Lista 1: Transformada de Laplace

Lista 1: Transformada de Laplace
Prof. Thiago Santos
1. Seja um simples circuito RCL, como no desenho abaixo, onde vemos uma resistência R (em ohms), uma
indutância L (em henrys), uma capacitância C (em farads) e um gerador ou bateria, fornecendo uma força
eletromotriz E(t).
Quando a chave K é fechada, ou seja, o circuito é fechado, uma carga q(t) (em coulombs) fluirá nas placas do
capacitor, gerado uma corrente, em amperes,
I(t) = q0 (t)
O tempo t é medido em segundos. Sabemos que pela Lei de Kirchoff, temos que
L
d2 q
dq 1
+ R + q(t) = E(t)
2
dt C
dt
Um indutor de 2 henrys, um resistor de 16 ohms e um capacitor de 0.02 farads estão conectados em série à
uma força eletromotriz de E(t) volts. Em t = 0, a carga sobre o capacitor e a corrente no circuito são nulas.
Encontre a carga e a corrente num tempo t > 0 qualquer, se:
a) E(t) = 300 V;
b) E(t) = 100 sin(3t) V
2. A função gama é denotada por Γ(p) e definida pela integral
Z ∞
Γ(p + 1) =
e−x xp dx
0
Esta integral converge quando x → ∞, ∀p ∈ R. Sobre está função responda as questões a seguir:
a) Mostre que, para p > 0,
Γ(p + 1) = pΓ(p)
b) Mostre que Γ(1) = 1.
c) Mostre que ∀n ∈ N, temos que Γ(n + 1) = n!.
√
d) Mostre que Γ(1/2) = π.
Z ∞
2
2
−1/2
e) Mostre que L{t
}= √
e−u du.
s 0
√
Z ∞
π
2
f) Mostre que
e−x dx =
.
2
0
g) Volte ao item (2e) e encontre a expressão final para L{t−1/2 }.
Z t
3. Suponha que g(t) =
f (σ)dσ. Mostre que
0
G(s) =
F(s)
.
s
∞
Z
4. ∗ Considerando a transformada F(s) =
e−st f (t)dt, para s > a, mostre que
0
F0 (s) = L{−t f (t)}.
5. Considere a equação de Bessel de ordem Zero
ty00 + y0 + ty = 0,
a) Mostre que Y(s) satisfaz
(1 + s2 )Y0 (s) + sY(s) = 0.
b) Encontre a solução da EDO acima.
6. Use transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais dadas.



 1 , se 0 ≤ x < π
00
, y(0) = 1, y0 (0) = 0.
a) y + 4y = 

 0 , se π ≤ x < ∞



 t , se 0 ≤ x < 1
00
b) y + 4y = 
, y(0) = 0, y0 (0) = 0.

 1 , se 1 ≤ x < ∞
c) y0 − y = 1, y(0) = 0
d) y0 + 4y = e−4t , y(0) = 0
e) y00 + 5y0 + 4y = 0, y(0) = 1, y0 (0) = 0
7. Seja f (t) uma função contínua e periódica de período T no intervalo [0, ∞). Mostre que a
L{ f (t)} =
1
1 − e−sT
T
Z
e−st f (t)dt
0
.
t
Z
8. Encontre uma função φ(t) tal que φ(0) = 0 e φ (t) +
(t − ξ)φ(ξ)dξ = 1.
0
0
9. Use transformada de Laplace para resolver a equação integral.
Z t
a) f (t) +
(t − x) f (x)dx = t
0
t
Z
b) f (t) = te +
t
t f (t − x)dx
0
t
Z
c) f (t) +
f (x)dx = 1
0
∗
Na verdade, é válido que F(n) (s) = L{(−t)(n) f (t)}.