal ratio of magnetization moments in
two-dimensional Ising models. J. Phys. A: Math. Gen., 26:201, 1993.
[KHH+ 01]
B. J. Kim, H. Hong, P. Holme, G. S. Jeon, P. Minnhagen, and M. Y. Choi. XY
model in small-world networks. Phys. Rev. E, 64:056135, 2001.
[LB96]
E. Luijten and K. Binder. Medium-range interactions and crossover to classical
critical behaviour. Phys. Rev. E, 54:4626, 1996.
[LB98]
E. Luijten and K. Binder. Nature of crossover from classical to ising-like critical
behavior. Phys. Rev. E., 58:4060, 1998.
[LBB97]
E. Luijten, H.W.J. Blöte, and K. Binder. Nonmonotonic crossover of the effective
susceptibility exponent. Phys. Rev. Lett., 79:561, 1997.
[LFF05]
F. W. S. Lima, U. L. Fulco, and R. N. Costa Filho. Majority-vote model on a
random lattice. Phys. Rev. E, 71:036105, 2005.
[Lim06]
F. W. S. Lima. Majority-vote on directed Barabasi-Albert networks. Int. J. Mod.
Phys. C, 17:1257, 2006.
[Lim07]
F. W. S. Lima. Majority-vote on undirected Barabasi-Albert networks. Communications on Computational Physics, 2:358, 2007.
[LSS08]
F. W. S. Lima, A. O. Sousa, and M. A. Summor. Majority-vote on directed erdösrényi random graphs. Physica A, 387:3503, 2008.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[Lub02]
137
S. Lubeck. Crossover phenomenon in self-organized critical sandpile models.
Phys. Rev. E., 62:6149, 2002.
[Lub03]
S. Lubeck. Universal behavior of crossover scaling functions for continuous
phase transitions. Phys. Rev. Lett., 90:210601, 2003.
[Lub04a]
S. Lubeck. Universal scaling behaviour of non-equilibrium phase-transitions. Int.
J. Mod. Phys. B, 18:3977, 2004.
[Lub04b]
S. Lubeck. Violation of the widom scaling law for effective crossover exponents.
Phys. Rev. E, 69:066101, 2004.
[Lub06]
S. Lubeck. Tricritical directed percolation. J. Stat. Phys., 123:193, 2006.
[Mar90]
M. C. Marques. Nonequilibrium ising model with competing dynamics: A mfrg
approach. Phys. Lett. A, 145:379, 1990.
[MB93]
K. K. Mon and K. Binder. Finite size scaling and crossovers to mean field critical
behavior in the two-dimensional Ising model with medium-ranged interactions.
Phys. Rev. E, 48:2498, 1993.
[Mon11]
Luiz Henrique Alves Monteiro. Sistemas Dinâmicos Complexos. Livraria da
Física, 2011.
[Mor12]
F. G. B. Moreira. Notas de Aula do curso de transições de fase e fenômenos
críticos. 2012.
[MPM10]
D. F. F. Melo, L. F. C. Pereira, and F. G. B. Moreira. The phase diagram and
critical behavior of the three-state majority-vote model. J. Stat. Mech., 11:11032,
2010.
[NW99a]
M. E. J. Newman and D. J. Watts. Renormalization group analysis of the smallworld network model. Phys. Lett. A, 263:341, 1999.
138
[NW99b]
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
M. E. J. Newman and D. J. Watts. Scaling and percolation in the small-world
network model. Phys. Rev. E, 60:7332, 1999.
[OdJ11]
I. S. Oliveira and V. L. B. de Jesus. Introdução à Física do Estado Sólido. Livraria
da Física, 2011.
[OSYZ97]
K. Okano, L. Schülke, K. Yamagishi, and B. Zheng. Universality and scaling in
short-time critical dynamics. Nuclear Phys. B, 485:727, 1997.
[PF83]
V. Privman and M. E. Fisher. Finite-size effects at first order transitions. J. Stat.
Phys., 33:385, 1983.
[PM05]
L. F. C. Pereira and F. G. B. Moreira. Majority vote model on random graph.
Phys. Rev. E, 71:016123, 2005.
[RW69]
E. K. Riedel and F. J. Wegner. Scaling aproach to anisotropic magnetic systems
statics. Z. Phys., 225:195, 1969.
[SFM11]
C. I. N. Sampaio-Filho and F. G. B. Moreira. Block voter model: Phase diagram
and critical behavior. Phys. Rev. E, 84:051133, 2011.
[Sta71]
H. E. Stanley. Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena. Clarendon Press, Oxford, 1971.
[TdO98]
T. Tome and M. J. de Oliveira. Short-time dynamics of critical nonequilibrium
spin models. Phys. Rev. E, 58:4242, 1998.
[TdO01]
Tânia Tomé and Mário José de Oliveira. Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade. EDUSP., 2001.
[WS98]
D. J. Watts and S. H. Strogatz. Collective dynamics of "small world"networks.
Nature, 393:440–442, 1998.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[Zhe98]
139
B. Zheng. Monte carlo simulations of short-time critical dynamics. Int. J. Mod.
Phys., 12:1419, 1998.
Este volume foi tipografado em LATEX na classe UFPEThesis (www.cin.ufpe.br/~paguso/ufpethesis).