Matemática - Globo.com

Português e Matemática
LEIA COM ATENÇÃO
01. Só abra este caderno após ler todas as instruções e quando for autorizado pelos fiscais da sala.
02. Preencha os dados pessoais.
03. A prova de PORTUGUÊS consiste de duas QUESTÕES DISCURSIVAS, que devem ser respondidas,
inicialmente, no rascunho e, em seguida, transcritas para a FOLHA DE RESPOSTAS das QUESTÕES
DISCURSIVAS. Não assine a folha de resposta das questões discursivas.
04. A prova de MATEMÁTICA contém 16 (dezesseis) questões que podem ser de proposições múltiplas e/ou de
respostas numéricas. Se o caderno não estiver completo, exija outro do fiscal da sala.
As questões de proposições múltiplas apresentam 5(cinco) alternativas numeradas de duplo zero (0-0) a
duplo quatro (4-4), podendo ser todas verdadeiras, todas falsas ou algumas verdadeiras e outras falsas. Na
folha de respostas, as verdadeiras devem ser marcadas na coluna V, as falsas na coluna F. As
questões numéricas apresentam respostas cujos valores variam de 00 a 99 que devem ser
marcados, na folha de respostas, no local correspondente ao número da questão.(COLUNA D para as
dezenas e COLUNA U para as unidades. Respostas com valores entre 0 e 9 devem ser marcadas
antepondo-se zero(0) ao valor na COLUNA D).
05. Ao receber a folha de respostas, confira o nome da prova, o seu nome e seu número de inscrição.
Comunique imediatamente ao fiscal qualquer irregularidade observada.
06. Assinale a resposta de cada questão no corpo da prova e, só depois, transfira os resultados para a folha
de respostas.
07. Para marcar a folha de respostas, utilize apenas caneta esferográfica preta ou azul e faça as marcas de
acordo com o modelo
. A marcação da folha de respostas é definitiva, não admitindo rasuras.
08. Não risque, não amasse, não dobre e não suje a folha de respostas, pois isso poderá prejudicá-lo.
09. Os fiscais não estão autorizados a emitir opinião nem a prestar esclarecimentos sobre o conteúdo das
provas. Cabe única e exclusivamente ao candidato interpretar e decidir.
10. Se a Comissão verificar que a resposta de uma questão é dúbia ou inexistente, a questão será
posteriormente anulada, e os pontos a ela correspondentes, distribuídos entre as demais.
No m e:
In s c ri ç ão :
Id e n tid ad e:
Ó rg ão Exp ed id o r:
As s i n at u r a:
COMISSÃO DE PROCESSOS
SELETIVOS E TREINAMENTOS
(0xx81) 3412 0800
(0xx81) 3412 0805
Q
QU
UE
ES
ST
TÕ
ÕE
ES
SD
DIIS
SC
CU
UR
RS
SIIV
VA
AS
S
1ª QUESTÃO
CASAIS TROCAM ALTAR POR JUIZ.
a) O que o autor da manchete jornalística acima pretende comentar?
b) Explique por que apenas nosso conhecimento da língua não é suficiente para entender
integralmente essa manchete.
2ª QUESTÃO
Um princípio básico do funcionamento das
línguas é que a escolha das palavras e
das estruturas gramaticais está a serviço
dos sentidos que se pretende expressar.
Por isso, às vezes, um autor, ao escrever
um texto, se sente à vontade para quebrar
certas regras da norma padrão, desde
que, com essa “quebra”, consiga alcançar
efeitos particulares de sentido. Explique
como esse princípio se aplica à manchete
do texto ao lado.
Capa do Jornal O dia, de 24/03/2012. Adaptada.
Matemática
01. Analise a veracidade das afirmações seguintes, sobre propriedades aritméticas
dos números:
0-0) Se n é um número natural, então, o número n(n + 1)(2n + 1) é um natural
par.
4
4
1-1) Se a e b são números reais, e a – b > 0, então, a – b > 0.
2-2) O produto de dois números irracionais é sempre irracional.
2
3-3) Se n é um número natural, então, n + n + 11 é um natural primo.
4-4) A soma de um número racional com um irracional é sempre um número
irracional.
Resposta: VFFFV
Justificativa:
0-0) Se n é um número natural, então, n ou n + 1 é par, e o produto n(n + 1)
será par, assim como o produto n(n + 1)(2n + 1).
4
4
1-1) Se escolhermos a = 0 e b = -1 teremos a – b = 1 >0 mas a – b = -1 < 0.
2-2) 2 é irracional, mas 2. 2 =2 é racional.
2
3-3) Se escolhermos n = 11, temos que 11 + 11 + 11 = 11.13 não é primo.
4-4) Sejam r um número racional e i um número irracional. Se r + i fosse
racional, teríamos que (r + i) – r = i seria racional, o que contradiz i ser
irracional.
02. Esta questão refere-se à parábola com equação y = x2 + 5 e à reta não vertical
com inclinação m e passando pelo ponto (0, 1), que será designada por r m.
Abaixo, ilustramos o gráfico da parábola e o gráfico das retas y = 2x +1, y = 4x
+ 1 e y = 6x + 1.
y
y = 6x+1
y = 4x+1
y = 2x+1
x
Admitindo esses dados, analise as afirmações seguintes.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
Uma equação de rm é y = mx + 1.
rm intercepta a parábola em um único ponto se e somente se m = 4.
Se -4 < m < 4, então, rm não intercepta a parábola.
Se m < -4, então, rm intercepta a parábola em dois pontos diferentes.
Se m > 4, então, rm intercepta a parábola em um único ponto.
Resposta: VFVVF
Justificativa:
0-0) y = mx + 1 tem inclinação m e passa pelo ponto (0, 1).
1-1) As abscissas dos pontos de interseção da parábola com rm são raízes da
2
2
equação x + 5 = mx + 1, que se simplifica como x – mx + 4 = 0. O
2
discriminante desta equação é Δ = m – 16. A equação terá uma única
2
solução real se e somente se Δ = m – 16 = 0, que tem as soluções m =
4 e m = -4. A cada abscissa corresponde um único ponto de interseção.
2
2-2) A equação não terá soluções reais se e somente se Δ = m – 16 < 0. A
2
inequação m – 16 < 0 tem conjunto solução -4 < m < 4.
2
3-3) A equação terá duas soluções reais se e somente se Δ = m – 16 > 0, e
esta desigualdade tem solução m < -4 ou m > 4.
4-4) Se m > 4, então rm intercepta a parábola em dois pontos distintos.
03. Analise as afirmações seguintes sobre o número complexo z =
1 i
:
2
0-0) z é uma das raízes quadradas do complexo i.
4
1-1) z = 1.


2-2) A forma trigonométrica de z é cos   isen  .
4
 
4
2012
3-3) z
= 1.
3
5
7
4
4-4) z, z , z e z são as raízes complexas da equação x + 1 = 0.
Resposta: VFVFV
Justificativa:
1  2i  i2
 i.
2
4
2
1-1) Usando o item anterior, temos z = i = -1.
2
0-0) Temos z =
2
2

i = cos(π/4)+isen(π/4).
2
2
2012
3-3) z
= (z4 )503  ( 1)503  1.
2-2) z =
4-4) Temos (z3 )4  ( 1)3  1; (z5 )4  (1)5  1; (z7 )4  (1)7  1.
04. Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre identidades
trigonométricas.
4
4
2
2
0-0) sen x – cos x = sen x – cos x, para todo x real.




1-1) sen   x  = cos   x  , para todo x real.
4

4

k
2
, para x real e x 
, com k inteiro.
2
sen(2x )
2
2
3-3) 2cos x + cos(2x) = 3+4cos x, para todo x real.
4-4) sen(x + y) + sen(x - y) = 2cos xcos y , para quaisquer x e y reais.
2-2) tg x + cotg x =
Resposta: VVVFF
Justificativa:
4
4
2
2
2
2
2
2
0-0) sen x– cos x = (sen x + cos x)( sen x – cos x) = sen x – cos x.
1-1) sen(π/4+x)= cos(π/2 - π/4-x) = cos(π/4-x).
senx cos x sen2x  cos2 x
2
2-2) tg x + cotg x =
.



cos x senx
cos xsenx
sen(2x )
2
2
2
2
3-3) 2cos x + cos(2x) = 2cos x + 2cos x – 1 = 4cos x – 1.
4-4) sen(x + y)+sen(x – y) = 2sen x cos y.
05. Considere a função f ( x) | x  1|  | x  1| , definida para x real. Analise as
afirmações seguintes sobre f.
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
f é par.
f é positiva.
f é injetora.
A imagem de f é o intervalo fechado [-2,2].
f(x+y) = f(x) + f(y), para quaisquer x e y reais.
Resposta: FFFVF
Justificativa:
Para x<-1, f(x)=-x-1-(-x+1)=-2. Para -1≤ x <1, f(x)=x+1-(-x+1)=2x e para x ≥ 1,
f(x)=x+1-(x-1)=2. Portanto, f(-x)=-f(x) e f é ímpar. f(-1)=-2 e f não é positiva.
f(4)=f(2)=2 e f não é injetora. -2 ≤ f(x) ≤ 2 e, por exemplo, 2=f(3)=f(2+1) ≠
f(2)+f(1)=2+2.
06. Numa determinada sala de aula, antes das férias do meio do ano, tinha 1/3 de
meninos; depois do retorno às aulas, entraram mais 5 meninos na turma e
nenhum estudante saiu. Nesta nova configuração, temos 60% de meninas.
Quantos alunos (meninos e meninas) tinha esta sala antes das férias?
Resposta: 45
Justificativa:
Número de meninos x, número de meninas 2x.
No retorno das aulas: x + 5 = 0,4 (3x +5), resolvendo a equação x = 15.
Resposta 45 alunos (15 meninos e 30 meninas)
07. As pedras de um dominó usual são compostas por dois quadrados, com 7
possíveis marcas (de zero pontos até 6 pontos). Quantas pedras terá um
dominó se cada quadrado puder ter até 9 pontos? Veja no desenho abaixo um
exemplo de uma nova pedra do dominó.
Resposta: 55
Justificativa:
10 possibilidades para cada lado da peça, excluindo as pedras com dois lados
iguais (carroças) (10×9)/2=45, incluindo as carroças , 45 + 10 = 55
08. Lançando-se dois dados perfeitos, qual a probabilidade percentual de o produto
dos resultados obtidos ser maior que a soma? Indique o inteiro mais próximo do
resultado calculado.
Resposta: 67
Justificativa:
Para que o produto dos resultados seja maior que a soma, os resultados
devem ser (2,3),...,(2,6),(3,2),...,(3,6), (4,2),...,(4,6),(5,2),...,(5,6),(6,2),...,(6,6) e
seu número é 4 + 5+ 5 +5 + 5= 24. A probabilidade é 24/36 = 2/3 = 0,666...=
66,666...%
09. Um casal está fazendo uma trilha junto com outras 10 pessoas. Em algum
momento, eles devem cruzar um rio em 4 jangadas, cada uma com capacidade
para 3 pessoas (excluindo o jangadeiro). De quantas maneiras, os grupos
podem ser organizados para a travessia, se o casal quer ficar na mesma
jangada? Assinale a soma dos dígitos.
Resposta: 10
Justificativa:
O grupo contendo o casal pode ser formado de 10 maneiras, e para cada uma
as 9 pessoas restantes podem ser divididas em 3 grupos de
C3C3C3 / 3!  280 maneiras. Portanto, são 2800 escolhas.
9 6 3
10. O polinômio x3 + ax2 + bx + 19 tem coeficientes a, b números inteiros, e suas
raízes são inteiras e distintas. Indique |a| + |b|.
Resposta: 20
Justificativa:
O produto das raízes do polinômio é -19. Como 19 é primo, e as raízes são
inteiras estas são 1, -1 e 19. Segue que a = -(1 – 1 +19) = -19 e b = -1 + 19 –
19 = -1. Logo, |a| + |b| = 20.
11. Admita que a população humana na terra seja hoje de 7 bilhões de habitantes e
que cresce a uma taxa cumulativa anual de 1,8%. Em quantos anos, a
população será de 10 bilhões? Dados: use as aproximações
 10 
log 10    0,15
7
e
log10 1,018  0,0075 .
Resposta: 20
Justificativa:
t
Em t anos, a população será de 7.1,018 bilhões e atingirá os 10 bilhões para t
t
tal que ser 7.1,018 = 10.
Portanto, t =
 10 
log 10   / log 10 1,018  0,15/0,0075 = 20.
7
12. Um joalheiro fabricou um pingente maciço de prata banhado a ouro, no formato
de tetraedro regular com 1 cm de aresta. O custo com material para
confeccionar o pingente foi R$ 11,25 (R$ 3,75 em prata e R$ 7,50 em ouro).
Quanto o joalheiro gastará com material para confeccionar outro pingente do
mesmo tipo com aresta 2 cm? Considere que a espessura do banho de ouro
permanece constante nos pingentes.
Resposta: 60
Justificativa:
Ao dobrar a aresta de um tetraedro regular, o volume fica multiplicado por 8 (parte
de prata), e a área da superfície fica multiplicado por 4 (o banho de ouro)
Custo do novo pingente = 3,75 x 8 + 7,50 x 4 = 30 + 30 = 60
13. Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto termo da expansão binomial
1
de (3 x  )n seja independente de x na expansão em potências decrescentes
x
de x.
Resposta: 16
Justificativa:
n 16
1 4
4
3
n

4
4
O quinto termo da expansão é Cn ( x )
e, para que não
( )  Cn x 4
x
dependa de x, devemos ter n = 16.
14. Uma circunferência está circunscrita ao triângulo com lados sobre as retas com
equações x = 0, y = 0 e 4x + 3y = 24, conforme a ilustração abaixo. Encontre a
equação da circunferência e indique a soma das coordenadas de seu centro e
de seu raio.
y
x
Resposta: 12
Justificativa:
O triângulo é retângulo, logo o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa, e
tem coordenadas (3, 4). O raio da circunferência circunscrita mede metade da
hipotenusa:
62  82
2
2
 5 A equação da circunferência é (x – 3) + (y – 4) =
2
2
5.
15. Em uma aula de Biologia, os alunos devem observar uma cultura de bactérias
por um intervalo de tempo e informar o quociente entre a população final e a
população inicial. Antônio observa a cultura de bactérias por 10 minutos e
informa um valor Q. Iniciando a observação no mesmo instante que Antônio,
Beatriz deve dar sua informação após 1 hora mas, sabendo que a população de
kt
bactérias obedece à equação P(t)=P0 .e , Beatriz deduz que encontrará uma
potência do valor informado por Antônio. Qual é o expoente dessa potência?
Resposta: 06
Justificativa:
10k
O valor informado por Antônio é Q=P0 e /P0 = e
60k
por Beatriz é P(60)/P = P .e /P = (e10k )6 .
0
0
10k
e o valor a ser informado
0
16. Os vértices de um tetraedro são um dos vértices de um cubo de aresta 30 cm e
os três vértices ligados a ele por uma aresta do cubo, como ilustrado na figura
3
abaixo. Se V é o volume do tetraedro, em cm , assinale V/100.
Resposta: 45
Justificativa:
A altura do tetraedro é uma aresta do cubo, e sua base é uma face do cubo
dividida pela diagonal. Sendo o volume do tetraedro um terço da área da base
3
multiplicada pela altura é um sexto do volume do cubo, ou seja, V=30 /6 =
4500.