DE 4 – Matemática potências com expoentes negativos

PA_Matematica_9_DE04
Potências com expoentes negativos
Atividade 1 – O que você já sabe
Professor, essa lenda do xadrez é muito utilizada para motivar os alunos a compreenderem o
significado de notação científica, em que apresentamos também os expoentes negativos, que é
a maneira mais simplificada de tratarmos com números com muitas ordens naturais ou
decimais.
Sugere-se que essa DE seja trabalhada quase toda em grupo para que os alunos possam
trocar ideias e buscar a generalização dos procedimentos para transformar um número na
notação científica, ou seja, a divisão de potência em expoente negativo.
A única atividade a ser desenvolvida individualmente é a que propõe a solução da Questão
OnLine (Atividade 5).
Dê tempo para os alunos lerem a lenda do jogo de xadrez e assimilarem este grande número
apresentado à turma.
Ao final desta atividade, questione os alunos se eles sabem jogar xadrez e se gostariam de
aprender. A ideia aqui é uma proposta para você começar a organizar na sua escola oficinas
de aprendizado deste jogo, extremamente interessante e que auxilia no ensino da matemática.
Como fazer isso?
1 – Comece identificando os alunos que se interessam em aprender o jogo.
2 – Caso você domine o jogo e suas regras, já temos meio caminho andado. Se não costuma
jogar, procure saber se há colegas na escola, entre os professores e quadro gestor que sabem
jogar xadrez com segurança.
3 – Já temos os alunos interessados e os professores em potencial. É hora de pensar em
organizar a oficina de xadrez, que pode ser a proposta da área de matemática para a escola.
Vale a pena e pode ser uma agitação bem interessante.
Atividade 2 - O expoente negativo na prática
Professor, oriente seus alunos a completarem a tabela corretamente. Observe os resultados
em vermelho.
n
1
2
3
4
5
2n
2
4
8
16
32
 multiplica por 2
Explique aos alunos que à medida que caminhamos para a direita os resultados são
multiplicados pela base; nesse caso 2, conforme pediu o inventor do jogo de xadrez.
Em seguida, comente com eles os estudos do matemático renascentista Nicole d’ Oresme
sobre cálculos com expoentes negativos.
Em seguida, desafie os alunos a resolverem a Atividade Interativa que segue, estimulando-os a
utilizarem a calculadora para resolver as potências:
n
0
1
2
3
4
n
1
3
9
27
81
3
divide por 3
5
6
243
729
--------------------------------------------
Na sequência, os alunos são desafiados a responder sobre o que acreditam que pode
acontecer quando percorrermos essa tabela para valores cada vez menores de n? Converse
com seus colegas e professor.
Espera-se que eles respondam que os resultados serão menores que 1 a partir de n = -1 (que
é um passo importante para entender os expoentes negativos). Oriente-os nesse sentido. Esta
questão ficará mais clara na tabela apresentada na atividade 3.
Atividade 3: Os expoentes negativos e o eles que representam
Aqui você e os alunos trabalharão mais o conceito de expoente negativo. Trabalhe com eles os
conceitos desta atividade e detenha-se o tempo que for necessário nas informações trazidas
pelas tabelas da DE. Ressalte aos alunos que assim como podemos caminhar para a direita infinitamente – multiplicando o resultado da potência pela base, também podemos caminhar
infinitamente para a esquerda dividindo o resultado da potência pela base. Foi nisso que o
matemático d´Oresme pensou. Com isso ele chegou à representação de uma potência com
expoente negativo, quando a base se apresentava na forma de fração, como demonstra a
tabela na DE do aluno.
Em seguida, apresente essa tabela de forma mais completa a seus alunos:
4-1 = 1/4 , 4-2 = 1/16, 4-3 = 1/64
41 = 4, 42 = 16, 43 = 64
n
-3
-2
-1
0
1
2
3
n
1
1
1
1
4
16
64
64
16
4
4
Divide por 4
----------------------------------
Se tiver tempo, pode estender a tabela para outros expoentes negativos. E, na continuação,
explore com os alunos os exemplos propostos na DE e vá comentando a propriedade utilizada
e as passagens feitas, como por exemplo:
- Note que na fração o numerador se transforma em denominador e vice-versa.
Números muito grandes ou muito pequenos e seus significados
Professor, nessa atividade é importante que os alunos, em dupla, percebam a dimensão dos
números propostos abaixo. Eles também devem saber que, nestes casos, utilizamos uma
propriedade para compensar essa dimensão e sua escrita.
Por exemplo, dado o número 342. 105, para que o primeiro fator esteja compreendido entre 1 e
10, ele deverá ser dividido por 100, mas para o produto não ser alterado, o segundo fator
deverá ser multiplicado por 100, ou seja:
342.105 = 342 . 100. 105 = 3,42 . 102.105 = 3,42.107
100
Reforce que se tratando de expoentes positivos para a potência de base 10, o número em
questão é natural e representa um número demasiadamente grande. Tratando de expoentes
negativos para a potência de base 10, no entanto, o número em questão é decimal e
representa uma medida muito pequena.
Trabalhe com os alunos as demais informações desta atividade, verificando se eles estão
assimilando os conteúdos desenvolvidos. Caso perceba a necessidade, retome o que já foi
tratado e trabalhe novamente com os alunos para que eles não fiquem com dúvidas a esse
respeito.
Atividade 4: Agora é com você!
Aqui os alunos desenvolvem um exercício em uma planilha do Excel para registro das suas
informações. Por isso, será necessário explicar à turma como trabalhar com estas planilhas,
em suas versões mais simples.
No final, lembre os alunos de que devem salvar o seu arquivo e enviá-lo para você.
Durante o exercício, oriente os alunos a realizarem algum tipo de anotação para entender a
dimensão dos números e verificar as propriedades exploradas nessa aula. A intenção desse
exercício é exatamente essa: mostrar que há várias formas de representar um mesmo número.
Cabe a eles escolherem a que julgarem mais fácil.
1 = 0,01 = 10-2
2 = 0,02= 2. 10-2
4 = 0,04 =4. 10-2
8 = 0,08 =8. 10-2
16 =0,16=1,6.10-1
100
100
100
100
100
32 = 0,32 = 3,2.10-1
64 =0,64=6,4.10-1
128= 1,28 =
256 = 2,56 =
512 = 5,12 =
100
100
100
100
100
1,28 . 100
2,56 . 100
5,12 . 100
16 384 = 163,84
1 024 = 10,24 =
2 048 = 20,48 =
4 096 = 40,96 =
8192 = 81,92 =
100
100
100
100
1,024 . 101
2,048 . 101
4,096 . 101
8,192 . 101
100
= 1,6384 . 102
32 768 = 327,68
100
= 3,2768 .
65 536 = 655,36
100
102
= 6,5536 .
1 048 576 = 10485,76
100
100
102
2 097 152 =
100
= 1,048576 . 104
104
2,097152 .
67 108 864=
100
100
335544,32= 3,3554432.
105
= 1,31072 .
4 194 304=
6,7108864.
105
= 2,62144 .
524 288 = 5242,88
100
103
8 388 608=
= 5,24288 . 103
16 777 216=
100
100
41943,04= 4,194304.
83886,08= 8,388608.
167772,16=
104
104
1,6777216. 105
134 217 728=
268 435 456=
536 870 912=
100
671088,64=
262 144 = 2621,44
100
103
100
20971,52 =
33 554 432=
131 072 = 1310,72
100
1342177,28=
1,34217728.
106
100
2684354,56=
2,68435456.
106
5368709,12=
5,36870912. 106
A tarefa dos alunos aqui consiste em dois jogos interativos, que eles jogarão em duplas. Ajudeos no que for preciso.
Jogo da notação científica
Gabarito
103 = 1000
105 = 100000
Um milionésimo = 10-6
0,01 = 10-2
27 milhões = 2,7.107
Um bilionésimo = 10-9
0,0015 = 1,5.10-3
Jogo dos expoentes negativos
Gabarito
a) 2-3
1 1

23 8
b) 3-2
3
c)  
4
1 1

32 9
2
d) 10-5
1
e) 

 10 
4
2
f) 5-1
1
5
g) (-3)-1
1
 3
1
3

1
3
3
4
 16 
   
3
9
3
d)  
2
2
 8 
   
3
 27 
1
1

5
100000
10
e) (0,7)-2
7
 
 10 
104 = 10 000
f) (-0,22222...)-3
2


 9 
2
3
2
100
 10 
  
49
7
3
729
 9 

 
8
2