Trigonometria Trigonometria no Triângulo Retângulo

Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Trigonometria
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 6
Parte 6
Pré-Cálculo
1
Parte 6
Pré-Cálculo
2
Trigonometria
trigonometria
Trigonometria no Triângulo Retângulo
triângulo retângulo
funções trigonométricas
(seno de um ângulo)
(seno de um número real)
Parte 6
Pré-Cálculo
3
Parte 6
Pré-Cálculo
4
O que é um ângulo?
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Diversos autores dão definições diferentes!
C
Muitas definições são ambíguas!
a
B
=
sen(B)
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 6
Pré-Cálculo
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
cateto oposto
hipotenusa
=
b
,
a
=
cos(B)
⇒
b
b
=
a
a
⇒
) = sen(B)
sen(B
e
Parte 6
Pré-Cálculo
C
c
c
=
a
a
a
B
B
a
b
b
c
Parte 6
A
B
b
) = cos(B).
cos(B
e
c
C
a
6
Identidade trigonométrica fundamental
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
C
cateto adjacente
c
= ,
hipotenusa
a
cateto oposto
b
= .
cateto adjacente
c
e sen(B)
dependem apenas do ângulo B
mas não do
Importante: cos(B)
é um dos ângulos agudos. De
tamanho do triângulo retângulo do qual B
fato:
ΔABC ∼ ΔA B C A
c
=
tg(B)
5
b
c
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cos(B)
2
A
2 c 2 b 2
b2 + c 2 (∗) a2
+ sen(B)
= 2+ 2 =
= 2 =1
a
a
a2
a
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
A
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Parte 6
Pré-Cálculo
8
Notações
significa
cos2 (B)
cos(B)
2
e
significa
sen2 (B)
sen(B)
2
.
Funções Trigonométricas
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
+ sen2 (B)
= 1.
cos2 (B)
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A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Parte 6
Pré-Cálculo
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A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x, y ) ∈ R2 | x 2 + y 2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x, y ) de C do seguinte modo:
E(0) = (1, 0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um
caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1, 0) para (0, 1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t|, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-eul
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1, 0) em C.
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
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Parte 6
Pré-Cálculo
12
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Também é possível definir uma função G : R → C pondo
2 πs
,
para todo s real.
G(s) = E
360
Escrevendo A = (1, 0), O = (0, 0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede s graus.
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-eul
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A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Parte 6
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Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP tem
comprimento igual a 2 π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que
subtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano
= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que
2πrad = 360◦ , ou seja,
360 ◦
1rad =
= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
2π
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-b
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Parte 6
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16
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função seno
respectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a ordenada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real t dá
a medida do ângulo AOP em radianos!.
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-b
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Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
Parte 6
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20
Identidades trigonométricas
Nas definições das funções seno e cosseno dadas anteriormente, o número real t
dá a medida do ângulo AOP em radianos. Se, no lugar de medidas em radianos,
usarmos medidas em graus, obteremos outras funções que, por abuso de notação,
também serão representadas por cos e sen. Elas são definidas pondo-se, para cada
s em R:
G(s) = (cos(s), sen(s)).
Noutras palavras, x = cos(s) e y = sen(s) são respectivamente a abscissa e
a ordenada do ponto G(s) da circunferência unitária.
(Ir para o GeoGebra)
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Parte 6
Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 6
(Ir para o GeoGebra)
Pré-Cálculo
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Parte 6
Pré-Cálculo
22
A função tangente
f (x) = tg(x) =
sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
A função tangente
D = {x ∈ R | cos(x) = 0} = {x ∈ R | x = π/2 + k · π, com k ∈ Z}
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Parte 6
Pré-Cálculo
24
O gráfico da função tangente
A função secante
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/
Parte 6
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25
A função secante
Parte 6
Pré-Cálculo
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Pré-Cálculo
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A função secante
f (x) = sec(x) =
1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) = 0} = {x ∈ R | x = π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 6
Pré-Cálculo
27
Parte 6
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =
A função cossecante
1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) = 0} = {x ∈ R | x = k · π, com k ∈ Z}
Parte 6
Pré-Cálculo
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Parte 6
Pré-Cálculo
30
A função cossecante
A função cotangente
Parte 6
Pré-Cálculo
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Parte 6
Pré-Cálculo
32
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =
A função cotangente
cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) = 0} = {x ∈ R | x = k · π, com k ∈ Z}
Parte 6
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Parte 6
Pré-Cálculo
34
A função arco seno
f: R → R
não é inversível, pois não é injetiva.
x → y = f (x) = sen(x)
A função arco seno
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Parte 6
Pré-Cálculo
36
A função arco seno
A função arco seno
f −1 : [−1, +1] → [−π/2, +π/2]
é sua função inversa.
x → y = f −1 (x) = arcsen(x)
f : [−π/2, +π/2] → [−1, +1]
é inversível, pois é bijetiva.
x → y = f (x) = sen(x)
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Exemplo
Parte 6
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A função arco seno
f −1 : [−1, +1] → [−π/2, +π/2]
é sua função inversa.
x → y = f −1 (x) = arcsen(x)
Mostre que cos(arcsen(x)) =
√
1 − x 2 , para x ∈ (−1, +1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1
⇒
[cos(arcsen(x))]2 + x 2 = 1
⇒
[cos(arcsen(x))]2 = 1 − x 2
[cos(arcsen(x))]2 = 1 − x 2
| cos(arcsen(x))| = 1 − x 2
cos(arcsen(x)) = 1 − x 2 ,
⇒
⇒
⇒
pois se x ∈ (−1, +1), então arcsen(x) ∈ (−π/2, +π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
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Parte 6
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A função arco cosseno
f: R → R
não é inversível, pois não é injetiva.
x → y = f (x) = cos(x)
A função arco cosseno
Parte 6
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A função arco cosseno
Pré-Cálculo
42
A função arco cosseno
f −1 : [−1, +1] → [0, π]
é sua função inversa.
x → y = f −1 (x) = arccos(x)
f : [0, π] → [−1, +1]
é inversível, pois é bijetiva.
x → y = f (x) = cos(x)
Parte 6
Parte 6
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Parte 6
Pré-Cálculo
44
A função arco cosseno
A função arco cosseno
f −1 : [−1, +1] → [0, π]
é sua função inversa.
x → y = f −1 (x) = arccos(x)
Mostre que sen(arccos(x)) =
√
1 − x 2 , para x ∈ (−1, +1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒
x 2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒
[sen(arccos(x))]2 = 1 − x 2
[sen(arccos(x))]2 = 1 − x 2
| sen(arccos(x))| = 1 − x 2
sen(arccos(x)) = 1 − x 2 ,
⇒
⇒
⇒
pois se x ∈ (−1, +1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
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Parte 6
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A função arco tangente
f : R − {π/2 + k · π | k ∈ Z} → R
não é inversível.
x → y = f (x) = tg(x)
A função arco tangente
Parte 6
Pré-Cálculo
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Parte 6
Pré-Cálculo
48
A função arco tangente
A função arco tangente
f −1 : R → (−π/2, +π/2)
é sua função inversa.
x → y = f −1 (x) = arctg(x)
f : (−π/2, +π/2) → R
é inversível, pois é bijetiva.
x → y = f (x) = tg(x)
Parte 6
Pré-Cálculo
49
A função arco tangente
Parte 6
Pré-Cálculo
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A função arco tangente
f −1 : R → (−π/2, +π/2)
é sua função inversa.
x → y = f −1 (x) = arctg(x)
Mostre que sec2 (arctg(x)) = 1 + x 2 , para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1
⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
1
=
cos2 (arctg(x))
cos2 (arctg(x))
⇓
1 + tg2 (arctg(x)) = sec2 (arctg(x))
⇓
1 + x 2 = sec2 (arctg(x))
⇓
2
sec (arctg(x)) = 1 + x 2 .
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Parte 6
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52
As fórmulas de adição
OA
OE
EC
AB
OB
As fórmulas de adição
=
=
=
=
=
cos(α + β),
cos(β),
sen(β),
DE = sen(α) · sen(β),
cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β) − sen(α) · sen(β).
Parte 6
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As fórmulas de adição
Parte 6
cos(α − β)
=
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As fórmulas de adição
sen
cos(α + β)
Pré-Cálculo
cos(α) · cos(β) − sen(α) · sen(β).
=
cos(α + (−β))
=
cos(α) · cos(−β) − sen(α) · sen(−β)
=
cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
sen(α + β)
π
2
Já vimos que:
+ t = cos(t),
=
=
=
cos(2 α) = cos(α + α) = cos2 (α) − sen2 (α).
π
− cos
π
2
+ t = sen(t).
Agora:
+α+β
2
π
π
− cos
+ α · cos(β) + sen
+ α · sen(β)
2
2
sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
− cos
Logo:
sen(α − β) = sen(α) · cos(β) − cos(α) · sen(β)
e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
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