Aula 4 – Potências com expoentes negativos e

DE 5 - Propriedades de potências com expoentes inteiros – 9º ano
Atividade 1 – O que você já sabe
Professor, esta é uma atividade mobilizadora para o tema trabalhado nesta DE.
Procure explorar a história de Arquimedes com os alunos, falando sobre este
matemático de mil instrumentos da Antiguidade.
Caso os alunos se interessem em saber um pouco mais sobre Arquimedes e sua
história, você pode acessar os sites:
http://www.estudamaisbrasil.com.br/2006/enciclo/encicloverb/0,5977,BRA31758,00.html
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-pt/99-Oliveira-Ponte(Educ&Matpotencias).doc
Atividade 2 – Explorar propriedades das potências com expoentes inteiros
Aqui são exploradas as potências com expoentes inteiros, a partir da regra
desenvolvida por Arquimedes:
Para chegar ao número de 1051, Arquimedes fez uma série de tentativas e muitos
cálculos. Finalmente utilizou uma regra equivalente à propriedade da multiplicação
de potências com mesma base, a qual diz que é preciso conservar a base e somar
os expoentes para se obter números desse tamanho.
ATENÇÃO:
Vejam só como é a aplicação da regra:
1051 = 103 x 108 x 108 x 108 x 108 x 108 = 103+8+8+8+8+8+8
Conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Se achar conveniente, apresente outros exemplos na lousa, antes de formalizar a
propriedade apresentada abaixo.
Observe:
24. 23 = 2.2.2.2 . 2.2.2 = 27
24. 23 = 24+3 = 27
É possível generalizar essa propriedade da seguinte forma:
an x am = an+m
Professor, lembre-se de que as letras utilizadas podem sofrer alterações conforme o
livro utilizado pelo aluno. É importante comentar que elas servem para representar
qualquer valor numérico e pode-se usar qualquer uma, desde que pertençam aos
seguintes conjuntos: a pode ser qualquer valor numérico real com exceção de 00
(indeterminação matemática) e os expoentes (m / n) podem ser qualquer valor
inteiro (positivo, negativo ou zero).
Analise os exemplos:
Nos casos com expoente
negativo, a base deve ser
diferente de zero.
a) (-3)6. (-3)2 = (-3)6+2 = (-3)8
b) 53.5-2 = 53 . 1 = 5.5.5 = 51 = 53+(-2)
52
6
2
5. 5
3
2 2 2
2
  .  .    
9
c)  9   9   9 
6  ( 2 )  3
2
 
9
7
Atividade 3: Quociente de potências de mesma base
Aqui, vale a pena conversar com seus alunos relembrando a prova real que
fazíamos quando estávamos aprendendo as 4 operações. Leve-os a enxergar que a
divisão é a operação inversa à multiplicação. Se achar necessário, crie um exemplo
e demonstre.
245:5 = 49, pois 49 x 5 = 245
Sabemos que a operação inversa à multiplicação é a divisão, então também
podemos estender essa ideia para a divisão de potências de mesma base. Observe:
Podemos simplificar
cada numerador 3
por um denominador
3 que resulta em 1
38 = 3.3.3.3.3.3.3.3 = 3.3.3.3.3.3.3.3 = 3.3.3 = 33
35
3.3.3.3.3
3.3.3.3.3
Professor, mostre a simplificação da maneira usual, cortando cada 3 numerador por
um 3 denominador. Relembre que todo número dividido por ele mesmo é = 1. Pode
até mostrar que 1.1.1.1.1. 3.3.3, se achar necessário.
Que nada mais é do que:
38 = 38-5 = 33
35
Neste caso, conserva-se a base e se subtrai os expoentes.
an = an-m
am
Explore com os alunos os outros exemplos propostos na DE, e vá comentando a
propriedade utilizada e o que foi feito.
ATENÇÃO:
Lembre-se de que quando o expoente não aparece é porque ele é 1.
Atividade 4: Agora é com você
Agora os alunos irão desenvolver um exercício em que terão de trabalhar em uma
planilha de Excel já existente. No entanto, alguns deles podem ter dificuldades para
entender o que é preciso fazer. Esclareça as dúvidas da turma e ajude no que for
necessário, para que chegue a bom termo. Lembre-se de que estão aprendendo e
aprender é o mais importante aqui.
Essa planilha do Excel é de uso fácil: basta colocar os valores em cada célula para a
solução aparecer.
O que você deve orientar é que os alunos observem as regras estabelecidas em
cada situação – aquelas que eles conseguem visualizar. Se achar conveniente, peça
que registrem suas conclusões.
Respostas esperadas:
Base positiva e expoente par: o resultado é sempre positivo.
Base positiva e expoente ímpar: o resultado é sempre positivo.
Base negativa e expoente par: o resultado é sempre positivo.
Base negativa e expoente ímpar: o resultado é sempre negativo.
Toda potência de base 1 tem resultado sempre 1.
Todo número elevado a 1 tem sempre o próprio número como resultado.
Todo número, com exceção do 0, elevado a 0 dá sempre resultado 1.
Atividade 5: Para jogar e gostar de aprender
Esta é uma atividade que oferece uma sequência de exercícios interativos para
testar os conhecimentos dos alunos de uma forma bem gostosa.
Oriente-os a desenvolverem a tarefa em duplas e os ajude no que for necessário.