Exercícios Transformações lineares - MTM

Exercícios Transformações lineares
1. Mostre que cada uma das aplicações seguintes é uma transformação linear de R2
em R2. Descreva geometricamente o que cada uma delas faz.
(b) Lx    x
(a) Lx    x1 , x 2 
1
(d) L x   x
2
T
(c) Lx   x 2 , x1 
T
(e) Lx  x2 e2
2. Seja L a transformação linear de R2 em si mesmo definida por
T
L(x) = x1 cos   x 2 sen , x1 sen  x 2 cos  
Expresse x1, x2 e L(x) em coordenadas polares. Descreva geometricamente o efeito
dessa transformação linear.
3. Seja a um vetor fixo não-nulo em R2. Uma aplicação da forma
L{x) = x + a
é chamada de translação. Mostre que uma translação não e uma transformação linear.
Ilustre geometricamente o efeito de uma translação.
4. Determine se as transformações de R3 em R2 a seguir são ou não lineares.
(a) Lx  x2 , x3 
(b) Lx   0 , 0
T
T
(d) Lx   x3 , x1  x2 
(c) Lx   1  x1 , x 2 
T
T
5. Determine se as transformações de R2 em R3 a seguir são ou não lineares.
(a) Lx   x1 , x 2 ,1
(b) Lx   x1 , x 2 , x1  2 x 2 
(c) Lx   x1 , 0 , 0
(d) Lx   x1 , x2 , x12  x22
T
T
T


T
6. Determine se as transformações de R n x n em R n x n a seguir são ou não lineares.
(b) L(A) = AT
(d) L(A) = A - AT
(a) L(A) = 2A
(c) L(A) = A + 1
7. Determine se as transformações de P2 em P3 a seguir são ou não lineares.
(a) L(p(x))=xp(x)
(b) L px   x 2  px
(c) L px   px   xpx   x 2 p´x 
8. Para cada f  C[0, 1], defina L( f) = F, onde
F x    f t dt
x
0
0  x 1
Mostre que L é uma transformação linear de C[0, 1] em C[0, 1]. Depois,
encontre L e x e L x 2 .
 
 
9. Determine se as transformações de C[0, 1] em R1 a seguir são ou não lineares.
(a) L f   f 0
(b) L f   f 0
(c) L f    f 0  f 1/ 2
(d) L f  
  f x dx
1
2
12
0
10. Se L é uma transformação linear de V em W, use indução matemática para
provar que
L1 v1   2 v 2     n v n  = 1 Lv1    2 Lv 2      n Lv n 
11. Seja {v1, ..., vn} uma base para um espaço vetorial V e sejam L1 e L2 duas
transformações lineares de V em um espaço vetorial W. Mostre que, se
L1 vi   L2 vi 
para cada i = 1, ..., n, então L1 = L2 [isto é, mostre que L1(v) = L2(v) para todo v
 V].
12. Seja L, uma transformação linear de R1 em R2 e seja a = L(1). Mostre que L(x) =
ax para todo x  R1.
13. Seja L um operador linear de um espaço vetorial V nele mesmo. Defina, por
recursão, o operador Ln, n  1 da seguinte maneira:
L1  L
k 1
k
para todo v  V
L v   L L v 
n
Mostre que L é um operador linear para todo n  1.


14. Sejam L1 : U  V e Le : V  W transformações lineares e seja L = i, o L, a
transformação definida por
Lu   L2 L1 u 
para u  U. Mostre que L é uma transformação linear de U em W.
15. Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares de R 3
em R3.
(a) Lx  x3 , x2 , x1 
T
(b) Lx   x1 , x2 ,0
T
(c) Lx   x1 , x1 , x1 
T
16. Seja S o subespaço de R3 gerado por e1 e e2. Para cada um dos operadores
lineares no Exercício 15, determine L(S).
17. Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares de P 3
em P3 dadas a seguir.
(a) L(p(x))= xp'(x)
(b) L(p(x)) = P(x) - p'(x)
(c) L(p(x)) = P(x) + p(l)
18. Seja L : V  W uma transformação linear e seja T um subespaço de W. A
imagem inversa de T, denotada por L1 T , é definida por
L1 T   v  V Lv  T 
Mostre que L1 T  é um subespaço de V.
19. Uma transformação linear L : V  W é dita injetora se L(v1) = L(v2) implica
que v1 = v2 (isto é, dois vetores distintos v1 e v2  V não podem ser levados no
mesmo vetor w  W). Mostre que L e injetora se e somente se ker(L) = {0v}.
20. Um operador linear L : V  W é dito sobrejetor se L(V) = W. Mostre que o
operador L : R 3  R 3 definido por
Lx  x1 , x1  x2 , x1  x2  x3 
T
é sobrejetor.
21. Quais dos operadores no Exercício 15 são injetores? Quais são sobrejetores?
22. Seja A uma matriz 2 X 2 e seja LA o operador definido por
LA(x) = Ax
Mostre que:
(a) LA leva R2 no espaço coluna de A;
(b) se A é invertível, então LA é sobrejetora de R2 em R2.
23. Seja D o operador derivada em P3 e seja
S  p  P3 p0  0
Mostre que:
(a) D de P3 em P2 é sobrejetora, mas não é injetora;
(b) D : S  P3 é injetora, mas não e sobrejetora.
Exercícios Representação matricial de transformações lineares
1. Para cada uma das transformações lineares L no Exercício 1 da Seção 1 ,
encontre a matriz A que representa L.
2. Para cada uma das transformações lineares L de R3 em R2 a seguir, encontre uma
matriz A tal que L(x) = Ax para todo x em R3.


(b) Lx , x , x    x , x 
(c) Lx , x , x    x  x , x
(a) L x1 , x2 , x3   x1  x2 , 0
T
T
1
2
3
1
2
3
T
T
1
2
T
2
1
 x2 
T
3
3. Para cada uma das transformações lineares L de R3 em /?•' a seguir, encontre
uma matriz A tal que L(x) = Ax para todo x em K3.


(b) Lx , x , x    x , x  x , x  x  x 
(c) Lx , x , x    2 x , x  3x ,2 x  x 
(a) L x1 , x2 , x3   x3 , x2 , x1 
T
T
T
1
2
3
T
1
1
2
1
2
3
T
1
2
3
T
3
2
1
1
3
4. Seja L a transformação linear de R3 em R3 definida por
Lx   2 x1  x2  x3 , 2 x2  x1  x3 , 2 x3  x1  x2 
Determine a matriz A de L em relação a base canônica e use-a para encontrar
L(x) para cada um dos vetores x a seguir.
(a) x = (l,l,l)T
(b) x = (2,l,l)T
(c) x = (-5,3,2)T
5. Encontre a representação matricial canônica para cada um dos operadores
lineares L em R2 descritos a seguir.
(a) L roda cada vetor x de 45° no sentido anti-trigonométrico.
(b) L reflete cada vetor x em relação ao eixo dos x1 e depois roda o vetor refletido de
90° no sentido trigonométrico.
(c) L dobra o comprimento do eixo.depois roda o vetor obtido de 30° no sentido
trigonométrico.
(d) L reflete cada vetor x em relação a reta x1 = x2 e depois projeta o vetor refletido
sobre o eixo dos x1.
6. Sejam
1
1
0
 
 
 
b1 =  1  , b2 =  0  ,
b3 =  1 
0
1
1
 
 
 
3
2
e seja L a transformação linear de R em R definida por
Lx   x1b1  x2 b2  x1  x2 b3
Encontre a matriz A de L em relação às bases [e1, e2] e [b1, b2, b3].
7. Sejam
1
1
 
 
y1 =  1  ,
y2 =  1  ,
1
0
 
 
3
e seja I o operador identidade em R .
1
 
y3 =  0 
0
 
(a) Encontre as coordenadas de I(e,), I(e;), I(e3) em relação a [y1, y2, y3].
(b) Encontre uma matriz A tal que Ax é o vetor de coordenadas de x em relação a
[y1, y2, y3].
8. Sejam y1, y2, y3 como no Exercício 7 e seja L a transformação linear de R3 em R3
definida por
(a) Encontre a matriz de L em relação à base ordenada [y1, y2, y3].
(b) Escreva cada um dos vetores x a seguir como uma combinação linear de y1, y2, y3 e
use a matriz encontrada em (a) para determinar L(x).
(i) x = (7, 5, 2)T
(ii) x = (3, 2, l)T
(iii) x = (I, 2, 3)T
9. Seja L o operador linear de P2 em R2 definido por
 1



L(p(x)) =   p x  dx
 0


Encontre uma matriz A tal que
p 0 

 
L  x   A 
 
10. 0 operador linear definido por
L px  px  p0


vai de P3 em P2. Encontre a matriz de L em relação as bases ordenadas x 2 , x,1 e [2, 1x]. Para cada um dos vetores p(x) em P3 a seguir, encontre as coordenadas de L(p(x)) em
relação à base ordenada [2, 1 – x].
(a) x2 + 2x – 3
(b) x2 + 1
(c) 3x
(d) 4x2 + 2x
11. Seja S o subespaço de C[a, b] gerado por ex, xex e x2ex. Seja D o operador
derivada em S. Encontre a matriz de D em relação à base [ex, xex e x2ex].
12. Seja L uma transformação linear de Rn em Rn. Suponha que L(x) = 0 para algum
x = 0. Seja A a matriz de L em relação à base canônica [e1, e2, ...,em]. Mostre
que A é singular.
13. Seja L um operador linear de um espaço vetorial V em si mesmo. Seja A a
matriz de L em relação à base ordenada [v1,...,vn] [isto é, L(vj) =
n
 a v , j  1,, n ]. Mostre que Am é a matriz de Lm em relação à [v1,...,vn].
i 1
ij
i
14. Sejam E = [ul, u2, u3] e F = [b1, b2], onde
u1 = (1,0. -l)T
u2 = (1, 2, l)T
u3 = (-1, 1, 1)T
e
b1 = (1, -1)T,
b2 = (2, -1)T .
Para cada uma das transformações lineares L de R3 em R2 a seguir, encontre a
matriz de L em relação às bases ordenadas E e F.
(a) Lx   x3 , x1 
T
(b) Lx   x1  x2 , x1  x3 
(c) Lx   2 x2 , x1 
T
15. Suponha que L1 : V  W e L2 : W  Z são transformações lineares e que E, F e
G são bases ordenadas para V, W e Z, respectivamente. Mostre que, se A é a
matriz de L1 em relação às bases E e F e se B é a matriz de L2 em relação às
bases F e G, então a matriz C= BA e a matriz de L2  L1 : V  Z em relação a E
e G.
[Sugestão: Mostre que BA[v]E = L2  L1 v G para lodo v  V.)
16. Sejam V e W espaços vetoriais com bases ordenadas E e F, respectivamente. Se
L1 : V  W é uma transformação linear e A é sua matriz em relação a E e F,
mostre que;
(a) v  ker(L) se e somente se [v]E  N(A);
(b) w  L(V) se e somente se [w]F pertence ao espaço coluna de A.
Exercícios Semelhança
1. Para cada uma das transformações lineares L de R2 em R2 a seguir, determine a
matriz A que representa L em relação a [e1, e2] (ver Exercício 1 da Seção 2) e a
matriz B que representa L em relação a [u1 = (1, l)T, u2 = (-1, l)T.
(a) L(x) = (-x1, x2)T
1
x
(d) L(x) =
2
(c) L(\) = (x2, x1)T
(b) L(x) = -x
(e) L(x) = x2 e2
2. Sejam [u1, u2] e [v1, v2] bases ordenadas de R2, onde
1
u1 =   ,
1
  1
u2 =  
1
e
2
v1 =   ,
1
1
v2 =  
0
Seja L a transformação linear definida por
Lx    x1 , x2 
T
e seja B a matriz de L em relação a [u1, u2] [do Exercício 1(a)].
(a) Encontre a matriz mudança de base S de [u1, u2] para [v1, v2].
(b) Encontre a matriz A que representa L em relação a [v1, v2] calculando SBS -1.
(c) Verifique que
Lv1   a11v1  a21v 2
Lv 2   a12 v1  a22 v 2
3. Seja L a transformação linear em R3 definida por
Lx  2x1  x2  x3 , 2x2  x1  x3 , 2x3  x1  x2 
T
e seja A a matriz de L em relação a [e1, e2, e3] (ver Exercício 4 da Seção 3). Se
u1 = (1, 1, 0)T, u2 = (1, 0, l)T e u3 = (0, 1, 1)T, então [u1, u2, u3] é uma base
ordenada para R3.
(a) Encontre a matriz mudança de base U de [u1, u2, u3] para [e1, e2, e3].
(b) Determine a matriz B que representa L em relação a [u1, u2, u3] calculando U -1 AU.
4. Seja L o operador linear de R3 em R3 definido por L(x) = Ax, onde
 3 1  2 


A =  2 0  2
 2 1 1 


e sejam
1
 
v1   1  ,
1
 
1
 
v2   2  ,
0
 
 0 


v3    2 
 1 


Encontre a matriz mudança de base V de [v1, v2, v3] para [e1, e2, e3] e use-a para
encontrar a matriz B que representa L em relação a [v1, v2, v3].
5. Seja L o operador em P3 definido por
L(p(x)) = xp´ + p´´(x)
(a) Encontre a matriz A que representa L em relação à [1, x, x2].
(b) Encontre a matriz B que representa L em relação à [1, x, 1 + x2].
(c) Encontre a matriz S tal que B =S-1AS.
(d) Se p(x) = a0 + a1 x + a2(l + x2), calcule L"(p(x)).
6. Seja V o subespaço de C[a, b] gerado por l, ex, e-x e seja D o operador derivada
em V.
(a) Encontre a matriz mudança de base S que corresponde a mudança das coordenadas
em relação a [1, ex, e-x] para [l, cosh x , senh x]. [cosh x = (ex + e-x)/2, senh x = (ex – ex
)/2.]
(b) Encontre a matriz A que representa D em relação à [1, cosh x, senh x].
(c) Encontre a matriz B que representa D em relação à [1, ex, e-x].
(d) Verifique que B = S -1AS.
7. Prove que, se A é semelhante a B e se B é semelhante a C, então A é semelhante
a C.
8. Suponha que A = SAS -1, onde A é uma matriz diagonal com elementos diagonais
1 , 2 ,, n .
(a) Mostre que Asi = i si , i  1,, n .
(b) Mostre que, se x = 1s1 +  2 s2 + ... +  n sn , então
A k x  11k s1   2 k2 s2  ...   n kn sn
(c) Suponha que i  1 para i = 1, ..., n. O que acontece com A k x quando k   ?
Explique.
9. Suponha que A = ST, onde S é invertível. Seja B = TS. Mostre que B é
semelhante a A.
10. Sejam A e B matrizes n X n. Mostre que, se A e semelhante a B, então existem
matrizes S e T n X n, com S invertível, tais que
A = ST
e
B = TS
11. Mostre que, se A e B são matrizes semelhantes. então det(A) = det(B).
12. Sejam A .e B matrizes semelhantes. Mostre que;
(a) A t e B t são semelhantes;
(b) Ak e Bk são semelhantes para todo inteiro positive k.
13. Mostre que, se A é semelhante a B e se A é invertível, então B também é
invertível e A-1 e B-1 também são semelhantes.
14. O traço de uma matriz A n X n, denotado por tr(A), e a soma de seus elementos
diagonais, isto é,
tr(A) = a11 + a22 + ... + ann
Mostre que:
(a) tr(AB) = tr(BA);
(b) se A é semelhante a B, então tr(A) = tr(B).
15. Sejam A e B matrizes semelhantes e seja  um escalar arbitrário. Mostre que:
(a) A - I e B - I são semelhantes;
(b) det(A - I ) = det(B - I ).