Nome :

Números Complexos
Aprofundamento em Matemática – Prof. Wilson Júnior.
Nome : ................................................................................. no ............. Turma : .....................
01. (UNESP 2001 – Exatas) Considere os números complexos
z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), onde i é a unidade imaginária e x é
um número real. Determine:
a) o número complexo z1.z2 em função de x;
b) os valores de x tais que Re(z1.z2)  Im(z1.z2), onde Re
denota a parte real e Im a parte imaginária do número
complexo.
02. (UNESP 2004 – Exatas) Considere os números complexos
w = 2i e z = (1 + i). Determine:
a) z2 e (w2. z + w), onde z indica o conjugado de z.
b) |z| e |w| . Mostre que a seqüência ( 1 , |z| , |w| , |z.w| , |w2| )
é uma progressão geométrica, determinando todos os seus
termos e a sua razão.
03. (Fuvest 2006 – 2ª fase) Determine os números complexos
 zi  1
z que satisfazem, simultaneamente, |z| = 2 e Im 
 .
 1 i  2
Lembretes: i2 = –1, se w = a + bi, com a e b reais, então
| w | a 2  b2 e Im(w) = b.
04. (UNICAMP 2005 – 2ª fase) De um número complexo
z = x + yi , z  0, pode ser escrito na forma trigonométrica:
x
z = |z|.(cos + isen), onde |z| = x 2  y2 , com cos =
e
|z|
y
sen =
. Essa forma de representar os números complexos
|z|
não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo
de potências inteiras de números complexos, em virtude da
fórmula de De Moivre:
[ |z|.(cos + isen) ]k = |z|k .(cosk + isenk)
que é válida para todo k  N. Use essas informações para:
a) Calcular

3 i

12
2
2
, calcular o valor de
i
2
2
1 + z + z2 + z3 + ... + z15.
b) Sendo z =
06. (ITA 2006) Se   [0, 2 ) é o argumento de um número
complexo z  0 e n é um número natural tal que
(z / | z |)n  i.sen(n ) , então é verdade que
a) 2n é múltiplo de 2
b) 2n –  é múltiplo de 2
c) n – /4 é múltiplo de /2
d) 2n –  é múltiplo não nulo de 2
e) n – 2 é múltiplo de 
07. (MACKENZIE 2003 – Grupos II e III) Se i2 = –1, o
i2003  i
é
i 1
a) da forma a + bi, com a + b = 1.
b) um número de módulo 2 .
c) um imaginário puro.
d) um número real.
e) um número de módulo 1.
complexo
08. (ITA 2005) Se z  C com |z| = 1. Então a expressão
1  z.w
assume valor
zw
a) maior que 1, para todo w com |w| > 1.
b) menor do que 1, para todo w com |w| < 1.
c) maior do que 1, para todo w com w  z.
d) igual a 1, independente de w com w  z.
e) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|.
09. (UNESP 2007 – Exatas) Considere os números complexos
w = 4 + 2i e z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e
i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de
um triângulo é |z| e a base é a parte real de z.w, determine a
de modo que a área do triângulo seja 90 cm2.
10. (UNESP 2003) Se z = (2 + i).(1 + i).i , então z , o
conjugado de z , será dado por
a) – 3 – i.
d) – 3 + i.
b) 1 – 3i.
e) 3 + i.
c) 3 – i.
RESPOSTAS
05. (UFSCar 2005) Sejam i a unidade imaginária e a n o
n-ésimo termo de uma progressão geométrica com a 2 = 2.a1.
Se a1 é um número ímpar, então ia1  ia 2  ia 3  ...  ia10 é
igual a
a) 9i ou – 9i.
d) 8 + i ou 8 – i.
b) – 9 + i ou – 9 – i.
e) 7 + i ou 7 – i.
c) 9 + i ou 9 – i.
01. a) z1.z2 = (2x – 2) + (x + 4)i
b) {x R| x  6}
2
2
02. a) z = 2i e w . z + w = – 4 + 6i
b) |z| = 2 , |w| = 2 . A seqüência é ( 1 , 2 , 2 , 2 2 , 4 )
que é uma progressão geométrica de razão 2 .
03. z = 2i ou z = –2
04. a) 4096
b) 0
05. e
08. d
06. b
09. a = 3 cm
07. b
10. a