Números Complexos - NS Aulas Particulares

Números Complexos
1. (Epcar (Afa) 2013) Considerando os números complexos z1 e z2, tais que:
— z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante
— z 2 é raiz da equação x 4  x 2  12  0 e Im  z2   0
Pode-se afirmar que z1  z2 é igual a
a)
b)
c)
d)
2 3
3 3
1 2 2
22 2
2. (Espcex (Aman) 2013) Sendo Z o conjugado do número complexo Z e i a unidade
imaginária, o número complexo Z que satisfaz à condição Z  2 Z  2  Zi é
a) z  0  1i
b) z  0  0i
c) z  1  0i
d) z  1 i
e) z  1– i
3. (Unicamp 2013) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo
tal que i2  1.
Então i0  i1  i2  i3 
a) 0.
b) 1.
c) i.
d) 1  i.
 i2013 vale
3 3 3

i na forma algébrica e
2
2
w  3(cos θ  isenθ) na forma trigonométrica, onde 0  θ  2π , assinale o que for correto.
4. (Uem 2012) Considerando dois números complexos, z  
3
01) z  w  z  w .
π
, então w  z .
3
04) z 4  27z .
02) Se θ 
π
08) Se θ  , então
2
10
zw 


 w 
9
 z10 .
9
16) w 3  (z)3  (w)3  z3  w  z .
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5. (Ufsm 2012) Observe a vista aérea do planetário e a representação, no plano ArgandGauss, dos números complexos z1, z2, ..., z12, obtida pela divisão do círculo de raio 14 em 12
partes iguais.
Considere as seguintes informações:
I. z2  7 3  14i.
II. z11  z3 .
III. z5  z4  z11.
Está(ão) correta(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) apenas II e III.
 2 1 i 1 


6. (Fgv 2012) É dada a matriz A  (a ij ) 3  3 tal que A   1  i 1  i  sendo i a unidade
 1
i
0 

imaginária: i 2   1.
a) Escreva a matriz B  ( b ij ) 3  3 , substituindo os elementos da matriz A pelos seus números
complexos conjugados, ou seja, b i j é o complexo conjugado do elemento a ij
b) Determine a área do triângulo cujos vértices são os afixos dos elementos b23 e b32 e o
afixo do determinante da matriz B.
7. (Insper 2012) Considere um número complexo z, de módulo 10, tal que z  K  i  , em que
2
K é um número real. A parte real desse número complexo é igual a
a) 5 3.
b) 8.
c) 5 2.
d) 6.
e) 5.
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8. (Espcex (Aman) 2012) Seja o número complexo z 
x  yi
, com x e y reais e i2  1.
3  4i
Se x2  y2  20, então o módulo de z é igual a:
a) 0
b) 5
2 5
5
d) 4
e) 10
c)
z
9. (Ufpe 2012) Analise as afirmações seguintes sob
(
(
(
1 i
2
:
) z é uma das raízes quadradas do complexo i.
) z4  1.
π
π
) A forma trigonométrica de z é cos    isen   .
4
4
(
) z2012  1.
(
) z, z3 , z5 e z7 são as raízes complexas da equação x 4  1  0.
10. (Insper 2012) No conjunto dos números complexos, o número 1 apresenta três raízes
1  i 3
1  i 3
e
. Os pontos que correspondem às representações desses três
2
2
números no plano de Argand Gauss são vértices de um triângulo de área
cúbicas: 1,
a)
b)
c)
d)
e)
3
4
3
2
3 3
4
3
1
11. (Ifsp 2011) Sendo i a unidade imaginária, considere os números complexos z = 1 + i e w =
z2 − z. Um argumento de w é

a) .
3

b) .
2
2
c)
.
3
3
.
d)
4
5
.
e)
4
12. (G1 - ifal 2011) O valor da potência (1  i)10 é:
a) 11i.
b) 5i.
c) 32i.
d) 50i.
e) 1  5i.
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13. (G1 - cftmg 2011) A medida do argumento dos números complexos z  x  yi
pertencentes à reta y  x , em radianos, é
π
5π
.
ou
4
4
π
3π
b)
.
ou
2
2
π
π
ou
c) 
4
4
π
4π
d)
.
ou
3
3
a)
14. (Mackenzie 2010) Se y = 2x, sendo x=
1 i
ei=
1 i
1 , o valor de (x + y)2 é
a) 9i
b) – 9 + i
c) –9
d) 9
e) 9 – i
15. (Fgv 2010) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i) 20 – (1 – i)20 é igual a
a) –1024.
b) –1024i.
c) 0
d) 1024.
e) 1024i.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Calculando as raízes cúbicas de 8i, temos:


x3  8i  0  x3   2i  0   x  2i   x2  2ix  4  0  x  2i ou x   3  i ou x  3  i.
3
Portanto Z1   3  i
Resolvendo a equação x 4  x 2  12  0, temos: x2 
2
1  49 1  7 x  3  x   3

2 1
2
x2  4  x  2i
Portanto Z2 = 2i
e z1  z2   3  i  2i   3  3i 
 3 
2
 32  12  2 3.
Resposta da questão 2:
[D]
Se z  a  bi, com a e b reais, então z  a  bi. Desse modo,
z  2z  2  zi  a  bi  2  (a  bi)  2  (a  bi)  i
 3a  bi  (b  2)  ai.
Logo, obtemos o sistema
3a  b  2
a  1

.

a  b
b  1
Portanto, o número complexo z que satisfaz a condição dada é z  1  i.
Resposta da questão 3:
[D]
Calculando a soma dos 2014 termos de uma P.G de primeiro termo 1 e razão i, temos:
i0  i1  i2  i3 
 i2013 
1.(i2014  1) i2  1 2 (1  i)



 i 1
i 1
i  1 i  1 (1  i)
Resposta da questão 4:
01 + 04 + 08 = 13.
Dados Iniciais
3 3 3
2π
2π
z 
i  z  3(cos
 isen
)
2
2
3
3
(01) Verdadeiro.
2
2
 3 3 3 
z  a  b  z     
 3
 2   2 
2
2
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w 3
2
2
 3  3 3 
z  a  b  z     
 3
2 
 2  
2
2
3
Portanto, z  w  z  z . w . z  (3)(3)(3)  (3)3  w .
(02) Falso.
Para θ 
π
π
3 3 3
π
i então w  z .
, temos: w  3(cos  isen )  
3
3
2
2
3
(04) Verdadeiro.
3 3 3
81 81 3
z 
i  27z   
i
2
2
2
2

2π
2π
2π 
2π  


z  3(cos
 isen
)  z 4  3 4  cos  4 
  isen  4 

3
3
3 
3 



 1
3   81 81 3 
z 4  81  
   

 2
2   2
2 

Portanto, z4  27z .
(08) Verdadeiro.
π
π
π
Para θ  , Temos: w  3(cos  isen )  w  3i e w  3i
2
2
2
10
 3 3 3 

   
  3i  
10
2 
zw 
 2

Logo, 
  

3i
 w 






10
 3 3 3
  

 2
2 

 z10 .
(16) Falso.
3
3
3
3
w 3  (z)3  (w)3  z3  w . (z)  (w) . (z)  312
9
w z
9
 318
Portanto,
9
3
w  (z)3  (w)3  z3  w  z
9
Resposta da questão 5:
[B]
I. FALSA, pois Z2  14  (cos30  i  sen30)  7 3  7i.
II. VERDADEIRA, pois Z11 e Z3 são simétricos em relação ao eixo das abscissas.
III. FALSA, pois
Z5  14  (cos120  i  sen120)
Z 4  14  (cos90  i  sen90)
Z11  Z3  14  (cos 60  i  sen60)
Z 4  Z11  14  14  cos(60  90)  i  sen(60  90)   Z5 .
Portanto, apenas a afirmação dois é verdadeira.
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Resposta da questão 6:
 2 1 i 1


a) B =  1  i 1
i .
 1
i 0 

b) Calculando o determinante de B, temos:
det(B) = – i – 1 + i – 1 – 1 – 2 = – 5. Logo, o afixo do det(B) é (–5,0)
b23 = (0,1) e b32 = (0,–1).
Desenhando o triângulo, temos:
Logo, a área da figura será:
25
A
 5.
2
Resposta da questão 7:
[B]
Escrevendo o número complexo z na forma algébrica, obtemos
z  (k  i)2  (k 2  1)  2k  i.
Sabendo que | z |  10 e | z |  | (k  i)2 |  | k  i |2  k2  1, vem
k 2  1  10  k 2  9.
Portanto, Re(z)  k2  1  9  1  8.
Resposta da questão 8:
[C]
Sabendo que
z1
|z |
| x  yi |
 1 , com z2  0, obtemos | z | 

z2
| z2 |
| 3  4i |
x2  y2
2
3 4
2

20
25

2 5
.
5
Resposta da questão 9:
V – F – V – F – V.
Se z é uma das raízes quadradas do complexo i, então z2  i. De fato,
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2
1  2i  1
 1 i 
z2  
 i.
 
2
2


Temos que z4  (z2 )2  i2  1.
π
π
Escrevendo cos    isen   na forma algébrica, encontramos
4
4
2
2
1
1
π
π
cos    isen   

i

i  z.
4
4
2
2
2
2
Como z 2  i, segue que z2012  (z2 )1006  i1006  i2  1.
Sabendo que z 4  1, temos que z é raiz da equação x 4  1  0. Além disso,
(z3 )4  (z4 )3  (z5 )4  (z4 )5  (z7 )4  (z4 )7  1
e, portanto, z3 , z5 e z7 também são raízes da equação x 4  1  0.
Resposta da questão 10:
[C]
Localizando os afixos no plano complexo, temos o triângulo da figura.
Calculando sua área:
 3 
3    1 
 

   1 
 2  2     2  


A
2
3
3
2
A
2
A
3. 3
4
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Resposta da questão 11:
[D]
W = (1 + i)2 – (1 +i)
Desenvolvendo, temos:
W = - 1 + i = (=1, i)
Logo, seu argumento será 135o (90o + 45o).
Resposta da questão 12:
[C]
Sabendo que
i5  i4  i  (i2 )2  i  ( 1)2  i  i,
vem
(1  i)10  [(1  i)2 ]5
 (1  2i  i2 )5
 ( 2i)5
 ( 2)5  i5
 32i.
Resposta da questão 13:
[A]
45o 
π
5π
e 225o 
4
4
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Resposta da questão 14:
[C]
x=
1  i 1  i i 2  2i  i 2 2i


 i e y = 2i
1 i 1 i
2
12  i 2
(x+y)2 = (i + 2i)2 = (3i)2 = 9i2 = - 9
Resposta da questão 15:
[C]
(1  i)20  ((1  i)2 )10  (1 2i  i2 )10  (2i)10  1024.i2
(1  i)20  ((1  i)2 )10  (1 2i  i2 )10  ( 2i)10  1024.i2
logo (1  i)20  (1  i)20  0
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